01 Matrizes

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Geometria Analítica e Álgebra Linear
UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá
campus Itabira
Parte 1
Matrizes
1
Introdução
A teoria das equações lineares desempenha papel
importante e motivador da álgebra linear. Muitos
problemas de álgebra linear equivalem ao estudo
de um sistema de equações lineares, por exemplo,
a determinação do núcleo de uma aplicação linear
e a caracterização do subespaço gerado por um
conjunto de vetores.
Um dos principais métodos utilizados para obter a
solução de um sistema linear é o algoritmo de
eliminação Gaussiana que opera sobre a forma
matricial do sistema. Desta forma, as matrizes e
suas operações estão estreitamente relacionadas
com os sistemas de equações lineares e sua
solução.
2
Matrizes
Os elementos das matrizes, em geral,
provirão de algum corpo K arbitrário. Os
elementos de K são chamados escalares.
Nada de essencial se perderá se
admitirmos que K seja o corpo dos númeos
reais ou dos números complexos.
Além disso, os elementos de ou são
representados convenientemente por
vetores linha ou vetores coluna, que são
casos especiais de matrizes.
nC
nR
3
Dados dois números m e n não nulos, chama-
se matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela
M formada por escalares de um corpo K
distribuídos em m linhas e n colunas.
Em uma matriz M, cada elemento é indicado
por . O índice i indica a linha e o índice j a
coluna às quais o elemento pertence.
Uma matriz M do tipo m x n também pode ser
indicada por: com
e ou simplesmente
},,3,2,1{ mi 
},,3,2,1{ nj 
)(M ija
ija
nmija  )(M
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Matrizes especiais
Matriz Linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, que
tem uma única linha (também chamada vetor
linha).
Exemplo:
(0 9 -3 7)
Matriz Coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja,
que tem uma única coluna (também chamada
vetor coluna).
Exemplo:
5
Matriz Nula: matriz que tem todos os
elementos iguais a zero.
Exemplos:
 matriz nula do tipo 1 por 4:
(0 0 0 0)
 matriz nula do tipo 2 por 3:
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Matriz Quadrada de ordem n: matriz do tipo n
por n, isto é, uma matriz que tem igual número
de linhas e colunas:
Chama-se diagonal principal de uma matriz
quadrada de ordem n o conjunto dos elementos
que têm os dois índices iguais.
Chama-se diagonal secundária de uma matriz
quadrada de ordem n o conjunto dos elementos
que têm soma dos índices igual a n+1.
7
Matriz Diagonal: matriz quadrada em que
os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero:
Exemplos:
8
Obviamente, a soma, o produto por escalar e
o produto de matrizes diagonais são também
diagonais. As matrizes diagonais formam
uma álgebra comutativa de matrizes, pois
quaisquer duas matrizes diagonais de ordem
n comutam.
Matriz Triangular Superior: matriz
quadrada em que todos os elementos abaixo
da diagonal principal são iguais a zero:
Exemplos:
9
Analogamente, uma matriz triangular inferior
é um matriz quadrada cujos elementos
acima da diagonal principal são iguais a
zero.
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Matriz Identidade de ordem n: matriz
diagonal em que os elementos da diagonal
principal são iguais a 1.
Exemplos:
Matriz Oposta: dada a matriz A de ordem
mxn, chama-se oposta de A (indica-se por
-A) a matriz tal que A + (-A) = 0.
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Operações com matrizes
Igualdade
Adição
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Operações com matrizes
Teorema (adição)
13
Operações com matrizes
Diferença
Multiplicação por escalar
14
Operações com matrizes
Teorema (Multiplicação por escalar)
15
Operações com matrizes
Produto de matrizes
16
Teorema
17
Observações:
18
Observações:
19
Operações com matrizes
Matriz Transposta
20
Operações com matrizes
Teorema
21
Matriz Simétrica
22
Matriz Anti-Simétrica
23
Matriz Ortogonal
24
Matriz Ortogonal
25
Matriz Normal
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Matriz Complexa Hermitiana
27
Matriz Complexa Unitária
28
Matriz Complexa Normal
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Exercícios
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Exercícios
31
Exercícios
32
Exercícios
33
Exercícios
34
Exercícios
35
Exercícios
36
Exercícios
37
Exercícios
38
Exercícios
39
Exercícios
40
Algumas Respostas
41
Algumas Respostas
42