aula10 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado - Parte III
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 1 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Todo SLIT discreto do tipo SISO pode ser representado pelo seguinte
modelo em varia´veis de estado:
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
em que A, B, C e D sa˜o matrizes de dimenso˜es adequadas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 2 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Definamos novas varia´veis de estado (para o caso de n = 2):
{
w1(k) = p11x1(k) + p12x2(k)
w2(k) = p21x1(k) + p22x2(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
w1(k)
w2(k)
]
=
[
p11 p12
p21 p22
] [
x1(k)
x2(k)
]
~wk = P~xk
Tem-se, portanto, um novo vetor de estados ~w(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 3 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Definamos novas varia´veis de estado (para o caso de n = 2):
{
w1(k) = p11x1(k) + p12x2(k)
w2(k) = p21x1(k) + p22x2(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
w1(k)
w2(k)
]
=
[
p11 p12
p21 p22
] [
x1(k)
x2(k)
]
~wk = P~xk
Tem-se, portanto, um novo vetor de estados ~w(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 3 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Definamos novas varia´veis de estado (para o caso de n = 2):
{
w1(k) = p11x1(k) + p12x2(k)
w2(k) = p21x1(k) + p22x2(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
w1(k)
w2(k)
]
=
[
p11 p12
p21 p22
] [
x1(k)
x2(k)
]
~wk = P~xk
Tem-se, portanto, um novo vetor de estados ~w(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 3 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Definamos novas varia´veis de estado (para o caso de n = 2):
{
w1(k) = p11x1(k) + p12x2(k)
w2(k) = p21x1(k) + p22x2(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
w1(k)
w2(k)
]
=
[
p11 p12
p21 p22
] [
x1(k)
x2(k)
]
~wk = P~xk
Tem-se, portanto, um novo vetor de estados ~w(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 3 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Definamos novas varia´veis de estado (para o caso de n = 2):
{
w1(k) = p11x1(k) + p12x2(k)
w2(k) = p21x1(k) + p22x2(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
w1(k)
w2(k)
]
=
[
p11 p12
p21 p22
] [
x1(k)
x2(k)
]
~wk = P~xk
Tem-se, portanto, um novo vetor de estados ~w(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 3 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Definamos novas varia´veis de estado (para o caso de n = 2):
{
w1(k) = p11x1(k) + p12x2(k)
w2(k) = p21x1(k) + p22x2(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
w1(k)
w2(k)
]
=
[
p11 p12
p21 p22
] [
x1(k)
x2(k)
]
~wk = P~xk
Tem-se, portanto, um novo vetor de estados ~w(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 3 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Substituindo-se o vetor ~xk = P
−1~wk nas equac¸o˜es em espac¸o de
estados, tem-se:
(
P−1~wk+1
)
= A
(
P−1~wk
)
+ Buk
yk = C
(
P−1~wk
)
+D~uk
~wk+1 = PAP
−1~wk + PBuk
yk = CP
−1~wk + D~uk
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 4 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Substituindo-se o vetor ~xk = P
−1~wk nas equac¸o˜es em espac¸o de
estados, tem-se:
(
P−1~wk+1
)
= A
(
P−1~wk
)
+ Buk
yk = C
(
P−1~wk
)
+D~uk
~wk+1 = PAP
−1~wk + PBuk
yk = CP
−1~wk + D~uk
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 4 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Substituindo-se o vetor ~xk = P
−1~wk nas equac¸o˜es em espac¸o de
estados, tem-se:
(
P−1~wk+1
)
= A
(
P−1~wk
)
+ Buk
yk = C
(
P−1~wk
)
+D~uk
~wk+1 = PAP
−1~wk + PBuk
yk = CP
−1~wk + D~uk
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 4 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Desse modo, temos o novo modelo em espac¸o de estados:
~wk+1 = Aw ~wk + Bwuk
yk = Cw ~wk + Dw~uk
em que
{
Aw = PAP
−1 Bw = PB
Cw = CP
−1 Dw = D
Existem infinitas representac¸o˜es em espac¸o de estados para um mesmo
sistema SLIT discreto, mas ha´ pontos em comum entre todas elas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 5 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Desse modo, temos o novo modelo em espac¸o de estados:
~wk+1 = Aw ~wk + Bwuk
yk = Cw ~wk + Dw~uk
em que
{
Aw = PAP
−1 Bw = PB
Cw = CP
−1 Dw = D
Existem infinitas representac¸o˜es em espac¸o de estados para um mesmo
sistema SLIT discreto, mas ha´ pontos em comum entre todas elas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 5 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Desse modo, temos o novo modelo em espac¸o de estados:
~wk+1 = Aw ~wk + Bwuk
yk = Cw ~wk + Dw~uk
em que
{
Aw = PAP
−1 Bw = PB
Cw = CP
−1 Dw = D
Existem infinitas representac¸o˜es em espac¸o de estados para um mesmo
sistema SLIT discreto, mas ha´ pontos em comum entre todas elas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 5 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Desse modo, temos o novo modelo em espac¸o de estados:
~wk+1 = Aw ~wk + Bwuk
yk = Cw ~wk + Dw~uk
em que
{
Aw = PAP
−1 Bw = PB
Cw = CP
−1 Dw = D
Existem infinitas representac¸o˜es em espac¸o de estados para um mesmo
sistema SLIT discreto, mas ha´ pontos em comum entre todas elas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 5 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Desse modo, temos o novo modelo em espac¸o de estados:
~wk+1 = Aw ~wk + Bwuk
yk = Cw ~wk + Dw~uk
em que
{
Aw = PAP
−1 Bw = PB
Cw = CP
−1 Dw = D
Existem infinitas representac¸o˜es em espac¸o de estados para um mesmo
sistema SLIT discreto, mas ha´ pontos em comum entre todas elas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 5 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
O que acontece com a equac¸a˜o caracter´ıstica do sistema com a
transformac¸a˜o de similaridade?
Antes da transformac¸a˜o, tem-se que
det(λI − A) = 0,
em que os valores de λ que satisfazem essa equac¸a˜o sa˜o os
autovalores da matriz A.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 6 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
O que acontece com a equac¸a˜o caracter´ıstica do sistema com a
transformac¸a˜o de similaridade?
Antes da transformac¸a˜o, tem-se que
det(λI − A) = 0,
em que os valores de λ que satisfazem essa equac¸a˜o sa˜o os
autovalores da matriz A.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 6 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Para o sistema transformado,
det(λI − Aw ) = 0
det(λI − PAP−1) = 0
det(λPIP−1 − PAP−1) = 0
det(P(λI − A)P−1) = 0
det(P)det(λI − A)det(P−1) = 0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 7 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Para o sistema transformado,
det(λI − Aw ) = 0
det(λI − PAP−1) = 0
det(λPIP−1 − PAP−1) = 0
det(P(λI − A)P−1) = 0
det(P)det(λI − A)det(P−1) = 0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 7 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Para o sistema transformado,
det(λI − Aw ) = 0
det(λI − PAP−1) = 0
det(λPIP−1 − PAP−1) = 0
det(P(λI − A)P−1) = 0
det(P)det(λI − A)det(P−1) = 0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 7 / 22
Representac¸o˜esem Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Para o sistema transformado,
det(λI − Aw ) = 0
det(λI − PAP−1) = 0
det(λPIP−1 − PAP−1) = 0
det(P(λI − A)P−1) = 0
det(P)det(λI − A)det(P−1) = 0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 7 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Para o sistema transformado,
det(λI − Aw ) = 0
det(λI − PAP−1) = 0
det(λPIP−1 − PAP−1) = 0
det(P(λI − A)P−1) = 0
det(P)det(λI − A)det(P−1) = 0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 7 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Como det(P)det(P−1) = 1, tem-se que
det(λI − Aw ) = det(λI − A)
Conclusa˜o: A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ a mesma para o sistema
original e o sistema transformado ⇒ os autovalores/po´los na˜o se
alteram!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 8 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Como det(P)det(P−1) = 1, tem-se que
det(λI − Aw ) = det(λI − A)
Conclusa˜o: A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ a mesma para o sistema
original e o sistema transformado ⇒ os autovalores/po´los na˜o se
alteram!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 8 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Transformac¸o˜es de Similaridade
Como det(P)det(P−1) = 1, tem-se que
det(λI − Aw ) = det(λI − A)
Conclusa˜o: A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ a mesma para o sistema
original e o sistema transformado ⇒ os autovalores/po´los na˜o se
alteram!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 8 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Para qualquer matriz A ∈ Rn×n, ha´ n equac¸o˜es do tipo
A~vi = λ~vi ⇒ (λi I − A)~vi = 0,
para i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Note que a condic¸a˜o para a existeˆncia de soluc¸a˜o na˜o-trivial e´
det(λi I − A) = 0.
Existem vetores ~vi que, se multiplicados pela matriz A, sofrera˜o
apenas uma mudanc¸a de escala por um fator λi , sem modificarem sua
direc¸a˜o. Tais vetores sa˜o chamados de autovetores da matriz A, e os
fatores de escala multiplicativos λi sa˜o chamados de autovalores da
matriz A.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 9 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Para qualquer matriz A ∈ Rn×n, ha´ n equac¸o˜es do tipo
A~vi = λ~vi ⇒ (λi I − A)~vi = 0,
para i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Note que a condic¸a˜o para a existeˆncia de soluc¸a˜o na˜o-trivial e´
det(λi I − A) = 0.
Existem vetores ~vi que, se multiplicados pela matriz A, sofrera˜o
apenas uma mudanc¸a de escala por um fator λi , sem modificarem sua
direc¸a˜o. Tais vetores sa˜o chamados de autovetores da matriz A, e os
fatores de escala multiplicativos λi sa˜o chamados de autovalores da
matriz A.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 9 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Para qualquer matriz A ∈ Rn×n, ha´ n equac¸o˜es do tipo
A~vi = λ~vi ⇒ (λi I − A)~vi = 0,
para i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Note que a condic¸a˜o para a existeˆncia de soluc¸a˜o na˜o-trivial e´
det(λi I − A) = 0.
Existem vetores ~vi que, se multiplicados pela matriz A, sofrera˜o
apenas uma mudanc¸a de escala por um fator λi , sem modificarem sua
direc¸a˜o. Tais vetores sa˜o chamados de autovetores da matriz A, e os
fatores de escala multiplicativos λi sa˜o chamados de autovalores da
matriz A.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 9 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Desdobrando a expressa˜o inicial que define os autovalores e os
autovetores:
A~v1 = λ1~v1
A~v2 = λ2~v2
...
A~vn = λn~vn
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 10 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Desdobrando a expressa˜o inicial que define os autovalores e os
autovetores:
A~v1 = λ1~v1
A~v2 = λ2~v2
...
A~vn = λn~vn
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 10 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Tais expresso˜es podem ser reescritas no seguinte formato mais
compacto:
A
[
~v1 ~v2 . . . ~vn
]
=
[
~v1 ~v2 . . . ~vn
]


λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn


AV = VΛA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 11 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Tais expresso˜es podem ser reescritas no seguinte formato mais
compacto:
A
[
~v1 ~v2 . . . ~vn
]
=
[
~v1 ~v2 . . . ~vn
]


λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn


AV = VΛA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 11 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Tais expresso˜es podem ser reescritas no seguinte formato mais
compacto:
A
[
~v1 ~v2 . . . ~vn
]
=
[
~v1 ~v2 . . . ~vn
]


λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn


AV = VΛA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 11 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
ΛA = V
−1AV
Transformac¸a˜o de similaridade
Aw = PAP
−1
Conclusa˜o: se a matriz de transformac¸a˜o de similaridade for escolhida
como P = V−1, enta˜o Aw = ΛA sera´ uma matriz diagonal! (desde
que os autovalores sejam todos de multiplicidade 1)
A diagonalizac¸a˜o da matriz A resulta em um SLIT discreto com os
estados ~wk “desacoplados” entre si.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 12 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
ΛA = V
−1AV
Transformac¸a˜o de similaridade
Aw = PAP
−1
Conclusa˜o: se a matriz de transformac¸a˜o de similaridade for escolhida
como P = V−1, enta˜o Aw = ΛA sera´ uma matriz diagonal! (desde
que os autovalores sejam todos de multiplicidade 1)
A diagonalizac¸a˜o da matriz A resulta em um SLIT discreto com os
estados ~wk “desacoplados” entre si.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 12 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
ΛA = V
−1AV
Transformac¸a˜o de similaridade
Aw = PAP
−1
Conclusa˜o: se a matriz de transformac¸a˜o de similaridade for escolhida
como P = V−1, enta˜o Aw = ΛA sera´ uma matriz diagonal! (desde
que os autovalores sejam todos de multiplicidade 1)
A diagonalizac¸a˜o da matriz A resulta em um SLIT discreto com os
estados ~wk “desacoplados” entre si.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 12 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
ΛA = V
−1AV
Transformac¸a˜o de similaridade
Aw = PAP
−1
Conclusa˜o: se a matriz de transformac¸a˜o de similaridade for escolhida
como P = V−1, enta˜o Aw = ΛA sera´ uma matriz diagonal! (desde
que os autovalores sejam todos de multiplicidade 1)
A diagonalizac¸a˜o da matriz A resulta em um SLIT discreto com os
estados ~wk “desacoplados” entre si.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 12 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
ΛA = V
−1AV
Transformac¸a˜o de similaridade
Aw = PAP
−1
Conclusa˜o: se a matriz de transformac¸a˜o de similaridade for escolhida
como P = V−1, enta˜o Aw = ΛA sera´ uma matriz diagonal! (desde
que os autovalores sejam todos de multiplicidade 1)
A diagonalizac¸a˜o da matriz A resulta em um SLIT discreto com os
estados ~wk “desacoplados” entre si.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 12 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalizac¸a˜o da matriz A
ΛA = V
−1AV
Transformac¸a˜o de similaridade
Aw = PAP
−1
Conclusa˜o: se a matriz de transformac¸a˜o de similaridade for escolhida
como P = V−1, enta˜o Aw = ΛA sera´ uma matriz diagonal! (desdeque os autovalores sejam todos de multiplicidade 1)
A diagonalizac¸a˜o da matriz A resulta em um SLIT discreto com os
estados ~wk “desacoplados” entre si.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 12 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exerc´ıcio - Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalize a matriz A dos SLIT discreto dado pelo seguinte modelo em
espac¸o de estados:
~xk+1 =
[
0,8 1
0 0,9
]
~xk +
[
0
1
]
uk
yk =
[
1 0
]
~xk
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 13 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exerc´ıcio - Diagonalizac¸a˜o da matriz A
Diagonalize a matriz A dos SLIT discreto dado pelo seguinte modelo em
espac¸o de estados:
~wk+1 =
[
0,8 0
0 0,9
]
~wk +
[
−10
1
]
uk
yk =
[
1 10
]
~wk
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 14 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
Iterando-se a equac¸a˜o de estados:
~x1 = A~x0 + Bu0
~x2 = A~x1 + Bu1 = A(A~x0 + Bu0) + Bu1
~x2 = A
2~x0 + ABu0 + Bu1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 15 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
Iterando-se a equac¸a˜o de estados:
~x1 = A~x0 + Bu0
~x2 = A~x1 + Bu1 = A(A~x0 + Bu0) + Bu1
~x2 = A
2~x0 + ABu0 + Bu1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 15 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
Iterando-se a equac¸a˜o de estados:
~x1 = A~x0 + Bu0
~x2 = A~x1 + Bu1 = A(A~x0 + Bu0) + Bu1
~x2 = A
2~x0 + ABu0 + Bu1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 15 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
Iterando-se a equac¸a˜o de estados:
~x1 = A~x0 + Bu0
~x2 = A~x1 + Bu1 = A(A~x0 + Bu0) + Bu1
~x2 = A
2~x0 + ABu0 + Bu1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 15 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
Iterando-se a equac¸a˜o de estados:
~x1 = A~x0 + Bu0
~x2 = A~x1 + Bu1 = A(A~x0 + Bu0) + Bu1
~x2 = A
2~x0 + ABu0 + Bu1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 15 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk + D~uk
Iterando-se a equac¸a˜o de estados:
~x1 = A~x0 + Bu0
~x2 = A~x1 + Bu1 = A(A~x0 + Bu0) + Bu1
~x2 = A
2~x0 + ABu0 + Bu1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 15 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~x3 = A~x2 + Bu2 = A(A
2~x0 + ABu0 + Bu1) + Bu2
~x3 = A
3~x0 + A
2Bu0 + ABu1 + Bu2
Por inspec¸a˜o, e´ poss´ıvel inferir a expressa˜o geral para ~xk :
~xk = A
k~x(0) +
k−1∑
j=0
A(k−1−j)Bu(j)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 16 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~x3 = A~x2 + Bu2 = A(A
2~x0 + ABu0 + Bu1) + Bu2
~x3 = A
3~x0 + A
2Bu0 + ABu1 + Bu2
Por inspec¸a˜o, e´ poss´ıvel inferir a expressa˜o geral para ~xk :
~xk = A
k~x(0) +
k−1∑
j=0
A(k−1−j)Bu(j)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 16 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~x3 = A~x2 + Bu2 = A(A
2~x0 + ABu0 + Bu1) + Bu2
~x3 = A
3~x0 + A
2Bu0 + ABu1 + Bu2
Por inspec¸a˜o, e´ poss´ıvel inferir a expressa˜o geral para ~xk :
~xk = A
k~x(0) +
k−1∑
j=0
A(k−1−j)Bu(j)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 16 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
~x3 = A~x2 + Bu2 = A(A
2~x0 + ABu0 + Bu1) + Bu2
~x3 = A
3~x0 + A
2Bu0 + ABu1 + Bu2
Por inspec¸a˜o, e´ poss´ıvel inferir a expressa˜o geral para ~xk :
~xk = A
k~x(0) +
k−1∑
j=0
A(k−1−j)Bu(j)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 16 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Definindo-se a matriz de transic¸a˜o de estados Φ(k) = Ak , tem-se que:
~xk = Φ(k)~x(0) +
k−1∑
j=0
Φ(k − 1− j)Bu(j)
yk = CΦ(k)~x(0) +
k−1∑
j=0
CΦ(k − 1− j)Bu(j) + Du(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 17 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Definindo-se a matriz de transic¸a˜o de estados Φ(k) = Ak , tem-se que:
~xk = Φ(k)~x(0) +
k−1∑
j=0
Φ(k − 1− j)Bu(j)
yk = CΦ(k)~x(0) +
k−1∑
j=0
CΦ(k − 1− j)Bu(j) + Du(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 17 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Definindo-se a matriz de transic¸a˜o de estados Φ(k) = Ak , tem-se que:
~xk = Φ(k)~x(0) +
k−1∑
j=0
Φ(k − 1− j)Bu(j)
yk = CΦ(k)~x(0) +
k−1∑
j=0
CΦ(k − 1− j)Bu(j) + Du(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 17 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Considerando-se que u(k) = δ(k), e que as condic¸o˜es iniciais sa˜o
nulas:
hk =
k−1∑
j=0
CΦ(k − 1− j)Bδ(j) + Dδ(k)
hk = CΦ(k − 1)B + Dδ(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 18 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Considerando-se que u(k) = δ(k), e que as condic¸o˜es iniciais sa˜o
nulas:
hk =
k−1∑
j=0
CΦ(k − 1− j)Bδ(j) + Dδ(k)
hk = CΦ(k − 1)B + Dδ(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 18 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Considerando-se que u(k) = δ(k), e que as condic¸o˜es iniciais sa˜o
nulas:
hk =
k−1∑
j=0
CΦ(k − 1− j)Bδ(j) + Dδ(k)
hk = CΦ(k − 1)B + Dδ(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 18 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 19 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 19 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 19 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 19 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
Tales A. Jesus (CEFET-MG)Aula 10 19 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Aplicando-se a transformada Z:
Z{hk} = CZ{Φ(k − 1)}B + DZ{δ(k)}
H(z) = CZ{Φ(k − 1)}B + D
Sabendo-se que H(z) = C (zI − A)−1B + D, infere-se que:
Z{Φ(k − 1)} = (zI − A)−1
Z{Φ(k)}z−1 = (zI − A)−1
Φ(k) = Z−1{z(zI − A)−1}
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 19 / 22
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exerc´ıcio - Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Estados
Determine a matriz de transic¸a˜o de estados Φ(k) para o sistema cuja dinaˆ-
mica e´ dada por
A =
[
0 1
−2 −3
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 20 / 22
Exerc´ıcios do livro-texto
Digital Control System Analysis and Design (Phillips and Nagle)
3a edic¸a˜o: 2.26 a 2.28, 2.30 e 2.31.
4a edic¸a˜o: 2.10-2, 2.10-3, 2.12-1 a 2.12-3.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 21 / 22
Segunda etapa do trabalho da disciplina (duplas ou trios)
Etapa 2 - SLIT cont´ınuo vs. SLIT discreto e Transformac¸a˜o de Similaridade
Obtenha um modelo em espac¸o de estados cont´ınuo para o seu
sistema adotando algum dos procedimentos vistos em sala de aula.
Obtenha um modelo em espac¸o de estados discreto para o seu
sistema adotando algum dos procedimentos vistos em sala de aula.
Simule ambos os sistemas para diferentes tipos de entrada (degrau,
rampa, seno´ide) e compare o comportamento temporal da sa´ıda e dos
estados.
Diagonalize a matriz A do seu sistema discreto, simule-o para
diferentes tipos de entrada (degrau, rampa, seno´ide) e compare a
evoluc¸a˜o temporal da sa´ıda e dos estados desse novo sistema discreto
com a evoluc¸a˜o temporal da sa´ıda e dos estados do sistema discreto
original.
Data de entrega do relato´rio via moodle: 04/10/2017
(quarta-feira).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 10 22 / 22
	Introdução