Prova 44

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2011/1
Primeira Prova (P1) – 04/05/2011
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 3,0 pontos e a segunda, 2,0 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·dA = Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U = 1
4pi�0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Numa regia˜o do espac¸o de interesse, existe
um campo ele´trico constante (uniforme e esta-
ciona´rio), na direc¸a˜o e sentido de xˆ. Nessa mesma
regia˜o, temos uma superf´ıcie cu´bica abstrata, que
encerra uma part´ıcula (pontual) de carga Q > 0
localizada no seu centro. Treˆs das faces do cubo
esta˜o assinaladas na figura: as faces 1 e 3 sa˜o para-
lelas ao plano Y Z, ao passo que a face 2 e´ paralela
ao plano XZ. Em relac¸a˜o ao fluxo Φi (i = 1, 2, 3)
do campo ele´trico atrave´s de cada uma dessas fa-
ces (com orientac¸a˜o do vetor normal para fora,
como usual), qual das alternativas abaixo e´ a cor-
reta?
(a) Φ1 > Φ2 > Φ3.
(b) Φ1 > Φ2 = Φ3.
(c) Φ1 = Φ2 > Φ3.
(d) Φ1 = Φ2 = Φ3.
(e) Φ1 < Φ2 < Φ3.
2. Qual dos gra´ficos abaixo melhor representa o po-
tencial eletrosta´tico de uma esfera de raio R e
carga Q > 0 uniformemente distribu´ıda em todo
o seu interior, supondo o potencial zero no infi-
nito?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, de a´rea
A, a distaˆncia D, e´ “recheado” por uma chapa
condutora, tambe´m de a´rea A, e espessura d < D.
A capacitaˆncia de tal capacitor e´:
(a) 2�0
A
a
.
(b) �0
A
d
.
(c) �0
A
2a
.
(d) �0
A
D
.
(e) 2�0
A
d
.
4. Treˆs ane´is circulares, de mesmo raio, cujos
quadrantes foram carregados uniformemente com
cargas positivas e negativas, de mesmo mo´dulo,
esta˜o representados na figura abaixo. Considere
as seguintes afirmac¸o˜es: (A) o campo ele´trico no
centro do anel I e´ nulo; (B) o campo ele´trico no
centro do anel II tem direc¸a˜o e sentido de −yˆ ;
(C) o campo ele´trico no centro do anel III tem
direc¸a˜o e sentido de −xˆ− yˆ .
(a) Somente a afirmac¸a˜o A esta´ correta.
(b) Somente a afirmac¸a˜o B esta´ correta.
(c) Somente a afirmac¸a˜o C esta´ correta.
(d) Somente as afirmac¸o˜es A e B esta˜o corre-
tas.
(e) Somente as afirmac¸o˜es A e C esta˜o corre-
tas.
(f) Somente as afirmac¸o˜es B e C esta˜o corre-
tas.
(g) Todas as treˆs afirmac¸o˜es (A, B e C) esta˜o
corretas.
5. Duas esferas condutoras, carregadas, de raiosR1 e
R2 esta˜o afastadas a uma distaˆncia muito grande,
de modo que o campo ele´trico na vizinhanc¸a de
cada esfera pode ser considerado como somente
devido a` distribuic¸a˜o de carga uniforme da pro´pria
esfera. As esferas esta˜o ligadas por um fio con-
dutor fino que simplesmente promove o contato
ele´trico entre elas. Se R2 = 3R1, qual e´ a
afirmac¸a˜o verdadeira?
(a) E2 = 3E1.
(b) E1 = 9E2.
(c) E2 = E1.
(d) E1 = 3E2.
(e) E2 = 9E1.
6. Uma esfera so´lida meta´lica de raio a e uma
casca esfe´rica bidimensional, de raio b > a sa˜o
conceˆntricas e esta˜o, cada uma, em equil´ıbrio ele-
trosta´tico (sem contato). Na esfera interna, existe
uma carga q, ao passo que, na casca externa,
existe uma carga −q. Qual das afirmativas abaixo
corresponde ao potencial eletrosta´tico desse sis-
tema nas regio˜es: (i) 0 ≤ r ≤ a; (ii) a ≤ r ≤ b;
(iii) b ≤ r <∞? Considere o potencial como zero
no infinito.
(a) Vi =
q
4pi�0
(
1
a
− 1
b
)
;
Vii =
q
4pi�0
(
1
r
− 1
b
)
;
Viii =
q
4pi�0
(
1
b
− 1
a
)
.
(b) Vi =
q
4pi�0
(
1
a
− 1
b
)
;
Vii =
q
4pi�0
(
1
r
− 1
b
)
; Viii = 0.
(c) Vi =
q
4pi�0
(
1
a
− 1
b
)
; Vii = 0;
Viii =
q
4pi�0
(
1
b
− 1
a
)
.
(d) Vi = 0; Vii =
q
4pi�0
(
1
r
− 1
b
)
;
Viii =
q
4pi�0
(
1
b
− 1
a
)
.
(e) Vi = 0; Vii =
q
4pi�0
(
1
r
− 1
b
)
; Viii = 0.
(f) Vi = 0; Vii = 0; Viii = 0.
3
7. A figura representa o perfil de uma placa con-
dutora de espessura d finita e demais dimenso˜es
muito maiores que d. A densidade superfi-
cial de carga σ em ambas as faces da placa e´
constante (uniforme e estaciona´ria). Conside-
rando as treˆs superf´ıcies cil´ındricas indicadas na
figura, qual das afirmativas abaixo e´ correta?
(a) E1 > E2 > E3.
(b) E1 > E2 = E3.
(c) E1 = E2 > E3.
(d) E1 < E2 < E3.
(e) E1 = E2 = E3.
8. Duas part´ıculas (pontuais), separadas por uma
distaˆncia d, com cargas ele´tricas q1 e q2 dife-
rentes (q1 6= q2), produzem um potencial nulo
num ponto P do espac¸o. Tomando o potencial
como zero no infinito, isso significa necessaria-
mente que
(a) na˜o ha´ forc¸a ele´trica atuando sobre uma
outra part´ıcula de teste colocada no
ponto P .
(b) as cargas q1 e q2 devem ter o mesmo sinal.
(c) o trabalho para colocar a part´ıcula de
carga q1 a uma distaˆncia d da part´ıcula
de carga q2 e´ zero.
(d) o trabalho para trazer uma part´ıcula de
teste carregada, desde o infinito ate´ o
ponto P , e´ zero.
9. Temos treˆs distribuic¸o˜es na˜o homogeˆneas de
carga: (1) uma distribuic¸a˜o linear num fio de
comprimento R, cuja densidade linear de carga e´:
λ(x) = α1x (0 ≤ x ≤ R); (2) uma distribuic¸a˜o su-
perficial sobre um disco de raio R, cuja densidade
superficial e´: σ(r) = α2r (0 ≤ r ≤ R); (3) uma
distribuic¸a˜o volumar numa esfera de raio R, cuja
densidade volumar e´: ρ(r) = α3r (0 ≤ r ≤ R).
Aqui, αi (i = 1, 2, 3) sa˜o constantes. A carga total
de cada uma dessas treˆs distribuic¸o˜es e´ a mesma,
Q. Qual das afirmativas abaixo e´ a correta?
(a) α1 =
2Q
R2
; α2 =
3Q
2piR3
; α3 =
Q
piR4
.
(b) α1 =
Q
2R2
; α2 =
Q
6piR3
; α3 =
Q
16piR4
.
(c) α1 =
2Q
R2
; α2 =
Q
6piR3
; α3 =
Q
16piR4
.
(d) α1 =
2Q
R2
; α2 =
3Q2
2piR3
; α3 =
Q3
piR4
.
(e) α1 =
Q
2R2
; α2 =
Q2
6piR3
; α3 =
Q3
16piR4
.
(f) α1 = QR; α2 = QpiR
2; α3 =
Q4piR3
3
.
10. Qual das seguintes afirmativas e´ falsa?
(a) No processo de carregamento de um ca-
pacitor, cria-se um campo ele´trico entre
suas placas.
(b) O trabalho necessa´rio para se carregar
um capacitor pode ser pensado como
o trabalho necessa´rio para se criar um
campo ele´trico entre suas placas.
(c) A densidade de energia na regia˜o entre
as placas de um capacitor depende line-
armente do mo´dulo do campo ele´trico.
(d) A diferenc¸a de potencial entre as placas
de um capacitor plano-paralelo depende
linearmente do mo´dulo do campo ele´trico.
(e) Ao dobrarmos a carga em cada uma das
placas de um capacitor dado, dobramos a
diferenc¸a de potencial entre suas placas.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)
1. [3,0 pontos] Uma esfera, de raio a e carga total Q,
possui uma densidade volumar (resultante)de carga
estaciona´ria, mas na˜o uniforme, dada por
ρ = Ar (r < a) ,
onde A e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ate´ o
seu centro. Essa esfera esta´ envolta por uma casca
esfe´rica condutora, conceˆntrica, de raio interno b e
raio externo c, com carga total −2Q, em equil´ırio ele-
trosta´tico (cf. figura ao lado).
(a) Expresse a constante A como func¸a˜o de a e Q. [0,3
ponto]
(b) Quais sa˜o as densidades superficiais de carga na
casca esfe´rica condutora? [0,3 ponto]
(c) Determine o campo ele´trico nas quatro regio˜es:
(I) 0 ≤ r ≤ a, (II) a ≤ r < b, (III) b < r < c, e (IV)
c < r <∞. [1,2 ponto]
(d) Determine o potencial eletrosta´tico nas quatro
regio˜es supracitadas, tomando-o como zero no infi-
nito. [1,2 ponto]
5
2. [2,0 pontos] Um capacitor plano-paralelo tem placas
ideˆnticas de a´rea A, cada uma, com separac¸a˜o L en-
tre elas (cf. parte superior da figura ao lado). Numa
primeira etapa, tal capacitor e´ ligado a uma bateria
ate´ atingir um mo´dulo de diferenc¸a de potencial V0
entre suas placas e, imediatamente, desconectado da
bateria.
(a) Determine o mo´dulo E0 do campo ele´trico e a
energia eletrosta´tica armazenada U0. [0,5 ponto]
Numa segunda etapa, um isolante de constante
diele´trica K e´ inserido no capacitor, preenchendo pela
metade a regia˜o entre suas placas, conforme mostrado
na parte inferior da figura ao lado.
(b) Determine o mo´dulo V da nova diferenc¸a de po-
tencial entre as placas. [0,5 ponto]
(c) Determine o mo´dulo Ei (i = 1, 2) do novo campo
ele´trico em cada uma das duas “metades” (1 e 2) en-
tre as placas. [0,5 ponto]
(d) Determine a nova energia eletrosta´tica armaze-
nada U . [0,5 ponto]
7
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (a)
3. (c)
4. (g)
5. (d)
6. (b)
7. (e)
8. (d)
9. (a)
10. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Por simetria esfe´rica, temos que a carga total, informada como sendo Q, para a esfera interna, de raio
a, deve ser dada por
Q =
∫ a
r=0
ρ(r)4pir2dr
= 4piA
∫ a
r=0
r3dr
= piAa4 .
Logo,
A =
Q
pia4
. (1)
�
(b) Como a casca esfe´rica encontra-se em equil´ıbrio eletrosta´tico, so´ pode haver densidades superficiais de
carga (se for o caso), em suas superf´ıcies interna e externa. Concretamente, como consequ¨eˆncia imediata
da lei de Gauss aplicada para uma gaussiana ligeiramente maior que a superf´ıcie interna da casca, de raio
b, necessariamente a´ı deve surgir uma densidade superficial igual a
σb = − Q
4pib2
.
Portanto, devido a` informac¸a˜o de que ha´ uma carga total −2Q na casca (que se conserva no processo de
redistribuic¸a˜o das cargas na casca ate´ o alcance do equil´ıbrio), surgira´ uma densidade superficial na sua
superf´ıcie externa, de raio c, igual a
σc = − Q
4pic2
.
�
(c)
• 0 ≤ r ≤ a:
Devido a` simetria esfe´rica, sabemos que o campo ele´trico dentro da esfera (e, na verdade, em qualquer
ponto do espac¸o, mesmo nas outras treˆs regio˜es), so´ pode ter componente radial, sendo essa dependente
somente da distaˆncia r, ou seja:
E(r) = Er(r) rˆ ,
onde, e´ claro, r = rrˆ. Destarte, somos levados a usar a lei de Gauss para calcular tal campo,
escolhendo como gaussiana uma superf´ıcie esfe´rica, conceˆntrica com a esfera interna, de raio a, e tendo
(a gaussiana) raio gene´rico r, tal que, obviamente, 0 ≤ r ≤ a. Com isso, o fluxo do campo ele´trico
2
pode-se expressar como
ΦE [S] :=
∫
S
E · nˆdA
=
∫
S
Er(r)rˆ · nˆdA
=
∫
S
Er(r)rˆ · rˆdA
=
∫
S
Er(r)dA
= Er(r)
∫
S
dA
= 4pir2Er(r) . (2)
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos agora calcular o quanto de carga existe dentro da
gaussiana escolhida. Isso e´ ana´logo a`s passagens do item (a). De fato, agora,
Qint[S] =
∫ r
r′=0
ρ(r′)4pir′2dr′
= piAr4 = Q
( r
a
)4
. (3)
Usando, enta˜o, (2) e (3), obtemos, finalmente,
E(r) =
Ar2
4�0
rˆ =
Qr2
4pi�0a4
rˆ . (4)
• a ≤ r < b:
Nesta regia˜o, vazia, e´ como se o campo fosse devido a uma part´ıcula (pontual) no centro de simetria
(a origem) de carga Q (a carga encerrada por uma correspondente gaussiana). Logo,
E(r) =
1
4pi�0
Q
r2
rˆ . (5)
• b < r < c:
Nesta regia˜o, por ser condutora e estar em equil´ıbrio eletrosta´tico, devemos ter campo nulo:
E(r) = 0 . (6)
• c < r <∞:
Nesta regia˜o, por analogia com a segunda, com r entre a e b, temos um campo como que devido a
uma part´ıcula (pontual) no centro de simetria (a origem) de carga, agora, Q+ (−2Q) = −Q; ou seja:
E(r) = − 1
4pi�0
Q
r2
rˆ . (7)
�
(d) Neste tipo de problema, em que o zero do potencial e´ tomado no infinito, conve´m ir determinando ou
“encaixando” o potencial de fora para dentro. Destarte, seguiremos a ordem inversa do item precedente.
Ale´m disso, outro ponto-chave e´ a exigeˆncia de continuidade do potencial.
3
• c < r <∞:
Nesta regia˜o, o campo ele´trico cai com 1/r2, mais exatamente conforme (7); logo o potencial sera´:
V (r) = − 1
4pi�0
Q
r
,
onde ja´ impusemos a condic¸a˜o de potencial zero no infinito.
• b < r < c:
Nesta regia˜o, temos um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico; logo, o potencial deve ser constante e,
por continuidade no ponto r = c, igual a:
V (r) = − 1
4pi�0
Q
c
.
• a ≤ r < b:
Nesta regia˜o, o campo cai, de novo, com 1/r2, mais exatamente conforme (5); logo, o potencial sera´:
V (r) =
1
4pi�0
Q
r
+ k1 .
onde k1 e´ uma constante de integrac¸a˜o. O valor da constante e´ determinado, de novo, pela exigeˆncia
de continuidade, desta feita, no ponto r = b; obtemos, pois:
V (r) =
Q
4pi�0
(
1
r
− 1
b
− 1
c
)
. (8)
• 0 ≤ r ≤ a:
Nesta regia˜o o campo cresce com r2, mais exatamente conforme (4); logo, o potencial sera´:
V (r) = − Q
12pi�0
r3
a4
+ k2 . (9)
A exigeˆncia de continuidade em r = a determina o valor da constante de integrac¸a˜o. De fato, fazendo
r = a em (8), depois em (9) e igualando as correspondentes expresso˜es, temos
− Q
12pi�0a
+ k2 =
Q
4pi�0
(
1
a
− 1
b
− 1
c
)
.
Resolvendo para k2 e substituindo de volta em (9), obtemos, finalmente,
V (r) =
Q
4pi�0
(
− r
3
3a4
+
4
3a
− 1
b
− 1
c
)
.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Faremos a hipo´tese usual de que efeitos de borda podem ser desprezados. Com isso, o campo ele´trico
de cada placa podera´ ser bem aproximado como o campo devido a um plano muito extenso com carga
uniformemente distribu´ıda sobre ele. Cada placa criara´, pois, um campo constante, de mo´dulo igual a
σ0/�0, onde σ(> 0) e´ a densidade superficial de carga em cada uma das placas do capacitor. Isso decorre
4
imediatamente da simetria plana e da lei de Gauss.1 Ora, conforme o enunciado, a diferenc¸a de potencial
correspondente entre as placas e´ V0, logo o campo constante e´ tal que
V0 = E0L ,
ou seja,
E0 =
V0
L
.
Ja´ para determinar a energia armazenada, podemos usar uma qualquer das treˆs expresso˜es para tal grandeza:
U0 =
1
2
Q0V0 =
1
2
C0V
2
0 =
1
2
Q20
C0
.
onde
C0 =
�0A
L
; (10)
Q0 = C0V0 =
�0V0A
L
. (11)
(12)
O resultado final e´, de qualquer forma, dado por
U0 =
1
2
�0A
L
V 20 .
�
(b)
• Maneira 1:
No novo capacitor (semi-recheado de isolante), o mo´dulo da diferenc¸a de potencial entre as placas
sera´, obviamente, a soma dos mo´dulos das diferenc¸as de potencial entre as interfaces da regia˜o 1 e das
interfaces da regia˜o 2, ou seja,
V = V1 + V2 .
Naturalmente,
V1 = V0/2
e
V2 = V0/(2K) .
Logo,
V =
V0
2
(
1 +
1
K
)
=
1 +K
2K
V0 .
• Maneira 2:
O novo capacitor pode ser pensado como uma associac¸a˜o em se´rie de dois capacitores: um totalmente
vazio, com distaˆncia L/2 entre as placas,e outro totalmente preenchido com o isolante de constante
diele´trica K, tendo distaˆncia tambe´m L/2 entre as placas. Assim:
C1 =
�0A
L/2
,
1A rigor, devemos impor tambe´m a simetria especular com respeito ao plano.
5
e
C2 =
K�0A
L/2
,
de modo que a nova capacitaˆncia e´ dada por
C =
2K
1 +K
C0 =
2K
1 +K
�0A
L
.
Como a carga nas placas permanece a mesma, igual a
Q = Q0
= C0V0
=
�0AV0
L
,
o novo mo´dulo da diferenc¸a de potencial resulta ser
V =
1 +K
2K
V0 .
�
(c) Os mo´dulos dos campos nas novas regio˜es 1 e 2 sa˜o dados por
E1 = E0 =
V0
L
.
e
E2 =
E0
K
=
V0
KL
.
�
(d) A nova energia armazenada pode, mais uma vez, ser calculada por qualquer uma das seguintes treˆs
expresso˜es:
U =
1
2
QV =
1
2
CV 2 =
1
2
Q2
C
.
O “novo” mo´dulo Q de carga nas placas, de fato, e´ igual ao mo´dulo antigo Q0, dado no item (a), visto
que, apo´s o processo de carga, a bateria foi desconectada do capacitor. O novo mo´dulo V da diferenc¸a de
potencial foi calculado no item (b). Finalmente, a nova capacitaˆncia C, como ja vimos no item (b) e vemos
de novo agora, pode ser obtida pensando-se o capacitor semi-recheado como uma associac¸a˜o em se´rie de
dois capacitores, nas regio˜es 1 e 2 da parte inferior da figura do enunciado. Conclu´ımos, enta˜o,
C1 =
�0A
L/2
;
C2 = K
�0A
L/2
.
Logo, a capacitaˆncia nova e´, de qualquer maneira,
C =
2K
1 +K
C0 =
2K
1 +K
�0A
L
.
Substituindo tais informac¸o˜es em (2), deduzimos que
U =
1 +K
2K
U0 =
(1 +K)�0A
4KL
V 20 .
�
6