Sistemas Lineares e Problemas

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Sistemas Lineares e Problemas – nível intermediário 
 
Eduardo Wagner – FGV – Escola de Matemática Aplicada 
 
 
Introdução 
Na aula anterior examinamos os sistemas lineares 2×2, 2×3 e 3×3, e foram caracterizados os 
sistemas dos três tipos: determinado, impossível e indeterminado. Todos os alunos devem adquirir 
proficiência em manejar esses sistemas, mas apenas esse conhecimento não basta. É necessário 
que os alunos sejam submetidos a problemas que descrevam situações concretas de forma que as 
equações e os sistemas sejam obtidos a partir da compreensão do enunciado dado. São os famosos 
“problemas de texto”. 
Antes, porém, vamos ver um pequeno sistema que costuma causar dificuldades aos alunos. 
 
Problema 1 
Resolva o sistema 
{
 
 
1
𝑥
−
1
𝑦
= 1
12
𝑦
−
3
𝑥
= 5
 
Solução 
De forma quase automática os alunos costumam eliminar os denominadores e encontrar o sistema 
 
{
−𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦
12𝑥 − 3𝑦 = 5𝑥𝑦
 
 
Tendo dificuldades para prosseguir. Entretanto é conveniente mostrar que uma mudança de 
variável resolve as coisas com dificuldade. Fazendo 1 𝑥⁄ = 𝑎 e 1 𝑦 = 𝑏⁄ o sistema inicial toma 
a forma 
{
𝑎 − 𝑏 = 1
−3𝑎 + 12𝑏 = 5
 
 
Resolvendo, encontramos 𝑎 = 17 9 e 𝑏 = 8 9⁄⁄ . 
Assim, a solução do sistema é 𝑥 = 9 17⁄ e 𝑦 = 9 8⁄ . 
 
 
Problema 2 
Em uma corrida de d metros, se A e B competem sozinhos, A vence B com 20 m de frente. ,Se 
B e C competem sozinhos, B vence C com 10 m de frente, e se A e C competem sozinhos, A 
vence C com 28 m de frente. Calcule d. 
 
 
 
 
Solução 
Sejam 𝑣𝐴, 𝑣𝐵, 𝑣𝐶 as velocidades de A, B e C, respectivamente. A corrida termina quando um dos 
corretores alcança a distância 𝑑. Passamos então a igualar os tempos decorridos do início da 
corrida ao momento em que um deles alcança a linha de chegada. 
 
Para os corredores A e B temos: 
𝑑
𝑣𝐴
=
𝑑 − 20
𝑣𝐵
 
Para os corredores B e C temos 
𝑑
𝑣𝐵
=
𝑑 − 10
𝑣𝐶
 
Para os corredores C e A temos 
𝑑 − 28
𝑣𝐶
=
𝑑
𝑣𝐴
 
Multiplicando e simplificando, encontramos 𝑑 = 100. 
 
 
Problema 3 
A reação de óxido de alumínio com ácido clorídrico produz cloreto de alumínio e água, como 
mostra a reação 
𝑥 𝐴𝑙2 𝑂3 + 𝑦 𝐻 𝐶𝑙 → 𝑧 𝐴𝑙 𝐶𝑙3 + 𝑡 𝐻2 𝑂 
Encontre os menores coeficientes naturais 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, possíveis. 
 
Solução 
É importante que os alunos percebam que igualando as quantidades de átomos do lado esquerdo 
e do lado direito da equação química, obteremos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas e que 
esse sistema é, necessariamente, indeterminado. De fato, obtida uma solução (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) da 
equação química, todo múltiplo natural dessa quadra é também solução. Por isso, o enunciado 
pede os menores coeficientes naturais 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, possíveis. 
 
Da equação química decorre o seguinte sistema: 
2𝑥 = 𝑧 
3𝑥 = 𝑡 
𝑦 = 2𝑡 = 2 ∙ 3𝑥 = 6𝑥 
𝑦 = 3𝑧 = 3 ∙ 2𝑥 = 6𝑥 
 
É claro que o sistema é indeterminado (como deveria ser) e a solução geral tem a forma 
(𝑥, 6𝑥, 2𝑥, 3𝑥). Para 𝑥 = 1 a solução é (1, 6, 2, 3) e a equação balanceada fica: 
𝐴𝑙2 𝑂3 + 6 𝐻 𝐶𝑙 → 2 𝐴𝑙 𝐶𝑙3 + 3 𝐻2 𝑂 
 
 
 
 
Problema 4 
Imagine três pessoas, A, B e C e as seguintes operações financeiras: 
A dá a B tantos reais quantos B possui e dá a C tantos reais quantos C possui. Em seguida, B dá 
a A tantos reais quantos A possui e dá a C tantos reais quantos C possui. Finalmente, C faz a 
mesma coisa. Após essas operações, todos terminaram com 16 reais. 
Com quantos reais A começou o jogo? 
 
 
Solução 1 
Façamos um quadro contendo todas as operações: 
A B C 
𝑥 𝑦 𝑧 
𝑥 − 𝑦 2𝑦 𝑧 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 2𝑦 2𝑧 
2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 2𝑦 − (𝑥 − 𝑦 − 𝑧) = 
= −𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 
2𝑧 
2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 −𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 4𝑧 
4𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 −2𝑥 + 6𝑦 − 2𝑧 4𝑧 − (2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧) 
−(−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧) = 
−𝑥 − 𝑦 + 7𝑧 
 
Como se vê, a última linha contém as duas operações efetuadas por C. 
{
4𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 = 16
−2𝑥 + 6𝑦 − 2𝑧 = 16
−𝑥 − 𝑦 + 7𝑧 = 16
 
Simplificando, 
{
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 8
−𝑥 − 𝑦 + 7𝑧 = 16
 
Somando as duas primeiras encontramos 𝑦 − 𝑧 = 6 e somando a primeira com a terceira 
encontramos −𝑦 + 3𝑧 = 10. Daí, calculamos 𝑧 = 8, 𝑦 = 14 e 𝑥 = 26. 
A pessoa A começou com 26 reais. 
 
Solução 2 
Podemos também fazer uma solução de trás para frente, começando com os três possuindo 16 
reais cada um e fazendo as operações na ordem inversa. Começando com as três pessoas com 16 
reais e, fazendo as operações inversas, na última linha do quadro abaixo teremos as quantias 
iniciais de cada um. 
 
 
 
 
A B C 
16 16 16 
8 16 24 
8 8 32 
4 12 32 
4 28 16 
18 14 16 
26 14 8 
 
 
O problema a seguir é muito antigo. Tão antigo que passa a ser novo para os mais jovens. 
Entretanto, é um dos melhores problemas para se entender situações com idades de pessoas. 
 
Problema 5 
Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a 
idade que tenho, teremos juntos 117 anos. 
Quantos anos eu tenho? 
 
 
Solução 
Esse problema tem enunciado muito curto, porém cheio de informações. Para entender tudo, 
façamos um quadro com os dados do problema. Observe a escolha das incógnitas. Isso é muito 
importante. 
 
 Passado Presente Futuro 
Eu 𝑦 2𝑥 117 − 2𝑥 
Você 𝑥 𝑦 2𝑥 
 
O tempo decorrido do passado ao presente é o mesmo para as duas pessoas, ou seja, 
2𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑥 → 3𝑥 − 2𝑦 = 0 
O tempo que decorrerá do presente ao futuro é o mesmo para as duas pessoas, ou seja, 
117 − 2𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 − 𝑦 → 6𝑥 − 𝑦 = 117 
Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, encontramos 𝑥 = 26 e 𝑦 = 39. 
Eu tenho, portanto, 2×26 = 52 anos.