Dinâmica do Movimento de Rotação

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Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
1 
 Introdução: 
 Ao usarmos uma chave de roda para retirar o 
parafuso para trocar o pneu de um automóvel, a roda 
inteira pode começar a girar, a menos que você descubra 
um meio de mantê-la firme. O que ocorre com a força 
que você realiza sobre a chave de roda que ocasiona a 
rotação da roda? De modo geral, o que produz a 
aceleração angular em um corpo que gira? Uma força 
pode puxar, empurrar mas para produzir um movimento 
de rotação é necessária uma ação giratória ou de 
rotação. 
 Analisaremos uma nova grandeza física, o 
torque, que descreve a ação giratória da força. 
 Desenvolveremos um novo princípio de 
conservação, a lei da conservação do momento angular, 
que é extremamente útil para entender o movimento de 
rotação do corpo rígido e de corpos não rígidos. Uma 
aplicação interessante é o movimento de um giroscópio, 
que se comporta de acordo com a dinâmica do 
movimento de rotação. 
 
 Torque 
 
 Definimos como torque, ou momento da força 
F
em relação a um ponto O como sendo o produto da 
distância l perpendicular entre o ponto O e a linha de 
ação da força e o módulo da força 
F
:
F
. Assim: 
F l  
 
 Em notação vetorial: 
r F  
 
 
 Unidade: N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 1 – Um bombeiro hidráulico, incapaz 
de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço 
de sucata (―uma alavanca‖) sobre a haste da chave de 
grifa. A seguir ele usa seu peso de 900 N para ficar em 
pé na extremidade da alavanca. A distância entre o 
centro da conexão e o ponto onde o peso atua é igual a 
0.80 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de 19° com 
a horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcule o módulo, a direção e o sentido do 
torque que ele aplica em torno do centro de conexão. 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
2 
 Solução: 
 O ângulo  entre 
r
e
F
é igual a 190°. Assim, 
o braço l da alavanca é: 
0.8 109 0.76l sen l m   
 
900 0.76F l      
680N m  
 
 Torque e aceleração angular de um corpo 
rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A relação fundamental para a dinâmica da 
rotação de um corpo rígido pode ser feita se 
imaginarmos que o corpo constituí de um número 
grande de partículas. Escolhemos para o eixo de rotação 
o eixo Oy; a primeira partícula de massa m1 está a uma 
distância r1 do eixo. Assim, a segunda lei de Newton 
para o movimento tangencial é: 
1,tan 1 1,tanF m a 
 
2
1,tan 1 1 1F r m r    
 
 Somando sobre todas as partículas: 
 2i i im r    
 
 Segunda lei de Newton para o movimento de 
rotação: 
I  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 – Desenrolando um cabo. A 
figura mostra a mesma situação mostrada no exemplo 
do capítulo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um cabo é enrolado diversas vezes em torno de 
um cilindro sólido uniforme que pode girar em torno de 
seu eixo. O cilindro possui diâmetro igual a 0.120 m e 
massa de 50 kg. O cabo é puxado com uma força de 9.0 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
3 
N. Supondo que o cabo seja desenrolado sem se dilatar 
e sem deslizar, qual sua aceleração? 
 
 Solução: 
9 0.060F l      
0.54N m  
 
21
2
I M R 
 
21 50 0.06
2
I  
 
 20.09I kg m 
 
I

 
 
2
0.054
6.0
0.090
rad
s
   
 
 
 Exemplo 3 – Desenrolando um cabo II. 
Suponha a mesma situação mostrada no exemplo 
anterior. Ache a aceleração do objeto de massa m e a 
aceleração angular do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
yF m g T m a    
 
 O peso Mg e a força normal N não possuem 
torque em relação ao eixo de rotação. 
 Assim: 
I  
 
21
2 a
R
R T I R T M R        
 
1
2
T M a  
tana a R    
1
2
m g M a m a     
1
2
g
a
M
m


 
1
2
T M a  
1
2
1
2
g
T M
M
m
 

 
2
22 2 2
2
M g M m g
T T
m M m M
m

    
 
 
2
m M
T g
m M

 

 
 Exemplo 4 – Um cavaleiro de massa m1 
desliza sem atrito ao longo de um trilho de ar horizontal. 
Ele está ligado a um objeto de massa m2 por meio de um 
fio de massa desprezível. A polia é uma casca cilíndrica 
(ligada ao centro por raios de massa desprezível) com 
massa M e raio R, e o fio faz o cilindro sem deslizar 
nem dilatar. Ache a aceleração angular da polia e a 
tensão em cada parte do fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 As equações de movimento para o cavaleiro e o 
objeto são: 
1 1 1xF T m a   
2 2 2 2yF m g T m a     
 Momento de inércia da polia em torno do eixo: 
2I M R 
 Considerando positivo o sentido da rotação dos 
ponteiros do relógio, a equação do movimento da polia 
é: 
2
2 1I T R T R M R           
 Como o fio não dilata nem desliza, temos as 
relações cinemáticas adicionais: 
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4 
1 2a a R    
 Juntando as equações, teremos: 
1 1 1
2 2 2 2
2 1 1
T m a
m g T m a
T T M a
 

   
   
 
 Somando as três equações e 
eliminando-se T1 e T2: 
2
1
1 2
m
a g
m m M
 
 
 
 Substituindo na relação acima: 
1 2
1
1 2
m m
T g
m m M

 
 
 
 1 2
2
1 2
m M m
T g
m m M
 
 
 
 
 Movimento combinado de rotação e 
translação: Relações envolvendo energia. 
 
 Todo movimento de um corpo rígido pode ser 
sempre dividido em um movimento de translação do 
centro de massa e outro de rotação em torno do centro 
de massa. A energia cinética do corpo possui duas 
parcelas: uma devida à translação do centro de massa e 
outra devida à rotação: 
2 21 1
2 2
cm cmK M v I     
 Condição para rolamento sem deslizamento: 
CMv R   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
5 
 Exemplo 5 – Enrolamento de uma casca 
cilíndrica. Uma casca cilíndrica oca de raio R e massa 
M rola sem deslizar com uma velocidade vCM ao longo 
de uma superfície plana. Qual a sua energia cinética? 
 
 Solução: 
2 21 1
2 2
cm cmK M v I    
 
 
2
2 21 1
2 2
CM
cm
v
K M v M R
R
 
     
 
 
2
cmK M v 
 
 Exemplo 6 – Velocidade de um ioiô. Um ioiô 
é feito enrolando-seum fio diversas vezes em torno de 
um cilindro de massa M e raio R. Mantém-se presa a 
extremidade enquanto o cilindro é liberado sem 
velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza 
nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Use 
considerações de energia para achar a velocidade do 
centro de massa vCM do cilindro sólido depois que ele 
caiu a uma distância h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2 21 1
2 2
cm cmK M v I    
 
21
2
CMv I M R
R
    
 
2
2 2
2
1 1 1
2 2 2
CM
cm
v
K M v M R
R
 
      
 
 
2
2
3
4
cmK M v 
 
 Aplicando a conservação da energia: 
1 1 2 2K U K U  
 
230 0
4
cmM g h M v     
 
4
3
cmv g h 
 
 Exemplo 7 – Competição entre corpos 
girando. Em uma demosntração durante a aula de 
física, o professor faz uma ―competição‖ de vários 
corpos rígidos redondos, deixando-os rolar do alto de 
um plano inclinado. Qual a forma do corpo que alcança 
primeiro a parte inferior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
1 1 20 0K U M g h U      
 
2 2
2
1 1
2 2
cm cmK M v I    
 
1 1 2 2K U K U  
 
2 21 10 0
2 2
cm cmM g h M v I        
 
 Chamando de: 
2
cmI c M R  
 
2
2 21 1
2 2
cm
cm
v
M g h M v c M R
R
 
        
 
 
2 21 1
2 2
cm cmM g h M v M v c      
 
 2
1 2
1
2 1
cm cm
gh
M g h M v c v
c
      

 
 Todos os cilindros sólidos possuem a mesma 
velocidade no ponto inferior do plano, mesmo quando 
possuem massas e raios diferentes, pois eles possuem o 
mesmo valor da constante c. Todas as esferas sólidas 
possuem a mesma velocidade na base do plano. Quando 
menor o valor de c maior a velocidade do corpo quando 
ele chega na parte inferior do plano. Observando a 
tabela de momento de inércia, vemos que a ordem de 
chegada do plano é: Qualquer esfera maciça, qualquer 
cilindro maciço, qualquer esfera oca com parede fina ou 
casca esférica e, finalmente, qualquer casca cilíndrica. 
 
 Exemplo 8 – Aceleração de um ioiô. Ache a 
aceleração de cima para baixo do ioiô e a tensão no fio. 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 A equação para o movimento de translação do 
centro de massa é: 
cmy
F M g T M a    
 
 O momento de inércia em relação a um eixo 
que passa pelo centro de massa: 
21
2
I M R 
 
 Somente a força de tensão possui torque em 
relação a um eixo que passa pelo centro de massa é: 
21
2
cmT R I T R M R          
 
 Como o fio se desenrola sem se deslizar: 
CMv R  
 
CM
CM
a
a R
R
    
 
1
2
cma
T M R   
 
1
2
cmT M a 
 
cmM g T M a   
 
1
2
cm cmM g M a M a    
 
1
2
cm cmM g M a M a    
 
3 2
2 3
cm cmM g M a a g    
 
1
2
cmT M a 
 
1 2
2 3
T M g 
 
2
3
T M g 
 
 Exemplo 9 – Aceleração de uma esfera 
rolando. Uma esfera de bliche sólida rola sem deslizar 
para baixo de uma rampa ao longo de uma guia. O 
ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal é 
. Qual é a aceleração da bola? Considere a bola uma 
esfera homogênea sólida, desprezando seus orifícios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 A figura mostra o diagrama de corpo livre, 
mostrando o sentido positivo das coordenadas. 
 Usando o momento de inércia da esfera sólida: 
22
5
I M R 
 
 Equações de translação e rotação do centro de 
massa e chamando de f a força de atrito: 
cmx
F M g sen f M a     
 
22
5
cmf R I f R M R          
 
 Como:
 CMCM
a
a R
R
    
 
 Substituindo, teremos: 
2
5
cmf M a 
 
cmM g sen f M a    
 
2
5
cm cmM g sen M a M a     
 
2
5
cm cmM g sen M a M a     
 
7 5
5 7
cm cmM g sen M a a g sen        
 
2 2 5
5 5 7
cmf M a f M g sen      
 
2
7
f M g sen   
 
 Coeficiente de atrito: 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
7 
2
7
cos
M g sen
f
N M g



  
 
 
 
2
7
tg  
 Trabalho e potência no movimento de rotação 
 Podemos escrever: 
tandW F ds ds R d   
 
tandW F R d 
 
dW d  
 
2
1
W d


  
 
 Podemos desenvolver: 
dW d  
 
d
dW I d dW I d
dt
        
 
d
dW I d
dt
   
 
dW I d    
2
1
W I d


   
 
2 2
2 1
1 1
2 2
totW I I    
 
dW d
dt dt

 
 
P   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 10 – Um anúncio fazendo 
propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um 
automóvel afirma que o motor desenvolve 1.49.10
5
W 
para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o torque 
desenvolvido pelo motor? 
 Solução: 
P
P   

   
 
6000
6000
60
f rpm Hz 
 
100f Hz
2 2 100 200
rad
f
s
           
 
51.49 10
200




 
 
237N m  
  Exemplo 11 - Um motor elétrico desenvolve 
um torque constante de  = 10 N.m sobre o esmeril 
montado no seu eixo motor. O momento de inércia é I = 
2.0 kg.m². Sabendo que o sistema começa a se mover a 
partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo 
motor em 8.0 s e a energia cinética no instante final. 
Qual a potência média desenvolvida pelo motor? 
 Solução: 
I
I
     
 
2
10
2
rad
s
   
 
t  
 
5 8 40
rad
s
    
 
2 21 1 2 40 1600
2 2
K I K K J      
 
2 21 1 5 8 160
2 2
t rad          
 
10 160 1600W W W J       
 
1600
200
8
W
P P P W
t
    
 
 A potência instantânea P = não é constante, 
porque  cresce continuamente. Porém podemos 
calcular o trabalho total por: 
2 2
1 1
t t
t t
W P dt W dt        
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
8 
2
1
8
0
10 5
t
t
W t dt tdt         
8
2
0
50 1600
2
t
t
t
W W J


  
 
 Momento angular 
 
Uma grandeza análoga ao momento linear
p
 de uma 
partícula é o momento angular, que representamos por 
L
. Definimos como: 
L r p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L m v r sen   
 
L m v l  
 
 Pode-se mostrar que a taxa de variação do momento 
angular é igual ao torque da força resultante: 
dL dr dp
p r
dt dt dt
   
 
dL dr mdv
mv r
dt dt dt
   
 
0
dL
v mv r ma
dt
   
 
dL
r F
dt
 
 
dL
dt

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para um corpo rígido de i partículas, o momento 
angular de cada uma será: 
i i i iL m v r  
 
 i i i i iL m r r   
 
2
i i i iL m r   
 
2
i i i iL L L m r      
 
L I  Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
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 Exemplo 12 – A hélice da turbina de um motor 
a jato possui momento de inércia 2.5 kg.m² em torno do 
eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua 
velocidade angular em função do tempo é dada por 
2 3400 t rad s     
 
 (a) Calcule o momento angular da hélice em função 
do tempo e ache seu valor em t = 3.0 s. 
 (b) Determine o torque resultante que atua sobre a 
hélice em função do tempo e calcule seu valor para t = 
3.0 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
10 
 Solução: 
 (a) 
22.5 400L I L t      
21000L t 
 
 
2
23 1000 3 9000
kg m
L t L
s

    
 
 (b) 
1000 2
dL
t
dt
    
 
2000 t  
 
 3 2000 3 6000t N m      
 
 Conservação do momento angular 
 
 Princípio da conservação do momento angular: Esse 
princípio vale em todas escalas, desde o sistema 
atômico como o planetário e decorre da equação: 
dL
dt

 
Quando 
0 0i
i
dL
dt
    
Podemos escrever também:
 
1 1 2 2I I   
 
 Exemplo 13 – Qualquer um pode ser 
bailarino. Um professor de física acrobata está de pé 
sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus 
braços estendidos horizontalmente com um haltere de 
5.0 kg em cada mão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ele está girando em torno de um eixo vertical 
completando uma volta a cada 2.0 s. Calcule a nova 
velocidade angular do professor quando ele aproxima os 
dois halteres do seu estômago e discuta como isso 
modifica a sua energia cinética. Seu momento de 
inércia (sem os halteres) é igual a 3.0 kg.m² quando seus 
braços estão distendidos para fora, diminuindo para 2.2 
kg.m² quando suas mãos estão próximas do seu 
estômago. Os halteres estão inicialmente a uma 
distância de 1.0 m do eixo e a distância final é igual a 
0.20 m. Considere o halteres como partículas. 
 
 Solução 
prof halteresI I I 
 
2
1 3 2 5 1I    
 
2
1 13I kg m 
 
2
2 2.2 2 5 0.2I    
 
2
2 2.6I kg m 
 
 
1 1
2
2
rad
f f Hz f
T s
         
 
1 1 2 2I I   
 
1
2 1 2 2
2
13
5
2.6
I rad
I s
           
 
1
2 1 2 2
2
13
0.5 2.5
2.6
I
f f f f Hz
I
       
2 2
1 1 1 1 1
1 1
13 64
2 2
K I K K J        
 
22
2 2 2 2 1
1 1
2.6 5 320
2 2
K I K K J       
 
 Exemplo 14 – A figura mostra 2 discos, um 
deles é o volante de um motor e o outro é um disco 
ligado a um eixo de transmissão. Seus momentos de 
inércia são IA e IB, respectivamente; inicialmente eles 
estão girando com a mesma velocidade angular A e B, 
respectivamente. A seguir empurramos os dois discos 
um contra o outro aplicando forças que atuam ao longo 
do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos 
surge torque em relação ao eixo. Os discos permanecem 
unidos um contra o outro e atingem uma velocidade 
angular final . Deduza uma expressão para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
11 
 
 Solução: 
O único torque que atua sobre cada disco é o torque 
que cada disco exerce sobre o outro disco; não existe 
nenhum torque externo. Logo o momento angular total 
do sistema dos dois discos é o mesmo antes e depois de 
eles serem unidos. No equilíbrio final eles giram juntos 
como se constituíssem um único corpo com momento 
de inércia: 
A BI I I 
 
 A conservação do momento angular fornece: 
A A B BI I I      
 
A A B BI I
I
     
A A B B
A B
I I
I I
    

 
 Exemplo 15 – No exemplo anterior, suponha 
que o volante A tenha massa de 2.0 kg, um raio de 0.20 
m e uma velocidade angular inicial de 200 rad/s. 
Calcule a velocidade angular comum final  depois que 
os discos ficam em contato. A energia cinética se 
conserva nesse processo? 
 
 Solução: 
2 2 21 1 2 0.2 0.040
2 2
A A A A AI m r I I kg m       
2 2 21 1 4 0.1 0.020
2 2
B B B B BI m r I I kg m       
A A B B
A B
I I
I I
    

 
0.04 50 0.02 200
0.04 0.02
   

 
100
rad
s
  
2 2
1
1 1
2 2
A A B BK I I     
2 2
1
1 1
0.04 50 0.02 200
2 2
K    
 
1 450K J
 
  22
1
2
A BK I I    
  22
1
0.04 0.02 100
2
K   
 
2 300K J 
 Um terço da energia foi perdida na ―colisão 
angular‖, o análogo rotacional de uma colisão linear 
completamente inelástica. Não deveríamos esperar 
conservação da energia cinética, embora a força externa 
resultante e o torque resultante sejam nulos, porque 
existem forças internas não conservativas (forças de 
atrito) que atuam enquanti os dois discos começam a 
girar unidos e tendem a girar com uma velocidade 
angular comum. 
 
 Exemplo 16 – Momento angular em uma 
ação policial. Uma porta de largura 1 m e massa de 15 
kg é articulada com dobradiças em um dos lados de 
modo que possa girar sem atrito em torno de um eixo 
vertical. Ela inicialmente não está aberta. Um policial dá 
um tiro com uma bala de 10 g e velocidade de 400 m/s 
exatamente no canto da porta. Calcule a velocidade 
angular da porta imediatamente depois que a bala 
penetra na porta. A energia cinética se conserva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 Considere um sistema formado pela porta 
juntamente com a bala em seu interior. Não existe 
nenhum torque externo em torno do eixo definido pelas 
dobradiças, de modo que o momento angular em torno 
desse eixo deve se conservar. O momento angular da 
bala é: 
0.01 400 0.5L m v l L      
 
22L kg m s 
 
 O momento angular final é: 
L I  
 
porta balaI I I 
 
2
2
3
p
bala
m d
I m l

  
 
2
215 1 0.010 0.5
3
I

  
 
25.0025I kg m 
 
m v L
L I
I
      
 
2
0.40
5.0025
rad
s
   
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
12 
 
 A colisão entre a porta e a bala é inelástica porque 
forças não conservativas atuam durante o impacto da 
bala. Logo, não esperamos que haja conservação da 
energia cinética. Para conferirmos, calculamos a energia 
cinética inicial e final: 
2 2
1 1
1 1
0.010 400
2 2
K m v K    
 
1 800K J
 
2
2
1
2
K I  
 
2
2
1
5.0025 0.4
2
K  
 
2 0.40K J
 
 A energia cinética final é apenas 1/2000 da energia 
cinética inicial. 
 
 Giroscópios e precessão 
 Se o eixo do volante for inicialmente colocado 
horizontalmente e depois largado, sua extremidade livre 
começará a cair sob a ação da gravidade, se o volante 
inicialmente não estava girando. Porém, quando o 
volante está inicialmente girando, o que ocorre ébasicamente diferente. Um movimento possível é o 
movimento circular uniforme do eixo em um plano 
horizontal combinado com o movimento de rotação do 
volante em torno desse eixo. Esse movimento 
surpreendente, que não é intuitivo, denomina-se 
precessão. A precessão ocorre na natureza, assim como 
nas máquinas que giram, como no caso do giroscópio. A 
Terra sofre precessão: seu eixo de rotação ( o eixo que 
liga o pólo norte ao pólo sul) muda constantemente de 
direção, e a direção desse eixo só retorna exatamente à 
posição inicial depois de um ciclo completo de 
precessão que dura 26000 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para estudar o estranho fenômeno da precessão, 
devemos nos lembrar que o torque, o momento angular 
e o linear são grandezas vetoriais. Em particular, 
precisamos da relação geral entre o torque resultante 

que atua sobre um corpo e a taxa de variação de 
momento angular
L
, dada por dL
dt
 
. Vamos 
inicialmente aplicar essa equação ao caso em que o 
volante não está girando. Tomamos a origem sobre o 
ponto O do pivô e supomos que o volante seja 
simétrico, com massa M e momento de inércia I em 
torno do eixo do volante. O eixo do volante está 
inicialmente na direção ao longo do eixo Ox. As únicas 
forças que atuam sobre o giroscópio são a força normal 
que atua sobre o pivô
N
 e o peso
w
do volante que atua 
no centro de massa, situado a uma distância r do pivô. 
 A força normal possui torque nulo em relação ao 
pivô e o peso possui torque 

 na direção do eixo Oy , 
como indicado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Inicialmente não existe rotação e o momento angular 
inicial
0iL 
.Pela equação: 
dL
dt
 
 
A variação
dL
 do momento angular em um intervalo de 
tempo curto dt é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dL dt 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
13 
 Essa variação está na direção Oy porque 

 também 
está. À medida que decorre cada intervalo de tempo dt, o 
momento angular varia em incrementos adicionais dL 
na direção Oy porque a direção do torque é constante. O 
aumento crescente do momento angular horizontal 
significa que o giroscópio gira para baixo com 
velocidade crescente em torno do eixo Oy até que ele 
atinja o suporte ou então que caia na mesa onde ele se 
apoia. 
 Vamos agora analisar o que ocorre quando o 
volante está inicialmente girando, de modo que o 
momento angular inicial 
iL
 não é igual a. Uma vez que 
o volante gira em torno do eixo de simetria
iL
está ao 
longo desse eixo. Porém, cada variação de momento 
angular 
dL
 é perpendicular ao eixo, porque o torque 
r  
 é perpendicular ao eixo. Isso faz com que a 
direção do eixo varie, porém seu módulo não varia. As 
variações de 
dL
 ocorrem sempre no plano xy 
horizontal, de modo que o vetor momento angular e o 
eixo do volante que com ele se move estão sempre em 
um plano horizontal. Em outras palavras, o eixo não cai 
— ele apenas sofre precessão. 
Caso isso ainda lhe pareça difícil, pense em uma 
bola presa a um fio. Se a bola estiver inicialmente em 
repouso e você puxar o fio para você, a bola também se 
deslocará para você. Porém, se a bola estiver 
inicialmente se movendo e você puxá-la 
perpendicularmente à direção do seu movimento, ela se 
moverá em um círculo em torno de sua mão: ela não se 
aproximará de sua mão. No primeiro caso a bola possuía 
momento angular zero; quando você aplica uma força 
F
 orientada para você durante um intervalo de tempo 
dt, a bola adquire um momento linear 
dp Fdt
que 
também está orientado para você. Porém, quando a bola 
já possui um momento linear 
p
, uma variação do 
momento angular 
dp
perpendicular a
p
 produzirá uma 
variação da direção do movimento, e não uma variação 
do módulo da sua velocidade. Troque 
p
 por 
L
 e 
F
 
por 

 neste raciocínio, e você verá que a precessão é 
simplesmente o análogo relacional do movimento 
circular uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No instante indicado na Figura (a), o giroscópio 
possui momento angular 
L
. Depois de um intervalo de 
tempo curto dt, o momento angular passa para 
L dL
a variação infinitesimal do momento angular e 
dL dt 
 que é perpendicular a 
L
. Como indica o 
diagrama vetorial da Figura, isso significa que o eixo 
do volante do giroscópio girou de um ângulo pequeno 
d dado por: 
dL
d
L
 
 
A taxa com a qual o eixo se move. d/dt, denomina-
se velocidade angular de precessão escalar: 
representando essa grandeza por , achamos: 
dL
Ld w r
dt dt L I
 


    

 
Portanto a velocidade angular de precessão é 
inversamente proporcional à velocidade angular da 
rotação em torno do eixo. Um giroscópio que gira 
rapidamente realiza uma precessão lenta; caso o atrito 
nos mancais faça diminuir a velocidade angular do 
volante, a velocidade angular de precessão aumenta. A 
velocidade angular de precessão da Terra é muito lenta ( 
l rev/26000 anos) porque sua velocidade angular em 
torno do eixo, ou velocidade angular de spin é muito 
grande, e o torque  devido às influencias 
gravitacionais do Sol e da Lua é relativamente pequeno. 
A medida que o giroscópio realiza uma precessão, 
seu centro de massa se move em um círculo de raio r 
sobre um plano horizontal. Seu componente vertical da 
aceleração é zero, de modo que a torça normal de baixo 
para cima 
N
 exercida pelo pivô deve ter módulo pre 
cisamente igual ao peso. O movimento circular do 
centro de massa com velocidade angular  necessita de 
uma força 
F
 orientada para o interior do círculo, com 
módulo 
2F M r  
. Essa força também deve ser 
fornecida pelo pivô. 
Uma hipótese básica que lidemos em nossa 
analise do giroscópio foi que o vetor momento angular 
L
 está associado somente com o momento angular de 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
14 
spin do volante e e puramente horizontal. Contudo, 
existirá também um componente vertical do momento 
angular associado com o movimento de precessão do 
giroscópio. Ignorando isso estamos tacitamente 
supondo que a precessão é lenta, isto é, que a velocidade 
angular de precessão  é muito menor do que a 
velocidade angular de spin . Como a Equação anterior 
de  mostra, um valor elevado de  automaticamente 
fornece um valor pequeno de , de modo que essa 
aproximação é razoável. Quando a precessão não é 
lenta, efeitos adicionais mostram que surge um 
movimento ondulado de cima para baixo, denominado 
nutação do eixo do volante, que se superpõe com o 
movimento de precessão. Você pode ver o movimento 
de nutação ocorrendo em um giroscópio à medida que 
sua velocidade angular de spin diminui, de modo que  
aumenta, e o componente vertical de 
L
não pode ser 
mais desprezado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Giroscópio é um dispositivo que consiste de 
um rotor suspenso por um suporte formado por 
dois circulos articulados, com juntas tipo cardan. Seu funcionamento 
baseia-se no princípio da inércia. O eixo em rotação guarda direção 
fixa em relação ao espaço. O giroscópio veio a substituir a bússola na 
navegação marítima. Na aviação, serve de girocompasso e piloto 
automático,permitindo o vôo em condições de visibilidade zero. 
Nos vôos espaciais o dispositivo é fundamental para a 
orientação das espaçonaves. 
O giroscópio consiste essencialmente em uma roda livre, 
ou varias rodas, para girar em qualquer direção e com uma 
propriedade: opõe-se a qualquer tentativa de mudar sua direção 
original. Exemplo facilmente observável é que, ao girar a roda de uma 
bicicleta no ar e tentar mudar a direção de seu eixo bruscamente, 
percebe-se uma enorme reação. 
Dessa maneira, o giroscópio serve como referência de 
direção, mas não de posição. Ou seja, é possível movimentar um 
giroscópio normalmente no espaço sem qualquer trabalho além do 
necessário para transportar sua massa. A resistência surge contrária a 
forças que atuem de maneira a rotacionar seu eixo de rotação a 
qualquer configuração não paralela à sua posição original. Assim, um 
veículo munido de um giroscópio e sensores apropriados pode medir 
com precisão qualquer mudança em sua orientação, exceto rotações 
que ocorram no plano de giro dos discos do giroscópio. Por essa 
razão, normalmente são utilizados dois giroscópios perpendiculares de 
modo a integralizar a possibilidade de detecção de variações na 
orientação. 
É usado como auxiliar em navegação de helicópteros radio 
controlados, corrigindo automaticamente o curso. 
As agências espaciais utilizam um aparelho baseado no 
giroscópio conhecido como giroscópio humano para o treinamento de 
astronautas. O astronauta utiliza o peso como motor e tem a sensação 
de "driblar a gravidade". Somente depois de estar apto ao Giroscópio 
humano o astrounauta estará pronto para fazer viagens espaciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Adaptado de: 
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Giroscópio 
 Sears & Zemansky, Young, Física, V 1, Ed. Pearson 10a Edição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 7 – Dinâmica do Movimento de Rotação – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori. 
 
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