p1 poli 2004

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F��sica III
Escola Polit�ecnica - 2004
FGE 2203 - 1
a
AVALIAC�
~
AO
15 de abril de 2004
} Esta avalia�c~ao tem 100 minutos de dura�c~ao.
}
�
E proibida a consulta a colegas, livros e apontamentos.
} Escreva de forma leg��vel.
}
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E proibido o uso de calculadoras.
} Resolva cada quest~ao na folha apropriada.
} N~ao ser~ao aceitas respostas sem justi�cativas
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Quest~ao 1
Um condutor formado por duas hastes 1 e 2, cada uma de comprimento L, est�a num
plano (x; y) como �e visto na �gura abaixo. Uma haste est�a ao longo do eixo x e a outra ao
longo do eixo y. Sobre o condutor h�a uma carga Q uniformemente distribu��da. Pede-se
para determinar, no ponto P sobre o eixo y com coordenada y = h > L (veja a �gura),
(1,0 ponto) (a) O campo el�etrico
~
E
(1)
(P ) gerado pela haste 1.
(1,0 ponto) (b) O campo el�etrico
~
E
(2)
(P ) gerado pela haste 2.
(0.5 ponto) (c) O campo el�etrico
~
E(P ), devido �as duas hastes. x
L 2
1
y
L
P=(0, h)
(a) Haste 1: dq = �dx; sen � = h=r; cos � = x=r; r =
p
h
2
+ x
2
dE
dEdE
x
z
z
xx
θ
θ
h
r
dq
P
E
(1)
z
=
Z
sen �
�dq
r
2
=
L
Z
0
��h
dx
(h
2
+ x
2
)
3=2
=
��
h
x
(h
2
+ x
2
)
1=2
�
�
�
�
L
0
=
��
h
L
(h
2
+ L
2
)
1=2
E
(1)
x
= �
Z
cos �
�dq
r
2
= �
L
Z
0
��h
x dx
(h
2
+ x
2
)
3=2
=
��
(h
2
+ x
2
)
1=2
�
�
�
�
L
0
= ��
�
1
(h
2
+ L
2
)
1=2
�
1
h
�
~
E
(1)
= E
(1)
x
~{+ E
(1)
z
~
k
(b) Haste 2: dq = �dy; r = h� y
E
(2)
z
=
Z
�dq
r
2
=
L
Z
0
��
dy
(h� y)
2
= ��
1
h� y
�
�
�
�
L
0
=
��L
(h� L)h
;
~
E
(2)
= E
(2)
z
~
k
(c) Campo total:
~
E = E
(1)
x
~{ + (E
(1)
z
+ E
(2)
z
)
~
k
�
�
	
Quest~ao 2
(1,5 ponto) (a) Calcular o potencial el�etrico V (x) no ponto P do eixo da coroa circular que aparece
na �gura abaixo , que tem uma carga Q distribu��da uniformemente sobre ela e raios
interno e externo iguais a a e b, respectivamente.
(1,0 ponto) (b) Qual �e o campo el�etrico criado pela coroa no ponto P ?
P
b
a
r
x
(a) O potencial devido ao anel de raio r e largura dr �e dado por
dV (x) = 2���
rdr
(x
2
+ r
2
)
1=2
=) V (x) = 2���
b
Z
a
rdr
(x
2
+ r
2
)
1=2
= 2���
p
x
2
+ r
2
�
�
�
b
a
= 2���
h
p
b
2
+ x
2
�
p
a
2
+ x
2
i
(b) C�alculo do campo
E(x) = �
dV
dx
= 2���x
�
1
p
a
2
+ x
2
�
1
p
b
2
+ x
2
�
�
�
	
Quest~ao 3
Um �o com 15m de comprimento e sec�c~ao reta circular com dia^metro de 2; 5mm de metal
condutor �e usado para transportar correntes. A resiste^ncia entre as suas extremidades �e
de R = 0; 10
.
(0,5 ponto) (a) Qual �e a resistividade � do material?
(1,0 ponto) (b) Sabendo que o m�odulo do campo el�etrico no interior do condutor �e igual a E =
1; 3V=m, qual �e a corrente el�etrica total I?
(1,0 ponto) (c) Suponha que a resistividade do metal n~ao seja constante e dependa da dista^ncia x
medida entre os pontos inicial x = 0 e �nal x = 15m. Assim, sendo �(x) = Cx,
calcule o valor da constante C para que a resiste^ncia do �o seja igual a R = 0; 10
.
De^ suas respostas com 1 algarismo signi�cativo
(a) A resiste^ncia R �e dada por
R = �
`
A
; onde A = �(
2; 5� 10
�3
2
)
2
� 5� 10
�6
=) � = R
A
`
=
0; 10� 5� 10
�6
15
� 3� 10
�8
m
(b) A densidade de corrente J pode ser calculada pela lei de Ohm
J =
I
A
= �E =
E
�
=) I =
AE
�
=
5� 10
�6
� 1; 3
3� 10
�8
� 2� 10
2
A
(c) A resiste^ncia R �e calculada por integra�c~ao
R =
15
Z
0
�(x)dx
A
=
C
A
x
2
2
�
�
�
�
15
0
=
225C
2A
=) C =
2AR
225
=
2� 5� 10
�6
� 0; 10
225
� 4� 10
�9
�
�
	
Quest~ao 4
Considere uma placa isolante in�nita com uma densidade super�cial de carga � > 0,
constante. Uma pequena part��cula com carga q < 0 encontra-se sobre esta placa a uma
altura h, conforme mostra a �gura. H�a um pequeno orif��cio no plano, diretamente embaixo
da part��cula. Suponha que os efeitos deste orif��cio sobre o campo el�etrico gerado pela placa
sejam desprez��veis.
+
+
+ +
+
q<0
h
+
+
+
++
+
+
z
(1,0 ponto) (a) Use a lei de Gauss para calcular o campo el�etrico devido �a placa in�nita em todo e
espa�co.
(0.5 ponto) (b) Calcule a diferen�ca de energia potencial el�etrico entre a posi�c~ao inicial e a posi�c~ao
em que a part��cula atravessa o orif��cio (z = 0).
(1,0 ponto) (c) Fa�ca um esbo�co do gr�a�co da velocidade da carga de prova em fun�c~ao do tempo.
(a) Por simetria o campo el�etrico �e perpendicular ao plano. Utilizaremos a lei de Gauss
com uma superf��cie cil��ndrica.
E
E
∆ A σ
I
~
E � d
~
A = 2E�A =
��A
�
0
=) E =
�
2�
0
(b) A diferen�ca de energia potencial �e dada por
�U = qEh =
q�h
2�
0
(c) A part��cula vai oscilar entre z = h e z = �h com acelera�c~ao constante nos trechos
�h < z < 0 e 0 < z < h.
τ
τ
2
v(t)
t
passou pelo furo
Formul�ario
Z
dx
(a
2
+ x
2
)
3=2
=
x
a
2
(a
2
+ x
2
)
1=2
;
Z
x dx
(a
2
+ x
2
)
3=2
=
�1
(a
2
+ x
2
)
1=2
;
Z
xdx
(a
2
+ x
2
)
1=2
=
p
a
2
+ x
2