Teste 2 Econometria I 2015.01

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 Teste 2 de Econometria I 
IE-UFRJ 2015.01 
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1) Além do método dos mínimos quadrados ordinários, outros métodos de estimação podem ser utilizados para 
se estimar os parâmetros do modelo de regressão 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 . Em particular, conhecendo a 
distribuição de Yi, podemos obter uma estimativa para os parâmetros 𝛽1 𝑒 𝛽2 que maximize a probabilidade de 
observarmos os valores amostrais que temos para Yi , i = 1, 2, ... , n. Imagine que, no modelo proposto, os Yi se 
distribuam de maneira normal e independente, com média dada por 𝜇 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 e variância 𝜎
2. Sabemos 
que a função de densidade de uma variável com distribuição normal com média 𝜇 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 e variância 𝜎
2 
é dada por 
 
𝑓(𝑌𝑖) =
1
𝜎√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 {−
1
2
(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)
2
𝜎2
} 
 
Assim, a probabilidade conjunta de observarmos 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 será dada pelo produto 𝑓(𝑌1). 𝑓(𝑌2). … . 𝑓(𝑌𝑛). 
Ou seja, 
 
𝑓(𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛; 𝛽1 + 𝛽2 , 𝜎
2) = 
1
𝜎𝑛(2𝜋)𝑛
𝑒𝑥𝑝 {−
1
2
∑
(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)
2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
} 
 
 Com valores conhecidos para Yi (e Xi), mas não conhecidos para 𝛽1, 𝛽2, 𝑒 𝜎
2, a função acima é chamada de 
função de verossimilhança (FV). Na sua forma logarítmica (i.e., aplicando-se o ln), a função de verossimilhança 
torna-se: 
 
𝑙𝑛𝐹𝑉 = −
𝑛
2
ln 𝜎2 −
𝑛
2
ln(2𝜋) −
1
2
∑
(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)
2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
 
 
Os valores dos betas que maximizam essa função (lnFV) são os estimadores de máxima verossimilhança 
�̂�1𝑀𝑉 𝑒 �̂�2𝑀𝑉. Ou seja, para obtê-los, é necessário maximizar lnFV em relação à 𝛽1 e à 𝛽2 (um exercício 
direto de cálculo diferencial). 
 
Com base nessas informações, obtenha os estimadores de máxima verossimilhança para 𝛽1 e à 𝛽2. Eles 
diferem dos obtidos por MQO? 
 
2) Suponha agora que um modelo semelhante foi estimado por MQO e os seguintes resultados foram obtidos: 
�̂�𝑖 = 2,374 + 0,1054𝑋𝑖 
Y = proporção da renda total do país apropriada pelos 20% mais pobres (em pontos percentuais); 
X= taxa de variação do consumo final da administração pública (em pontos percentuais) 
 
a) Interprete o resultado da regressão. 
b) Podemos construir a variável aleatória 𝑡 =
�̂�−𝛽
𝑒𝑝�̂�
∼ 𝑡𝑛−𝑘 . E, para um dado nível de significância 𝛼, podemos 
obter da tabela de distribuição t, os valores críticos (tc) tais que 𝑝𝑟𝑜𝑏(−𝑡𝑐 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑐) = 1 − 𝛼. Substituindo a 
variável aleatória 𝑡 =
�̂�−𝛽
𝑒𝑝�̂�
 na expressão da probabilidade e rearranjando os termos, podemos escrever 
𝑝𝑟𝑜𝑏(�̂� − 𝑡𝑐 . 𝑒𝑝�̂� ≤ 𝛽 ≤ �̂� + 𝑡𝑐 . 𝑒𝑝�̂�) = 1 − 𝛼 . Assim, supondo um 𝛼 = 5%, podemos dizer que, em 
amostras repetidas, em 95 de 100 vezes, o intervalo �̂� ± 𝑡𝑐 . 𝑒𝑝�̂� conterá o valor específico 𝛽. Utilizando o 
valor t crítico (tc) = 2 e sabendo que o erro-padrão estimado para o coeficiente angular (𝛽2) é ep=0,05, construa 
um intervalo de confiança para 𝛽2.