Circuitos Elétricos II - Poli - Lista 6 - diagramas de bode

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PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Lista 6: Diagramas de Bode 
 
1 – Desenhe o diagrama de Bode (módulo e fase) das seguintes funções de rede: 
 
 a) 
F s
s
s
a b g  

1
2 1
 b) 
F s
40 s
s s
bb g b gb gb g

 
1
2 10
 c) 
F s
s
s s
cb g b g b g

 2 1
2
 
 d) 
F s
s
s s
d b g b gb gb g

 
2
5 10
2 
 
2 – Considere o Exercício 1b). Qual é o erro, em dB, entre a curva de módulo de 
resposta em frequência e a assíntota composta do diagrama de Bode, para as 
frequências de 1, 2, 10 e 20 rad/s ? Considere desprezível o erro de uma assíntota 
em cinco ou dez vezes sua frequência característica. 
 
3 – Um certo filtro tem o ganho 
 
s a
G s
s 10a


 
, com a > 0. Desenhe o diagrama de 
Bode (módulo e fase) e indique sua possível aplicação. 
 
Atenção: a função de rede do filtro possui um zero no semiplano direito. 
 
4 – A saída de uma rede linear com entrada es(t) = (t) é h(t) = (t) + 1,8 e – 0,2 t , t  0. 
 
a) Determine o diagrama de Bode (módulo e fase) da correspondente resposta em 
frequência. 
b) Usando o diagrama, calcule a resposta em regime permanente desta rede, quando 
excitada por es(t) = cos(0,1t) + 10cos(4t). 
 
5 – Dado o circuito com amplificador operacional ideal (  ) da Figura 1a): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Verifique que o seu ganho de tensão é 
G s
E s
E s
Y s
Y s
v
s
b g b gb g
b g
b g 
2 1
2
. 
b) Substitua Y1(s) e Y2(s) pelas admitâncias indicadas na Figura 1b) e determine 
o diagrama de Bode (módulo e fase) do ganho do circuito. 
 
Figura 1b 
Y2 
: 
0,02F 
100k 
Y1 
: 
0,25F 
100k 
Figura 1a 
Es 
 
E2 
Y1 
Y2 
2 
 
6 – Desenhe o diagrama de Bode do módulo da resposta em frequência das seguintes 
funções de rede: 
 a) 
H s
s s
s 1 s 10
a b g e jb gb g
 
 
100 12 b) 
H s
s
s s
bb g 
 2 10 100
 
 
7 – Encontre as funções de rede que satisfazem os gráficos dos itens a), b) e c). Na sua 
resolução, considere ainda que: 
 
 Todos os zeros e polos das funções de rede estão no semiplano esquerdo 
fechado. 
 Para os itens a) e b), a constante K das funções de rede é um número real. Para o 
item c), considere K um número real e positivo. 
 Para pares de polos ou zeros complexos conjugados, adote 
1 
 caso esse valor 
não esteja indicado no gráfico. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
0,1 
0o 
(rad/s) 
 (log) 
10 
– 45o 
– 90o 
1 10
2 103 
  G(j) 
F( j) 
0dB 
20 dB/déc 
 
 – 20 dB/déc. 
 
 – 40 dB/déc. 
 
 – 40 dB/déc. 
 
(rad/s) 
 (log) 
0,1 1 30 100 8 
 – 60 dB/déc. 
 
 – 40dB/déc. 
 
 – 20 dB/déc. 
 
H( j) 
20 dB 
 
 – 20 dB/déc. 
 
 = 0,1 
(rad/s) 
 (log) 
0,1 0,8 20
0 
100 900 
3 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 7 b), em que foi determinada a expressão da função de rede H(s). 
Confira sua resposta determinando o diagrama de Bode de H(s) com o MATLAB ou 
outro simulador numérico de sua preferência. Compare o diagrama obtido a partir da 
sua expressão com a figura esquematizada no enunciado. 
 
 
Instruções (para o MATLAB R2013a: requer a Control System Toolbox): 
 As funções conv, tf, bode e logspace podem ser úteis. Para obter 
detalhes sobre como usar alguma função em particular, digite help 
<nome da função>. 
 Use a função tf para inserir a função de rede H(s) obtida como resposta no 
Exercício 7 b). Os polinômios em s do numerador e do denominador de H(s) 
são representados como vetores no MATLAB, com entradas indo do 
coeficiente principal até o termo independente. Utilize a função conv para 
obter os coeficientes do produto entre dois polinômios sem precisar fazer as 
contas manualmente. 
 Use a função bode para obter os valores de módulo e fase da resposta em 
frequência. Para faciliar a especificação dos valores de frequência em que se 
deseja visualizar o diagrama de Bode, utilize a função logspace. 
1 
 
PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Solução da Lista 6: Diagramas de Bode 
 
 
 
1 – a) 
F s
s
s
zero z
polo pa
b g  


 
 
R
S|
T|
1
2 1
1
1
2
1
1
:
:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  
 
  
 
1
b 1
K
2
zero : z 1
40 s 1 s 1
F s 2 p 2
polos :s 2 s 10 s s
1 1 p 10
2 10

 
  
    
           
   
20 log K   6 dB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,05 0,1 0,5 
  – 13,5 
0,01 
 (rad/s) 
10 1 
0 
Assíntota Composta 
5 
  Fa(j) (graus) 
  12 
6 
100 
 Fb( j )  (dB) 
 
 (rad/s) 1 0,1 2 20 10 
0 
Assíntota Composta 
 + 20dB/déc. – 20dB/déc. 
0,01 
Fa( j )  (dB) 
 (rad/s) 
  – 6 
0,1 0,5 1 5 10 
0 
Assíntota Composta 
 – 20dB/déc. 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)      
 
1
1 2c 2 2
3K
zero : z 0
s 1 s
p p 2F s
polos :4s 2 s 1 s p 11 s 1
2


     
         
 
 
20 log K   
20
1
4
log
F
HG
I
KJ
  –12 dB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 – 31,5 
0,1 
  13,5 
 (rad/s) 0,2 1 
2 20 
0 
Assíntota Composta 
 – 90 
100 
  Fb(j) (graus) 
 – 58,5 
 (rad/s) 
1 
0,1 
2 10 100 
0 
Assíntota Composta 
 + 20dB/déc. 
 –12 
K 
 – 40dB/déc. 
 –32 
 –40 
Fc( j )  (dB) 
10 
 (rad/s) 
90 
  76,4 
0,1 0,2 
1 20 
0 
Assíntota Composta 
 –180 
100 
  Fc(j) (graus) 
 – 90 
  –153 
3 
 
d) 
 
 
  
2
1 2
2
1
d
2
K
3
zeros : z z 2s
1
p 0s 2 2 2
F s .
polos : p 5s s 5 s 10 25 s s
s 1 1
5 10 p 10
   
         
               
 
20 log K  = 
20
2
25
log
F
HG
I
KJ
  – 21,9 dB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Analisando cada frequência individualmente e considerando desprezível o erro de 
uma assíntota em cinco ou dez vezes sua frequência característica, temos: 
 
  = 1 rad/s : erro de  + 3 dB devido ao zero em  = 1 rad/s + erro de  –1 
dB devido ao polo em  = 2 rad/s  ERRO  +2 dB 
 
  = 2 rad/s : erro de  – 3 dB devido ao polo em  = 2 rad/s + erro de  +1 
dB devido ao zero em  = 1 rad/s  ERRO  –2 dB 
 
  = 10 rad/s : erro de  – 3 dB devido ao polo em  = 10 rad/s 
  ERRO  –3 dB 
 
  = 20 rad/s : erro de  – 1 dB devido ao polo em  = 10 rad/s 
  ERRO  –1 dB 
– 39,9 
–1,9 
5 100 50 20 2 10 1 0,1 
0 
Fd( j )  (dB) 
 (rad/s) 
K 
Assíntota Composta 
– 20 dB/déc. 
– 21,9 
–19,9 
– 27,9 
+20 dB/déc. – 20 dB/déc. 
 – 76,4 
 – 90 
50 0,2 0,1 
 – 40,6 
Assíntota Composta 
 (rad/s) 
10 0,5 1 
0 
  Fd(j) (graus) 
20 100 
 – 54,2 
4 
 
3 – 
G s
sa
s a
b g  
10
 , a > 0 
  
F
HG
I
KJ

F
HG
I
KJ

F
HG
I
KJ


F
HG
I
KJ

F
HG
I
KJ


 
RST

G s
a
a
s
a
s
a
s
a
s
a
zero z a
polo p a
K
b g
210
1
10
1
1
10
1
10
1
10
1
1
:
:
 
 
20 log K  = 
20
1
10
log
F
HG
I
KJ
 = –20 dB 
 
Como há um zero no semiplano direito, vamos verificar como ele difere de um zero 
no semiplano esquerdo a partir do seguinte diagrama de polos e zeros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notamos que os módulos da resposta em frequência para os zeros em s = a e s = – a 
são iguais, ou seja, 
 p–a = pa 
 
Notamos também que a soma das fases da resposta em frequência para os zeros em 
s = a e s = –a é de 180o. Logo, 
 a = 180o –  – a 
 
Assim, para construir o diagrama de Bode, vamos supor inicialmente o zero em s = 
–a e depois corrigir sua contribuição na fase da resposta em frequência de acordo 
com a expressão acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
–10 a Res 
Ims 
 a 
 j 
pa 
a –a 
0 –a 
p–a 
Assíntota Composta 
– 20 
G( j )  (dB) 
0 
 (rad/s) 
K 
0,1a a 10a 
+ 20 dB/déc. 
100a 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Possível aplicação: Circuito passa-altas para remoção de nível DC em sinal senoidal 
de frequência  > 10a. 
 
4 – Entrada : es(t) = (t)  Es(s) = 1 
Saída: h(t) = (t) + 1,8 e – 0,2 t H(t) 

 
H s
s
b g  

1
18
0 2
,
,
 
a) Função de rede: 
G s
H s
E s s
G s
s
s
s
ss K
b g b gb g b g 1     




F
HG
I
KJ

F
HG
I
KJ
1
18
0 2
2
0 2
10
2
1
0 2
1
,
, ,
,
 
 
 G s
s
s
s
s
zero z
polo p
K
b g 1




F
HG
I
KJ

F
HG
I
KJ

 
 
RST
2
0 2
10
2
1
0 2
1
2
0 2
1
1,
,
:
: ,
 
 
 20 log K  = 20 dB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
0 
45 
135 
180 
90 
Assíntota Composta 
 (rad/s) 0,1a 100a a 10a 
  G(j) (graus) 
20 
0 
G( j )  (dB) 
 (rad/s) 
K 
0,02 0,2 2 
Assíntota Composta 
– 20 dB/déc. 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) es(t) = cos ( 0,1t ) + 10 cos ( 4t ) 
 
 
   0 1 0 1 10 31 4, : , ,
rad
s
G j e j
ob g
 
 
   4 4 1 31 4
rad
s
G j e j
o
: ,b g
 
 
  e0(t) = 10 cos ( 0,1 t – 31,4o ) + 10 cos ( 4t – 31,4o ) 
 
5 – a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = EsY1 = – E2Y2  
G s
E s
E s
Y s
Y s
v
s
b g b gb g
b g
b g  
2 1
2
 
 
 
b) 
Y s s1b g  0 25 10 1
100 10
6
3
, .
.
  
Y s s s s1b g b g     0 25 10 10 10 0 25 106 5 6, . ,
 
 
Y s s s s2b g b g    0 02 10 1
100 10
10 0 02 106
3
6, .
.
,
 
 
 
    


G s
Y s
Y s
s
s0,02 10
vb g b gb g
1
2
0 25 10,
 
 
Es 
 
E2 
Y1 
Y2 
I 
I 
E2 
Es 
– 45 
  G(j) (graus) 
0 
 (rad/s) 
0,02 0,2 2 
20 
Assíntota Composta 
7 
 
   1v
1K
s
1
zero : z 4040
G s 1
s polo : p 500
1
500

 
        
    
 
 
 
 20 log K = 20 log 1 = 0 dB 
  K =  (–1) =  180o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – a) 
H s
s s
s
s
s s
s
sa
b g e j
b g b g

 
 
F
HG
I
KJ

 
 
F
HG
I
KJ
100 1
10 1
10
1
10
1
1
10
1
2 2 
 
 

  
  
R
S
||
T
||
 
 
RST
R
S
||||
T
||||
zeros
z j
z j
polos
p
p
:
:
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
10
 
 
 
Assíntota Composta 
50 
 – 180 
5000 400 
 (rad/s) 
1 
  G(j) (graus) 
4 
– 90 
 – 130,7 
0 
4 500 
0 
Gv( j )  (dB) 
 21,9 
 (rad/s) 1 
Assíntota Composta 
+ 20 dB/déc. 
40 5000 
8 
 
 
 
Par conjugado: fator quadrático 2
n
n n
1 rad/ss 2 s
1
0,5


     
     
      
 
 
20 log K  = 20 log 10 = 20 dB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
H s
s
s s
s
s s
b
K
b g
;

 

F
HG
I
KJ  
L
N
MM
O
Q
PP
2 210 100
1
100
10 10
1
.
 
  
zero z
polos
p j
p j
:
:
1
1
2
0
5 5 3
5 5 3

  
  
R
S|
T|
R
S||
T||
l
 
 
Par conjugado: fator quadrático 2
n
n n
10 rad/ss 2 s
1
0,5


     
     
      
 
 
20 log K  = 
20
1
100
40log
F
HG
I
KJ   dB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
0 
0,1 
K 
Assíntota Composta 
+ 20 dB/déc. 
Ha( j )  (dB) 
 (rad/s) 
20 
1 10 100 
– 40 K 
Assíntota Composta 
– 20 
0 
Hb( j )  (dB) 
 (rad/s) 
1 10 100 
 – 20dB/déc. 
+ 20 dB/déc. 
9 
 
7 – a) K  = 1 
 
zeros
z
z
polos
p
p p
p
:
:
1
2
1
2 3
4
0
30
1
8
100

 
RST
 
  
 
R
S|
T|
U
V
||||
W
||||
  F s
s
s
s 1
s s
b g
b g
 

F
HG
I
KJ
 
F
HG
I
KJ 
F
HG
I
KJ
1
30
1
8
1
100
1
2
.
 
 
 
  
F s
s s
s s s
b g b gb gb g b g
 

  
1
30
8 100
30
1 8 100
2
2
. .
 
 
 
  
F s
s s
s 1 s 8 s 100
b g b gb gb g b g
 

  
640
3
30
2
 
 
 
 b) 
zeros z z: 1 2 100  l
 
polos
p
fator quadrático
rad
s
p
n:
,
1
4
0
20
0 1
900



R
S|
T|
 
R
S
|||
T
|||


 
 
 0 8 20
1
,
?
rad s dB
rad s


RST
  

F
HG
I
KJ  20
1
0 8
20 1 25log
,
log ,b g
 
 
   = 1 rad/s  (20 – 20log (1,25)) dB 
  
K   

10
10
1 25
8
1 1 25log ,
,
b gc h
 
 
  H s
s
s
s s s
b g
b g

 
F
HG
I
KJ
F
HG
I
KJ  
L
N
MM
O
Q
PP 
F
HG
I
KJ
8
100
1
20
2 0 1
20
1
900
1
2
2
. ,
 = 
 
 = 


  
 

  
8
1
100
20 900
100
4 400 900
288
100
4 400 900
2
2
2 2
. . . .
s
s s s
s
s s s2 2
b g
e jb g
b g
e jb gs s
 
 
 = 1 
10 
 
 
 
 c) K  R+ 
1
1
2
zero : z 10
p 0
polos :
p 100 


  
 
 
 G s K
s
s
s
K
s
s s
b g b g

F
HG
I
KJ

F
HG
I
KJ



. ' .
10
1
100
1
10
100
 , K, K’ R+