Aula 2 - Relações entre Conjuntos

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA COMPUTAÇÃO
	
	Professor: Jean Carlos Gentilini
	
	Curso: Sistemas de Informação
 IFPR – Campus Palmas
	Período: 1º/2014
Relações
	Se ouvirmos que duas pessoas, João e Maria, que se relacionam, entenderemos que existe algum laço afetivo entre eles — que (João, Maria) distinguem-se dos demais pares ordenados de pessoas por haver uma relação (são parentes, namorados, amigos etc.) que João e Maria verificam. O análogo matemático é distinguir determinados pares ordenados de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem.
Relações
 
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Relações
Definição (Relação Binária):
	Dados os conjuntos S e T, uma relação binária em SxT é um subconjunto de SxT.
	Normalmente, uma relação binária será definida através da descrição da relação ao invés de listarmos todos os seus pares ordenados. A descrição nos fornece uma propriedade dos elementos da relação.
Relações
 
Relações
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios e a relação biária p de A em B, onde:
 ⊂ A X B
O conjunto A é chamado de domínio de .
O conjunto B é chamado de contradomínio de .
Os elementos de A são representados por x e os 
elementos de B são representados por y.
O conjunto formado por todos os y pertencentes à 
relação chamamos de imagem.
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Relação inversa: Seja uma relação de A em B. A relação inversa de , denotada por -1, é definida de B em A por:
-1 = {(y, x) ∈ BxA / (x, y) ∈ }
	Exemplo:
	 = AxB = { (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5)}
	 -1 = BxA = { (3, 1), (5, 1), (3, 2), (5, 2)}
	 = { (2, 4), (3, 6) }
	 -1 = { (4, 2), (6, 3) }
Relações
Matriz de uma relação: Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que n(A) = m e n(B) = n. Qualquer relação : A→B poe ser representada como uma matriz do seguinte modo:
	M[i,j] = 1 se, e somente se, (ai, bj) ∈ ;
	M[i,j] = 0 se, e somente se, (ai, bj) ∉ ;
Relações
Seja A={ 1, 2, 3 } e B={ 1, 2, 3, 4, 5 } e ⊂ AxB.
={(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3,4)}. Então:
 |1 2 3 4 5
 1|0 1 0 1 0	
 2|0 1 0 1 0		M=
 3|0 1 0 1 0
Relações
Exemplo: Seja C={0, 1, 2} e D={2, 3, 4}, Se a relação é tal que ={(x, y) ∈ CxD / x < y} obtemos a seguinte matriz de relação:
< | 2 3 4 
 0| 1 1 1	
1| 1 1 1 
2| 0 1 1 
Relações
Exercício: Se A={a, e, i, o, u} e B={a, b, c, d, e} e ⊂AxB, de modo que ={(x, y) ∈ AxB / x = y}. Construa a matriz de relação.
 
Relações
Uma relação binária em um conjunto S pode ter certas propriedades. Por exemplo, a relação de S2, ={(x, y) ∈ S2 / x = y}, tem três propriedades:
1- Reflexiva: Se todo elemento de S está relacionado com ele próprio; para todo x∈S: (x,x)∈ .
2- Simétrica: Uma relação :S→S é simétrica se xy, implicar necessariamente que yx; 
Se xy ⇒ (x, y) ∈ ⇒ (y, x) ∈ ⇒ yx.
3- Transitiva: Uma relação :S→S é transitiva, se xy e yz, implicar que xz;
Se xy e yz ⇒ (x, y), (y, z) ∈ ⇒ (x, z) ∈ ⇒ xz
Relações
Considerando o conjunto S={1, 2, 3, 4} e as relações
 R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}.
 R2={(1,1), (1,2), (2,1)}.
 R3={(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}.
 R4={(2,1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
R5 ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}.
As relações R3 e R5 são reflexivas.
Relações
Dado o conjunto dos números Inteiros Z, considere as seguintes relações sobre ZxZ:
R1={(a, b) / a <= b}.
R2={(a, b) / a < b}.
R3={(a, b) / a = b ou a = -b}.
R4={(a, b) / a = b}.
R5 ={(a, b) / a = b+1}.
As relações R1, R3 e R4 são reflexivas.
Relações
Considerando o conjunto S={1, 2, 3, 4} e as relações
 R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}.
 R2={(1,1), (1,2), (2,1)}.
 R3={(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}.
 R4={(2,1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
R5 ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}.
As relações R2 e R3 são simétricas.
Relações
Dado o conjunto dos números Inteiros Z, considere as seguintes relações sobre ZxZ:
R1={(a, b) / a <= b}.
R2={(a, b) / a < b}.
R3={(a, b) / a = b ou a = -b}.
R4={(a, b) / a = b}.
R5 ={(a, b) / a = b+1}.
As relações R3 e R4 são simétricas.
Relações
Dado o conjunto dos números Inteiros Z, considere as seguintes relações sobre ZxZ:
R1={(a, b) / a <= b}.
R2={(a, b) / a < b}.
R3={(a, b) / a = b ou a = -b}.
R4={(a, b) / a = b}.
R5 ={(a, b) / a = b+1}.
As relações R1, R2, R3 e R4 são transitivas.