Exercícios GAAL

Prévia do material em texto

[Ref: 17559] 
1/21 
 
PROVA PRESENCIAL 
 
 
Lista do núcleo de Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Nome: 
 
RA: Turma: Data: / / 
 
 
 
 QUESTÃO 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 
2/21 
 
 QUESTÃO 02 
[Ref: 17559] 
3/21 
 
 
 
 QUESTÃO 03 
 
Dado um ponto , as coordenadas do ponto , obtido de por uma rotação de um ângulo 
θ, são determinadas através de uma multiplicação de matrizes. As novas coordenadas do ponto serão dadas por 
 
 
 
Nas obras de arte do artista Escher, as rotações são uma estratégia para criar imagens. No centro da figura a 
seguir, vemos que cada elemento foi rotacionado de 120 graus. Suponha que a cauda de um dos animais 
representado no centro da figura tenha coordenadas . Após sofrer uma rotação, quais serão, 
aproximadamente, as coordenadas da cauda? 
 
 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 
4/21 
 
 QUESTÃO 04 
 
 
 
 
 
 
 
 QUESTÃO 05 
 
[Ref: 17559] 
5/21 
 
 QUESTÃO 06 
 
Problemas de oscilação são muito comuns na natureza e no cotidiano de áreas como engenharia. Dentre 
eles podemos incluir desde as vibrações mecânicas em motor, no solo, nas estruturas em uma obra; às 
oscilações eletromagnéticas que compõe diferentes ondas necessárias no nosso dia a dia - como a luz, as 
ondas de rádio, raio X. A representação desses problemas geralmente pode ser feita na forma matricial 
, onde geralmente é chamado de matriz de massa, matriz de deslocamento e matriz de 
forças. 
 
Suponha o problema eletromagnético representando um guia de onda. O guia de onda é uma 
estrutura em que certas frequências eletromagnéticas não são permitidas propagar-se em seu interior. Considere 
 o conjunto das frequências que podem se propagar no interior do guia, 
e as forças eletromagnéticas envolvidas. Sabendo que , a soma dos 
elementos do segundo vetor-coluna da matriz é: 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 QUESTÃO 07 
 
Uma pequena empresa de confecção, produz um produto específico cujo lucro é dado pelo 
determinante da matriz L a seguir, quando se considera x como sendo a quantidade de itens vendidos 
do produto. Sabendo que no último mês a venda de todo estoque do produto resultou em um lucro de 2400 
reais, ou seja , quantas unidades do produto foram vendidas nesse mês? 
 
 
 
[Ref: 17559] 6/22 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 QUESTÃO 08 
 
 QUESTÃO 09 
Bactérias são organismos minúsculos que são sem dúvida os mais numerosos na Terra. Uma das bactérias 
mais frequentemente estudadas é a Escherichia coli, uma bactéria em forma de bastonete com cerca de 
metro (1 micrômetro) de comprimento que habita o trato intestinal. As células de 
E. coli se reproduzem por um processo chamado de fissão binária: a célula se divide ao meio, 
formando duas "células filhas"e em condições ideais, ela se divide a cada 20 minutos. Sabe-se que a população de 
bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias 
 
 
 
 
presente no instante . Considere que a função descreve o número de 
Escherichia coli em um certo tempo , dado em horas. O número de bactérias aproximado após 3 horas é: 
 
 
a) 148.841 
 
b) 198.454 
 
c) 248.068 
 
d) 297.682 
 
e) 347.296 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 7/22 
 QUESTÃO 10 
 
 
 
 QUESTÃO 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 8/22 
 QUESTÃO 12 
 
 
 
 QUESTÃO 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 9/22 
 
 QUESTÃO 14 
 
 
 QUESTÃO 15 
Na imagem a seguir duas forças estão aplicadas em um corpo de massa 2Kg. 
 
A fisica Newtoniana prevê que a força resultante, ⃗ , em Newtons, se relaciona com a aceleração 
adquirida pelo bloco, em metros/segundo² , através da equação: . 
Considerando que na imagem , ambas com medidas em Newtons, qual dos 
itens a seguir definem corretamente o vetor da aceleração do bloco, em ? 
 
 
 
[Ref: 17559] 10/22 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 QUESTÃO 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 11/22 
 QUESTÃO 17 
Nos materiais cristalinos, denomina-se estrutura cristalina à maneira como átomos, moléculas ou íons se encontram 
espacialmente arranjados. Um reticulado é um conjunto de pontos, que podem corresponder a átomos ou grupos 
de átomos, que se repetem no espaço tridimensional com uma dada periodicidade. Em outras palavras, podemos 
dizer que um reticulado é uma coleção de combinações inteiras de três bases de vetores não-coplanares. 
 
Geometricamente, uma das unidades de um reticulado qualquer, denominada célula unitária, pode 
ser representada por um paralelepípedo com arestas definidas pelos vetores tal como esquematizado a 
seguir: 
 
 
Suponha que um determinado cristal possua sua célula unitária determinada pelos seguintes vetores: 
 
O que podemos afirmar sobre o resultado encontrado para o volume desta célula unitária? 
a) É um divisor de 9. 
b) É um múltiplo de 5. 
c) É um número ímpar. 
d) É um número primo. 
e) É um número irracional. 
 
 
[Ref: 17559] 12/22 
 QUESTÃO 18 
Um engenheiro civil recebeu um projeto para conferência no qual os pilares de um estacionamento encontram-se 
identificados por vetores. Falta-lhe conferir a posição relativa desses dois pilares. 
Sabendo-se que um deles é expresso por e o outro por , onde os pontos 
C = (0, 3, 2) e D = (1, 1, 0) ele concluiu: 
 
 
a) Que os pilares são perpendiculares, ou seja, formam ângulo 90º entre si. 
b) Que os pilares são oblíquos e formam um ângulo de 30º entre si. 
c) Que os pilares são paralelos e estão localizados em pontos distintos. 
d) Que os pilares são oblíquos e formam um ângulo de 60º entre si. 
e) Que os pilares são coincidentes, já que se encontram representados pelo mesmo vetor. 
QUESTÃO 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 13/22 
QUESTÃO 20 
 
QUESTÃO 21 
 
 
[Ref: 17559] 14/22 
 
 
Em uma danceteria, onde se comemora um aniversário de quinze anos, há um pôster com a foto da aniversariante 
que tem formato retangular e cujos vértices podem ser representados pelos pontos P1 (1, 1, 2), P2 (0, 1, 2), P3 (1, 1, 
0) e P4 (0, 1, 0). Efeitos de iluminação projetam fachos de luz perpendiculares ao plano do pôster. Nessas condições, 
qual dos vetores a seguir define corretamente a direção dos fachos de luz? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 15/22 
 
 
QUESTÃO 25 
 
Podemos interpretar fisicamente uma reta no espaço como sendo a trajetória de uma partícula em movimento 
uniforme, ou seja, um movimento em que a intensidade da velocidade não varia com o tempo e consequentemente 
a aceleração é nula. 
Nesse caso, o parâmetro t representa o tempo decorrido desde o instante inicial e o vetor diretor da reta nos dá a 
velocidade da partícula, sendo que módulo do vetor diretor é a intensidade da velocidade (em metros por segundo, 
por exemplo). 
Considerando que as equações paramétricas a seguir representam o movimento de duas partículas, é correto 
afirmar que as trajetórias descritas: 
 
a) representam a mesma reta e descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos iniciais 
distintos com a mesma intensidade da velocidade. 
b) representam a mesma reta e descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos iniciais 
distintos com intensidades de velocidade diferentes. 
c) não representam a mesma reta e descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos 
iniciais distintos com a mesma intensidade de velocidade. 
d) não representam a mesma reta e descrevem o movimento de duas partículas que partiram de pontos 
iniciais distintos com intensidades de velocidade diferentes. 
e) não representam a mesma reta e descrevemo movimento de duas partículas que partiram de pontos 
iniciais iguais com intensidadedes de velocidade diferentes. 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 16/22 
QUESTÃO 26 
 
 
 
QUESTÃO 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 17/22 
 
QUESTÃO 28 
 
 
QUESTÃO 29 
O mundo da matemática está cheio de curiosidades e detalhes interessantes. Por exemplo, duas retas são paralelas 
quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum. No entanto, há 
algumas ilusões de ótica que enganam nosso cérebro. Na imagem a seguir, apesar de não parecer, as linhas 
horizontais são paralelas. 
 
Marque a alternativa que apresenta a equação de uma reta paralela à reta 
r: (x, y, z) = (-6, 3, -2) + t(3, -1, 2). 
a) s: (x, y, z) = (-2, 3, 4) + t(3, 1, -2) 
b) s: (x, y, z) = (-3, 3, 7) + t(-6, 3, -2) 
c) s: (x, y, z) = (3, -1, 2) + t(-3, -1, -2) 
d) s: (x, y, z) = (2, 3, −1) + t(-6, 2, -4) 
e) s: (x, y, z) = (−9, 0, 1) + t(4, 2, 2) 
 
[Ref: 17559] 18/22 
QUESTÃO 30 
 
 
 
 
Uma sala foi projetada para receber algumas exposições de obras que exigem um espaço diferenciado. O projeto 
prevê uma superfície de madeira que separa o ambiente em duas partes como mostra a figura abaixo. O ponto 
P(3, 2, 4) foi escolhido de acordo com a inclinação da superfície para ser um ponto de luz que ilumina as duas partes 
da sala que foram separadas. Se a superfície de madeira intercepta o teto da sala nos pontos A(5, 2, 5) e B(2, 0, 5) 
qual é a equação do plano sobre o qual a superfície de 
madeira se encontra? 
 
a) -2x - 3y -4z + 16 = 0 
b) 3x - 2y -4z + 16 = 0 
c) 2x - 3y - 4z + 16 = 0 
d) -3x + 2y -4z - 16 = 0 
e) 2x - 3y - 4z - 16 = 0 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 19/22 
 QUESTÃO 32 
 
 
 
 
QUESTÃO 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 20/22 
QUESTÃO 34 
 
Uma obra será realizada no leito de um rio cujo curso pode ser representado pela equação matemática y2 = 20x . 
Com relação ao gráfico que representa essa equação matemática é correto afirmar que: 
a) O gráfico descreve uma parábola com concavidade voltada parao eixo y negativo. 
b) O gráfico descreve uma parábola simétrica em relaçãoao eixo y. 
c) O gráfico descreve uma parábola com foco sobre o eixo y. 
d) O gráfico descreve uma parábola cuja diretriz é paralela ao eixo x. 
e) O gráfico descreve uma parábola simétrica em relação ao eixo x. 
 
Para construir canteiros de hortênsias um paisagista mediu a distância enre dois pontos fixos, F1 e F2 , de um quintal, 
e chamou essa distância de 2c. Em seguida, marcou todos os pontos em que plantaria uma hortênsia, de maneira 
que a diferença, considerada em módulo, entre cada ponto do plantio e os pontos F1 e F2 fosse sempre constante e 
menor que 2c. Depois de plantar as hortênsias o paisagista verá que nos canteiros as hortênsias formarão: 
a) uma elipse cuja distância focal é igual a 2c. 
b) uma hipérbole cuja distância focal é igual a 2c. 
c) uma hipérbole cuja distância focal é igual a c. 
d) uma elipse cuja distância focal é igual a c. 
e) uma hipérbole cuja distância focal é igual a c/2. 
 
 
QUESTÃO 36 
 
 
 
[Ref: 17559] 21/22 
 
QUESTÃO 37 
 
 
 
 
[Ref: 17559] 22/22 
 
GABARITO 
1. E 
2. A 
3. B 
4. E 
5. C 
6. B 
7. A 
8. B 
9. D 
10. B 
11. A 
12. A 
13. B 
14. A 
15. A 
16. A 
17. D 
18. A 
19. A 
20. A 
21. C 
22. B 
23. A 
24. B 
25. C 
26. B 
27. A 
28. C 
29. D 
30. D 
31. C 
32. E 
33. C 
34. E 
35. B 
36. B 
37. A 
OBS: Para GAAL 80h, 
desconsiderar as questões de 
33 a 37.