Transformada de Laplace na Análise de Circuitos - Sala de Aula _ Estacio - 03-10-22 9LEAOUT DO SITE)

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DESCRIÇÃO
Conceitos de circuitos elétricos, e formulações da função de transferência e da resposta de um circuito linear invariante no tempo.
PROPÓSITO
Compreender os efeitos dos elementos básicos de circuito e da função de transferência na resposta de um sinal.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica, uma tabela de Transformada de Laplace e um simulador de circuitos – por exemplo, LTspice.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar a Transformada de Laplace e os modelos básicos dos elementos de circuitos no domínio da frequência complexa (s)
MÓDULO 2
Calcular a função de transferência e identificar a localização dos polos e zeros
MÓDULO 3
Calcular a resposta impulsiva, a resposta estacionária e a resposta a um sinal qualquer (integral de convolução)
Assista, a seguir, um vídeo sobre a Transformada de Laplace na análise de circuitos.
MÓDULO 1
 Empregar a Transformada de Laplace e os modelos básicos dos elementos de circuitos no domínio da frequência complexa (s)
INTRODUÇÃO
Assista, a seguir, ao vídeo sobre a Transformada de Laplace e os modelos básicos dos elementos de circuitos no domínio da frequência complexa (s).
TEORIA DE CIRCUITOS
A Teoria de Circuitos pode ser vista como uma simplificação da Teoria de Campos, em que são estudados os comportamentos de tensão e corrente sobre os elementos de circuito.
Um circuito pode ser interpretado como um sistema que recebe um sinal – tensão ou corrente – de entrada, x ( t ) e fornece um sinal de saída, y ( t ) , conforme ilustra a Figura 1.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 1 – Diagrama de um sistema
Para a análise desse sistema, devem ser feitas algumas considerações:
SISTEMA CAUSAL
A relação de entrada e saída consiste em causa e efeito. Isso significa que a saída não pode depender de um instante de tempo superior na entrada.
SISTEMA LINEAR
Se um sistema com entrada e saída conhecidas tiver a sua entrada multiplicada por uma constante, a saída será multiplicada pela mesma constante. Além disso, para um mesmo
sistema, se y1 ( t ) representar a resposta de x1 ( t ) e y2 ( t ) representar a resposta de x2 ( t ) , então a resposta às duas entradas aplicadas simultaneamente, ou seja, a soma 
x1 ( t ) + x2 ( t ) será y1 ( t ) + y2 ( t ) .
SISTEMA INVARIANTE NO TEMPO
A relação de entrada e saída independe do tempo. Dessa forma, se uma entrada sofrer um retardo temporal, x t - t0 , então a saída sofrerá o mesmo retardo temporal, y t - t0 .
ELEMENTOS DO CIRCUITO SÃO CONCENTRADOS
Os sinais são medidos no elemento como um todo, sem levar em consideração os efeitos e a variação ao longo do elemento de forma distribuída.
ELEMENTOS DO CIRCUITO
A relação de tensão e corrente entre os elementos passivos básicos de circuito – resistores, capacitores e indutores – está descrita na Tabela 1.
Tabela 1 – Elementos passivos básicos de um circuito
Elemento Unidade Relação de tensão e corrente Diagrama
Resistor (Resistência – R) ohms (Ω)
v ( t ) = Ri ( t )
i ( t ) = Gv ( t ) 
 
G =
1
R 
Fonte: EnsineMe
(Condutância – G) siemens (S)
( ) ( )
Capacitor (Capacitância – C) farads (F)
v t =
1
C
∫ idt i t = C
dv
dt
 
Fonte: EnsineMe
Indutor (Indutância – L) henrys (H) v t = L
di
dt
i t =
1
L
∫ vdt
 
Fonte: EnsineMe
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Além dos elementos passivos, cuja energia é armazenada ou dissipada, há também os elementos ativos. Os elementos ativos são aqueles capazes de fornecer energia ao circuito, ou
seja, as fontes.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Podemos notar, conhecendo as Leis de Kirchoff, que as soluções de circuito, no domínio do tempo, são formadas por equações diferenciais. Vejamos:
AN
DNY
DTN + AN - 1
DN - 1Y
DTN - 1 + … + A1
DY
DT + A0Y = BM
DMX
DTM + BM - 1
DM - 1X
DTM - 1 + … + B1
DX
DT + B0X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução desse tipo de equação se divide em duas etapas:
Cálculo da solução homogênea, yH t
Cálculo da solução particular, yP t
Como resultado, a solução completa consiste na soma das duas:
Y ( T ) = YH ( T ) + YP T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
A solução homogênea é aquela que independe da entrada, x ( t ) . Nesse sentido, solução homogênea é função apenas da topologia do circuito. Matematicamente, consiste na solução
da seguinte equação:
AN
DNY
DTN + AN - 1
DN - 1Y
DTN - 1 + … + A1
DY
DT + A0Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal solução possui a forma:
Y ( T ) = ERT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A técnica para encontrar essa solução se baseia na resolução da equação característica. A equação característica, por sua vez, é a equação polinomial formada ao substituir a
exponencial na equação homogênea. Vejamos:
ANRN + AN - 1RN - 1 + … + A1R + A0 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução homogênea, portanto, é dada por:
YH ( T ) = K1ER1T + K2ER2T + … + KNERNT
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso a equação característica tenha soluções complexas, elas resultarão em um sinal senoidal:
R1 = - Α + JΒ
R2 = - Α - JΒ → YH ( T ) = E - ΑT K1EJΒT + K2E - JΒT = KE - ΑTCOS ( ΒT + Φ )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO PARTICULAR
A solução particular, yP t , é a parcela da solução que consiste na resposta forçada ao sinal de entrada, x ( t ) .
Para calcular a solução particular, utilizamos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em determinar os coeficientes de uma hipótese inicial sobre a forma da solução.
A hipótese inicial é feita com base na forma do sinal de entrada, x ( t ) . Desse modo:
SE A ENTRADA FOR UMA EXPONENCIAL, SUPOMOS QUE YP T SERÁ UM MÚLTIPLO DESSA
EXPONENCIAL;
SE A ENTRADA FOR UM SINAL SENOIDAL, SUPOMOS QUE YP T SERÁ UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE
SENO E COSSENO;
SE A ENTRADA FOR UM POLINÔMIO, SUPOMOS QUE YP T SERÁ UM POLINÔMIO DE MESMO GRAU.
Na análise de circuitos senoidais, a resposta à entrada consiste na solução particular, yP t . Desse modo, fica claro que tratando-se de uma forma de onda senoidal, yP t
também terá uma forma de onda senoidal semelhante à entrada, x ( t ) , divergindo apenas em amplitude e fase.
SOLUÇÃO PARTICULAR: EXPONENCIAL COMPLEXO
Ao trabalhar os sinais senoidais como fasores, estamos trabalhando com exponenciais complexos. Mais uma vez, a resposta yP t terá a mesma forma de um exponencial complexo
semelhante à entrada, x ( t ) . A divergência se dará apenas por um fator multiplicativo constante complexo, que define sua amplitude e fase.
Desse modo, para uma entrada na forma:
X ( T ) = XEST
Em que X = Xmejϕx, em que Xm é o módulo e ϕx é a fase de X.
Teremos a seguinte resposta forçada:
YP ( T ) = YEST
Em que, Y = Ymejϕy, em que Ym é o módulo e ϕy é a fase de Y.
Ao definirmos a frequência complexa, s, como:
s = σ + jω
Em que σ e ω são números reais, teremos:
X ( T ) = XMEΣT COS ΩT + ΦX = RE XEST
YP ( T ) = YMEΣT COS ΩT + ΦY = RE YEST
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que Re ( ∙ ) representa a parte real dos fasores Xest e Yest.
DEMONSTRAÇÃO
Partindo dos conceitos que acabamos de ver, revisaremos os elementos básicos de circuito sob a ótica de um ferramental matemático de grande importância para o equacionamento
e a análise de circuitos – a Transformada de Laplace.
A Transformada de Laplace será capaz de nos fornecer não somente a resposta forçada – solução particular –, como também a resposta homogênea, ou seja, a resposta completa.
As técnicas para solução de equações diferenciais apresentadas na introdução deste módulo podem ser bastante complexas na análise de alguns circuitos. Desse modo, a
Transformada de Laplace se apresenta como um método mais adequado.
TRANSFORMADADE LAPLACE
O que é a Transformada de Laplace?
{ ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
{
( ) ( )
( ) ( )
A Transformada de Laplace consiste na transformada integral, no intervalo t ≥ 0, da função f ( t ) com a função núcleo e - st, ou seja:
L [ F ( T ) ] = F ( S ) = ∫
∞
0F ( T ) E - STDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que s é um parâmetro que pertence aos números complexos.
A finalidade de uma transformada integral é transformar um problema de difícil solução, f ( t ) , em outro mais simples, F ( s ) . Em seguida, inverte-se a resposta do domínio de s para t.
É possível, com base na definição da equação da transformada, demonstrar as propriedades listada na Tabela 2.
Tabela 2 – Propriedades da Transformada de Laplace
Linearidade L a1f1 ( t ) + a2f2 t = a1F1 ( s ) + a2F2 ( s )
Dilatação temporal L [ f ( at ) ] =
1
a F
s
a
Deslocamento temporal L f t - t0 u t - t0 = e - t0sF ( s )
Deslocamento em frequência L eatf ( t ) = F ( s - a )
Derivada L
d
dt f ( t ) = sF ( s ) - f ( 0 )
Múltiplas derivadas L
dn
dtn f t = snF ( s ) - ∑
n
k = 1sn - k
dk - 1
dtk - 1 f 0
Integral t ≥ 0 L ∫
t
0f ( τ ) dτ =
1
s F ( s )
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A Tabela 3 apresenta a Transformada de Laplace das principais funções utilizadas em circuitos elétricos.
Tabela 3 – Transformada de Laplace
Função – f ( t ) Transformada – F ( s ) Região de convergência
δ ( t ) 1 ∀σ∈ℝ
u ( t )
1
s
σ > 0
tn
n !
sn + 1
σ > 0
e - at
1
s + a
σ > - a
cos ω0t
s
s2 + ω
2
0
σ > 0
sen ω0t
ω0
s2 + ω
2
0
σ > 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
As funções δ ( t ) e u ( t ) consistem no impulso unitário e no degrau unitário, respectivamente, definidas como:
Δ ( T ) =
∞ , T = 0
0 , T ≠ 0 , ONDE ∫
∞
- ∞Δ ( T ) . DT = 1
U ( T ) =
1 , T ≥ 0
0 , T < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ( ) ]
( )
[ ( ) ( ) ]
[ ]
[ ]
[ ( ) ] ( )
[ ]
( )
( )
{
{
Quando a função F(s) for composta por uma razão de polinômios P(s) e Q(s), em que o grau do polinômio P(s) é menor do que o grau do polinômio Q(s), realiza-se o método das
frações parciais para reescrever a função. Vejamos como isso acontece:
F ( S ) =
P ( S )
Q ( S ) , ONDE Q ( S ) = S - S1 S - S2 … S - SN
F ( S ) =
K1
S - S1 +
K2
S - S2 + … +
KN
S - SN , ONDE KP = S - SP F ( S ) S = SP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso existam fatores repetidos em Q(s), o número de frações é ampliado, conforme o exemplo a seguir:
Q ( S ) = S - S1 R S - S2 … S - SN
F ( S ) =
K11
S - S1 +
K12
S - S1 2 + … +
K1R
S - S1 R +
K2
S - S2 + … +
KN
S - SN ,
ONDE K1R - Q =
1
Q !
DQ
DSQ S - S1 RF ( S ) S = S1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMAS DO VALOR – INICIAL E FINAL
A revisão da Transformada de Laplace se encerra com dois teoremas – Teorema do Valor Inicial e Teorema do Valor Final.
TEOREMA DO VALOR INICIAL
Pode ser demonstrado por meio da propriedade da derivada da Tabela 2, resultando na seguinte expressão:
F 0 = LIM
S → ∞
SF ( S )
TEOREMA DO VALOR FINAL
É possível demonstrar do mesmo modo, obtendo a seguinte expressão:
LIM
T → ∞
F ( T ) = LIM
S → 0
SF ( S )
FREQUÊNCIA COMPLEXA
Agora que já revisamos a Transformada de Laplace, a aplicaremos nos elementos de circuitos da Tabela 1. Para isso, vamos considerar os elementos reativos, capacitores e
indutores, inicialmente sem energia (descarregados), obtendo a Tabela 4.
Tabela 4 – Elementos passivos no domínio da frequência complexa (s), sem energia inicialmente armazenada
Elemento Relação de tensão e corrente Impedância, Z ( s ) Diagrama
Resistor v ( t ) = Ri ( t ) V ( s ) = RI ( s ) ZR =
V ( s )
I ( s ) = R
 
Fonte: EnsinaMe
Capacitor
v t =
1
C ∫ idt V s =
1
sC I s ZC =
V ( s )
I ( s ) =
1
sC
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ [ ( ) ] }
( )
( ) ( ) ( )
 
Fonte: EnsinaMe
Indutor v t = L
di
dt
V ( s ) = sLI ( s ) ZL =
V ( s )
I ( s ) = sL
 
Fonte: EnsinaMe
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Ao considerar os elementos reativos com energia inicialmente armazenada, temos uma tensão no capacitor e uma corrente no indutor, inicialmente.
INDUTOR
IL ( 0 ) = I0
V ( T ) = L
D
DT I ( T ) → V ( S ) = L [ SI ( S ) - I ( 0 ) ] → V ( S ) = SLI ( S ) - LI0 →
→ I ( S ) =
V ( S )
ZL +
I0
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAPACITOR
VC ( 0 ) = V0
I ( T ) = C
D
DT V ( T ) → I ( S ) = C [ SV ( S ) - V ( 0 ) ] → I ( S ) = SCV ( S ) - CV0 →
→ V ( S ) = ZCI ( S ) +
V0
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, o circuito equivalente às relações de corrente e tensão nos capacitores e indutores com energia armazenada no instante inicial (t = 0) está descrito na Tabela 5.
Tabela 5 – Elementos reativos no domínio da frequência complexa (s), com energia inicialmente armazenada, instante inicial (t = 0)
Elemento Relação de tensão e corrente Diagrama
Capacitor
V ( s ) = ZcI ( s ) +
V0
s
 
Fonte: EnsinaMe
I ( s ) =
V ( s )
Zc
- CV0
( )
 
Fonte: EnsinaMe
Indutor
I ( s ) =
V ( s )
ZL
+
I0
s
 
Fonte: EnsinaMe
V ( s ) = ZLI ( s ) - LI0
 
Fonte: EnsinaMe
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO RC SÉRIE INICIALMENTE DESCARREGADO DA FIGURA E.1. QUAL O COMPORTAMENTO DA TENSÃO SOBRE A
RESISTÊNCIA PARA T > 0 S, CONSIDERANDO QUE A FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA É LIGADA EM T = 0 S?
 FIGURA E.1
Ve-RCt V
V1-e-tRC V
Ve-tRC V
V1-e-RCt V
V1+e-tRC V
2. CONSIDERE O CIRCUITO CL PARALELO INICIALMENTE DESCARREGADO DA FIGURA E.2. QUAL O COMPORTAMENTO DA TENSÃO
SOBRE A RESISTÊNCIA PARA T > 0 S, CONSIDERANDO QUE A FONTE DE CORRENTE CONTÍNUA É LIGADA EM T = 0 S?
 FIGURA E2
ILCe-tLC V
ILC1-e-tLC V
ILCcostLC V
ILCsentLC V
ILCtgtLC V
3. DETERMINE A IMPEDÂNCIA DO CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN PARA O INDUTOR DO CIRCUITO DA FIGURA E.3,
CONSIDERANDO QUE NÃO HÁ ENERGIA INICIALMENTE ARMAZENADA E QUE A BATERIA É LIGADA EM T = 0 S.
 FIGURA E.3
ZThs=(R1+R2)1+sR1+R2C1+C2 Ω
ZThs=R1R2R1+R21+sR1R2R1+R2(C1+C2) Ω
ZThs=(R1+R2)1+sR1+R2C1C2C1+C2 Ω
ZThs=R1R2R1+R21+sR1R2R1+R2C1C2C1+C2 Ω
ZThs=R1+R21+sR1R2R1+R2C1+C2 Ω
4. DETERMINE A TENSÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN PARA O INDUTOR DO CIRCUITO DA FIGURA E.3 (EXERCÍCIO 3),
CONSIDERANDO QUE NÃO HÁ ENERGIA INICIALMENTE ARMAZENADA E QUE A BATERIA É LIGADA EM T = 0 S.
vTht=VR2R1+R21+R1C1-R2C2R2(C1+C2)e-tR1R2R1+R2C1+C2V
vTht=VR2R1+R21+R1C1+R2C2R2(C1+C2)e-tR1R2R1+R2C1+C2V
vTht=VR2R1+R21+R2C2-R1C1R2(C1+C2)e-tR1R2R1+R2C1+C2V
vTht=VR2R1+R21-R1C1+R2C2R2(C1+C2)e-tR1R2R1+R2C1+C2V
vTht=VR2R1+R21-R2C2-R1C1R2(C1+C2)e-tR1R2R1+R2C1+C2V
5. UM CIRCUITO POSSUI TENSÃO DE SAÍDA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA
VOS=5S+1S+12(S+2)V
DETERMINE A EXPRESSÃO QUE DEFINE A TENSÃO DE SAÍDA NO DOMÍNIO DO TEMPO:
vot=5e-t-9e-2t V
vot=9-4te-t-9e-2t V
vot=9e-t-4t-9e-2t V
vot=-4te-t-9e-2t V
vot=9+4te-t-9e-2t V
6. UM CIRCUITO POSSUI TENSÃO DE SAÍDA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA
VOS=SS2+2S+2
DETERMINE O VALOR INICIAL (T = 0 S) DA PRIMEIRA DERIVADA DESSA TENSÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO.
ddtvo0=-2 V/s
ddtvo0=1 V/s
ddtvo0=0 V/s
ddtvo0 é indefinido (tende ao infinito)
ddtvo0=2 V/s
TEORIA NA PRÁTICA
A Figura E4 apresenta um circuito simplificado de um disparador de airbag. Ao ser acionado, a chave é alterada da posição A para B. O airbag é disparado após o disparador,
representado por uma resistência, dissipar uma energia de pelo menos 1 J.
Determine o menor valor da diferença de tempo entre o disparo do airbag e o acionamento da chave que garante o correto funcionamento do dispositivo. Considere que o circuito com
a chave na posição A está operando no estado permanente.
 
Fonte: EnsinaMe
 Figura E4
RESOLUÇÃONo estado permanente, o capacitor já se encontra carregado. Portanto, a corrente é nula e a tensão no capacitor é igual à tensão da fonte, 12 V.
Ao mudar para a posição B e aplicar a Transformada de Laplace no circuito, temos:
 
Fonte: EnsinaMe
 Figura E4
A tensão sobre o resistor vale:
Vo ( s ) =
12s
s2 + 10s + 50
=
12 ( s + 5 )
( s + 5 ) 2 + 25
-
12 ( 5 )
( s + 5 ) 2 + 25
vo ( t ) = 12e - 5tcos ( 5t ) - 12e - 5tsen ( 5t ) = 12√2e - 5tcos 5t +
π
4
A corrente que passa pela resistência é:
io ( t ) =
vo ( t )
3
= 4√2e - 5tcos 5t +
π
4
A potência vale:
P ( t ) = vo ( t ) . io ( t ) = 96e - 10tcos2 
A energia vale:
Wt=∫0t96e-10τcos2 5τ+π4dτ=12e-10τcos 10τ+sen10τ-250t
=12e-10tcos 10t+sen10t-25+125
Para determinar o tempo, basta igualar a energia a 1 J:
12e-10tcos 10t+sen10t-25+125>1→t>27,4 ms→t=27,4 ms
Use uma calculadora gráfica para ver a resposta.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Calcular a Função de Transferência e identificar a localização dos polos e zeros
( )
( )
ASSISTA, A SEGUIR, AO VÍDEO SOBRE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E
IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DOS POLOS E ZEROS.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Existem três tipos de problemas de engenharia:
Problema de análise – dispõe-se do valor da entrada e do comportamento do sistema, e o objetivo é a obtenção da saída;
Problema de síntese – tem-se os valores de entrada e saída, e se deseja obter o comportamento do sistema;
Problema de obtenção de entrada – o valor da saída e o comportamento do sistema são conhecidos, desejando-se saber qual é a entrada.
NESSE CONTEXTO, O QUE SERIA O COMPORTAMENTO DO SISTEMA?
RESPOSTA
RESPOSTA
Em circuitos elétricos, o comportamento do sistema é conhecido como Função de Transferência ou Função de Circuito.
CÁLCULO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Já sabemos que as soluções de circuito, no domínio do tempo, são formadas por equações diferenciais, como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que não haja energia inicialmente armazenada e aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:
an + an−1 + … + a1 + a0y
dny
dtn
dn−1y
dtn−1
dy
dt
= bm + bm−1 + … + b1 + b0x
dmx
dtm
dm−1x
dtm−1
dx
dt
ans
nY (s)+an−1s
n−1Y (s)+ … + a1sY (s)+a0Y (s)= bms
mX(s)+bm−1s
m−1X(s)+ … + b1sX(s)+b0X(s)→
→(ansn + an−1sn−1 + … + a1s + a0)Y (s)=(bmsm + bm−1sm−1 + … + b1s + b0)X(s)→
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função H(s) corresponde à Função de Transferência do circuito e representa o comportamento do circuito. Essa função fornece, de forma simples, a resposta do circuito por meio de
um produto com o sinal de entrada.
A Função de Transferência pode ser reescrita da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes do polinômio do numerador, , correspondem aos zeros da Função de Transferência. Já as raízes do polinômio denominador, ,
correspondem aos polos da Função de Transferência.
Desse modo, os zeros correspondem aos valores de s para os quais H(s) = 0, e os polos correspondem aos valores de s para os quais H(s) tende ao infinito.
Uma vez que s é um número complexo tal que s = σ + jω, pode-se representar os polos e zeros no plano complexo. Os polos são representados por x e os zeros por o, como ilustra
o exemplo da Figura 1.
Figura 1: Representação de polos e zeros no plano complexo da Função de Transferência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Figura 1
Além disso, nota-se que o polinômio correspondente ao denominador de H(s) é o mesmo da equação característica, responsável pela resposta homogênea. Portanto, os polos são
responsáveis pela forma da resposta livre do circuito.
RELAÇÃO ENTRE POLOS E RESPOSTA DE UM CIRCUITO
É importante, nesse momento, conhecer os polos e sua relação com a resposta de um circuito. A Tabela 6 apresenta a resposta das principais distribuições de polos.
Tabela 6 – Resposta às principais distribuições de polos
Polos de H(s) no plano complexo Resposta no domínio do tempo, h(t) Ilustração de h(t)
(constante)
(exponencial crescente)
→ H(s)= = →
Y ( s )
X ( s )
bms
m+bm−1sm−1+…+b1s+b0
ansn+an−1sn−1+…+a1s+a0
→ Y (s)= H (s) .X(s)
H(s)= K ,   onde K =
( s−z1 ) ( s−z2 ) …(s−zm)
( s−p1 ) ( s−p2 ) …(s−pn)
bm
an
z1,  z2,  …  zm p1,  p2,  …  pn
H(s)= s+1
( s+2 ) ( s+j ) ( s−j )
K
K. eσ.t,   σ > 0
(exponencial decrescente)
(oscilação de amplitude constante)
(oscilação crescente)
(oscilação decrescente)
(oscilação crescente)
Fonte: EnsineMe.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Observando a Tabela 6, verificamos que a distância do polo ao eixo imaginário, σ, corresponde ao inverso da constante de tempo. Isso indica o quão rápido o sinal crescerá ou
decrescerá. Já a distância do pólo em relação ao eixo real, ω, corresponde à frequência angular de oscilação.
ESTABILIDADE
A Tabela 6 também ajuda a visualizar uma importante questão em circuitos elétricos: a estabilidade.
Destaca-se que respostas com sinais crescentes são instáveis. Desse modo, para um circuito ser dito estável, a Função de Transferência deve possuir polos no semiplano esquerdo,
σ<0.
Repare que a resposta natural, com apenas um único par de polos complexos conjugados no eixo imaginário, σ=0, possui a amplitude constante. Entretanto, isso não garante a
estabilidade do circuito.
Observe que, se for aplicado, à entrada do circuito, um sinal senoidal com a mesma frequência da frequência natural, a resposta será uma oscilação crescente – instável.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
A Figura E8 consiste no modelo simplificado de um transistor polarizado na região ativa (amplificador). Um parâmetro importante no projeto de um amplificador é o ganho, que é
extraído da Função de Transferência. Determine a função de transferência do amplificador.
K. eσ.t,   σ < 0
K. cos  (ω. t + ϕ)
K. eσ.t. cos(ω. t + ϕ),   σ > 0
K. eσ.t. cos(ω. t + ϕ),   σ < 0 
K1. cos  (ω. t + ϕ1)
+K2. t. cos  (ω. t + ϕ2)
 Figura E8
RESOLUÇÃO
O ganho do amplificador consiste no módulo da Função de Transferência e varia em função da frequência de operação.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular resposta impulsiva, resposta estacionária e resposta a um sinal qualquer – integral de convolução
Assista, a seguir, ao vídeo sobre a resposta impulsiva, a resposta estacionária e a resposta a um sinal qualquer (integral de Convolução).
SINAL DE ENTRADA
Algumas formas de onda de sinal de entrada em um sistema merecem destaque. Instalações elétricas, portadoras dos sistemas de comunicação e tons de áudio apresentam formas
de onda senoidais. Entretanto, respostas a sinais senoidais não fazem parte do escopo deste módulo.
 Fonte: Shutterstock.com
As pilhas e baterias apresentam sinais constantes e, comumente, são conectadas ao circuito por meio de uma chave. No caso de pilhas do tipo AAA, por exemplo, essa chave fecha
o circuito e altera a tensão de entrada de 0 V para 1,5 V, formando uma descontinuidade abrupta de tensão. A descontinuidade abrupta de tensão pode ser representada por uma
forma de onda denominada degrau (estacionária).
vp(t)= vi(t)→ Vp(s)= Vi(s)
1
100
1
100
Vo(s)= Vi(s) → H(s)=
1
1000
( )10.10
3
s10−6
10.103+ 1
s10−6
103
s+100
Conversores analógico-digital possuem uma etapa fundamental em sua construção, que consiste na amostragem do sinal analógico. Tal procedimento se dá por meio de um
chaveamento periódico, representado por um trem de pulsos.
Um pulso extremamente estreito e com amplitude muito elevada é denominado impulso.
Neste módulo, portanto, conheceremos a resposta às funções degrau e impulso – tema de grande importância.
DEMONSTRAÇÃO
FUNÇÃO DEGRAU E IMPULSO
 Figura 2 A
A função degrau, ilustrada na Figura 2a, é definida como:
Apesar de essa função ser bastante utilizada, quando um valor se altera rapidamente, a função se torna uma idealização, uma vez que alterações abruptas de tensão e correntenão
existem fisicamente.
Pode-se, portanto, reescrever a função degrau como uma função , com variação contínua e rápida, no lugar da variação instantânea em t = 0. Vejamos o que é
apresentado na Figura 2b, a seguir:
 Figura 2 B
 Figura 2 C
Ao derivar a função , obtém-se (Figura2c):
Ao considerar a variação temporal, ϵ, muito pequena, chega-se à função impulso, , ilustrada na Figura 2d, também conhecida como Delta de Dirac:
Em que,
 Figura 2 D
Figura 2 – Dedução da função impulso por meio da função degrau
u(t)={ 0,   t < 0
1,   t > 0
u(t) uϵ(t)
u(t)= lim
ϵ→0
 uϵ(t)
uϵ(t)=
⎧⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
0,              t < 0    
t,   0 < t < ϵ
1,              t > ϵ     
1
ϵ
uϵ(t) δϵ(t)
δϵ(t)=
⎧⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
0,              t < 0    
,   0 < t < ϵ
0,              t > ϵ     
1
ϵ
δ(t)
δ(t)={
0,                              t ≠ 0
indefinida,   t = 0
δ(t)= lim
ϵ→0
 δϵ(t)
Repare que, quando ϵ tende a 0, a amplitude da função tende ao infinito. Dessa forma, a função impulso, , não é definida no instante 0. Além disso, a área do pulso
retangular, , é constante e igual a 1. Portanto, o número 1, na Figura 2d, representa a área, e a seta vertical para cima indica que sua amplitude tende ao infinito.
Existem outras formas de se chegar à função impulso. No entanto, esta é suficiente para o entendimento e traz consigo uma importante relação com a função degrau:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma propriedade importante da função impulso é a chamada propriedade da amostragem:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o impulso possui valor nulo para qualquer instante de tempo diferente de a. Desse modo, o produto dela com uma função qualquer, x(t), será nulo em todo o instante
diferente de a.
Pode-se substituir, portanto, x(t) por x(a), que será uma constante, podendo sair da integral. Como a área do impulso, ou seja, a integral do impulso, vale 1, a resposta final da
integral será x(a), ou seja, a amostra de x(t) no instante a.
Com base nessa propriedade, calcula-se a Transformada de Laplace da função impulso:
Sabendo que , se então:
Portanto a resposta ao impulso é dada pela Transformada Inversa de Laplace da própria Função de transferência.
PARA X(T) = U(T), TEM-SE:
Pela propriedade da Transformada de Laplace da integral de uma função, temos:
Enquanto a resposta ao impulso é h(t), a resposta ao degrau é convencionalmente denominada r(t). Desse modo, fica evidenciada a relação entre a resposta ao degrau e a resposta
ao impulso:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Na verdade, essa relação é decorrente da linearidade.
De forma geral, para um circuito linear sem energia inicialmente armazenada, com entrada e saída , se a entrada fosse alterada por ou , a saída
seria ou , respectivamente.
RESPOSTA A UM SINAL QUALQUER (CONVOLUÇÃO)
Agora que conhecemos as funções degrau e impulso, e as suas respostas, iremos escrever um sinal qualquer como soma de uma dessas funções singulares.
δϵ(t) δ(t)
δϵ(t)
δ(t)= u(t)d
dt
∫ c
b
x(t). δ(t − a). dt = x(a),   b < a < c
L [δ(t)]= 1
Y (s)= H(s).X(s) x(t)= δ(t)
X(s)= L [δ(t)]= 1 →
→ Y (s)= H(s)→
→ y(t)= h(t)
X(s)= →1
s
→ Y (s)=
H ( s )
s
y(t)= ∫ t
0
h(τ)dτ
r(t)= ∫ t
0
h(τ)dτ 
h(t)= r(t)d
dt
x(t) y(t) ∫ t
0
x(τ)dτ x(t)d
dt
∫ t
0
y(τ)dτ x(t)d
dt
 Figura 3 a
A Figura 3a mostra o sinal escrito de forma aproximada como a soma de funções degrau da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, , consiste na diferença de altura entre cada função degrau.
Reescrevendo de uma forma mais genérica, temos:
Quanto mais estreito o intervalo de tempo ente os degraus, Δτ, o somatório das funções degrau se aproximará do real valor do sinal x(t). Sabendo que a resposta ao
degrau, u(t), é r(t), tem-se que a resposta de x(t) é:
Fazendo Δτ → 0:
 Figura 3 b
De forma similar, a Figura 3b mostra o sinal escrito de forma aproximada como a soma de funções impulso da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, x(τ)Δτ, representa a área sob a curva x(t) dentro de um intervalo de tempo Δτ.
Reescrevendo de uma forma mais genérica:
Sabendo que a resposta ao impulso, δ(t), é h(t), tem-se que a resposta de x(t) é:
Fazendo Δτ → 0:
Matematicamente, a convolução é definida da seguinte forma:
Uma vez que os sinais aplicados apresentam um tempo inicial e esse tempo é definido usualmente como t = 0 s, a demonstração apresentada com um limite de integração em t = 0 s
se deve ao fato de, para t < 0 s, as funções serem nulas, ou seja, é apenas uma particularidade das funções utilizadas na demonstração. Logo, sem perda de generalidade, temos:
x(t)= q(0)u(t)+q(τ1)u(t − τ1)+q(τ2)u(t − τ2)+q(τ3)u(t − τ3)
+q(τ4)u(t − τ4)+q(τ5)u(t − τ5)+q(τ6)u(t − τ6)+ …
q(t)= Δτ. x(t)d
dt
x(t)= ∑∞n=0 Δτ. x(τn).u(t − τn)
d
dt
y(t)= ∑∞n=0 Δτ. x(τn). r(t − τn)
d
dt
y(t)= ∫ ∞0 x(τ). r(t − τ). dτ
d
dt
x(t)= x(0)Δτδ(t)+x(τ1)Δτδ(t − τ1)+x(τ2)Δτδ(t − τ2)+x(τ3)Δτδ(t − τ3)
+x(τ4)Δτδ(t − τ4)+x(τ5)Δτδ(t − τ5)+x(τ6)Δτδ(t − τ6)+ …
x(t)= ∑∞n=0 x(τn). Δτ. δ(t − τn)
y(t)= ∑∞n=0 x(τn). Δτ.h(t − τn)
y(t)= ∫ ∞0 x(τ).h(t − τ). dτ
f*g = ∫ ∞
−∞
f(τ). g(t − τ). dτ
y(t)= x(t)*h(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como calculado anteriormente, a resposta y(t) também pode ser escrita por meio de uma operação de convolução em função da resposta ao degrau, da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Figura 3 – Sinal x(t) escrito pelas funções singulares, u(t) e δ(t)
Como propriedade da convolução, temos:
Comutativa: 
Distributiva: 
Associativa: 
Derivada: 
Além disso, a equação y(t) = x(t) * h(t) nos evidencia uma propriedade interessante em relação à Transformada de Laplace, visto que Y(s) = H(s)X(s).
Uma vez que, , tem-se:
Ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
A amostragem de um sinal é representada pelo produto desse sinal por um trem de pulsos espaçados por um intervalo de tempo correspondente ao inverso da frequência de
amostragem. Esse sinal amostrado é conhecido como modulação por amplitude de pulso (Pulse Amplitude Modulation, PAM). Com base nessa abordagem, existe um ramo de
estudo denominado Processamento Digital de Sinais.
Sabendo que o sinal x(t) = sen(πt) é amostrado com uma frequência de amostragem 8 vezes a frequência da senoide, e que esse sinal passa por um sistema com Função de
Transferência H(s), determine a resposta das 5 primeiras componentes do sinal amostrado.
RESOLUÇÃO
Determinação do intervalo de tempo entre cada impulso:
Determinação da resposta:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
y(t)= x(t)*r(t)d
dt
f*g = g*f
f*(g + h)= f*g + f*h
f*(g*h)=(f*g)*h
(f*g)= f*g = f* gd
dt
d
dt
d
dt
Y (s)= L [y(t)]
H(s)X(s)= L [h(t)*x(t)]
y(t)= h(t)*x(t)↔ Y (s)= H(s)X(s)
πT = 2π → T = 2 → f = 1
2
fa = 8f → fa = 4 → Ta =
1
4
xa(t)= sen(πt)[δ(t)+δ(t − )+δ(t − )+δ(t − )+δ(t − 1)]14
1
2
3
4
xa(t)= δ(t − )+δ(t − )+ δ(t − )
√2
2
1
4
1
2
√2
2
3
4
ya(t)= h(t − )+h(t − )+ h(t − )
√2
2
1
4
1
2
√2
2
3
4
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, estudamos os princípios básicos do cálculo da resposta de um circuito. Partimos de uma revisão de Transformada de Laplace e aplicamos essa ferramenta, alterando o
domínio do tempo para o domínio da frequência complexa, de modo a simplificar o equacionamento das malhas de um circuito.
Em seguida, foi apresentado o conceito de Função de Transferência, por meio da qual é possível saber a estabilidade do circuito com base na localização de seus polos no plano
complexo.
Por fim, estudamos a resposta ao impulso e ao degrau, relacionando-as com a Função de Transferência e obtendo a resposta a um sinal qualquer por meio da convolução.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIASBOYCE, W. E. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
CLOSE, C. M. Circuitos lineares. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
SVOBODA, J.; DORF, R. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
EXPLORE+
Para aprofundar-se no assunto, resolva os exercícios dos livros listados na bibliografia referentes aos assuntos abordados neste Tema.
CONTEUDISTA
Rafael Rocha Heymann
 CURRÍCULO LATTES
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