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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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u´ltimo sistema fica mais fa´cil escolher uma parametrizac¸a˜o
para a reta L.
Fac¸a x = t, y = 4t e z =−3− t +4t =−3+3t com t ∈R.
Assim, uma parametrizac¸a˜o para a reta L e´ dada por
α(t) = (t,4t,−3+3t), t ∈ R.
Exercı´cio 13.7
Fac¸a um esboc¸o da curva β (t) = (1− t,3−2t, t) t ∈ [0,1].
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no8-b)
Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es parame´tricas correspondentes sa˜o


x = 1− t
y = 3−2t
z = t
com t ∈ [0,1], que sa˜o reconhecidas como as equac¸o˜es parame´tricas
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
do segmento de reta de ponto inicial β (0) = (1− 0,3− 2(0),0) =
(1,3,0) = P0 e ponto final β (1) = (1−1,3−2(1),1) = (0,1,1) = P1.
O segmento e´ mostrado na Figura 13.14.
Figura 13.14
Exercı´cio 13.8
Trace a curva α(t) = (t,2cos2pit,2sen2pit) t ≥ 0.
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no 9)
Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es parame´tricas da curva ou imagem de α sa˜o

x = t
y = 2cos2pit
z = 2sen2pit
.
Das duas u´ltimas equac¸o˜es parame´tricas obtemos y2+z2 = 4. Isso
quer dizer que a curva esta´ sobre o cilindro circular reto de raio 2,
centrado no eixo x. Para localizar a curva sobre este cilindro podemos
usar a primeira equac¸a˜o parame´trica x = t, com t ≥ 0. Note-se na
Figura 13.15 que a medida que t varia de 0 ate´ 1, o ponto (x,y,z)
gira sobre o cilindro y2 + z2 = 4 produzindo uma volta na curva C,
denominada “he´lice circular ou helico´ide”; observe que na medida que
t varia, o ponto α(t) se afasta do plano x = 0. Observe tambe´m que
na Figura 13.15 esta´ desenhada so´ uma parte da curva pedida. A
forma de saca-rolhas da he´lice circular deste exemplo e´ a mesma das
molas espirais. Elas tambe´m aparecem no modelo do DNA (a´cido
desoxirribonucle´ico, material gene´tico de ce´lulas vivas).
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SE
M
A
N
A
13
2
M
´ O
D
U
LO
2
Figura 13.15
So´ para conferir, verifiquemos uma volta da he´lice, calculando os
valores de α a medida que t varia de 0 ate´ 1:
Se t = 0, α(0) = (0, 2cos 0, 2sen 0) = (0,2,0).
Se t = 1
4
, α
(
1
4
)
=
(
1
4
, 2cos 2pi
(
1
4
)
, 2sen2pi
(
1
4
))
=(
1
4
,2cos
(pi
2
)
,2sen pi
2
)
=
(
1
4
,0,2
)
.
Se t = 1
2
, α
(
1
2
)
=
(
1
2
, 2cos 2pi
(
1
2
)
, 2sen2pi
(
1
2
))
=(
1
2
,2cos pi,2sen pi
)
=
(
1
2
,−2,0
)
.
Se t = 3
4
, α
(
3
4
)
=
(
3
4
, 2cos 2pi
(
3
4
)
, 2sen2pi
(
3
4
))
=(
3
4
,2cos
(
3pi
2
)
,2sen 3pi
2
)
=
(
3
4
,0,−2
)
.
Se t = 1, α(1) = (1, 2cos 2pi, 2sen 2pi) = (1,2,0).
Exercı´cio 13.9
Calcule os limites das seguintes func¸o˜es:
a. lim
t→0
(
t2−2
t +1
,
sent
t
)
b. lim
t→1
(
t3−1
t2−1 ,
t−1
3√t−1 ,
tgpi(t−1)
t−1
)
(Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no2: a e d)
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Soluc¸a˜o:
a. Observe que lim
t→0
t2−2
t +1
=
−2
1
= −2 e lim
t→0
sen t
t
= 1. Portanto,
lim
t→0
(
t2−2
t +1
,
sen t
t
)
= (−2,1).
b. Lembre que
lim
t→1
t3−1
t2−1
L′H
= lim
t→1
3t2
2t
= lim
t→1
3t
2
=
3
2
lim
t→1
t−1
3
√
t−1
L′H
= lim
t→1
1
1
3 t
−2/3 = limt→1 3
3√
t2 = 3
lim
t→1
tgpi(t−1)
(t−1) = pi limt→1
tgpi(t−1)
pi(t−1) = pi . Lembre que limu→0
tgu
u
= 1.
Portanto, lim
t→1
(
t3−1
t2−1 ,
t−1
3√t−1 ,
tgpi(t−1)
t−1
)
=
(
3
2
,3,pi
)
Exercı´cio 13.10
Calcule os valores de a e b, tais que a func¸a˜o
α(t) =
{
(at +b,4t−3), se t ≥ 1
(2t +3,2at2−b), se t < 1 seja contı´nua.
(Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no3)
Soluc¸a˜o: Observe que α e´ uma func¸a˜o vetorial contı´nua para t > 1
e para t < 1. Note-se que as func¸o˜es componentes sa˜o polinoˆmios e
sabemos que as func¸o˜es polinomiais sa˜o contı´nuas, assim para que α
seja contı´nua em todo R so´ falta verificar a continuidade em t = 1. Isto
e´, precisamos provar que lim
t→1
α(t) = α(1).
Lembre que lim
t→1
α(t) existe se, e somente se, existem lim
t→1+
α(t) e
lim
t→1−
α(t) e, ale´m disso, lim
t→1+
α(t) = lim
t→1−
α(t).
Note-se que
lim
t→1+
α(t) = lim
1+
(at +b,4t−3) = (a(1)+b,4(1)−3) = (a+b,1)
lim
t→1−
α(t) = lim
t→1−
(2t +3,2at2−b) = (2+3,2a(1)2−b) = (5,2a−b)
Logo, como queremos que lim
t→1+
α(t) = lim
t→1−
α(t), enta˜o
(a+b,1) = (5,2a−b)⇔
{
a+b = 5
2a−b = 1 ⇔
{
a = 2
b = 3
Assim, se a= 2 e b= 3, temos que lim
t→1
α(t)=α(1) = (5,1). Logo,
temos a continuidade de α em t = 1, portanto α e´ contı´nua.
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SE
M
A
N
A
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2
M
´ O
D
U
LO
2
Exercı´cio 13.11
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que conte´m os pontos
(1,−1) e (−3,4).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no4)
Soluc¸a˜o: Da Aula 31, pa´gina 166 do caderno dida´tico, sabemos que
a equac¸a˜o α(t) = (1− t)A+ tB t ∈ R, onde A e B sa˜o dois vetores
dados, tem por trac¸o a reta determinada por esses vetores, caso A 6= B.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o da reta neste caso e´
α(t) = (1− t)(1,−1)+ t(−3,4) = (1− t,−1+ t)+ (−3t,4t)
= (1−4t,−1+5t) t ∈ R.
Exercı´cio 13.12
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que e´ paralela ao vetor
~v = (−2,5) e que conte´m o ponto (2,1).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no5)
Soluc¸a˜o: Observe que, neste caso, podemos utilizar a parametrizac¸a˜o
α(t) = t~v+A, t ∈R que e´ a parametrizac¸a˜o da reta que conte´m o ponto
A e e´ paralela ao vetor na˜o nulo~v. Portanto,
α(t) = t(−2,5)+ (2,1) = (−2t +2,5t +1) = (2−2t,1+5t) t ∈ R.
Exercı´cio 13.13
Encontre a parametrizac¸a˜o α(t) da reta r, tal que α(1)= (−3,2,1)
e α(0) = (0,0,−2).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no7)
Soluc¸a˜o: Novamente da Aula 31, pa´gina 166 do caderno dida´tico,
sabemos que a equac¸a˜o α(t) = (1− t)A+ tB, t ∈ R, onde A e B sa˜o
dois vetores dados, tem por trac¸o a reta determinada por esses vetores,
caso A 6= B. Ale´m disso, α(0) = A e α(1) = B. Neste exercı´cio,
sabemos que α(0) = (0,0,−2) = A e α(1) = (−3,2,1) = B, assim a
parametrizac¸a˜o que satisfaz as condic¸o˜es pedidas e´
α(t) = (1− t)(0,0,−2)+ t(−3,2,1) t ∈ R
Isto e´, α(t) = (0,0,−2(1− t))+ t(−3,2,1) = (−3t,2t,−2+2t + t)
= (−3t,2t,−2+3t) t ∈ R.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Exercı´cio 13.14
Determine uma parametrizac¸a˜o para a coˆnica y2−4x2 = 1 (ramo
superior).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no10-c)
Soluc¸a˜o: Observemos que a coˆnica dada e´ a hipe´rbole
y2− (2x)2 = 1 (13.11)
Fac¸a Y = y e X = 2x, substituindo estas igualdades em 13.11, temos
Y 2−X2 = 1 (13.12)
Por outro lado, sabemos que as func¸o˜es trigonome´tricas hiperbo´licas
satisfazem a identidade hiperbo´lica
cosh2t− senh2t = 1 (13.13)
Portanto, a imagem da curva α(t) = (senh t,cosh t) certamente esta´ na
hipe´rbole 13.12
C :
∣∣∣∣ X = senh tY = cosh t t ∈R ⇒ C :
∣∣∣∣ 2x = senh ty = cosh t t ∈ R
⇒ C :
∣∣∣∣∣ x =
1
2
senh t
y = cosh t
t ∈R
Finalmente, uma parametrizac¸a˜o da hipe´rbole y2 − (2x)2 = 1 e´ dada
por
C : α(t) =
(
1
2
senh t,cosh t
)
t ∈ R.
Observe que cosh t = e
t + e−t
2
≥ 1, ∀t ∈ R, logo y ≥ 1; assim, α e´
somente o ramo superior da hipe´rbole, onde y ≥ 1 ∀t ∈ R, e por ou-
tro lado, senh t = e
t − e−t

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