aula12 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 1 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
X (z) = Z{x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + . . . =
∞∑
k=0
xkz
−k
X ∗(s) = L∗{x(t)} = x(0) + x(2)e−2Ts + . . . =
∞∑
k=0
xk
(
eTs
)−k
Conclusa˜o:
eTs = z ⇐⇒ s =
ln(z)
T
X ∗(s)
∣∣∣
s=
ln(z)
T
= X (z) ⇐⇒ X (z) |z=eTs = X
∗(s)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 2 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
X (z) = Z{x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + . . . =
∞∑
k=0
xkz
−k
X ∗(s) = L∗{x(t)} = x(0) + x(2)e−2Ts + . . . =
∞∑
k=0
xk
(
eTs
)−k
Conclusa˜o:
eTs = z ⇐⇒ s =
ln(z)
T
X ∗(s)
∣∣∣
s=
ln(z)
T
= X (z) ⇐⇒ X (z) |z=eTs = X
∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
X (z) = Z{x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + . . . =
∞∑
k=0
xkz
−k
X ∗(s) = L∗{x(t)} = x(0) + x(2)e−2Ts + . . . =
∞∑
k=0
xk
(
eTs
)−k
Conclusa˜o:
eTs = z ⇐⇒ s =
ln(z)
T
X ∗(s)
∣∣∣
s=
ln(z)
T
= X (z) ⇐⇒ X (z) |z=eTs = X
∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
X (z) = Z{x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + . . . =
∞∑
k=0
xkz
−k
X ∗(s) = L∗{x(t)} = x(0) + x(2)e−2Ts + . . . =
∞∑
k=0
xk
(
eTs
)−k
Conclusa˜o:
eTs = z ⇐⇒ s =
ln(z)
T
X ∗(s)
∣∣∣
s=
ln(z)
T
= X (z) ⇐⇒ X (z) |z=eTs = X
∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
Moral da histo´ria: a transformada Z e´ um caso particular da
transformada de Laplace!
Ao inve´s de utilizarmos a transformada estrelada, utilizaremos a
transformada Z, com a qual e´ mais fa´cil de se trabalhar, tendo em
vista que as representac¸o˜es de sinais e sistemas podem ser expressas
como razo˜es de polinoˆmios numa varia´vel complexa (assim como no
caso cont´ınuo).
O prec¸o que se paga por isso e´ o mapeamento na˜o-linear de s em z :
z = eTs
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
Moral da histo´ria: a transformada Z e´ um caso particular da
transformada de Laplace!
Ao inve´s de utilizarmos a transformada estrelada, utilizaremos a
transformada Z, com a qual e´ mais fa´cil de se trabalhar, tendo em
vista que as representac¸o˜es de sinais e sistemas podem ser expressas
como razo˜es de polinoˆmios numa varia´vel complexa (assim como no
caso cont´ınuo).
O prec¸o que se paga por isso e´ o mapeamento na˜o-linear de s em z :
z = eTs
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Relac¸a˜o entre X ∗(s) e X (z)
Moral da histo´ria: a transformada Z e´ um caso particular da
transformada de Laplace!
Ao inve´s de utilizarmos a transformada estrelada, utilizaremos a
transformada Z, com a qual e´ mais fa´cil de se trabalhar, tendo em
vista que as representac¸o˜es de sinais e sistemas podem ser expressas
como razo˜es de polinoˆmios numa varia´vel complexa (assim como no
caso cont´ınuo).
O prec¸o que se paga por isso e´ o mapeamento na˜o-linear de s em z :
z = eTs
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Obtenc¸a˜o de X (z) a partir de X ∗(s)
Como obter X (z) a partir de X ∗(s)?
X (s) =⇒ X ∗(s) =⇒ X (z)
X ∗(s) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
X (z) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− z−1eTλ
]
A expressa˜o acima e´ um gerador de tabela de transformadas z a partir
da tabela de transformadas de Laplace!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Obtenc¸a˜o de X (z) a partir de X ∗(s)
Como obter X (z) a partir de X ∗(s)?
X (s) =⇒ X ∗(s) =⇒ X (z)
X ∗(s) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
X (z) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− z−1eTλ
]
A expressa˜o acima e´ um gerador de tabela de transformadas z a partir
da tabela de transformadas de Laplace!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Obtenc¸a˜o de X (z) a partir de X ∗(s)
Como obter X (z) a partir de X ∗(s)?
X (s) =⇒ X ∗(s) =⇒ X (z)
X ∗(s) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
X (z) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− z−1eTλ
]
A expressa˜o acima e´ um gerador de tabela de transformadas z a partir
da tabela de transformadas de Laplace!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Obtenc¸a˜o de X (z) a partir de X ∗(s)
Como obter X (z) a partir de X ∗(s)?
X (s) =⇒ X ∗(s) =⇒ X (z)
X ∗(s) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
X (z) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− z−1eTλ
]
A expressa˜o acima e´ um gerador de tabela de transformadas z a partir
da tabela de transformadas de Laplace!
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Obtenc¸a˜o de X (z) a partir de X ∗(s)
Como obter X (z) a partir de X ∗(s)?
X (s) =⇒ X ∗(s) =⇒ X (z)
X ∗(s) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
X (z) =
∑
nos po´los de X (λ)
Res
[
X (λ)
1
1− z−1eTλ
]
A expressa˜o acima e´ um gerador de tabela de transformadas z a partir
da tabela de transformadas de Laplace!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 1
Obtenha a transformada z da sequeˆncia nume´rica gerada a partir da amos-
tragem do sinal x(t) = (2− e−2t − e−3t) a uma taxa de 10Hz. Em outras
palavras, obtenha X (z) dado que X (s) = 5s+12
s(s+2)(s+3) .
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 1
X (z) = 2
(
z
z − 1
)
−
(
z
z − e−2T
)
−
(
z
z − e−3T
)
, T = 0,1s
X (z) = 2
(
z
z − 1
)
−
(
z
z − 0,81873
)
−
(
z
z − 0,74082
)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Cont´ınuo
A relac¸a˜o entrada sa´ıda desse sistema e´ conhecida:
Ω(s) = Gp(s)V (s)
Tanto o sistema quanto os sinais sa˜o razo˜es de polinoˆmios em uma
varia´vel complexa!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Cont´ınuo
A relac¸a˜o entrada sa´ıda desse sistema e´ conhecida:
Ω(s) = Gp(s)V (s)
Tanto o sistema quanto os sinais sa˜o razo˜es de polinoˆmios em uma
varia´vel complexa!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Cont´ınuo
A relac¸a˜o entrada sa´ıda desse sistema e´ conhecida:
Ω(s) = Gp(s)V (s)
Tanto o sistema quanto os sinais sa˜o razo˜es de polinoˆmios em uma
varia´vel complexa!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Qual e´ a relac¸a˜o entrada-sa´ıda desse sistema?
Ω(s) = Gp(s)V¯ (s) V¯ (s) = Gzoh(s)V
∗(s)
V ∗(s) = ∆T (s) ∗ V (s)
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Qual e´ a relac¸a˜o entrada-sa´ıda desse sistema?
Ω(s) = Gp(s)V¯ (s) V¯ (s) = Gzoh(s)V
∗(s)
V ∗(s) = ∆T (s) ∗ V (s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Ω(s) = G (s)V ∗(s)
Ω(s) = Gp(s)Gzoh(s) [∆T (s) ∗ V (s)]
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Ω(s) = G (s)V ∗(s)
Ω(s) = Gp(s)Gzoh(s) [∆T (s) ∗ V (s)]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 9 / 38
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
E´ poss´ıvel obter uma relac¸a˜o entrada-sa´ıda para esse sistema que seja
uma raza˜o de polinoˆmios em uma u´nica varia´vel complexa?
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Pareˆntesis I: Outra expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s)
X ∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
X (s + jnωs) ,
assumindo-se que x(t) e´ um sinal cont´ınuo em todos os instantes de
amostragem e que x∗(t) foi obtido amostrando-se x(t) a uma taxa de
fs =
2pi
ωs
= 1
T
(Hz).
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Pareˆntesis II: Periodicidade de X ∗(s)
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kT (s+jpωs )
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpkTωs
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpk2pi
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTs → X ∗(s + jpωs) = X
∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Pareˆntesis II: Periodicidade de X ∗(s)
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kT (s+jpωs )
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpkTωs
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpk2pi
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTs → X ∗(s + jpωs) = X
∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Pareˆntesis II: Periodicidade de X ∗(s)
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kT (s+jpωs )
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpkTωs
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpk2pi
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTs → X ∗(s + jpωs) = X
∗(s)
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Pareˆntesis II: Periodicidade de X ∗(s)
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kT (s+jpωs )
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpkTωs
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTse−jpk2pi
X ∗(s + jpωs) =
∞∑
k=0
x(kT )e−kTs → X ∗(s + jpωs) = X
∗(s)
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
O que acontece se amostrarmos a sa´ıda ω(t)?
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
Ω(s + jnωs)
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s + jnωs)
A partir da propriedade de periodicidade de Ω∗(s):
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
Ω(s + jnωs)
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s + jnωs)
A partir da propriedade de periodicidade de Ω∗(s):
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s)
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
Ω(s + jnωs)
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s + jnωs)
A partir da propriedade de periodicidade de Ω∗(s):
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s)
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Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
Ω(s + jnωs)
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s + jnωs)
A partir da propriedade de periodicidade de Ω∗(s):
Ω∗(s) =
1
T
∞∑
n=−∞
G (s + jnωs)V
∗(s)
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
A partir da nova expressa˜o para X ∗(s) a partir de X (s):
Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Em resumo:
[Ω(s)]∗ = [G (s)V ∗(s)]∗ → Ω∗(s) = G ∗(s)V ∗(s)
Fazendo-se z = eTs :
Ω(z) = G (z)V (z)
G (z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada, que relacionada a entrada
amostrada e a sa´ıda cont´ınua nos instantes de amostragem!
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistema de Controle em Malha Aberta Digital
De forma mais geral, dados B(s) (raza˜o de polinoˆmios em s) e C ∗(s)
(exponenciais cujos argumentos sa˜o func¸o˜es de s) quaisquer,
[A(s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → A∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
G (s) =
[
1− e−Ts
s
]
Gp(s).
Fazendo-se B(s) =
Gp(s)
s
e C ∗(s) = 1− e−Ts , tem-se que:
G (s) = B(s)C∗(s)
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da
expressa˜o (ou seja, amostrando-se G (s)):
[G (s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → G ∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
G ∗(s) =
[
Gp(s)
s
]
∗ (
1− e−Ts
)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
G (s) =
[
1− e−Ts
s
]
Gp(s).
Fazendo-se B(s) =
Gp(s)
s
e C ∗(s) = 1− e−Ts , tem-se que:
G (s) = B(s)C ∗(s)
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da
expressa˜o (ou seja, amostrando-se G (s)):
[G (s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → G ∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
G ∗(s) =
[
Gp(s)
s
]
∗ (
1− e−Ts
)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
G (s) =
[
1− e−Ts
s
]
Gp(s).
Fazendo-se B(s) =
Gp(s)
s
e C ∗(s) = 1− e−Ts , tem-se que:
G (s) = B(s)C ∗(s)
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da
expressa˜o (ou seja, amostrando-se G (s)):
[G (s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → G ∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
G ∗(s) =
[
Gp(s)
s
]
∗ (
1− e−Ts
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 17 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
G (s) =
[
1− e−Ts
s
]
Gp(s).
Fazendo-se B(s) =
Gp(s)
s
e C ∗(s) = 1− e−Ts , tem-se que:
G (s) = B(s)C ∗(s)
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da
expressa˜o (ou seja, amostrando-se G (s)):
[G (s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → G ∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
G ∗(s) =
[
Gp(s)
s
]
∗ (
1− e−Ts
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 17 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
G (s) =
[
1− e−Ts
s
]
Gp(s).
Fazendo-se B(s) =
Gp(s)
s
e C ∗(s) = 1− e−Ts , tem-se que:
G (s) = B(s)C ∗(s)
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da
expressa˜o (ou seja, amostrando-se G (s)):
[G (s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → G ∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
G ∗(s) =
[
Gp(s)
s
]
∗ (
1− e−Ts
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 17 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
G (s) =
[
1− e−Ts
s
]
Gp(s).
Fazendo-se B(s) =
Gp(s)
s
e C ∗(s) = 1− e−Ts , tem-se que:
G (s) = B(s)C ∗(s)
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da
expressa˜o (ou seja, amostrando-se G (s)):
[G (s)]∗ = [B(s)C ∗(s)]∗ → G ∗(s) = B∗(s)C ∗(s)
G ∗(s) =
[
Gp(s)
s
]
∗ (
1− e−Ts
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 17 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
Fazendo-se z = eTs :
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}(
1− z−1
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 18 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada
Fazendo-se z = eTs :
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}(
1− z−1
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 18 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 2
Encontre a transformada Z de
Y (s) =
1− e−Ts
(s + a)(s + b)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 19 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 2
Y (z) =
1
b − a
[
z
z − e−aT
−
z
z − e−bT
] [
z − 1
z
]
Y (z) =
1
b − a
[
(e−aT − e−bT )(z − 1)
(z − e−aT )(z − e−bT )
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 20 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 3
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia pulsada para um sistema de primeira
ordem sem tempo morto.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 21 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 3
G (z) = K
(
1− eT/τ
z − eT/τ
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 22 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 4
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia pulsada para um sistema de primeira
ordem com tempo morto τd = NT .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 23 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 4
G (z) = K
(
1− eT/τ
z − eT/τ
)
z−N
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 24 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 5
Determine a resposta ao degrau unita´rio de um sistema de controle em
malha aberta digital em que Gp(s) e´ um sistema de primeira ordem sem
tempo morto.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 25 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 5
y(k) = K
[
1− (e−T/τ )k
]
1(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 26 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Ganho dc
O ganho dc e´ o valor de estabilizac¸a˜o da sa´ıda do sistema quando
submetido a uma entrada em degrau unita´rio.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 27 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Ganho dc
A partir do teorema do valor final, tem-se que
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)C (z)
Sabendo-se que C (z) = G (z)E (z) e que E (z) = z
z−1 , tem-se que:
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)G (z)
z
z − 1
lim
k→∞
ck = lim
z→1
G (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 28 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Ganho dc
A partir do teorema do valor final, tem-se que
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)C (z)
Sabendo-se que C (z) = G (z)E (z) e que E (z) = z
z−1 , tem-se que:
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)G (z)
z
z − 1
lim
k→∞
ck = lim
z→1
G (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 28 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Ganho dc
A partir do teorema do valor final, tem-se que
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)C (z)
Sabendo-se que C (z) = G (z)E (z) e que E (z) = z
z−1 , tem-se que:
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)G (z)
z
z − 1
lim
k→∞
ck = lim
z→1
G (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 28 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Ganho dc
A partir do teorema do valor final, tem-se que
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)C (z)
Sabendo-se que C (z) = G (z)E (z) e que E (z) = z
z−1 , tem-se que:
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)G (z)
z
z − 1
lim
k→∞
ck = lim
z→1
G (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 28 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Ganho dc
A partir do teorema do valor final, tem-se que
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)C (z)
Sabendo-se que C (z) = G (z)E (z) e que E (z) = z
z−1 , tem-se que:
lim
k→∞
ck = lim
z→1
(z − 1)G (z)
z
z − 1
lim
k→∞
ck = lim
z→1
G (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 28 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 6
Determine o ganho de um sistema de controle em malha aberta digital em
que Gp(s) e´ um sistema de primeira ordem sem tempo morto.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 29 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 6
Kdc = lim
z→1
K
(
1− e−T/τ
z − e−T/τ
)
=⇒ Kdc = K
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 30 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E
∗(s) =⇒ A(z) = G1(z)E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G1(z)G2(z)E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 31 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E
∗(s) =⇒ A(z) = G1(z)E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G1(z)G2(z)E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 31 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E
∗(s) =⇒ A(z) = G1(z)E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G1(z)G2(z)E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 31 / 38Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E
∗(s) =⇒ A(z) = G1(z)E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G1(z)G2(z)E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 31 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G1(s)G2(s)E
∗(s) =⇒ C (z) = G1G2(z)E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 32 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E (s) =⇒ A(z) = G1E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G2(z)G1E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 33 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E (s) =⇒ A(z) = G1E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G2(z)G1E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 33 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E (s) =⇒ A(z) = G1E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G2(z)G1E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 33 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exemplos de sistemas
C (s) = G2(s)A
∗(s) =⇒ C (z) = G2(z)A(z)
A(s) = G1(s)E (s) =⇒ A(z) = G1E (z)
Em s´ıntese:
C (z) = G2(z)G1E (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 33 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistemas de Controle em Malha Aberta com Filtro Digital
A relac¸a˜o entrada-sa´ıda apra esse sistema e´ dada por:
C (s) = Gp(s)Gzoh(s)D
∗(s)E ∗(s)
C (s) = G (s)D∗(s)E ∗(s)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 34 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistemas de Controle em Malha Aberta com Filtro Digital
A relac¸a˜o entrada-sa´ıda apra esse sistema e´ dada por:
C (s) = Gp(s)Gzoh(s)D
∗(s)E ∗(s)
C (s) = G (s)D∗(s)E ∗(s)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 34 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistemas de Controle em Malha Aberta com Filtro Digital
A relac¸a˜o entrada-sa´ıda apra esse sistema e´ dada por:
C (s) = Gp(s)Gzoh(s)D
∗(s)E ∗(s)
C (s) = G (s)D∗(s)E ∗(s)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 34 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistemas de Controle em Malha Aberta com Filtro Digital
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da equac¸a˜o
e fazendo-se eTs = z :
C (z) = G (z)D(z)E (z)
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}(
1− z−1
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 35 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Sistemas de Controle em Malha Aberta com Filtro Digital
Aplicando-se a transformada estrelada em ambos os lados da equac¸a˜o
e fazendo-se eTs = z :
C (z) = G (z)D(z)E (z)
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}(
1− z−1
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 35 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 7
Determine a resposta ao degrau unita´rio de um sistema em malha aberta
que contenha um filtro digital dado por ck = 2ek − ek−1. Considere que
Gp(s) =
10
10s+1 .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 36 / 38
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Aberta
Exerc´ıcio 7
Y (z) = 10
(
z
z − 1
+
z
(
1− 2e−T/10
)
z − e−T/10
)
z−1
yk = 10
(
1−
(
2e−T/10 − 1
)(
e−T/10
)k−1)
1(k − 1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 37 / 38
Exerc´ıcios do livro-texto
Digital Control System Analysis and Design (Phillips and Nagle)
3a edic¸a˜o: 4.1 a 4.5, 4.7 a 4.9, 4.12, 4.15 a 4.17.
4a edic¸a˜o: 4.2-1 a 4.2-3, 4.3-1, 4.3-2, 4.3-4 a 4.3-6, 4.4-2, 4.3-8 a
4.3-10.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 12 38 / 38
	Introdução