Mecânica I - Poli - Psub - 2009

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Prova Substitutiva – 14 de dezembro de 2009 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
 
1ª Questão (3,0 pontos) A placa triangular AED de massa 3m 
está ligada às barras AB e CD, cada uma de massa m, e à barra 
BC de massa 2m. Todos os sólidos são homogêneos. O conjunto 
está suspenso pela articulação em E e pelo apoio simples em F. 
Adotando o sistema de coordenadas indicado na figura: 
 
a) Determine as coordenadas do baricentro da placa triangular 
AED; 
b) Determine as coordenadas do baricentro da barra ABCD; 
c) Determine as coordenadas do baricentro do sólido composto 
pela placa AED e pela barra ABCD; 
d) Faça o diagrama de corpo livre do conjunto; 
e) Determine as componentes das reações em E e F que 
sustentam o conjunto. 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
O disco de centro C e raio R rola sem 
escorregar sobre a plataforma de centro 
O. O mancal em C, que conecta o disco à 
peça CPO, impõe que a face do disco se 
mantenha sempre ortogonal ao segmento 
CP durante o movimento. O eixo Oy está 
sempre na direção do segmento OE, 
onde E é o ponto de contato entre o disco 
e a plataforma, sendo os versores kji
rrr
 , ,
 
solidários à peça CPO. Em relação ao 
referencial fixo, os vetores de rotação da 
peça CPO e da plataforma são, 
respectivamente, kBB
rr
ωω =
 e kPP
rr
ωω = , 
ambos constantes, e os pontos P e O são 
fixos. Adotando a peça CPO como referencial móvel, determine: 
 
a) A velocidade Cv
r
 e a aceleração Ca
r
 absolutas do ponto C. 
b) Os vetores de rotação absoluto Dω
r
, relativo Drω
r
, e de arrastamento Daω
r
 do disco. 
c) As acelerações absoluta Ea
r
, de arrastamento Eaa
r
 e de Coriolis Eca
r
 do ponto E do disco. 
 
 
b 
A 
B 
C 
D 
E 
c 
a 
a 
F 
x 
y 
z 
→
g 
Plataforma 
E 
R 
L 
x 
y 
z 
P 
O 
C 
ωB 
R 
ωP 
Disco 
Referencial 
fixo 
k
r
jrir 
 
 
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3ª Questão (3,5 pontos) 
 
No sistema mostrado na figura ao lado, a peça homogênea ABC tem 
massa total 2m. Em um dado instante, o fio que mantém o sistema 
em equilíbrio é cortado, permitindo que a peça deslize sem atrito ao 
longo do plano de inclinação α. Determinar, para a peça ABC: 
 
a) A posição do baricentro G; 
b) O momento de inércia JZG; 
c) O diagrama de corpo livre; 
 
Pede-se, para o instante imediatamente após o rompimento do fio, 
para a peça ABC: 
 
d) A aceleração do baricentro G; 
e) O vetor aceleração angular. 
 
 
 
 
4ª Questão Opcional (1,0 ponto) 
 
Dado um sistema de pontos materiais Pi, para i = 1...N, de massas mi e velocidades iv
r
, e sabendo que a 
energia cinética de um ponto material Pi é dada por , deduza a expressão do Teorema 
da Energia Cinética (TEC) para o sistema de pontos materiais, onde τ é o trabalho de todas as 
forças atuantes no sistema. 
 
 
 
 
A 
B C 
g 
α 
x fio 
y 
L/2 L/2 
L 
 
 
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RESOLUÇÃO DA PROVA SUBSTITUTIVA – 14 de dezembro de 2009 
 
 
Resolução da 1ª Questão (3,0 pontos) A placa triangular AED 
de massa 3m está ligada às barras AB e CD, cada uma com massa 
m, e à barra BC de massa 2m. Todos os sólidos são homogêneos. O 
conjunto está suspenso pela articulação em E e pelo apoio simples 
em F. 
Adotando o sistema de coordenadas indicado na figura: 
 
a) Determine as coordenadas do baricentro da placa triangular 
AED; 
b) Determine as coordenadas do baricentro da barra ABCD; 
c) Determine as coordenadas do baricentro do sólido composto 
pela placa AED e pela barra ABCD; 
d) Faça o diagrama de corpo livre do conjunto; 
e) Determine as componentes das reações em E e F que sustentam 
o conjunto. 
 
 
a) Placa AED. (0,5): b) Barra ABCD. (0,5): c) Sólido composto (0,5): 
3
0
cy
x
P
P
=
=
 
0=Pz 
0
0
4
3
4
3
2
2
2
2
=
=
=
=
++
⋅+⋅+⋅
=
B
B
B
B
z
y
b
x
m
mb
mmm
b
mbmbm
x
 
7
3
7
3
43
4
3403
7
743
04
3
3
b
x
m
mb
mm
b
mm
x
cy
m
mc
mm
m
c
m
y
S
S
S
S
=
=
+
⋅+⋅
=
=
=
+
⋅+⋅
=
 
0=Sz 
 
c) Diagrama de corpo livre (0,5): 
 
d) Reações: usando as equações universais de equilíbrio 
 
0== ∑ iFR
rr
; mgEy 7= ; 
0)( =∧−=∑ iiO FOPM
rr
; → 0)7(])7/()7/3[( =∧+−∧+= iEjcjmgjcibM xF
rrrrrr
 
cmgbEx /3−= ; → 0=zE ; → cmgbFx /3= (1,0): 
 
 
 
b 
A 
B 
C 
D 
E 
c 
a 
a 
F 
x 
y 
z 
→
g 
 
 
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Resolução da 2ª Questão (3,5 pontos) 
O disco de centro C e raio R rola sem 
escorregar sobre a plataforma de centro O. O 
mancal em C, que conecta o disco à peça 
CPO, impõe que a face do disco se mantenha 
sempre ortogonal ao segmento CP durante o 
movimento. O eixo Oy está sempre na direção 
do segmento OE, onde E é o ponto de contato 
entre o disco e a plataforma, sendo os versores 
kji
rrr
 , ,
 solidários à peça CPO. Em relação ao 
referencial fixo, os vetores de rotação da peça 
CPO e da plataforma são, respectivamente, 
kBB
rr
ωω =
 e kPP
rr
ωω = , ambos constantes, e os 
pontos P e O são fixos. Adotando a peça CPO 
como referencial móvel, determine: 
a) A velocidade Cv
r
 e a aceleração Ca
r
 absolutas do ponto C. 
b) Os vetores de rotação absoluto Dω
r
, relativo Drω
r
, e de arrastamento Daω
r
 do disco. 
c) As acelerações absoluta Ea
r
, de arrastamento Eaa
r
 e de Coriolis Eca
r
 do ponto E do disco. 
 
 
a) Como o enunciado informa que os pontos P e O são fixos e que o vetor de rotação absoluta da peça 
CPO é kBB
rr
ωω = , constante, temos: 
( ) ( ) iLvjLkPCvv BCBBPC rrrrrrr ωωω =⇒−∧=−∧+=
 
(0,5) ( ) ( )[ ]PCPCaa BBBPC −∧∧+−∧+= ωωω rr&rrr
 ( )[ ] iLkjLkka BBBBC rrrrrr ωωωω ∧=−∧∧= jLa BC rr 2ω= (0,5) 
 
b) Pela definição de movimento de arrastamento, kBBDa
rrr
ωωω ==
 
No movimento absoluto temos: 
Plataforma: ( ) ( ) iLvjLkOEvv PEPPOE rrrrrrr ωωω =⇒−∧=−∧+= 
Disco: ( ) ( ) ( ) iRjRiLvkRkjiiLCEvv yxBEzyxBDCE rrrrrrrrrrrr ωωωωωωωω −+=⇒−∧+++=−∧+= 
Comparando: ( )





−
=
=
⇒−+=
R
LiRjRiLiL PB
y
x
yxBP ωω
ω
ω
ωωωω
0
rrrr
 
A parcela ( ) j
R
LPB
y
rr ωω
ω
−
= é a parcela correspondente ao movimento relativo. Portanto: 
Vetor de rotação relativa do disco: ( ) j
R
LPB
Dr
rr ωω
ω
−
=
 
(0,5) 
Vetor de rotação de arrastamento do disco: kBDarr
ωω =
 
(0,5) 
Vetor de rotação absoluta do disco: ( ) kj
R
L
B
PB
D
rrr
ω
ωω
ω +
−
= 
 
 
 
Plataforma 
E 
R 
L 
x 
y 
z 
P 
O 
C 
ωB 
R 
ωP 
Disco 
Referencial 
fixo 
k
r
 
jr
 i
r
 
 
 
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c) Observando a figura, temos que a aceleração de arrastamento dos pontos C e E são iguais: 
Aceleração de arrastamento do ponto E: 
jLa BEa
rr 2ω=
 
(0,5) 
 
Aceleração relativa do ponto E: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) =





−∧
−
∧
−
=−∧∧+−∧+= kRj
R
Lj
R
LCECEaa PBPBDrDrrDrCrEr
rrrrr&rrr ωωωωωωω
 
( ) ( )[ ] ( )[ ] k
R
L
aiLj
R
L PB
ErPB
PB
rrrr
2ωω
ωω
ωω −
=⇒−−∧
−
 
(0,5) 
Aceleração de Coriolis do ponto E: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) jLaiLkkRj
R
Lkva PBBEcPBBPBBDrDaEc
rrrrrrrrrr
ωωωωωω
ωω
ωω −−=⇒−−∧=





−∧
−
∧=∧⋅= 2222
 
(0,5) 
Aceleração absoluta do ponto E: 
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] k
R
LjLajLk
R
LjLaaaa PBPBBEPBBPBBEcErEaE
rrrrrrrrrr
2
2
2
2 22 ωωωωωωωωωωω −++−=⇒−−−+=++=
 
 
 
Resolução da 3ª Questão (3,5 pontos) 
 
No sistema mostrado na figura ao lado, a peça homogênea ABC tem 
massa total 2m. Em um dado instante, o fio que mantém o sistema em 
equilíbrio é cortado, permitindo que a peça deslize sem atrito ao longo 
do plano de inclinação α. Determinar para a peça ABC: 
 
a) A posição do baricentro G: 
αα sen
L
xmLmLsenmx GG 4
3)
2
(2 =⇒+=
 
 (0,5) 
αα cos
4
3)
2
(cos2 LymLmLmy GG −=⇒+−= 
b) O momento de inércia JzG: 
)()( BCzGverticalbarrazGzG JJJ += 
onde 
48
7
4
3
212
222
)(
mLLL
m
mLJ
verticalbarrazG =





−+=
 
e 
48
7
412
222
)(
mLL
m
mLJ BCzG =





+=
 
24
7 2mLJ zG =⇒
 
(1,0) 
c) O diagrama de força do corpo livre; (0,5) 
 
 
 
 
 
A 
B C 
g 
α 
x fio 
y 
L/2 L/2 
L 
 
3L/4 α 
2mg 
N 
 
3L/4 α 
2mg 
N 
Com fio Sem fio 
ou 
T 
 
 
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 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
d) A aceleração do baricentro G no instante imediatamente após o rompimento do fio: 
usando o TMB para a peça ABC: 
 (0,5) 




=−⇒=
=⇒=
∑
∑
GyGyy
GxGxx
mamgNmaF
mamgmaF
2cos22
2sen22
α
α
 e )cos(2
sen
α
α
gamN
ga
Gy
Gx
+=
=
 
 (0,5) 
)]([)( AGAGaa AG −∧∧+−∧+= ωωω
rr&rrr
 
)cos)(sen4/3()cos)(sen4/3( 2 jiLjiLkaa AyGy
rrrrr
& ααωααω −−−∧+= 
αωαω cos)4/3(sen)4/3(0 2 LLaGy ++= & 
 
e) O vetor aceleração angular: usando oTMA para o polo G da peça ABC: 
[ ]{ } GGG MaGGmIdt
d rrr
=∧−+ )(2ω
 
(0,5) 
kNLkJ zG
rr
& αω sen
4
3
−=
 → )cos(2sen
4
3
ααω gamLJ GyzG +−=& 
]coscos)4/3(sen)4/3([2sen
4
3 2 ααωαωαω gLLmLJ zG ++−= && → 






++−= αωααω 2
22
2 sen
16
18
24
7/])4/3([cossen
4
6 mLmLgLmL&
 
 
 
 
Resolução da 4ª Questão Opcional (1,0 ponto) 
 
Dado um sistema de pontos materiais Pi, para i = 1..N, de massas mi e velocidades iv
r
, e sabendo que a 
energia cinética de um ponto material Pi é dada por , deduza a expressão do Teorema 
da Energia Cinética (TEC) para o sistema de pontos materiais, onde τ é o trabalho de todas as 
forças atuantes no sistema. 
 
Temos: 
 
 => 
 
Integrando de 0 a t: 
 
 =>