Lista 2 (2)

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Departamento de Matemática-CCN
Prof. Dr. José Francisco de Oliveira
Cálculo Diferencial e Integral II
Lista 2
1. Calcule o volume do sólido E =
{
(x, y, z) ; x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}
2. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2x+ y +
z = 4.
3. Calcule
∫∫∫
E xdV , onde E é o sólido
x2
4 +
y2
9 + z
2 ≤ 1 e z ≥ 0.
4. Calcule
∫∫∫
E
√
x2 + y2 dV , onde E é a região contida dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e
entre os planos z = 1 e z = 4.
5. Calcule ∫∫∫
E
cos(x+ y − z)
x+ 2y + z
dV,
onde E é o paralelepípedo 1 ≤ x+ 2y + z ≤ 2 , 0 ≤ x+ y − z ≤ pi4 e 0 ≤ z ≤ 1.
6. Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral∫∫∫
E
1
x2 + y2 + z2
dV
em que E é o sólido limitado acima pelo cone z =
√
3x2 + 3y2 e abaixo pela esfera
z2 + y2 + x2 = z.
7. Calcule ∫∫∫
E
z dV
ondeE é o sólido limitado abaixo pelo plano z = 2 e acima pelo parabolóide z = 6−x2−y2.
8. Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo
plano z = a (a > 0 constante) e acima pela esfera z =
√
1− (x2 + y2).
9. Seja E um sólido em R3. Definimos a massa de E por
m =
∫∫∫
E
ρ(x, y, z)dV,
onde ρ(x, y, z) é a função densidade na região onde E se encontra. Considere o sólido E
exterior ao cone z =
√
3(x2 + y2) e interior à esfera
x2 + y2 + z2 = 2z.
Calcule a massa total do sólido sabendo que a densidade de massa em cada ponto do sólido
é proporcional à distância desse ponto à origem.
10. Calcule a massa do cubo E = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] sabendo que a densidade em um ponto
(x, y, z) ∈ E é soma das coordenadas.
11. Use integrais triplas para calcular o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo
cilindro y2 + z2 = 4, pelo plano x+ y = 2 e pelos planos coordenados.
12. Seja E o sólido limitado inferiormente pelo cone z =
√
3 (x2 + y2) e superiormente pela
esfera x2 + y2 + z2 = 4. Calcule a massa de E sabendo que a densidade em cada ponto é a
distância desse ponto à origem.
13. Calcule
∫∫∫
E
1
x2+y2+z2
dV , onde E é o sólido interior ao cone z =
√
x2 + y2 limitado
superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e inferiomente pelo esfera x2 + y2 + z2 = 1.