EAD350 II 2017 Atividade1 Soluções

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EAD 350 
 Pesquisa Operacional 
Atividade 1 - Solução 
Prof. Hiroo Takaoka 
 
 
takaoka@usp.br 
FEA/USP 
Atividade 1 - Exercício 1A para 08/08/2017 - Entregar 
em papel, no início da aula, apresentando os cálculos 
realizados (exercício individual) 
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em 
duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo 
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta 
para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais 
de uma tonelada (1t) 
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
 
(TAHA, 2008) 
Matéria Prima 
Consumo de Matéria Prima 
 por Tonelada de Tinta 
Disponibilidade 
Diária de Matéria 
Prima por Dia 
(Tonelada) 
Tinta para 
Exteriores 
Tinta para 
Interiores 
M1 6 4 24 
M2 1 2 6 
Lucro por 
Tonelada 
5 4 
Exercício 1A – Reddy Mikks - Solução 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2 
Sujeito a 
Restrição da matéria prima M1 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
Restrição da matéria prima M2 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
Restrição da oferta de tinta para interiores 
(Oferta máxima de tinta para interiores não pode 
ultrapassar a de tinta para exteriores em mais de 1 
tonelada) 
1X2 < 1 + 1X1 (Oferta Interior) 
Restrição da demanda de tinta para interior 
 0X1 +1X2 < 2 (Demanda Interior) 
X1, X2 > 0 
Variáveis de Decisão 
X1 – Tinta para exteriores 
X2 – Tinta para interiores 
Não poderia ser deixada formulada 
assim, pois infringe as regras de PL. 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2 
Sujeito a 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
-1X1 + 1X2 < 1 (Oferta Interior) 
0X1 + 1X2 < 2 (Demanda Interior) 
X1, X2 > 0 
Exercício 1A – Reddy Mikks - Solução 
X2 
X1 1 2 3 4 5 6 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDE 
A 
C 
0 
E 
F 
Ponto X1 X2 Z 
A 0 0 0 
B 0 1 4 
C 1 2 13 
D 2 2 18 
E 3 1,5 21 
F 4 0 20 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2 
Sujeito a 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
-1X1 + 1X2 < 1 (Oferta Interior) 
 0X1 +1X2 < 2 (Demanda Interior) 
X1, X2 > 0 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
B 
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior) 
X2 < 2 (Demanda Interior) 
D 
X1 – Tinta para exteriores 
X2 – Tinta para interiores 
Exercício 1A – Reddy Mikks - Solução 
X2 
X1 1 2 3 4 5 6 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDE 
A 
C 
0 
E 
F 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2 
Sujeito a 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
-1X1 + 1X2 < 1 (Oferta Interior) 
 0X1 +1X2 < 2 (Demanda Interior) 
X1, X2 > 0 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
B 
-1X1 + 1X2 < 1 (Oferta Interior) 
X2 < 2 (Demanda Interior) 
D 
Os valores de X1 e X2 
relacionados com o ponto ótimo 
E podem ser obtidos a partir da 
solução do par de equações das 
retas limites das restrições de: 
X1 + 2X2 = 6 (M2) 
6X1 + 4X2 = 24 (M1) 
E(3; 1,5) 
Z = 5(3) + 4(1,5) = 21 
21 = 5X1 + 4X2 
Identificação Gráfica da Solução Ótima 
 Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular 
usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais 
saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades 
certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados 
requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de 
custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento 
(podem ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Atividade 1 – Exercício 1B para 08/08/2017 - Entregar 
em papel, no início da aula, apresentando os cálculos 
realizados (exercício individual) 
Ingrediente 
Ingredientes por Grama em 
cada Porção Exigências Diárias 
(Gramas) 
Bife Batata 
Carboidratos 5 15 > 50 
Proteínas 20 5 > 40 
Gordura 15 2 < 60 
Custo por 
Porção 
US$4 US$2 
Exercício 1B– Dieta - Solução 
X2 
X1 5 10 15 20 25 30 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 
Conjunto de soluções 
viáveis: Polígono 
ABCD 
A 
B 
0 
C 
D 
Ponto X1 X2 Z 
A 1,272 2,909 10,909 
B 0 8 16 
C 0 30 60 
D 3,73 2,09 29 
X1 – quantidade de bife 
X2 – quantidade de batata 
 
Min Z (Custo) = 4X1 + 2X2 
Sujeito a 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 
X1, X2 > 0 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 
Exercício 1B– Dieta - Solução 
X2 
X1 5 10 15 20 25 30 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 
Conjunto de soluções 
viáveis: Polígono 
ABCD 
A 
B 
0 
C 
D 
Min Z (Custo) = 4X1 + 2X2 
Sujeito a 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 
X1, X2 > 0 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 
Os valores de X1 e X2 
relacionados com o ponto ótimo 
A podem ser obtidos a partir da 
solução do par de equações das 
retas limites das restrições de: 
5X1 + 15X2 = 50 (Carboidrato) 
20X1 + 5X2 = 40 (Proteína) 
A(1,272; 2,909) 
Z = 4(1,272) + 2(2,909) 
Z = 10,909 
Identificação Gráfica da Solução Ótima 
• A Ozark Farm usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia. 
Essa ração é uma mistura de dois componentes, milho e soja, com 
as composições nutricionais apresentadas na tabela abaixo. 
• Os requisitos nutricionais da ração exigem que sua composição 
possua no mínimo 30% de proteína e no máximo 5% de fibra. 
 
 
 
 
 
 
 A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema. 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
 
 (TAHA, 2008) 
Atividade 1 - Exercício 1C para 08/08/2017 - Entregar 
em papel, no início da aula, apresentando os cálculos 
realizados (exercício individual) 
Componente 
Composição por Quilo 
de Componente Custo por Quilo 
($) 
Proteína Fibra 
Milho 9% 2% 0,3 
Soja 60% 6% 0,9 
Exercício 1C – Ozark Farm – Modelo de PL 
Min Z (Custo) = 0,3X1 + 0,9X2 
Sujeito a 
Restrição de Ração 
 X1 + X2 > 800 (Ração) 
Restrição de Fibra (5% na ração) 
 2X1 + 6X2 < 5(X1 + X2) 
 -3X1 + 1X2 < 0 
Restrição de Proteína (30% na ração) 
 9X1 + 60X2 > 30(X1 + X2) 
 -21X1 + 30X2 > 0) 
Min Z (Custo) = 0,3X1 + 0,9X2 
Sujeito a 
X1 + X2 > 800 (Ração) 
-3X1 + 1X2 < 0 (Fibra) 
-21X1 + 30X2 > 0 (Proteína) 
X1, X2 > 0 
Variáveis de decisão 
 X1 – quantidade de milho 
 X2 – quantidade de soja 
Não poderia ser deixada formulada 
assim, pois infringe as regras de PL. 
Exercício 1C – Ozark Farm - Solução 
X2 
X1 200 400 600 800 1000 1200 
200 
400 
600 
800 
1000 
1200 
X1 + X2 > 800 (Ração) 
A 
B 
0 
Ponto X1 X2 Z 
A 470,6 329,4 437,6 
B 200 600 600 
Min Z (Custo) = 0,3X1 + 0,9X2 
Sujeito a 
X1 + X2 > 800 (Ração) 
-3X1 + 1X2 < 0 (Fibra) 
-21X1 + 30X2 > 0 (Proteína) 
X1, X2 > 0 
1400 1600 1800 2000 
-3X1 + 1X2 < 0 (Fibra) 
-21X1 + 30X2 > 0 (Proteína) 
Solução Ótima 
Conjunto de 
soluções viáveis 
Exercício 1C – Ozark Farm - Solução 
X2 
X1 200 400 600 800 1000 1200 
200 
400 
600 
800 
1000 
1200 
X1 + X2 > 800 (Ração)A 
B 
0 
Min Z (Custo) = 0,3X1 + 0,9X2 
Sujeito a 
X1 + X2 > 800 (Ração) 
-3X1 + 1X2 < 0 (Fibra) 
-21X1 + 30X2 > 0 (Proteína) 
X1, X2 > 0 
1400 1600 1800 2000 
-3X1 + 1X2 < 0 (Fibra) 
-21X1 + 30X2 > 0 (Proteína) 
Identificação Gráfica da Solução Ótima 
437,6 = 0,3X1 + 0,9X2 
Os valores de X1 e X2 relacionados com 
o ponto ótimo C podem ser obtidos a 
partir da solução do par de equações das 
retas limites das restrições de: 
X1 + X2 = 800 (Ração) 
-21X1 + 30X2 = 0 (Proteína) 
A(470,6; 329,4) 
Z =437,6 
Conjunto de 
soluções viáveis