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FAAP – Faculdade Engenharia 
Código da Disciplina: 1EB176 – FÍSICA I 
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Capítulo 1 - Análise Dimensional 
 
Grandeza Física – é todo elemento suscetível de definição quantitativa, 
convencionalmente introduzida com o objetivo de facilitar o estudo e a descrição de 
um grupo de fenômenos físicos. 
 
Toda grandeza física é concebida de uma operação bem definida, realizada em 
laboratório ou em campo, a qual chamamos de medida. 
 
Lei Física – é a descrição exata das relações de interdependência entre as 
grandezas associadas a um dado fenômeno; sempre que possível ela é 
representada por relações matemáticas entre símbolos que representam as 
grandezas físicas. 
 
Chega-se às leis físicas a partir de conhecimentos adquiridos anteriormente (método 
racional ou por meio de observação e/ou experimentação/método). 
Embora a Física se utilize de métodos matemáticos, estes entram como ferramenta 
de trabalho ao lado da observação e da experimentação. 
 
A Física não é uma disciplina matemática e muito menos construída sobre um 
modelo matemático: 
 
“é a ciência do estudo geral da matéria bruta, da e nergia e de suas 
transformações, que se utiliza predominantemente do método experimental e 
também do método dedutivo – matemático ” 
 
É, portanto uma CIÊNCIA EXPERIMENTAL. 
 
Medição de uma grandeza física – “medir uma grandeza física significa compará-la 
com outra da mesma espécie, denominada unidade”. 
 
Assim sendo, para medirmos uma grandeza física devemos: 
 
1º) Eleger uma unidade de medida (quantidade da mesma espécie). 
2º) Comparar a grandeza física a ser medida, com a unidade eleita (quantas 
vezes a grandeza a ser medida está contida ou contém a unidade eleita). 
3º) O resultado dessa comparação é a medida ou medição da grandeza física. 
 
Exemplo: 
Para medir a área de um terreno, devemos compará-la com uma unidade escolhida, 
(quantidade da mesma espécie), no caso um quadrado de 1 m de lado, ou seja, de 
1m2 de área (note que estamos comparando a grandeza física, área de um terreno, 
com a unidade escolhida, que é um quadrado de área 1m2, portanto estamos 
comparando quantidades da mesma espécie). O resultado dessa comparação é a 
medida da grandeza física área. Se a unidade escolhida (quadrado de área 1m2) 
coube 100 vezes dentro do terreno, o resultado 100 é a medida obtida; se o mesmo 
coube 500 vezes dentro do terreno, a medida obtida será 500. 
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Resumindo: para medirmos uma grandeza física devemos. 
a) Eleger uma unidade (QUANTIDADE DE ESPÉCIE) 
b) Comparar a unidade escolhida com a grandeza a ser medida 
c) Resultado da comparação = medida 
 
Seja: 
G: uma grandeza física qualquer 
m: medida obtida 
U: unidade escolhida, da mesma espécie de G. 
 
Assim sendo, considere: 
“G e G’ duas grandezas físicas da mesma espécie, cujas as medidas são “m e m’ : 
medidas realizadas num mesmo sistema de unidade U. 
G = m.U e G’ = m’.U. Se dividirmos uma pela outra, teremos: 
'm
m
'G
G ==== 
Esta expressão demonstra que a relação entre duas grandezas da mesma espécie, 
independe da unidade de medida usada (caráter unívoco da medição ). 
 
 
A maioria das grandezas da mesma espécie satisfazem essa condição, que se 
denomina “condição do significado absoluto do valor relativo ” . 
 
Significado Absoluto: porque independe da unidade. 
Valor Relativo: porque trata da relação entre duas grandezas. 
 
Exemplo: dizer que uma pressão é o triplo da outra, esta expressão independe das 
unidades de medida. 
 
Consideramos agora uma grandeza G, relativamente a duas unidades U e U’, com 
medidas de m e m’ , assim sendo, podemos escrever: 
 
G = m.U 
 
G = m’.U’. Se dividirmos uma expressão pela outra, teremos: 
U
'U
'm
m ==== 
 
Nesta expressão, verificamos que a medida de uma grandeza varia inversamente 
com a unidade adotada. Esta é chamada “Lei do Valor Inverso” . 
 
Ou seja: “tomando-se uma unidade n vezes menor teremos uma medida n vezes 
maior e reciprocamente”. Esta lei, também recebe o nome de: “Lei da Conversão 
de Unidades”. 
 
Sistema Internacional de Unidades – Foi em 1948 que a 9ª Conferência Geral de 
Pesos e Medidas (CGPM), encarregou o Comitê Internacional de Pesos e Medidas 
(CIPM) de: 
 
“Estudar o estabelecimento de uma regulamentação co mpleta das unidades de 
medidas”. 
 
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Observação 
Antigamente quase todas as unidades eram definidas de um modo arbitrário o que 
levava a não existir nenhuma relação entre as unidades de um mesmo sistema. Isto 
causava um sério problema, pois era necessário introduzir nas fórmulas físicas 
coeficientes numéricos, denominados “coeficientes parasitas”, o que gerava os 
chamados “Sistemas Incoerentes”, completamente fora de uso. 
 
Hoje em dia, as unidades são definidas mediante as equações de definição. 
 
O Sistema de Unidades estruturado desse modo recebe o nome de “Sistema 
Coerente” que por sua vez é composto por unidades fundamentais. 
A 10ª Conferência Geral de Peso e Medidas (1954), decidiu a adotar como unidades 
fundamentais, as seguintes: 
• comprimento 
• massa 
• tempo 
• temperatura termodinâmica 
• intensidade elétrica 
• intensidade luminosa 
• quantidade de matéria 
 
A11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, adotou o nome de Sistema 
Internacional de Unidades (SI), em 1960. A 14ª Conferência Geral de Pesos e 
Medidas (1971), acrescentou a essas unidades fundamentais o mol como unidade 
fundamental da grandeza quantidade de matéria. O SI foi adotado no Brasil em 
1962. 
 
Sistemas de Unidades Fundamentais 
Grandeza Nome Símbolo 
• Comprimento metro m 
• Massa quilograma kg 
• Tempo segundo s 
• Intensidade Elétrica ampère A 
• Intensidade Luminosa candela cd 
• Temperatura 
Termodinâmica 
kelvin K 
• Quantidade de Matéria mol mol 
 
 
Representação Escrita – O nome de qualquer grandeza física quando escrita por 
extenso, é escrito com letra minúscula e leva s no plural. Exemplo: 
segundo - segundos 
joule - joules 
watt - watts 
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O símbolo correspondente de uma das grandezas fundamentais, não corresponde a 
uma abreviação, portanto, não leva ponto, nem “s” quando no plural. Exemplo: 
1 segundo = 1s e não 1s. 
10 watts = 10 w e não 10ws. 
100 metros = 100 m e não 100ms. 
 
Algumas unidades têm nomes emprestados de físicos ilustres, portanto o símbolo 
dessas unidades deve ser escrito em letra maiúscula. Exemplo: 
newton = N 
joule = J 
hertz = Hz 
henry = H 
 
O produto de duas ou várias unidades é indicado por ponto como sinal de 
multiplicação, que pode ser suprimido se não houver possibilidade de confusão. 
N.m ou Nm e não mN 
 
Na divisão usamos (/), barra inclinada, ou traço horizontal, ou potência negativa. 
1ms
s
m
s/m −−−−======== 
Nunca repetir na mesma linha mais de uma barra, a não ser com o auxilio dos 
parênteses. Exemplo: 
J/mol/k não e K.J.mol ou J/(mol.K) m/s/s não e .m.s ou s/m 1-1-22 − 
 
Teorema de Bridgman ou Princípio da Expressão Monôm ica – “Toda grandeza 
física que satisfaz a condição de significado absoluto do valor relativo, pode ser 
expressa pelo produto de um coeficiente numérico por outras grandezas físicas 
elevadas a certos expoentes”. 
 
Seja G uma grandeza física que depende das grandezas X, Y, Z, podemos, 
baseados em Bridgman, escrever: 
zyx Z.Y.X.KG ==== 
 
Onde G = grandeza física que depende de outros X, Y, e Z; além disso, ela deve 
obedecer a condição do significado absoluto do valor relativo. 
K = número puro, também chamado de constante adimensional. 
x,y,z = números positivos, negativos, inteiros ou fracionários, que recebem o nome 
de dimensões. 
Exemplos: 
 
2K 
g
)L(
T
)g.L(fT
2
1
K v.m.
2
1
E
)v.m(fE
2
2
c
c
==
=
==
=
 
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EQUAÇÃO DIMENSIONAL 
Considere a grandeza G dependentedas grandezas X,Y,Z, as unidades das 
grandezas G,X,Y,Z são respectivamente U(G), U(X), U(Y), U(Z), em um sistema de 
unidades S e U’(G), U’(X), U’(Y), U’(Z) em outro sistema de unidades S’. 
 
Segundo Bridgman: 
{ }{ }{ }
{ }{ }{ }zyx
zyx
)Z('U.)Y('U.)X('U)G('U
)Z(U.)Y(U.)X(U)G(U
=
=
 
 
Dividindo membro a membro: 
z
z
y
y
x
x
)Z('U
)Z(U
.
)Y('U
)Y(U
.
)X('U
)X(U
)G('U
)G(U = 
Símbolo Analogamente, símbolos dimensionais 
dimensional de X, Y e Z. 
da grandeza 
G. e representa-se 
 
[G] = [X].[Y].[Z] 
 
 
Representações Devidas a Maxwell: 
 
[G]=[X] x.[Y] y.[Z] z 
EQUAÇÃO DA GRANDEZA FÍSICA G EM RELAÇÃO AS GRANDEZAS X, Y E Z. 
 
Numa equação dimensional, não podem aparecer coeficientes numéricos. Portanto: 
 
“EQUAÇÃO DIMENSIONAL de uma grandeza física é a equa ção que relaciona o 
símbolo dimensional da grandeza, com os símbolos di mensionais de outras 
que a definem”. 
 
DIMENSÃO: é qualquer um dos expoentes reais (x, y e z). 
se x = 1, diz-se que G é diretamente proporcional a X. 
se x = -1, diz-se que G é inversamente proporcional a X. 
se x = -2, diz-se que G é inversamente proporcional ao quadrado de X. 
se x = 1/2, diz-se que G é inversamente proporcional à raiz quadrada de X. 
se x = 0, diz-se que a grandeza tem dimensão nula em relação a X. 
 
Tabela das Grandezas Fundamentais do Sistema Intern acional de Unidades (SI). 
Grandeza Fundamental Nome Símbolo Dimensional 
comprimento metro L 
massa quilograma M 
tempo segundo T 
intensidade elétrica ampère I 
Intensidade luminosa candela J 
temperatura 
termodinâmica 
kelvin θ 
quantidade de matéria Mol N 
 
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Grandezas adimensionais: são aquelas que têm dimensão nula em relação a 
qualquer grandeza fundamental, ou seja, têm dimensão zero, ou seja, não sofrem 
alteração, não são afetadas por mudança de sistemas de unidades: funções 
trigonométricas, expoentes, logaritmos, coeficientes numéricos. 
 
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 
Princípio da Homogeneidade 
 
Segundo Fourier: “duas ou mais grandezas físicas são homogêneas entre si 
quando têm equações dimensionais iguais”. 
 
As equações físicas são necessariamente homogêneas – Princípio da 
homogeneidade. 
 
Estabelecimento de Equações Dimensionais. 
 
[B]
[A]
[A/B][G] 
B
A
G
[A].[B][A.B][G] B . A G
B. e A grandezas outras por definida é que física grandeza G
===
===
=
 
e ainda 
G=An [G]=[An]=[A]n 
 
As equações dimensionais dependem só da espécie da grandeza e não das suas 
medidas. 
Seguem alguns exemplos de estabelecimento de equações dimensionais: 
 
1. Equação dimensional da grandeza área 
2L[A]
L.L[A]
[a].[b][A]
a.b A área
=
=
=
==
 
Veja que a equação dimensional da grandeza área é sempre a mesma 
independente da configuração. 
Exemplo: equação dimensional da área de um circulo. 
Área do circulo = π.R2 = A 
[A] = [π].[R]2 
[A] = L2 
 
2. Equação dimensional da velocidade num movimento retilíneo e uniforme. 
1LT
T
L
]t[
]s[
]v[ −=== 
LT-1 = exprime que a grandeza velocidade é: diretamente proporcional à 
grandeza fundamental comprimento (L) e inversamente proporcional à 
grandeza fundamental tempo (T). 
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3. Equação dimensional da grandeza energia elétrica. 
22
2
2
2
2
2
2
T.M.L[E] 
T
L
M.[E] 
]t[
]s[
]m][2/1[]E[
]v].[m].[2/1[]E[
v.m.
2
1
E
−===
=
=
 
 
NOTE QUE PARA QUALQUER MODADALIDADE DE ENERGIA, A 
EQUAÇÃO DIMENSIONAL É SEMPRE A MESMA. 
 
Exemplo: Energia Potencial Gravitacional Ep = m.g.h 
22
2
2
T.L.M]Ep[
T
L
.M]Ep[
T
L.T/L
.M]Ep[
]h.[
]t[
]t/[]s[
].m[]Ep[
]h.[
t
]v[
].m[]Ep[
]h].[g].[m[]Ep[
−=
=
=
=
=
=
 
 
Período (T) = é o tempo que se requer para a realização de um ciclo completo num 
fenômeno periódico. 
Freqüência (f) = freqüência de um fenômeno periódico é o número de ciclos 
realizados por unidade de tempo: 
T
1
f = 
Vazão (∅∅∅∅) = representa o volume (V) de fluído escoado através de uma seção 
transversal por unidade de tempo (t): 
t
v
o =/ . 
Força (F) = exercida em uma partícula, equivale ao produto da massa (m) da 
partícula por sua aceleração (a): 
F = m.a 
Impulso (I) = impulso de uma força constante representa o produto da força (F) pelo 
tempo (t) de ação desta: 
I = F.t 
Quantidade de movimento (q) = é o produto da massa (m) da partícula por sua 
velocidade (v): 
q = m.v 
Pressão (p) = uniforme sobre uma superfície representa força (F) por unidade de 
área (A): 
A
F
p = 
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Trabalho (W) = realizado por uma força constante, é o produto da força (F) pelo 
deslocamento (d) e pelo cosseno (θ) formado entre a força e o deslocamento: 
W = F.d.cosθ 
(Potência) = de um sistema em funcionamento uniforme, representa o trabalho (W) 
realizado por unidade de tempo (t): 
t
W
P 
Constante elástica (k) = é o coeficiente de proporcionalidade entre a força (F) 
aplicada em uma mola e a deformação linear (x) provocada: 
x.KF = e 
x
F
k = 
 
Momento de força (M) = (em relação a um ponto) é o produto da força (F) pelo 
braço (b): 
M = F.b 
Massa específica ( f) = de uma substância pura representa massa (m), por unidade 
de volume: 
V
m
f = 
Densidade linear ( µµµµ) = de um fio – (para um fio homogêneo), representa massa (m) 
por unidade de comprimento (L): 
L
m=µ 
Densidade superficial ( σσσσ) = (de uma película homogênea), representa massa por 
unidade de área (A): 
A
m=σ 
Peso específico (w) = (de uma substância), representa peso (P) por unidade de 
volume (V): 
V
P
w = 
Modulo de Young (E) = barra de comprimento L e secção transversal de área A, 
quando sujeita à força longitudinal de tração, sofre deformação linear L; fenômeno é 
regido pela lei de Hooke: 
E.A
L.F
L =∆ 
Viscosidade dinâmica ( ηηηη) = (de um fluído) é a resistência que ele apresenta ao 
escoamento. As forças viscosas (F) que atuam em duas superfícies paralelas de 
área A cada uma separadas pela distância h, que se movem com velocidades, 
respectivamente v e v + v, têm intensidades: 
h
v.A.
F
η= 
Viscosidade cinemática ( νννν) = é a relação entre a viscosidade dinâmica (η ) do 
fluído e sua massa específica (ρ): 
ρ
η=ν 
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Tensão superficial ( σσσσ) = (de um líquido), é a relação entre a força (F) que 
experimenta todo limite da película líquida e o comprimento (l) dessa película: 
L/F=σ 
Constante universal de gravitação (g) = duas massas m e m’ separadas pela 
distância d, atraem-se mutuamente com força de intensidade F; o fenômeno é regido 
pela lei de atração gravitacional de Newton: 
2d
'm.m.G
F = 
Constante universal dos gases (R) = comparece na equação de estado dos gases 
perfeitos, equação de Clapeyron: 
T.R.nV.p = 
Massa molecular (M) = de uma substância, representa a massa (m) por mol: 
n
m
M = 
Ângulo plano ( ∅∅∅∅) = representa a relação entre o comprimento do arco (L) e o raio 
(R) deste: 
R
L
o =/ 
Velocidade (v) = do movimento retilíneo uniforme representa o deslocamento (d) 
por unidade de tempo (t) 
t
d
v = 
Velocidade angular ( ωωωω) = do movimento circular uniforme representa o ângulo 
central de giro (o/ ) por unidade de tempo (t): 
t
o/=ω 
Aceleração (a) = do movimento retilíneo uniformemente variado representa a 
variação da velocidade (v’-v) por unidade de tempo (t): 
t
v'v
a
−= Estabeleça por contra própria, a equação dimensional das grandezas 
relacionadas abaixo, em seguida preencha o quadro: 
 
Equação Dimensional 
Grandeza fundam. Repr. Unid. SI M L T θθθθ N 
Coef. numérico log. 
expoentes, f. trigonom. 
 - - - - - - 
Superfície (área) A m2 
Volume V m3 
ângulo plano θ rad 
velocidade v m/s 
velocidade angular ω rad/s 
aceleração a m/s2 
aceleração angular α rad/s2 
 
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Equação Dimensional 
Grandeza fundam. Repr. Unid. SI M L T θθθθ N 
período T s 
freqüência f Hz 
vazão θ m3/s 
força, peso, empuxo F N 
impulso I N.s 
quantidade de movim. q kg.m/s 
pressão, tensão mec. p N/m2=Pa 
trabalho W J = joule 
energia (∀) E J = joule 
potência P W = watt 
const. elástica k N/m 
momento de força M N.m 
massa específica ρ kg/m3 
densidade linear µ kg/m3 
densidade superficial τ kg/m3 
peso específico w N/m3 
módulo de Young E N/m3 
viscosidade dinâmica η N.s/m2 
viscosidade cinemática ν m2/s 
tensão superficial τ N/m 
constante universal gases R J/mol.K 
Constante universal gravit. G N.m2/kg2 
massa molecular M kg/k.mol 
Estabeleça por contra própria, a equação dimensional das grandezas relacionadas 
abaixo, em seguida preencha o quadro: 
 
Equação Dimensional 
Grandeza fundam. Repr. Unid. SI M L T θθθθ N 
Coef. numérico log. 
expoentes, f. trigonom. 
 - 0 0 0 0 0 
Superfície (área) A m2 0 2 0 0 0 
Volume V m3 0 3 0 0 0 
ângulo plano θ rad 0 0 0 0 0 
velocidade v m/s 0 1 -1 0 0 
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Equação Dimensional 
Grandeza fundam. Repr. Unid. SI M L T θθθθ N 
velocidade angular ω rad/s 0 0 -1 0 0 
aceleração a m/s2 0 1 -2 0 0 
aceleração angular α rad/s2 0 0 -2 0 0 
período T s 0 0 1 0 0 
freqüência f Hz 0 0 -1 0 0 
vazão θ m3/s 0 3 -1 0 0 
força, peso, empuxo F N 1 1 -2 0 0 
impulso I N.s 1 1 -1 0 0 
quantidade de movim. q kg.m/s 1 1 -1 0 0 
pressão, tensão mec. p N/m2=Pa 1 1 -2 0 0 
trabalho W J = joule 1 2 -2 0 0 
energia (∀) E J = joule 1 2 -2 0 0 
potência P W = watt 1 2 -3 0 0 
const. elástica k N/m 1 0 -2 0 0 
momento de força M N.m 1 2 -2 0 0 
massa específica ρ kg/m3 1 -3 0 0 0 
densidade linear µ kg/m3 1 -1 0 0 0 
densidade superficial τ kg/m3 1 -2 0 0 0 
peso específico w N/m3 1 -2 -2 0 0 
módulo de Young E N/m3 1 -1 -2 0 0 
viscosidade dinâmica η N.s/m2 1 -1 -1 0 0 
viscosidade cinemática ν m2/s 0 2 -1 0 0 
tensão superficial τ N/m 1 0 -2 0 0 
constante universal gases R J/mol.K 1 2 -2 -1 -1 
Constante universal gravit. G N.m2/kg2 -1 3 -2 0 0 
massa molecular M kg/k.mol 1 0 0 0 -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Verifique a homogeneidade das seguintes equações: 
a) Equação de Torricelli: S.a.2vv o
2 ∆+= 
b) Equação da aceleração no MHS: )otcos(.A.a 2 /+ωω−= 
 
2) Considere a seguinte equação por hipótese homogênea: 
S)(D.V sen UZ log.yBXA c
w +++= 
 
Sendo as grandezas A, B, C e D homogêneas, respectivamente, a pressão, trabalho, 
freqüência e velocidade, determine a equação dimensional das grandezas físicas X, 
Y, Z, W, U, V e S. 
 
3) Considere a equação de Weisbach que fornece a força resistente F devido ao 
atrito quando um líquido real escoa com a velocidade média v através de uma 
tubulação do diâmetro D e comprimento L. Determine a equação dimensional das 
grandezas a e b. 
 
4) Em certas condições, a resistência F que o ar oferece a um objeto em movimento 
depende da área A da seção mestra do objeto, da velocidade v do objeto em 
relação ao ar e da massa específica ρ do ar. Deduza a forma da lei que relaciona 
essas grandezas entre si. 
 
5) O peso de líquido escoado por unidade de tempo Ø, através de um vertedor 
triangular depende da altura da carga h, da massa específica ρ de líquido e da 
aceleração da gravidade g. Deduza a fórmula Ø = Ø (h, g, ρ). 
 
6) Uma gota de raio R é constituída de um líquido de massa específica ρ e tensão 
superficial τ. A gota quando deformada ligeiramente e abandonada, vibra com 
período T. Deduza a fórmula T = T (R, ρ, τ). 
 
7) O período de revolução de um planeta em torno do Sol é função somente da 
constante de gravitação universal G, da massa M do Sol e do eixo maior a, da 
trajetória elíptica do planeta. A relação entre os quadrados dos períodos de 
revolução de dois planetas em torno do Sol, é igual à relação entre os eixos 
maiores das elipses que eles percorrem, elevada a uma potência x, isto é: 
x
2
1
2
2
2
1 )
a
a
(
T
T
= Qual o valor do expoente X? 
 
8) Supõe-se que a velocidade de propagação do som de um fluído seja função 
exclusiva de sua viscosidade dinâmica η, de sua massa específica ρ e da 
pressão p. Determine a expressão da velocidade v. 
 
9) Uma mola helicoidal leve tem constante elástica k, uma extremidade é fixa e 
outra suporta um sólido de massa m. Põe-se o pêndulo a oscilar verticalmente. 
Deduza a lei da freqüência f das oscilações em função de m e k. A constante 
adimensional que comparece nessa lei vale ½ . 
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10) A freqüência fundamental de vibração f de uma corda depende do comprimento 
l, da densidade linear µ e da força tensora F. A constante adimensional que 
comparece nessa relação vale ½ . Determine a freqüência fundamental numa 
corda de comprimento 50 cm e de massa 10g, sujeita a uma força tensora de 288 
N. 
 
11) A velocidade de escape de um gás para a atmosfera através de um orifício no 
recipiente que o contém, depende apenas da massa específica do gás e da 
diferença ∆ρ entre a pressão do gás (pressão interna) e a pressão atmosférica 
(externa). A velocidade de escape do ar, sob pressão de 400 kPa, através do 
orifício de certo reservatório é de 480 m/s. Calcule a velocidade de escape se, 
em vez de ar, o reservatório contivesse hidrogênio, sob pressão de 200 kPa. 
Considere a densidade do hidrogênio em relação ao ar igual a 0,069 e que a 
pressão atmosférica é de 100 kPa. 
 
12) Um projétil atirado horizontalmente com velocidade v, descreve uma trajetória 
parabólica, seja ∅ o ângulo que a velocidade do projétil forma com a direção 
horizontal no instante genérico t. Verifica-se que a tangente trigonométrica de ∅ 
(tg ∅) depende apenas de v, t e g. Calcule ∅ no instante 3s, sabendo-se que ele 
vale 30º no instante 2s e que tg∅ é diretamente proporcional a t. 
 
13) A potência P de uma hélice de avião depende do raio R da hélice, da velocidade 
angular ω da mesma e da massa específica ρ do ar. Uma hélice desenvolve 
potência de 10 cv. Calcule a potência de uma segunda hélice que tem raio igual 
à metade do raio da primeira hélice e gira com velocidade angular igual ao 
quádruplo da velocidade angular da primeira. 
 
14) Verifica-se experimentalmente que a velocidade de propagação de uma onda 
longitudinal num meio contínuo depende da massa específica ρ e do módulo de 
Young E do meio. Calcule a velocidade das ondas longitudinais no alumínio, 
sabendo-se que no aço a velocidade vale 5 km/s. Dados: 
E (aço) = 20.1010 N/m2 (aço) = 7,8 g/cm3 
E (alumínio) = 7.1010 N/m2 (alumínio) = 2700 kg/m3 
 
15) A freqüência do som fundamental emitido por uma corda vibrante é inversamente 
proporcional à raiz quadrada da área A de seção transversal da corda e depende 
ainda da intensidade da força tensora F do comprimento l da corda e da massa 
específica ρ do material que constitui a corda. Sendo de 150 hertz a freqüência 
fundamental numa corda X, calcule a freqüência fundamental numa corda Y, 
constituída com material de massa específica igual à metade da massa 
específica de X e que tenha comprimento igual à metade do comprimento de X, 
área transversal igual à metade da área de X e força tensora igual ao quádruplo 
da força tensora X. 
 
 
 
 
 
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 14 
 
16) A vazão de escape de um gás através de um orifício praticado no recipiente que 
o contém, depende apenas do diâmetro do orifício, da massa específica do gás e 
da diferença entre as pressões interna e externa do recipiente. A vazão de 
escapamento de ar através de um orifício de diâmetro de 2 mm num certo 
reservatório é de 15 litros por segundo. Calcule a vazão de escapamento através 
de um orifíciode 1 mm num reservatório que contém outro gás, sendo a pressão 
deste, a mesma que a do ar, e as condições externas sendo as mesmas que 
para o caso do reservatório conter ar. A densidade do gás em relação ao ar vale 
0,09. 
 
17) A velocidade do som num gás depende apenas da massa molecular do gás, de 
sua temperatura absoluta e da constante universal dos gases. Sendo a 
velocidade do som num gás à temperatura de 0ºC igual a 330 m/s, calcule a 
velocidade do som em outro gás à temperatura de 27ºC, sabendo-se que a 
massa molecular deste é igual ao dobro da massa molecular daquele. 
 
TEORIA DOS MODELOS 
 
Muitas vezes, antes de se iniciar a construção de um dispositivo oneroso 
(barragem, navio, avião, etc...) é conveniente analisar o seu comportamento através 
do ensaio experimental de uma réplica de tamanho reduzido, denominado modelo, 
construída a custo menor. 
 
Agindo-se desse modo, evitam-se gastos desnecessários e ainda pode-se 
fazer no modelo, com maior facilidade, as modificações sugeridas pelos ensaios. 
 
No princípio, os pesquisadores verificaram que uma vez construído o 
dispositivo original, denominado protótipo, este não apresentava o comportamento 
prognosticado com o ensaio de modelo. Isso ocorria porque havia a preocupação de 
manter-se apenas semelhança geométrica (semelhança de forma). 
 
Para resolver essa questão Newton propôs que entre modelo e protótipo 
deveria haver uma semelhança física, isto é, deveria existir uma razão constante 
(escala) entre todas as grandezas observadas no modelo e as grandezas 
homólogas do protótipo. 
 
Impondo-se a condição de semelhança física, verifica-se que os ensaios com 
modelo fornecem indicações, quando não precisas, pelo menos, bastante próxima a 
respeito do comportamento do protótipo correspondente. 
 
O modelo e protótipo constituem, dois sistemas fisicamente semelhantes; a 
escala de uma grandeza qualquer é definida pela razão entre a grandeza Gm 
relativa ao modelo e a grandeza homóloga Gp relativa ao protótipo.
Gp
Gm
G =λ 
 
Semelhança Mecânica 
 
Para que entre modelo e protótipo exista semelhança mecânica devem ser 
obedecidas as seguintes condições: 
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 15 
• Devem ser geometricamente semelhantes, isto é, deve ser possível a 
definição de escala de comprimentos: 
p
m
L
l
l=λ 
• As trajetórias homólogas devem ser linhas semelhantes com a mesma 
escala, devendo ser os trechos homólogos percorridos em tempos tais 
que: 
tp
tm
T =λ 
Sendo determinada escala de tempos . A existência das escalas se 
caracteriza a semelhança cinética. 
• Entre as massas de porções homólogas deve existir a relação constante:
 
Mp
Mm
M =λ 
Sendo denominada escala de massas. 
 
Somente as escalas λL, λT, λM podem ser definidas arbitrariamente, quer 
dizer, todas as escalas das grandezas mecânicas terão suas escalas escritas em 
função dessas três. Essa é a lei básica da semelhança mecânica. Estendida às 
grandezas térmicas, elétricas, etc..., constitui o principio básico da semelhança 
física. 
 
Estabelecimento de Escalas 
 
Como conseqüência direta da definição de escala, uma equação dimensional 
ligando grandezas físicas, deve ser idêntica à equação que relaciona as grandezas 
correspondentes. Exemplos: 
área [A] = L2 λA = λL2 
aceleração [a] = LT2 λa = λL λT2 
força [F] = [m].[a] λF = λM λL λT-2 
densidade [ρ] = ML-3 λρ = λM λL-3 ∴ λM = λρ λL3 
 
Neste texto somente serão analisados problemas simples onde a única força 
dominante é a Força da Gravidade, como no caso de modelos de navios, barragens, 
ancoradouro, ressaltos hidráulicos, vertedores, etc... 
 
Impondo-se essa condição, a partir da equação dimensional da grandeza 
dominante, a aceleração da gravidade, pode-se estabelecer a relação entre a escala 
dos tempos e a escala dos comprimentos: 
g
L
T
2
TLg
2 LT]g[
λ
λ
=λλλ=λ= −− 
A seguir o estabelecimento de algumas escalas importantes na solução de 
problemas levando-se em conta que: 2
1
LT
2
TLg e λ=λλλ=λ
−
 
- vazão [θ] = L3T-1 = 2
5
2
1
LL
3
L
1
T
3
Lo λ=λλ=λλ=λ
−−
/ 
- velocidade [v] =LT-1 = 2
1
2
1
LLLv
−− λ=λλ=λ 
- força [F] = MLT-2 = 
3
L
2
TL
3
L
2
TLMF λλ=λλλλ=λλλ=λ ρ
−
ρ
−
 
- potência [P] = ML2T-3 = 2
7
L
3
T
2
L
3
LP λλ=λλλλ=λ ρ
−
ρ 
 
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 16 
EXERCÍCIOS 
 
1. A Torre Eiffel tem 300 m de altura e massa 7000t. Deseja-se construir um modelo 
de mesmo material, na escala linear de 1:10. Calcule a altura e a massa do 
modelo. 
 
2. Ensaia-se um modelo de vertedor construído na escala linear 1:10. Sendo a 
velocidade num ponto do modelo 1 m/s, qual será a velocidade no ponto 
correspondente do protótipo? 
 
3. Que força seria exercida pela água contra uma parede, se um modelo de 1m de 
comprimento, constituído na escala linear de 1:36, experimenta-se a ação de 
uma onda de força 10N? 
 
4. Um modelo de navio construído na escala linear 1:100, quando ensaiado em 
água doce (ρ = 1g/cm3), sofre a ação de uma força resistente de 10 N na 
velocidade de projeto. Calcule a correspondente força resistente das ondas do 
mar (ρ = 1030 g/cm3) no protótipo. 
 
5. Uma fábrica de locomotivas quer construir a título de propaganda, um modelo 
reduzido de suas locomotivas. O projetista do modelo recebe os seguintes dados: 
- comprimento da locomotiva = 16 m 
- velocidade, via horizontal e sem curvas = 80 km/h 
- potência da máquina = 3000 cv 
- peso da máquina = 1200 kN 
 
O modelo da máquina deverá ter 1 m de comprimento e será construído com o 
mesmo material da mesma. Determine a potência, velocidade e o peso do 
modelo. 
 
6. Tem-se uma locomotiva de comprimento 20m, peso 100kN e velocidade 20m/s, 
feita com material com massa específica 4000 kg/m3. Deseja-se construir um 
modelo para ser ensaiado em outro lugar que tenha peso 32kN, velocidade 576 
km/h e massa específica 8 g/cm3. Calcule o comprimento do modelo. 
 
7. Tem-se um veículo de comprimento 16m e peso de 400 kN, feito com material de 
massa específica 8 g/cm3. Deseja-se construir um modelo para ser ensaiado em 
outro local com 1m de comprimento e peso de 10 kN, feito com material de 
massa específica 800 kg/m3. Calcule a velocidade correspondente do veículo 
quando a do modelo for 40 km/h. 
 
8. Um veículo de comprimento de 3 m e peso de 20 kN funciona na Terra (g=10 
m/s2) com potência de 1000cv. Qual será a potência de um segundo veículo em 
outro planeta (g=5 m/s2). 
 
 
 
 
 
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 17 
Capítulo 2 – Estática do Movimento 
 
Vetores 
A matemática é o instrumento básico que os cientistas e engenheiros usam para 
descrever o comportamento dos sistemas físicos. 
As grandezas físicas que têm propriedades numéricas e propriedades de direção 
são representadas por vetores . 
Exemplos de grandezas vetoriais são; a força, a velocidade e a 
aceleração. 
As grandezas físicas que encontramos no nosso curso se 
enquadram em duas categorias: ou são escalares; ou são 
vetores . 
“Escalar” só tem módulo e não tem direção. Por outro lado, um 
“vetor” é uma grandeza física que deve ser definida não só em 
módulo, mas também em direção. 
O número de laranjas numa cesta é um exemplo de grandeza escalar. Se lhe 
disserem que 38 laranjas se encontram na cesta a informação identifica plenamente 
o objeto; não há necessidade de qualquer direção. Outros exemplos de escalares 
são a temperatura o volume, a massa e os intervalos de tempo. 
A força é exemplo de grandeza vetorial. Na descrição completa da força sobre um 
corpo, devemos especificar a direção da força aplicada e um número dimensional 
que indica o módulo da força. Ao descrevermos o movimento (velocidade) de um 
corpo, devemos especificar a sua rapidez e também a direção do movimento. 
Outro exemplo simples de grandezas vetorial é o deslocamento 
de uma partícula, definidocomo a mudança de posição da 
partícula. 
É importante acentuar que a distância percorrida por uma 
partícula é distintamente diferente do deslocamento da 
partícula. A distancia percorrida (grandeza escalar) é o 
comprimento da trajetória, que em geral é muito maior que o 
módulo do deslocamento. Além disso o módulo do 
deslocamento é a menor distancia entre os dois pontos 
terminais. 
 
 
 
 
 
 
fig. Quando uma partícula se move, de O até 
P, sobre a curva tracejada, seu vetor 
deslocamento é a seta de O para d. 
O 
d 
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 18 
Há muitas grandezas físicas, além do deslocamento, que são vetores. Entre elas, 
estão a velocidade, a aceleração, a força, o momento, as quais serão definidas 
posteriormente. 
“ Estratégia para resolução de Problemas ” 
 
Recomenda-se para efetuar a adição de dois ou mais vetores, o seguinte 
procedimento: 
1º. Escolher um sistema de coordenadas 
2º. Fazer um diagrama dos vetores que vão ser somados (ou subtraídos) 
identificando-se cada um deles. 
3º. Determinar os componentes “X” e “Y” de todos os vetores. 
4º. Achar os componentes resultantes e a soma algébrica dos 
componentes, nas direções x e y. 
5º. Usar o Teorema de Pitágoras para calcular o módulo de vetor 
resultante. 
6º. Usar uma função trigonométrica apropriada para achar o ângulo do 
vetor resultante com o eixo dos x. 
EXEMPLOS 
1. Achar as componentes horizontal e vertical do deslocamento de 100m de um 
super herói que voa do topo de um edifício alto, seguindo a trajetória que 
aparece na figura. 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
dx = 100 . cos 30º 
dy = - 100 sen 30º 
dx = 100 . 0,866 = 86,6m 
dy = - 100 . 0,5 = - 50,0m 
 
2. Uma excursionista principia um passeio com uma caminhada de 25km para 
sudeste, a partir do campo. No segundo dia, anda 40 km ao rumo 60º, ao norte 
do leste. Neste ponto encontra uma torre de vigia da guarda florestal. Determinar 
as componentes cartesianas dos deslocamentos da excursionista, no primeiro e 
no segundo dias. 
x 
dy 
y 
dx 
30º 
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 19 
 
SOLUÇÃO 
a) Se os vetores deslocamento forem A e B, no primeiro e no segundo dias, 
respectivamente, e se o campo de base for a origem das coordenadas, o gráfico 
dos vetores é o que se encontra na figura acima. O deslocamento A tem o 
módulo de 25,0 km e aponta no rumo 45º ao sul do leste. As suas componentes 
cartesianas são: 
Ax = A cos 45º = 25 . 0,707 = 17,7 km 
Ay = -A sen 45º = - 25 . 0,707 = 17,7 km 
O valor negativo de Ay, indica que a coordenada Y diminui nesse deslocamento. Os 
sinais de Ax e de Ay também são na figura. O segundo deslocamento B tem o 
módulo 40,0km e está no rumo 60° ao norte do leste. 
As componentes retangulares são: 
Bx = B cos 60º = 40 . 0,50 = 20,0km 
By = B sen 60º = 40 . 0,866 = 34,6km 
b) Determinar as componentes cartesianas do deslocamento total da excursionista, 
na caminhada completa. 
O deslocamento resultante da caminhada R = A +B tem as componentes 
dadas por. 
Rx = Ax + Bx = 17,7km + 20,0km = 37,7 km 
Ry = Ay + By = - 17,7 km + 34,6 km = 16,9 km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 20 
 
Objetivo : Definir “Força” 
 Compor “Forças Coplanares” 
 "Resultante de Forças Coplanares” 
 “Noções de Equilíbrio” 
 Introdução à “Estática” 
 “1ª e 3ª Leis de Newton” 
RESUMO DA AULA 
Forças 
Uma utilização importante da álgebra vetorial está na sua aplicação à composição 
de forças. 
A definição precisa de força será analisada quando discutirmos a dinâmica do 
movimento. Contudo para ganhar prática na manipulação de vetores, 
consideraremos agora o problema da composição de forças e, em particular, o 
equilíbrio de forças, problema este de vasta aplicação na engenharia. 
Admitiremos, provisoriamente, uma noção intuitiva de força, proveniente da 
experiência quotidiana como por exemplo, da força necessária para empurrar ou 
puxar uma determinada carga, da força exercida por algumas ferramentas, etc... 
Essa noção intuitiva sugere que uma força é uma grandeza vetorial, dotada 
consequentemente, de intensidade, direção e sentido. 
A experiência confirma que as forças se combinam de acordo com as regras da 
álgebra vetorial. 
Neste capítulo, consideraremos somente forças aplicadas a pontos materiais ( ou 
partículas ) e a corpos rígidos. 
Composição de Forças Coplanares 
Resultante R de um sistema de forças, é a vetorial das forças componentes do 
sistema: 
∑==+++= iFRFFFR n21
rrr
L
rrr
 
Duas forças F1 e F2 concorrentes ( Regra do Paralelogramo) 
φ⋅++= cosFF2FFR 21
2
2
2
1 
2
2
1
1
F
sen
F
sen
R
sen φ=
φ
=φ 
 
 
 
 
∅ 
∅1 
∅2 
1F
r
 
2F
r
 
R
r
 
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 21 
 
Casos particulares: 
a) forças de mesma direção e mesmo sentido 
 
 
 
b) forças de mesma direção e sentido oposto 
 
 
c) forças perpendiculares entre si 
1
2
F
F
tg =φ 
2
2
2
1 FFR += 
 
 
 
APLICAÇÕES 
1. Um barco navega para o norte com uma velocidade de 12 nós. Sabendo-se que 
a velocidade da maré é de 5 nós e dirigida para o oeste, calcular o módulo, 
direção e sentido do vetor velocidade resultante do barco. 
22 512R += � 25144R += � R = 13 nós 
 tg 42,012
5tg ==θ � θ = arc tg 0,42 
θ = 23º para oeste a partir do norte 
 
 
 
 
2. Decompor um vetor força, de 1000N, que forme um ângulo de 53° com a 
horizontal, em suas componentes vertical e horizontal. 
 
Fx = 1000 cos 53° = 1000 . 0,602 = 602 N 
Fy = 1000 sen 53° = 1000 . 0,799 = 799 N 
 
 
Existindo mais que duas forças, podemos usar: 
Método da Poligonal de forças (gráfico) 
 
2F
r
 
1F
r
 
R
r
 21 FFR += 
2F
r
 1F
r
 0 0 R
r
 12 FFR −= 
∅ 
2F
r
 
1F
r
R
r
Norte 
12 
R 
5 
θ 
Fy 
1000N 
53º 
Fx 
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 22 
Escolhe-se um sistema cartesiano Oxy conveniente e calculam-se as componentes 
cartesianas de cada força (Fix e Fiy). De acordo com as convenções usuais, as 
componentes cujos sentidos concordam com o eixo são positivas; caso contrário, 
são negativas. As componentes cartesianas Rx e Ry da resultante são 
perpendiculares entre si; somando-se vetorialmente essas duas componentes pela 
regra de paralelogramo, obtêm-se a resultante R. 
∑= FixRx ∑= FiyRy 
22 RyRxR += 
Rx
Ry
Tg =φ 
 
*** Lembre-se que uma força fica definida só quando conhecemos seu módulo, 
direção, sentido e o ponto de aplicação. 
 
APLICAÇÃO 
1. Achar a resultante dos vetores força coplanares, aplicados a um corpo num 
ponto A, de uma estrutura metálica 
º30cos11º45cos16º60cos1519Fx −−+=∑ 
5,93,115,719Fx −−+=∑ 
7,5Fx +=∑ N 
º30sen11º45sen16º60sen15Fx −−=∑ 
0,125,53,1113Fx −−+=∑ 
8,6Fx +=∑ N 
( ) ( )22 8,67,5R += 
9,8R = N 
12
7,5
8,6
Tg ==θ 
2,1tgarc =θ 
º50=θ 
Equilíbrio 
Esta e as demais aulas a seguir, tratam das condições em que um ponto material ou 
um corpo rígido, estão em equilíbrio . 
O termo “Equilíbrio ” significa que o corpo ou esta 
em repouso ou que seu centro de massa se move 
com velocidade constante. Trataremos dos corpos 
em repouso ou corpos em “equilíbrio estático ” 
y 
yR
r
xR
r
 
x 
R
r
φ 
5,7N 
6,8N R
r
 
∅ 
60º 45º 
30º 
y 
x A 
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 23 
 
Esta é uma situação comum na prática da engenharia, e os princípios invocados têm 
especial interesse para a engenharia civil, para os arquitetos e para os engenheiros 
mecânicos, que operam com diversos projetos estruturais, como, por exemplos os 
de pontes, edificações, máquinas, eixos etc. ... 
Estática 
“A Estática é a parte da Mecânica que estuda o equilíbrio dos corpos sob a ação de 
forças”. 
Relativamente ao referencial adotado um corpo se diz em equilíbrio, quando se 
apresenta em repouso (equilíbrio estático) ou executatranslação retilínea uniforme 
ou ambas combinadas (equilíbrio dinâmico). 
Em problemas comuns de Engenharia e Arquitetura pode-se considerar o equilíbrio 
em relação a um referencial preso à Terra (referencial de Foucault), desprezando-se 
os efeitos de rotação da Terra em relação às estrelas. 
Com “Estas Observações”, é intuitivo no que: 
“A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, é que a 
resultante de todas as forças externas que atuam sobre o mesmo seja nula, e que, o 
momento resultante de todas essas forças externas que atuam sobre o mesmo seja 
nula, e que, o momento resultante de todas essas forças externas, também seja 
nulo”. 
“1ª e 3ª Leis de Newton ” 
Antes de enunciarmos a primeira lei de Newton, 
consideremos a seguinte experiência simples. 
Suponhamos que um livro, esteja sobre uma mesa. 
É evidente que, na ausência de perturbações 
externas, o livro permanecerá sobre a mesa. 
Imagine agora alguém empurrando o livro com força 
suficiente que supere a do atrito, que é uma força 
que, em geral, se acha presente, entre o livro e a 
mesa. 
O livro pode ser mantido em movimento, com 
velocidade constante, se a força aplicada tiver 
módulo igual ao da força de atrito e direção oposta à 
força de atrito. Se a força aplicada por maior que a 
do atrito, o livro será acelerado. 
Se deixarem de empurrar o livro, ainda assim ele 
deslizará, até cera distância, mas acabará parando 
pois a força de atrito reduz seu movimento (ou 
provoca aceleração negativa). Imagina agora que o 
livro seja empurrado sobre uma mesa muito lisa, 
bem encerrada. O livro acabará parando, mas não 
rapidamente como antes. Se você puder imaginar a 
possibilidade de uma mesa tão lisa que não cause 
nenhum atrito, o livro, uma vez posto em movimento, 
só irá parar se encontrar algum obstáculo. 
 
 I
sa
ac
 N
ew
to
n 
 (
16
42
-1
72
7)
 
Físico e Matemático inglês, foi 
um dos mais brilhantes 
cientistas da história. Antes dos 
30 anos de idade, formulou os 
conceitos básicos e as leis da 
mecânica, descobriu a lei da 
gravitação universal e inventou 
os métodos matemáticos do 
cálculo 
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 24 
Nos idos de 1600, mais ou menos, os filósofos pensavam que o estado natural da 
matéria fosse o estado de repouso. Galileu foi o primeiro a defender um ponto de 
vista diferente sobre o movimento e o estado natural da matéria. Mediante 
experiências imaginadas, como a de um corpo em movimento sobre uma superfície 
sem atrito, concluiu que não é da natureza de um corpo parar uma vez posto em 
movimento, mas ao contrário, é de sua natureza resistir à desaceleração e à 
aceleração. 
Essa nova visão sobre o movimento foi formalizada posteriormente por Newton num 
enunciado que ficou conhecido como o da “primeira Lei de Newton”. 
“Um corpo em repouso permanecerá em repouso, e um corpo em 
movimento continuará em movimento, com velocidade constante 
(isto é, em movimento retilíneo e uniforme), a menos que sobre ele 
atue uma força externa resultante diferente de zero”. 
de maneira mais simples: 
“Quando a força resultante que atua sobre um corpo é nula, a sua 
aceleração é nula”. 
ou seja: 
“ Quando F = 0 então a = 0 ” 
 
A terceira lei de Newton afirma que quando há interação de dois corpos, a força que 
o corpo 2 exerce sobre o corpo, 1 é igual e oposta à força que o corpo 1 exerce 
sobre o corpo 2. Isto é 
 
F12 = - F21 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terceira Lei de Newton 
 
Terceira Lei de Newton. (a) A força de um 
corpo 1 sobre um corpo 2 é igual e oposta à 
força do corpo 2 sobre o corpo 1. (b) A força 
do martelo no prego é igual e oposta à força 
do prego sobre o martelo. 
 
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 25 
 
Objetivo : Enunciar, explicar e aplicar o “ Teorema de Lamy ” 
 Vínculos (reações vinculares) 
Teorema de Lamy 
“Um sólido quando em equilíbrio, sob a ação de apenas três forças externas, não 
paralelas, o módulo de cada uma das forças é proporcional ao seno do ângulo 
formado entre as outras duas forças”. 
 
 
γ
=
β
=
α sen
F
sen
F
sen
F 321 
 
 
 
 
 
Vínculos, Reações Vinculares 
VÍNCULO: qualquer elemento que restrinja os movimentos de um corpo. 
REAÇÃO VINCULAR: é a força com a qual o vínculo atua sobre o corpo. 
A introdução das reações vinculares geralmente facilitam a solução de um 
determinado problema, uma vez que, introduzindo-as, não mais é necessário 
preocupar-se com os vínculos, pois o efeito mecânico deles passará a ser 
representado pelas reações vinculares. 
a) fio ideal e flexível, inextensível e possui massa desprezível. A força exercida por 
um fio ideal é sempre de tração; o fio somente pode tracionar, nunca empurrar. 
O fio transmite a força aplicada em um extremo para o outro. 
 
 
 
 
 
b) superfícies ideais – (perfeitamente lisas) 
Uma superfície é lisa quando se pode desprezar em primeira aproximação, o 
atrito de um corpo sobre ela. 
Desse modo, uma superfície lisa, somente impede o corpo de se movimentar 
na direção da perpendicular comum às superfícies dos corpos em seu ponto de 
contato. Assim a reação N
r
 de uma superfície lisa, ou de um apoio, é de 
compressão e tem direção da normal comum às superfícies dos corpos. 
1 2 
T1 T2 
T1=T2 
3F
r
 
sólido 
1F
r
2F
r
 
α
β 
γ
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 26 
Quando uma das superfícies de contato é um ponto, a reação normal N
r
 tem a 
direção da normal à outra superfície BN
r
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) superfícies reais (ásperas) - Considerar um corpo apoiado sobre uma superfície 
áspera S; a superfície exerce no corpo uma força de contato F
r
, que admite uma 
componente normal N
r
de compressão e uma componente tangencial Fat, 
denominada força de atrito de escorregamento. 
Força de atrito de escorregamento é a componente tangencial da força de 
contato entre os corpos; ela contraria o deslizamento ou a tendência de 
deslizamento de um corpo sobre o outro. 
As forças de atrito se desenvolvem porque a superfície de um sólido real 
sempre apresenta asperezas, mesmo que sejam microscópicas. 
O atrito se diz estático quando não há deslizamento, é dinâmico quando há 
deslizamento das superfícies em contato. 
 
APLICAÇÕES: 
1. Considere os sistemas em repouso indicados nas figuras. Calcule as forças 
tensoras nos fios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
BN
r
AN
r
N
r
 
T3 
T2 
T1 
T4 
100 N 
100 N 
53° 
37° 
(a) 
37° 
T1 
T2 
T3 
T4 
53° 
53° 
100 N (b) 100N 
T1 T2 
T4 
T3 
45º 60º 75º 
30º 
(c) 
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 27 
 
 
SOLUÇÃO: 
C) 
º30sen
100
º165sen
T
º165sen
T 43 == 
º30sen
º165sen
100TT 43 ⋅== 
º30sen
º165sen
100TT 43 ⋅== 
 
D) 
º75sen
T
º135sen
T
º150sen
T 312 == 
N8.26
º75sen
º150sen
8,51T2 =⋅= 
N9,37
º75sen
º135sen
8,51T1 =⋅= 
 
QUESTÃO – Despreze os atritos e considere o sistema da figura. A esfera pesa 100 
N, o bloco A pesa 20 N e a reação do ponto D vale 75 N. Calcule a reação no ponto 
C e o peso do bloco B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30º 
165º 165º 
T4 
T3 
75º 
135º 150º 
T2 
T1 
T3 
A 
D 
B 
30º 
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 28 
 
COMPLEMENTAÇÃO DA AULA 
REFERENCIAIS INERCIAIS - LEI DA INÉRCIA 
A primeira Lei de Newton, também chamada lei da inércia , define um conjunto 
especial de sistemas de coordenadas denominadas, referenciais inerciais. 
“Um referencial inercial é um referencial em que é válida a primeira lei de Newton”. 
Um sistema de coordenadas que tem velocidade constante em 
relação às estrelas muito distantes é a melhor aproximação que 
se tem um referencial inercial. A Terra não é um referencial 
inercial, em virtude do movimento de translação em torno do 
Sol e também do movimento de rotação em torno do seu eixo. 
Quando a Terra percorre sua órbita quase circular emtorno do Sol, tem uma 
aceleração centrípeta, dirigida para o Sol, da ordem de 4,4 . 10-³m/s². 
Alem disso uma vez que a Terra gira em torno do seu eixo, uma vez a cada 24h um 
ponto do equador terrestre tem uma aceleração centrípeta adicional de 
3,37 . 10-²m/s², dirigida para o centro da Terra. Essas duas aceleração são 
pequenas em relação à aceleração da gravidade g (9,80m/s²) e podem-se, muitas 
vezes, ser desprezadas. 
Na maioria das situações, vamos admitir que a Terra seja um referencial inercial. 
Assim, se um corpo estiver em movimento retilíneo e uniforme ( v = 
constante ), um observador num referencial inercial (por exemplo, 
um referencial que esteja em repouso em relação ao corpo) dirá que 
a aceleração do corpo e a força resultante que atua sobre o corpo 
são nulas. 
Um observador em qualquer outro referencial inercial também dirá que a = 0 e F = 0, 
para o mesmo corpo. Então a primeira lei afirma que são equivalentes um corpo em 
repouso e um outro que se move com velocidade constante. 
A menos que se diga outra coisa, vamos escrever, usualmente, as leis do 
movimento em relação a um observador “em repouso” num referencial inercial. 
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 29 
 
Objetivo : Introduzir noções de “Equilíbrio” 
RESUMO DA AULA 
Se um corpo estiver estacionário e permanecer estacionário, diz-se que o corpo está 
em equilíbrio estático. 
A determinação das forças que atuam sobre um corpo em equilíbrio estático tem 
muitas aplicações importantes, particularmente em Engenharia. 
Por exemplo, as forças exercidas pelos cabos de uma ponte pênsil precisam ser 
conhecidas a fim de que os cabos sejam projetados de modo a poder suportá-las. 
Analogamente, os guindastes devem ser projetados de modo a não tombarem, ao 
içarem uma carga. 
As colunas que sustentam uma ponte suspensa precisam ser suficientemente fortes, 
para não desmoronarem devido ao peso da ponte e ao tráfego que passa sobre ela; 
o trem de pouso de uma aeronave não poderá quebrar se o piloto fizer uma 
aterrissagem ruim; uma cadeira não pode ruir ou tombar quando nos sentamos nela. 
Em todos os problemas desse tipo, o projetista se preocupa com o fato de que todas 
estas estruturas, supostamente rígidas permaneçam rígidas sob a ação de forças e 
torques associados. 
Noção de Equilíbrio Estático 
Sabemos que a quantidade de movimento ou movimento linear são dadas por: 
vmp
rr
= 
Por outro lado, força também pode ser definida como sendo o agente capaz de 
modificar o vetor p em relação ao tempo, portanto se 
0
dt
dp ≠ ⇒ tem força externa 
0=
dt
dp
 ⇒sem força externa 
m
dt
dp = 
dt
dv
 0=
dt
dmv
 
Quando a massa (m) é constante e o vetor v também, temos que v não varia nem 
de intensidade nem de direção. 
Se v constante é igual à zero 
0Fext = 
 
 
 
 
 
 
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 30 
 
Equilíbrio Estático 
Algumas Considerações sobre Momento Linear e Momento angular 
Momento Linear de Uma Partícula; 
 
Momento linear de uma partícula é um 
vetor p definido como o produto da 
massa m pela sua velocidade v 
 
p = m . v 
A taxa de variação do momento linear de um corpo é igual à força resultante que 
atua nesse corpo e tem a mesma direção e sentido desta força. 
Ou seja: ∑F = dt
dp
 
Onde F representa a força resultante que atua na partícula. 
O momento linear é útil quando tratamos de movimento de translação de partículas 
ou sistema de partículas, incluindo corpos rígidos. 
Por exemplo: há conservação do momento linear nas colisões 
Momento Angular de Uma partícula 
No caso do movimento de rotação, o análogo do movimento linear é chamado de 
momento angular e é definido a seguir, para o caso especial de uma partícula. 
Considere uma partícula de massa m e momento linear p na posição r de um 
referencial inercial. Por conveniência escolheremos os eixos x y para definirem p e 
r (vide figura). 
 
 
Definimos momento angular L da partícula em relação à origem 0 por L = r x p 
O momento angular é um vetor. 
 
Enfatizando as Condições de Equilíbrio (importantís simo) 
 
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 31 
 
Um corpo rígido como uma cadeira, uma ponte ou um edifício, é dito estar em 
equilíbrio mecânico se, visto de um referencial inercial, tanto o momento linear, como 
o momento angular do corpo rígido, tiverem um valor constante. 
A definição de equilíbrio mecânico não exige que o corpo esteja em repouso, ou seja 
p e L não têm necessariamente o valor constante ou igual a zero. 
Se eles forem iguais a zero, então teremos a situação de “Equilíbrio Estático”. 
Neste capítulo, procuramos as restrições que devem ser impostas às forças e aos 
torques que agem no corpo para ocasionar uma condição de equilíbrio. 
O movimento de translação do centro de massa de um corpo rígido é dado pela 
equação. 
dt
dp
Fext =Σ
r
 
Onde =Σ extF
r
 soma de todas as forças externas que agem sobre o corpo. 
Se p tiver qualquer valor constante, inclusive zero, teremos: 
dt
dp
 = 0 
Logo a primeira condição de equilíbrio é que “a soma vetorial de todas as forças 
externas que agem em um corpo deve ser nula”. 
Ou seja: =Σ extF
r
0 
É uma equação vetorial que num corpo rígido é dado pela expressão: 
=Σ extF
r
dt
dL
 
onde extF
r
Σ = soma de todos os torques externos que agem sobre o corpo. 
Se o momento angular L tiver qualquer valor constante, inclusive zero, teremos 
dt
dL
 = 0 
logo a segunda condição de equilíbrio é: “a soma vetorial de todos os torques 
externos que atuam em um corpo, deve ser nula”. 
Ou seja ∑ T ext = 0 
É uma equação vetorial que corresponde a três escalares. 
∑ t x = 0 ∑ t y = 0 ∑ t z = 0 
 
Freqüentemente lidamos com problemas em que todas as forças estão no mesmo 
plano. 
 
 
Neste caso as condições de equilíbrio se reduzem a: 
∑ F x = 0 ∑ F y = 0 
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 32 
 
E se calcularmos torques em relação a um ponto que também esteja no plano xy, 
todos os torques deverão ser perpendiculares ao plano xy. 
Neste caso teremos ∑ T z = 0 
 
Aplicação 
1 – Uma viga uniforme de comprimento L, cuja massa m é de 1,8 kg, repousa com 
as suas extremidades sobre duas balanças digitais, conforme a figura. Um bloco 
cuja massa M é de 2,7 kg repousa sobre a viga, o seu centro situado a ¼ do 
comprimento da viga, em relação à extremidade esquerda. Quais as leituras das 
balanças? 
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 33 
 
 
Objetivo : Resolução de Exercícios, visando Equilíbrio Estático. 
 Aplicações Gerais 
RESUMO DA AULA 
1º Despreze os atritos e considere o sistema em equilíbrio indicado na figura. A 
esfera pesa 100 N e o bloco A 200 N. Calcule o peso do bloco B e a reação da 
parede vertical sobre a esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução : 
Obtém-se facilmente que: 
equilíbrio de A: tração 
TA = PA sem 45º 
 
equilíbrio de B: tração 
TB = PB 
 
equilíbrio de esfera: 
 
 
∑ Fx = 0 TA cos45º - TB cos30º - Nc = 0 
 
200 0100
2
1
2
2
.
2
2 =−+ PB 
B 
A 
45° 
45° 
30° 
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Código da Disciplina: 1EB176 – FÍSICA I 
 34 
 
Calcula-se Nc = 100N 
 PB = 0 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
Considere os sistemas em repouso indicados na figura. Calcule as reações em cada 
esfera, sabendo-se que elas são idênticas e tem peso de 48 N cada uma. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Na figura representa-se uma esfera de peso 1000N, presa a um fio e apoiada em um 
plano inclinado liso. Calcule a tração no fio e a reação do plano inclinado sobre a 
esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
∑F x = 0 
∑F y = 0 
P sen45º - T cos15º = 0 
N – P cos45º - T sen15º = 0 
Obtém-se: 
T = 732N 
N = 897N 
D 
A C 
37° 
D 
C 
A 
E 
B 
F 
20° 
45° 
45° 
15° 
15° 
45° 
T 
N
P
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Código da Disciplina: 1EB176 – FÍSICA I35 
PROBLEMA PROPOSTO 
Considere a figura. Calcule a força horizontal F aplicada ao centro de uma esfera 
de peso P = 1000N e raio r = 15 cm, necessária para arrastá-la sobre o obstáculo de 
altura h = 3cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
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 36 
 
Objetivo : Definir "Atrito Estático " - aplicações 
 Definir "Atrito Dinâmico " - aplicações. 
RESUMO DA AULA 
Atrito Estático 
Só aparece quando há tendências de um corpo se deslocar sobre o outro. 
O sentido da atF
r
 que um corpo A exerce sobre o outro B, e' sempre oposto ao do 
movimento que as demais forças agindo sobre B tentam lhe imprimir. (movimento 
relativo ao corpo A). 
atF
r
 está compreendida entre zero e um máximo, denominado "força de destaque" e 
dF
r
 é observada na iminência de movimento, superada a força de destaque vem o 
deslizamento. 
NFF edestaquemáxat ⋅== µ 
NestáticoF eat ⋅≤≤ µ.0 
Atrito Dinâmico 
Só aparece quando uma superfície desliza pressionada umas contra as outras. 
O sentido da força de atrito dinâmico que um corpo A exerce sobre um corpo B, é 
sempre oposto ao movimento de B em relação a A. 
NF datdinâmico ⋅= µ 
O símbolo .dµ representa um número denominado coeficiente de atrito dinâmico 
correspondente ao par de superfícies em contato. Tal coeficiente é sensivelmente 
independente da área das superfícies em contato e da velocidade de uma em 
relação a outra. Para um mesmo par de superfícies a experiência mostra que 
.dµ < .eµ 
Nas questões onde não se especifica se o coeficiente de atrito fornecido é o estático 
ou dinâmico, deve-se considerar 
ed µ=µ 
 
Costuma-se escrever as duas equações que fornecem as forças de atrito sem o 
índice de particularização: 
N.Fat µ= 
 
Exercício : 
Calcule o peso do corpo x para manter os sistemas em equilíbrio nas 
posições indicadas nas figuras. 
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 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 
Considere a figura. Os blocos A e B têm os pesos indicados. Calcule o peso do 
bloco C para manter o sistema em repouso 
Corpo (A) 0=∑ xF atfTA = 
0=∑ yF NPANA 1000== 
Nafat µ≤≤0 portanto 
N200T0 A ≤≤ 
Corpo (C) 0=∑ yF PcTc = 
Corpo (B) 0=∑ xF °+= 30senPBTATc 
200
50400
+=
×+=
TAPc
,TAPc 
N200TA = N)máx(Pc 400200200 =+= 
0=TA N200(min)Pc = 
Para o repouso do sistema NPcN 400200 ≤≤ 
Complementação da Aula : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As observações experimentais se resumem nas seguinte leis do atrito. 
1ª) A força de atrito estática entre duas superfícies em contato é oposta à força 
aplicada e pode ter valores dados por: 
Nfs s ⋅= µ 
1000 N 
300 
X 
µ = 0,2 
450 
X 12 N 450 
10 N 
µ = 0,5 
450 
 
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 38 
 
onde a constante adimensional us é o coeficiente de atrito estático e N é a força 
normal. O sinal igual da equação acima, vale quando o bloco está a pique de iniciar 
o deslizamento, isto é, quando: 
Nfsfs smáx ⋅== µ 
A desigualdade prevalece quando a força aplicada é menor que esse valor. 
2ª) A força de atrito cinético atuando sobre o corpo tem direção oposta à do 
movimento e esta representada por: 
Nf kk .⋅= µ 
onde kµ é o coeficiente de atrito dinâmico 
3') Os valores de kµ e de sµ dependem da natureza das superfícies, mas kµ é, em 
geral, menor que sµ . Os valores típicos de µ estão entre cerca de 0,05, em 
superfícies lisas, e 1,5 em superfícies rugosas. A tabela registra alguns valores 
medidos. 
Tabela 5.2 Coeficientes de Atrito (Todos os valores são aproximados) 
 sµ kµ 
Aço sobre aço 0,74 0,57 
Alumínio sobre aço 0,61 0,47 
Cobre sobre aço 0,53 0,36 
Borracha sobre concreto 1,00 0,80 
Madeira sobre madeira 0,25-0,5 0,20 
Vidro sobre vidro 0,94 0,40 
Madeira encerada sobre neve molhada 0,14 0,10 
Madeira encerada sobre neve seca - 0,04 
Metal sobre metal (lubrificados 0,15 0,06 
Gelo sobre gelo 0,10 0,03 
Teflon sobre teflon 0,04 0,04 
Juntas sinoviais, nos homens 0,01 0,003 
Todos os valores são aproximados 
 
 
 
 
 
 
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 39 
 
Objetivo : Definir "Articulações " - Conexões de Pino 
RESUMO DA AULA 
O corpo indicado na figura, articulado mediante um pino cilíndrico, pode girar 
livremente ao redor do eixo e do pino; entretanto, o ponto 0 ligado ao pino não pode 
deslocar-se em nenhuma direção perpendicular ao eixo do pino. Por isso, a reação 
F
r
de um pino cilíndrico pode ter qualquer direção perpendicular ao seu eixo. 
Desconhecem-se, portanto, a intensidade F
r
 e a direção F
r
. Usualmente opera-se 
com as componentes cartesianas xF
r
 e yF
r
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fx
Fy
 o 
FxF
o sen FFy
o cos 
22
=/
+=
/=
/=
tg
Fy
FFx
 
 
Os sinais de Fx e Fy :obtidos mediante cálculos, através das equações de equilíbrio, 
confirmam ou não os sentidos adotados para xF
r
 e yF
r
:. 
APLICAÇÕES 
Exercícios: 
1. Nos sistemas em repouso indicados nas figuras, o peso do corpo Suspenso vale 
1k N e o peso da barra articulada é desprezível. Calcule as reações nos pontos A e 
B. 
 
 
 
 
 
 
 
Fx
Fy F 
o/ 
B 
A • 
(a) 
30° 
Fio C 
• 
B 
A 
Fio 
C 45° 
60° 
• 
30° 45° 
Fio 
C 
A B 
(b) 
(c) 
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 40 
 
Exercício Resolvido 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 1730
2
3
 2000 30 cosRA T
N 2000
2000
5,0
1000
30 
1000
0 1000 - 30 sen 
0 T - 30 cos 
=
⋅=°=
=
==
°
=
=°=
=°=
∑
∑
T
RA
sen
RA
RAFy
RAFx
 
 
2. Considere a figura; o peso da barra é desprezível. Conhecendo-se a força 
tensora em um dos fios, calcule a força tensora no outro fio e a compressão da barra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução : 
A barra está sujeita à ação de 4 forças, pois seu peso é desprezado. As 3 forças 
concorrem no ponto D; logo a 4ª força, a reação da articulação F também deve 
concorrer em D
r
. Deduz-se que a força F
r
 tem a direção da barra. 
• 
(a) 
B 
A 
30° 
Fio 
1000 N 
30° 
1000 N x 
y 
T 
RA 
• 
C 
A 
400 N 
D 
45° 
30° 
100 N 
B 
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 41 
 
∑ = 0Fx °+=° 4510030 cosTsenF 
∑ = 0Fy 4004530 =°+° senTcosF 
resolvendo 
NT
NF
117
366
=
=
 
(b) 
N,T
N,F
574
6250
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 42 
 
Objetivo : Introduzir noções sobre o "Equilíbrio do Corpo Rígido ". 
RESUMO DA AULA 
Corpo Rígido 
Corpo Rígido ou sólido perfeito é aquele que não se deforma quando submetido a 
ação de forças; admite-se que a distancia entre seus pontos seja invariável. 
***, Na realidade todos os corpos são deformáveis, podendo se plásticos 
(deformação persiste após ,cessada a força) e elásticos (volta a sua configuração 
natural, após cessada a força). Os corpos deformáveis senão estudados na 
Resistência dos Materiais. 
Momento Polar de Força 
Um corpo sujeito á ação de uma força, além de sofrer transformação pode girar em 
tomo de um ponto. Essa rotação é medida por meio do momento dessa força em 
relação ao polo. (momento escalar) 
Momento escalar : b.Fbraço)F(M ±=±=
r
0 
"É o produto da força (F) pelo braço b, precedido pelo sinal + ou - o qual depende do 
sentido de rotação da força". 
 
É usual: sinal + � momento no sentido anti-horário 
 Sinal - � momento no sentido horário 
***braço = é sempre a menor distância que vai da linha ação da força, até o polo. 
***quando a linha de ação da força passa pelo polo, o braço é nulo, portanto o 
momento é nulo. 
***unidade de M (momento) é no SI o Newton . metro (N.m). 
 
Condições Gerais de Equilíbrio para o Corpo Rígido 
DEFINIÇÃO DE EQUILÍBRIO 
Um corpo está em equilíbrio em relação a translação quando está em repouso ou 
quando se acha animado de movimentoretilíneo e uniforme. 
Igualmente o equilíbrio relativo à rotação correspondente ao de um corpo desprovido 
de rotação ou animado, de uma rotação uniforme em torno de um eixo. 
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 43 
 
Um corpo sobre o qual age um sistema de força esta em equilíbrio, quando tal 
sistema de forças aplicadas simultaneamente não produz mudança alguma em seu 
movimento de translação (retilínea) nem no de rotação. 
Condições de Equilíbrio Sob a Ação de Forças Coplan ares Paralelas. 
1.a. "A soma das forças aplicadas a um corpo numa direção qualquer deve ser nula". 
Isto quer dizer que a soma das forças para cima é igual à das forças para baixo e o 
mesmo para as forças agindo em outras direções, tais como para a esquerda, para a 
direita etc... 
 
Quando é preenchida esta condição, nenhuma força está desequilibrada e, portanto 
este não possuirá aceleração linear, ou seja, o sistema de forças não produzirá 
modificação alguma no movimento linear ou de translação do corpo. 
 
1.b. A soma algébrica do momento de todas as forças aplicadas a um corpo com 
relação a um eixo perpendicular ao plano que as contém deve ser zero. 
 
Isto quer dizer que a soma dos momentos relativo a um eixo qualquer no sentido dos 
ponteiros do relógio é igual A soma dos momentos em sentido contrário, relativo ao 
mesmo eixo. 
 
Verificando-se esta condição nenhum momento ou conjugado aplicado ao corpo 
estará desequilibrado e portanto este não possuirá aceleração angular. Em outras 
palavras o sistema de momentos não produzira' modificação alguma no movimento 
angular ou de rotação do corpo. Se inicialmente ele se encontrava em repouso 
continuará neste estado indefinidamente e se inicialmente possuía um movimento de 
rotação, continuará com ele na mesma velocidade angular (movimento de rotação 
uniforme). 
 
Observação : Centro de Gravidade de um corpo: é o ponto no qual se pode 
considerar concentrado todo o seu peso; isto é, a direção ou linha de ação do peso 
passa pelo centro de gravidade. 
Uma força vertical, com sentido para cima, cujo módulo seja igual ao peso do corpo, 
aplicada ao seu centro de gravidade, manterá o corpo em equilíbrio. 
 
 
APLICAÇÃO 
1. Achar o comprimento dos braços de uma balança de 36cm de largura sabendo 
que permanece em equilíbrio. Quando de suas extremidades pendem dois pesos 
10 N e 20 N , respectivamente. Supõem-se que a balança não tem peso e está 
em equilíbrio. 
 
 
 
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 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0106320
03601020
=−+−=
=−+−=
x,.xM
x),(.xM
A
A 
mx
x
x.x
12,0
6,330
6,31020
=
−=−
−=−−
 
Obs.: Note que este exercício enuncia que o sistema está em equilíbrio, daí 
impormos a condição de equilíbrio de rotação universal ∑ = 0AM 
Problemas Propostos 
1. Uma viga uniforme, horizontal, de comprimento 8 m e peso 200 N, está fixa a 
uma parede vertical por uma articulação que permite a sua rotação num plano 
vertical. Na outra extremidade, a viga esta suportada por um cabo que faz um 
ângulo de 53° com a horizontal. Se uma pessoa de 60 0 N estiver a 2 m da 
parede, calcular a tensão no cabo e a força exercida pela viga sobre a parede. 
 
(a) viga uniforme suportada por um cabo. 
(b) Diagrama de forças desta viga. 
 
Resp.: 
NR
º,
NT
518
171
313
=
=θ
=
 
2. Uma escada uniforme, de comprimento l e peso W=50N está encostada numa 
parede vertical, lisa. O coeficiente de atrito estático, entre o pé da escada e o 
solo, é 400,=µ . Achar o ângulo mínimo, θ mínimo, tal que a escada não 
escorregue. 
0,36 m 
10 N 
20 N A 
0,36 - x X 
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 45 
 
(a) Escada uniforme, em repouso, apoiada em uma parede lisa. O solo oferece 
atrito. 
(b) Diagrama de forças da escada. Observe que as forças R, W e P passam pelo 
ponto comum 0'. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Objetivo : Resolver problemas que envolvem o conceito de "Momento" (Torque). 
RESUMO DA AULA 
1. Considere a viga abaixo submetida as forças indicadas, calcule a resultante bem 
como seu ponto de aplicação; 
 
a) Resultante 
−↓
+↑ N10020530R −=−−−−= 
 o sinal "-" que dizer que a resultante é para baixo 
 o sinal "-" que dizer que a resultante é para baixo 
b) Ponto de aplicação 
 
O M0 da resultante R será igual ao M0 de todas as outras forças aplicadas á viga. 
m920
100
92
305012100
5102015040030
,x
x
x
,.,,.,.x.R
=
=
−−−=−
−−−=−
 
então a resultante R está aplicada a 0,92m de 0 
2. Dobra-se um perfil uniforme de ferro de 40cm de comprimento em ângulo reto, 
obtendo-se um perfil L de 15 x 25cm. Se se suspende a vara assim dobrada 
como se indica na figura, achar o ângulo que formará com a vertical o lado que 
mede 25cm quando o sistema se achar em equilíbrio. 
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 MP=0 
0x15x25 12 =ω+ω− (I) 
Seja ω o peso por cm de perfil, dai 15 ω e 25 ω 







φ==φ
φ==φ
sen5,7x 
5,7
x
cos
sen5,12x 
5,12
x
sen
1
1
2
2
 substituindo em I 
36,0tg
5,312
5,112
cos
sen
cos5,112sen5,312
cos5,7.15sen5,12.25
=φ
=
φ
φ
φ−=φ−
φω−=φω−
 
portanto 
°≅φ
°=φ
20
8019,
 
Problemas propostos : 
1. O conjunto indicado na figura é estático. A viga homogênea pesa 400 N. Tem-se 
AC =0,9m e BC = 0,7m. Calcule as reações sobre a viga em; A e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
D 
C 
A 
53º 
FIO 
100 N 
•••• 
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 48 
2. 0 sistema indicado na figura é estático. A barra homogênea vertical tem peso 20 
N e a esfera homogênea 75 N. Tem-se AC =100cm; AB =60cm e AE =40cm. 
Despreze os atritos e calcule as reações em A, C, D e E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício proposto : 
Deseja-se fazer um cilindro, de peso W e R, subir um degrau de altura h, como 
mostra a figura. Uma corda está enrolada no cilindro e é puxada na horizontal. 
Admitindo que o cilindro não escorregue no degrau achar a força mínima necessária 
F para fazer o cilindro vencer o degrau e calcular a força de reação em P. 
 
(a) Cilindro, de peso W, puxando por uma força F contra um degrau. 
(b) O diagrama de forças do cilindro, quando estiver a pique de subir o degrau. 
(c) A soma vetorial das três forças externas é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80
N 
53º 
F 
B 
E 
C 
D 
•••• •••• 
Fio 
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Capítulo 3 – As Leis do Movimento 
 
Objetivo: 
• Conceituar Força 
• Primeira Lei de Newton 
• Massa Inercial 
• Segunda Lei de Newton (A Partícula sob a Ação de uma Força Resultante) 
• Terceira Lei de Newton 
 
Resumo da Aula: 
 
A Dinâmica é a parte da Mecânica que relaciona os movimentos dos corpos com 
as causas que os produzem. 
Neste capítulo resolveremos os seguintes problemas: 
• Quais as condições que devem existir para que uma partícula tenha um 
dado movimento; 
• Que movimento uma partícula realiza sobre certas condições. 
A palavra partícula é usada como sinônimo de ponto material, ou seja, como 
um corpo cujas dimensões são desprezíveis em relação ao comprimento de sua 
trajetória. 
Pela experiência sabemos que o movimento de um corpo é o resultado de 
sua interação com os outros corpos que o cercam. As interações são 
convenientemente descritas por um ente chamado força. 
 
A Dinâmica tem por base um conjunto de princípios que são muitas vezes 
designados pelo nome de Leis de Newton do Movimento. Lembre-se que os 
princípios da Dinâmica são enunciados em relação a sistemas de referenciais 
desprovidos de aceleração (sistemas inerciais) 
São eles: 
 
Princípio da Inércia (1ª Lei de Newton) 
Se um corpo estiver em repouso (((( ))))ov ==== , tende a ficar em repouso (equilíbrio 
estático). 
Se um corpo estiver em movimento retilíneo e uniforme( )ctev = tende a ficar 
realizando esse movimento (equilíbrio dinâmico), ou seja: “Uma partícula não pode 
modificar, por si só, o seu estado de movimento”. 
 
ou seja: sob a ausência ov = - repouso (equilíbrio estático) 
de forças ctev = - movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio 
dinâmico) 
Obs.: Este princípio é aproveitado no lançamento de naves espaciais. 
As mesmas são lançadas de tal maneira que uma vez livres da resistência do 
ar da atração da Terra, tenham velocidade dirigida para o astro que devem atingir. 
A nave espacial manterá essa velocidade durante dias, meses, anos até 
entrar no campo gravitacional do astro ou até que o centro do controle provoque o 
disparo de foguetes da astro-nave para modificar sua velocidade. 
 
 
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Princípio da Proporcionalidade ou Principio Fundame ntal da Dinâmica (2ª Lei 
de Newton) 
 Uma partícula sujeita à ação de uma força adquire uma aceleração com as 
seguintes características: 
• Módulo: proporcional ao módulo da força 
• Direção: a direção da força 
• Sentido: o sentido da força 
Imagine uma experiência onde uma partícula é submetida sucessivamente a 
diferentes forças, esquematizando: 
 
 1F 1a 
 
 2F 2a 
 
 3F 3a 
 
 
 nF na 
 
verifica-se que: 
n
n
a
F
a
F
a
F
a
F
================ LL
3
3
2
2
1
1
 = constante 
 Esta constante recebe no nome de massa inercial da partícula ou 
simplesmente massa da partícula, sendo representada por um m. 
 Quanto maior a massa de uma partícula, maior a sua inércia. Assim sendo é 
mais fácil empurrar uma caixa de fósforo, do que um caminhão. Da mesma forma, é 
mais fácil parar uma bola em movimento do que um carro também em movimento. 
m
a
F
a
F
a
F
a
F
n
n
==================== LL
3
3
2
2
1
1
 então m
a
F
==== ou seja amF = 
 
portanto, levando em conta a natureza vetorial teremos a Equação Fundamental da 
Dinâmica amF = 
 
 Princípio da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) 
 “A toda ação corresponde uma reação de mesmo módulo, mesma direção e 
sentido oposto”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 51 
 
 Note que a ação e reação jamais atuam sobre a mesma partícula, pois isto 
violaria o princípio da proporcionalidade entre força e aceleração. 
 
 Referencial Inercial 
 São aqueles em relação aos quais vale o princípio da inércia. São referenciais 
inerciais: 
a) Referencial de Copérnico ou referencial inercial primário: é formado por 
três eixos rígidos com origem no centro de gravidade do sistema solar 
(praticamente centro do Sol) e dirigido para as “estrelas fixas”. 
 
b) Referencial de Galileu ou referencial inercial secundário: é todo referencial 
que se translada retilínea e uniformemente em relação a referência de 
Copérnico. 
c) Referencial de Focault: é todo referencial rigidamente ligado à Terra. Tal 
referencial não é inercial, mas comporta-se como tal, quando a duração do 
movimento é pequena em comparação com o dia, e a extensão da 
trajetória é pequena quando comparada ao raio da Terra. 
Salvo expressa declaração contrária fica subentendido que o referencial 
adotado seja inercial, ou que possa ser considerado como tal. 
 
Movimento Retilíneo. Segunda a Lei de Newton do Mov imento. 
Se a força resultante exercida na partícula for não nula, a aceleração é não 
nula. No caso particular de a força resultante e a velocidade terem direções iguais, a 
aceleração e a velocidade têm direções iguais e o movimento é retilíneo; a Dinâmica 
Retilínea pode ser tratada escalarmente. 
Se escolhermos o eixo Ox coincidindo com a trajetória da partícula de massa 
m, a aceleração na direção Oy será nula e os componentes serão escalares. 
 
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Dinâmica 
 
Objetivo : Aplicação da 2 a Lei de Newton 
 
Resumo da Aula : Resolução de Exercícios 
1. Um corpo de massa m=5 kg encontra-se em repouso, sobre um plano horizontal 
liso. Em determinado momento, é aplicada ao corpo uma força horizontal F de 
intensidade 10 N. Determine, 2 segundos após a aplicação da força: 
a) a aceleração do corpo 
b) a velocidade do corpo 
c) a distância percorrida pelo corpo 
 
Solução 
Da 2ª Lei de Newton podemos concluir que sendo cte a força aplicada ao 
corpo a aceleração também será, portanto o corpo adquire um movimento 
uniformemente acelerado. 
a) F = ma 
10 = 5 a 
 a = 2 m/s2 
b) no MUV a velocidade é: 
v = vo + at vo = 0, pois o corpo se achava em repouso 
v = a.t 
v = 2.4 = 4 m/s 
c) para MUV a equação horária é: 
S = So + vot + ½ at
2 
So = 0, isto é o início da contagem dos tempos, coincide com a dos 
espaços vo = 0 
S = ½ at2 
S = ½ .2.4 = 4 m 
 
2. Um corpo de massa m = 50 kg acha-se sobre um plano horizontal liso e possui 
uma velocidade v = 10 ms. Em determinado instante aplica-se a este corpo uma 
força horizontal F, oposta ao movimento do corpo e com intensidade de 100 N. 
Determinar: 
a) a distância percorrida pelo corpo ao fim de 2s, contados a partir do 
instante em que se aplicou a força. 
b) Quanto tempo após o instante em que a força foi aplicada, o corpo para. 
Solução 
 A força F , que se opõe ao movimento, faz com que o corpo adquira um 
movimento uniformemente retardado, cuja aceleração é: 
 F = ma 
 100 = 50 a 
 a = 2 m/s2 
a) S = vot + ½ at
2 
S = 10.2 + ½ .(-2).22 
S = 20 – 4 = 16 m 
 
 
 
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 53 
b) v = vo + at 
vo = 0 
0 = 10+(-2).t 
2t = 10 
t = 5s 
3. Determinar a aceleração com que se movimenta um corpo, num plano inclinado 
liso. 
Olhe para a figura. Suponha que um corpo de peso 
P , seja abandonado no plano inclinado. Faça a 
experiência, usando uma superfície inclinada bem 
lisa (por exemplo, uma régua de plástico) e uma 
moeda. 
A experiência mostra que o corpo desliza, plano 
abaixo. A força a que o corpo está sujeito é o seu 
peso P . 
 
A figura mostra que o vetor P é a diagonal de um paralelogramo, podendo assim ser 
considerado como a soma de dois vetores representados pelos lados do 
paralelogramo. (Isto foi visto no capítulo em que apresentamos a introdução aos 
vetores). Em outras palavras, o peso do corpo é um vetor P , que pode ser 
decomposto em duas componentes que chamaremos de nP P e P , respectivamente. 
 
Assim sendo: 
a) No triângulo retângulo menor, temos: 
hipotenusa
oposto cateto
sen =α 
mgP mas sen PP 
P
P
sen P
P =α==α∴ 
α=∴ sen g mP P No caso de um plano inclinado liso, PP é a única 
componente que influi no movimento do corpo 
plano abaixo. 
b) Ainda no triângulo retângulo menor, podemos definir: 
α=∴=α
=α
cos P PN 
P
P
 cos
hipotenusa
adjacente cateto
 cos
N
 
Durante o movimento, o corpo não abandona o plano. Isto significa que a ação do 
corpo sobre o plano ( que é a componente NP do peso do corpo) é neutralizado pela 
reação N do plano. 
Em módulo, PN = N. Sendo a componente NP neutralizada pela reação N , o corpo 
fica sujeito apenas à ação da componente PP , responsável pelo movimento do 
corpo plano abaixo. 
 
 
 
 
 
nP 
PP 
a 
 α 
 α 
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 54 
Agora podemos calcular a aceleração com que o 
corpo desliza no plano inclinado. Se uma força de 
intensidade P age sobre um corpo de massa m 
temos, pela equação fundamental: PP = ma. 
mas PP = mg. sen α, portanto mg sen α = ma 
∴ a = g sen α 
 
Note que a aceleração é independente da massa do corpo. 
 
Considere agora o caso em que o corpo é lançado plano acima, com velocidade 
inicial vo. 
Neste caso, a componente PP se opõe ao 
movimento do corpo. 
Este realizará então um movimento uniformemente 
retardado com aceleração a = -g sen α 
 
 
 
 
4. Considere o conjunto apresentado na figura abaixo: dois corpos, A e B, unidos 
por uma corda de massa desprezível, sendo