ESTIMATIVA PROBABILISTICA DAS CAPACIDADE DE CARGA DE UMA FUNDAÇÃO RASA

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Estimativa Probabilistica das Capacidades de Carga de uma 
Fundacao Rasa em Alguns Solos de Salvador 
 
Ricardo Pichani Celestino 
Universidade Federal da Bahia, Escola Politécnica, DCTM. Rua Aristides Novis, 2 – Federação. 
Salvador, Bahia. 40210-630. <ricardopcelestino@hotmail.com>. 
 
Charles Brito Moreira Junior 
Engenheiro Civil, SESC-BA. Av. Professor Pinto de Aguiar, 161, Ap. 102 – Patamares. Salvador, 
Bahia. 41740-090. <charlesbmoreirajunior@hotmail.com>. 
 
Paulo Gustavo Cavalcante Lins 
Universidade Federal da Bahia, Escola Politécnica, DCTM. Rua Aristides Novis, 2 – Federação. 
Salvador, Bahia. 40210-630. (71) 3283-9847. <plins@ufba.br>. 
 
RESUMO: A capacidade de carga de fundações superficiais pode ser estimada por métodos 
teóricos, como o método de Terzaghi, e também por métodos empíricos baseados em ensaios de 
campo como o SPT. O presente trabalho apresenta uma estimativa probabilística da capacidade de 
carga para uma fundação rasa para solos de diferentes formações geológicas da cidade de 
Salvador/BA. Em uma primeira série de simulações as capacidades de carga probabilísticas foram 
estimadas utilizando o método de Terzaghi, e o método de Monte Carlo, utilizando como 
parâmetros de entrada parâmetros de resistência médios para diferentes solos de formações 
geológicas de Salvador e utilizando ainda parâmetros de dispersão da literatura. As capacidades de 
carga probabilísticas foram ainda estimadas a partir de resultados do SPT, com o método de Monte 
Carlo, quando também foram utilizados valores médios associados as diferentes formações 
geológicas de Salvador e parâmetros de dispersão estimados a partir da literatura. Os resultados 
médios obtidos pelo método de Terzaghi se mostraram numericamente maiores que os resultados 
médios obtidos a partir do SPT. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Capacidade de carga, Análise Probabilística, Geologia de Salvador. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A determinação da capacidade de carga ou da 
tensão admissível é parte fundamental do 
projeto de uma fundação direta. A definição 
desta capacidade de carga ou da tensão 
admissível é tratada usualmente de forma 
determinística. 
 Trabalhos como o de Cintra et al. (2011) 
chamam atenção para o fato de existir uma 
variabilidade da capacidade de carga decorrente 
da variabilidade do solo e das dimensões dos 
elementos de fundação. 
 Nos dias correntes busca-se conhecer 
funções de densidade de probabilidade para a 
resistência do terreno, especificamente para a 
capacidade de carga ou a tensão admissível. 
 Uma prática usual é adotar a distribuição 
normal para representar o problema. Esta 
distribuição, como se sabe, trabalha em termos 
de uma média e um desvio padrão. 
 No presente trabalho utilizou-se a 
distribuição normal para buscar estimar a 
capacidade de carga a partir de parâmetros 
geotécnicos médios de laboratório e de campo 
para alguns solos da cidade de Salvador, Bahia. 
Os desvios padrões foram estimados a partir da 
literatura. 
 O Método de Monte Carlo foi utilizado para 
gerar as distribuições de probabilidade. 
 
 
2 MÉTODO TEÓRICO 
 
A determinação da capacidade de carga de uma 
fundação rasa pode ser determinada a partir do 
conhecimento dos parâmetros de resistência do 
solo e da configuração da fundação. O 
equacionamento desenvolvido por Terzaghi é a 
referência básica deste estudo. Para uma sapata 
quadrada, de lado B, com um embutimento Df, 
Terzaghi e Peck (1967) apresentam a seguinte 
equação para a capacidade de carga: 
 
γγγ BNND qf 4,01,2cNq c ++= (1) 
 
 Na equação (1) c é a coesão do solo, γ é o 
peso específico do solo, e Nc, Nq e Nγ são 
fatores de capacidade de carga que são função 
do ângulo de atrito φ do solo. 
 Para a determinação Nq e Nc de Terzaghi e 
Peck (1967) apresentam as seguintes 
expressões: 
 






+=
2
45tan 2tan φφpi oq eN (2) 
 ( )1cot −= qc NN φ (3) 
 
 Para aproximar os valores de Nγ Cintra et al. 
(2011) sugerem que seja utilizada a seguinte 
equação: 
 ( ) φγ tan12 +≅ qNN (4) 
 
 Uma equação diferente é apresentada por 
Coduto (2001), a saber: 
 ( )
( )'4sin4,01
'tan11
φ
φ
γ +
+
≅
qNN (5) 
 
 Note-se que a expressão de Coduto (2001) 
está apresentada em termos de tensão efetiva. 
 
 
3 MÉTODO SEMIEMPÍRICO 
 
A utilização de um método semiempírico é 
precedida de um alerta da necessária cautela de 
analisar origem e validade dos referidos 
métodos (Cintra et al., 2011). 
 A utilização do índice de resistência a 
penetração do SPT para obter a tensão 
admissível em fundações diretas por sapatas é 
prática corrente no meio técnico brasileiro. 
Adaptando a notação apresentada por Cintra et 
al. (2011) a tensão admissível (em MPa) é dada 
pela relação: 
 
f
SPT
a D
N γσ +=
50
 (6) 
 
 Na equação (6) o NSPT é o valor médio do 
número de golpes do SPT no bulbo de tensões. 
O termo (γDf) é a sobrecarga, que pode ser 
desconsiderada ou não. Para que exista 
compatibilidade de unidades γ deve ser dado em 
MN/m3, e Df deve ser dado em metros. 
 Cintra et al. (2011) relatam que outros 
autores que partindo de relação do NSPT com a 
resistência de um solo puramente argiloso e 
utilizando uma relação teórica para uma sapata 
retangular, apoiada na superfície do terreno, 
considerando um fator de segurança de 3, 
chegaram a uma relação entre o e a tensão 
admissível dada por: 
 
50
SPT
a
N
=σ (7) 
 
 Cabe destacar que a capacidade de carga 
dada pela equação (1) refere-se a carga de 
ruptura do sistema sapata solo, enquanto que a 
tensão admissível apresentada nas equações (6) 
e (7) refere-se a uma carga que envolve a carga 
de ruptura dividida por um fator de segurança. 
 Para as comparações realizadas neste 
trabalho será considerado que o fator de 
segurança é igual a 3, desta forma será 
considerada uma adaptação na equação (6), para 
relacionar a capacidade de carga com a tensão 
admissivel. 
 Para fins deste trabalho a capacidade de 
carga foi tomada como 3 vezes o termo de NSPT 
sobre cinquenta somado ao termo do peso 
específico vezes o embutimento. Desta forma 
foi considerado que o termo do peso específico 
vezes o embutimento não contém uma margem 
de segurança. 
 
 
4 PARÂMETROS MÉDIOS DOS SOLOS 
 
A Prefeitura Municipal de Salvador elabourou 
um documento denominado Plano Diretor de 
Encostas (Salvador, 2004). Neste documento 
foram reunidos dados e realizado um tratamento 
estatístico destes dados obtidos através de 
ensaios de laboratório, dos diferentes materiais 
encontrados nos domínios geológico-
geotécnicos de Salvador, realizados no 
Laboratório de Geotecnia da Escola Politécnica 
(UFBA). Na sua dissertação de mestrado Silva 
(2005) sistematizou estes dados. 
 Os dados levantados por Salvador (2004) 
sistematizados por Silva (2005) consideraram 
os seguintes domínios geológico-geotécnicos: 
Formação Barreiras, Formação Salvador, 
Formação Pojuca e Cristalino/residual. A 
Tabela 1 apresenta os valores médios do peso 
específico, coesão e ângulo de atrito para os 
referidos domínios. Em Silva (2005) podem ser 
encontrados ainda valores máximos e mínimos 
para estes parâmetros. 
 Silva (2005) sistematizou ainda dados 
referentes ao ensaio SPT associados aos 
domínios geológico-geotécnicos anteriormente 
citados. A Tabela 2 apresenta parte destes 
dados. Em Silva (2005) podem ser encontrados 
também dados relativos a profundidade do 
impenetrável. 
 
Tabela 1. Peso específico médio, coesão média e ângulo 
de atrito médio para os domínios geológico-geotécnicos 
de Salvador (Salvador, 2004, sistematizado por Silva, 
2005). 
Domínio γ 
(kN/m3) 
c 
(kPa) 
φ 
(°) 
Fm. Barreiras 16,7 18,0 31,0 
Fm. Salvador - 26,9 29,7 
Fm. Pojuca - 15,7 22,0 
Cristalino/residual 16,3 15,6 29,4 
 
Tabela 2. Resultadosde ensaios NSPT para os diferentes 
materiais encontrados nos domínios geológico-
geotécnicos de Salvado (Salvador, 2004, sistematizado 
por Silva, 2005). 
Domínio Profundidade; Índice NSPT 
Fm. Barreiras 3m; 6 - 19m; 16 
Fm. Salvador 4m; 5 8m; 10 - 
Fm. Pojuca 2m; 6 5m; 13 6m; 20 
Cristalino/residual 3m; 6 10m; 11 17m; 15 
 
 
5 PARÂMETROS DE DISPERSÃO 
 
A análise estatistica de problemas geotécnicos é 
usualmente realizada considerando uma 
distribuição normal, definida por uma média e 
por um desvio padrão. Este será o caso do 
presente trabalho também. 
 O coeficiente de variação (COV) é definido 
como a razão entre o desvio padrão (DP) e a 
média. Ribeiro (2008) afirma que é possível 
estimar os desvios padrão a partir de 
coeficientes de variação existentes na literatura. 
Ribeiro (2008) sistematizou coeficientes de 
variação mínimos e máximos para diversos 
parâmetros geotécnicos a partir da literatura. A 
Tabela 3 apresenta alguns dos valores 
apresentados por Ribeiro (2008). 
 
Tabela 3. Coeficientes de variação de parâmetros 
geotécnicos (adaptado de Ribeiro, 2008). 
Parâmetro COV (%) 
 Mínimo Máximo 
Número de golpes do SPT 15 45 
Peso específico de solos 
residuais (γ) 
1,5 9,4 
Intercepto efetivo de coesão de 
solo residual gnaissico jovem 
(c´) 
13,4 18,4 
Tangente do ângulo de atrito 
efetivo de solos residuais (tgφ´) 
2,4 16,1 
Peso específico de argilas 
sedimentares (γ) 
2 7 
Tangente do ângulo de atrito 
efetivo de argilas sedimentares 
(tgφ´) 
3 6 
Intercepto efetivo de coesão de 
argilas sedimentares (c´) 
8 14 
 
 Os coeficientes de variação utilizados neste 
trabalho foram estimados a partir dos dados da 
Tabela 3. 
 
 
6 MÉTODO DE MONTE CARLO 
 
Dentre os métodos probabilisticos utilizados em 
geotecnia cabe citar o Método das Estimativas 
Pontuais, o Método do Segundo Momento de 
Primeira Ordem, o Método de Monte Carlo e o 
Método do Hipercubo Latino. No presente 
trabalho foi utilizado o Método de Monte Carlo. 
 O Método de Monte Carlo consiste na 
geração aleatória de um número grande de 
dados, atendendo a uma distribuição de 
probabilidade, para cada variável independente 
(usualmente 1000, 5000 10000 dados). Com as 
variáveis geradas deve-se calcular a capacidade 
de carga para cada dado gerado e realizar um 
tratamento estatístico dos resultados. 
 No presente trabalho a simulação por Monte 
Carlo foi realizada em uma planilha eletrônica 
Excel. No presente trabalho, simulações 
preliminares mostraram que 1000 gerações 
aleatórias são suficientes para o problema em 
tela. 
 
 
7 MODELO SIMULADO 
 
Para este trabalho foi considerada uma sapata 
quadrada de 1,5m de lado, executada a um 
metro de profundidade. A sapata foi 
considerada construída no Cristalino/residual no 
primeiro conjunto de simulações e construída na 
Formação Barreiras no segundo conjunto de 
simulações. 
 
 
8 RESULTADOS 
 
8.1 Método Teórico para o Cristalino/residual 
 
Os parâmetros para simulação pelo método 
teórico no Cristalino/residual são apresentados 
na Tabela 4. Os parâmetros médios são os da 
Tabela 1, os coeficientes de variação adotados 
são para solo residual gnaissico jovem 
indicados na Tabela 3. Deve-se destacar que o 
coeficiente de variação para o ângulo de atrito é 
dado para sua tangente. 
 
Tabela 4. Parâmetros para a simulação pelo método 
teórico para o Cristalino/residual. 
Parâmetro Média COV DP 
Coesão (kPa) 15,6 18,4% 2,87 
Ângulo de atrito * 29,4 16,1% 5,18 
Peso específico (kN/m3) 16,3 9,4% 1,53 
* A média e o DP do ângulo de atrito estão em graus, o 
COV está relacionada com a tan(φ). 
 
 O resultado da simulação de Monte Carlo 
com 1000 gerações aleatórias é representado no 
histograma da Figura 1. A simulação apresentou 
uma capacidade de carga média de 1230 kPa, 
com um desvio padrão de 848 kPa. 
 
 
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Figura 1. Resultado da simulação com o Método Teórico 
para o Cristalino/residual. 
 
8.2 Método Semiempírico para o Cristalino/ 
residual 
 
Os parâmetros para simulação pelo método 
semiempírico estão listados na Tabela 5. Assim 
como no item 8.1 foram adotados coeficientes 
de variação para solo residual gnaissico jovem 
indicados na Tabela 3. Para o SPT foi adotado o 
valor também indicado na Tabela 3, sem fazer 
referência ao tipo de solo. O NSPT médio 
adotado foi retirado da Tabela 2 considerando 
uma profundidade de 3 metros. O peso 
específico médio adotado foi o mesmo da 
análise do item 8.1. 
 Na simulação pelo método semiempírico foi 
considerada a equação (8). 
 
Tabela 5. Parâmetros para a simulação pelo método 
semiempírico para o Cristalino/residual. 
Parâmetro Média COV DP 
NSPT 6 45% 2,70 
Peso específico (kN/m3) 16,3 9,4% 1,53 
 
 O resultado para a simulação de Monte Carlo 
com 1000 gerações aleatórias é representado no 
histograma da Figura 2. A capacidade de carga 
média encontrada foi de 380 kPa, com um 
desvio padrão de 156 kPa. 
 
8.3 Método Teórico para a Formação 
Barreiras 
 
Os parâmetros para simulação pelo método 
teórico na Formação Barreiras são apresentados 
na Tabela 6. Os parâmetros médios são os da 
Tabela 1. Os coeficientes de variação adotados 
são para argilas sedimentares indicados na 
Tabela 3, a adoção destes coeficientes de 
variação deve ser vista com muita cautela, pois 
não seriam os mais apropriados para a 
Formação Barreiras e estão sendo adotados aqui 
na falta de informações melhores. Deve-se 
destacar que o coeficiente de variação para o 
ângulo de atrito é dado para sua tangente. 
 O resultado da simulação de Monte Carlo 
com 1000 gerações aleatórias é representado no 
histograma da Figura 3. A simulação apresentou 
uma capacidade de carga média de 1341 kPa, 
com um desvio padrão de 298 kPa. 
 
Tabela 6. Parâmetros para a simulação pelo método 
teórico para a Formação Barreiras. 
Parâmetro Média COV DP 
Coesão (kPa) 18,0 14,0% 2,52 
Ângulo de atrito * 31,0 6,0% 2,06 
Peso específico (kN/m3) 16,7 7,0% 1,17 
* A média e o DP do ângulo de atrito estão em graus, o 
COV está relacionada com a tan(φ). 
 
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Figura 2. Resultado da simulação com o Método 
Semiempírico para o Cristalino/residual. 
 
8.4 Método Semiempírico para a Formação 
Barreiras 
 
Os parâmetros para simulação pelo método 
semiempírico estão listados na Tabela 6. Assim 
como no item 8.3 foram adotados coeficientes 
de variação para argilas sedimentares indicados 
na Tabela 3. Para o SPT foi adotado o valor 
também indicado na Tabela 3, sem fazer 
referência ao tipo de solo. O NSPT médio 
adotado foi retirado da Tabela 2 considerando 
uma profundidade de 3 metros. O peso 
específico médio adotado foi o mesmo da 
análise do item 8.3. 
 
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Figura 3. Resultado da simulação com o Método Teórico 
para a Formação Barreiras. 
 
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Figura 4. Resultado da simulação com o Método 
Semiempírico para a Formação Barreiras. 
 
 O resultado para a simulação de Monte Carlo 
com 1000 gerações aleatórias é representadono 
histograma da Figura 4. A capacidade de carga 
média encontrada foi de 380 kPa, com um 
desvio padrão de 156 kPa. Estes resultados são 
muito semelhantes aos obtidos no item 8.2. 
 
 
 
 
Tabela 6. Parâmetros para a simulação pelo método 
semiempírico para a Formação Barreiras. 
Parâmetro Média COV DP 
NSPT 6 45% 2,70 
Peso específico (kN/m3) 16,7 7,0% 1,17 
 
 
9 CONCLUSÕES 
 
Estimativa probabilisticas para a capacidade de 
carga e tensão admissível para o Cristalino/ 
residual e para a Formação Barreiras foram 
realizadas por um método teórico e um método 
semiempírico. 
 Os resultados obtidos pelo método teórico 
apresentaram um valor médio maior que os 
obtidos pelo método semiempírico, para as duas 
formações geológicas consideradas. 
 A dispersão dos resultados foram maiores 
para o Cristalino/residual que para a formação 
Barreiras. 
 Este tipo de trabalho, ao contrário da 
abordagem convencional onde são considerados 
apenas valores médios ou característicos, 
permite que a variabilidade dos parâmetros seja 
incluida no estudo das fundações. 
 Em trabalhos futuros podem ser realizados 
estudos englobando a probabilidade de ruína de 
fundações nestas formações geológicas. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
Cintra, J.C.A.; Aoki, N. e Albieiro, J.H. (2011) 
Fundações Diretas: Projeto Geotécnico, Oficina de 
Textos, São Paulo, 140 p. 
Coduto, D.P. (2001) Foundation Design: Principles and 
Practices, 2nd ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River, 
NJ, USA, 883 p. 
Ribeiro, R.C.H. (2008) Aplicações de Probabilidade e 
Estatística em Análises Geotécnicas, Tese de 
Doutorado, Programa de Pós-Graduação em 
Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do 
Rio de Janeiro, 161 p. 
Salvador (2004). Plano Diretor de Encostas. Prefeitura 
Municipal de Salvador. Secretaria Municipal do 
Saneamento e Infraestrutura Urbana. Coordenadoria 
de Áreas de Risco Geológico. Salvador, Bahia. 
Silva, C.N. (2005) Diagnóstico Ambiental de Áreas de 
Pedreiras Abandonadas na Cidade do Salvador-Ba 
com Ênfase na Estabilidade de Taludes, Dissertação 
de Mestrado, Mestrado em Engenharia Ambiental 
Urbana, Universidade Federal da Bahia, 123 p. 
Terzaghi, K. e Peck, R.B. (1967) Soil Mechanics in 
Engineering Practice, 2nd ed., McGraw Hill, New 
York, NY, USA, 685 p.