ALGEBRA BOOLEANA

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11/04/2011
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Sistemas Digitais
Prof. Murilo Plínio
www.muriloplinio.eng.br
A l 5 Ál b B lAula 5 – Álgebra Booleana
UNIFACS – Universidade Salvador
Engenharias
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• Capítulo 03
– IDOETA; CAPUANO. Elementos de Eletrônica Digital. Livros 
Érica Ltda., 1998.
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Álgebra de Boole
• Postulados
– Complementação
– AdiçãoAdição
– Multiplicação
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Complementação
• Se A = 0 → A’ = 1
• Se A = 1 → A’ = 0
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Complementação
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Complementação
• A’’ = A
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Adição
• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1
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Adição
• A + 0 = A
• A = 0 → 0 + 0 = 0• A = 0 → 0 + 0 = 0
• A = 1 → 1 + 0 = 1
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Adição
• A + 1 = 1
• A = 0 → 0 + 1 = 1• A = 0 → 0 + 1 = 1
• A = 1 → 1 + 1 = 1
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Adição
• A + A = A
• A = 0 → 0 + 0 = 0• A = 0 → 0 + 0 = 0
• A = 1 → 1 + 1 = 1
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Adição
• A + A’ = 1
• A = 0 → A’ = 1 → 0 + 1 = 1• A = 0 → A = 1 → 0 + 1 = 1
• A = 1 → A’ = 0 → 1 + 0 = 1
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Multiplicação
• 0 . 0 = 0
• 0 . 1 = 0
• 1 0 = 0• 1 . 0 = 0
• 1 . 1 = 1
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Multiplicação
• A . 0 = 0
• A = 0 → 0 0 = 0• A = 0 → 0 . 0 = 0
• A = 1 → 1 . 0 = 0
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Multiplicação
• A . 1 = A
• A = 0 → 0 1 = 0• A = 0 → 0 . 1 = 0
• A = 1 → 1 . 1 = 1
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Multiplicação
• A . A = A
• A = 0 → 0 0 = 0• A = 0 → 0 . 0 = 0
• A = 1 → 1 . 1 = 1
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Multiplicação
• A . A’ = 0
• A = 0 → A’ = 1 → 0 1 = 0• A = 0 → A = 1 → 0 . 1 = 0
• A = 1 → A’ = 0 → 1 . 0 = 0
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Postulados
• A . 0 = 0
• A . 1 = A
• A . A = A
zA + 0 = A 
zA + 1 = 1
zA + A = A
• A . A’ = 0zA + A’ = 1
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Álgebra de Boole
• Propriedades
– Comutativa
– AssociativaAssociativa
– Distributiva
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Comutativa
• Adição
A + B = B + A
• Multiplicação
A . B = B . A
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Associativa
• Adição
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
• Multiplicação
A (B C) = (A B) C = A B CA . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C
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Distributiva
• A . (B + C) = A . B + A . C
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Álgebra de Boole
• Teoremas de De Morgan
– 1º Teorema de De Morgan
– 2º Teorema de De Morgan2 Teorema de De Morgan
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1º Teorema de De Morgan
• (A . B)’ = A’ + B’
– O complemento do produto é igual à soma dos 
complementos
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2º Teorema de De Morgan
• (A + B)’ = A’ . B’
– O complemento da soma é igual ao produto dos 
complementos
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Álgebra de Boole
• Identidades Auxiliares
• Simplificação de Expressões Booleanas
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Identidades Auxiliares 
1. A + (A . B) = A
2. (A + B) . (A + C) = A + B . C
3 A + (A’ B) = A + B3. A + (A . B) = A + B
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Identidade Auxiliar 1
Demonstre a seguinte identidade auxiliar
• A + (A . B) = A
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Identidade Auxiliar 1
• A + (A . B) =
Colocando A em evidência no 1º termo
A(1 + B) =A(1 B) 
como 1 + B = 1
A . 1 = A
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Identidade Auxiliar 2
Demonstre a seguinte identidade auxiliar
• (A + B) . (A + C) = A + B . C
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Identidade Auxiliar 2
• (A + B) . (A + C) = ?
Aplicando distributiva no 1º termo
A.A + A.C + A.B + B.C
como A . A = A
A + A . C + A . B + B . C
A li d i d d di ib iAplicando propriedade distributiva
A . (1 + B + C) + B . C
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Identidade Auxiliar 2
• (A + B) . (A + C) = A + B . C
A . (1 + B + C) + B . C
Como 1 + X = 1 
A . 1 + B . C
Como A . 1 = A
A B CA + B . C
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Identidade Auxiliar 3
• A + (A’ . B) = A + B
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Identidade Auxiliar 3
• A + (A’ . B) = A + B
Aplicando X’’ = X então
(A+A’ B)’’(A+A .B)
Aplicando De Morgan (X+Y)’ = X’. Y’ temos
X=A
Y=A’.B
[A’.(A’.B)’]’
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Identidade Auxiliar 3
• [A’.(A’.B)’]’
Aplicando De Morgan (X.Y)’ = X’+Y’
X=A’
Y=B
[A’.(A’’+B’)]’
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Identidade Auxiliar 3
• [A’.(A’’+B’)]’
Aplicando X’’ = X então
[A’.(A+B’)]’
Aplicando a Distributiva temos
(A’ A + A’ B’)’(A .A + A .B )
Aplicando A’ . A = 0 e temos
(0 + A’.B’)’
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Identidade Auxiliar 3
• (0 + A’.B’)’
Aplicando A + 0 = A temos
(A’.B’)’( )
Aplicando De Morgan (X.Y)’ = X’+Y’ e A’’=A
A+B
Resultado
A + (A’ . B) = A + B
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Quadro Resumo
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Quadro Resumo
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Simplificação
• Simplifique a equação através de álgebra 
booleana
S = A’ B’ + A’ B + A B’S = A .B + A .B + A.B
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• S=A’.B’ + A’.B + A.B’
• A’ em evidência
• S=A’.(B’+B)+A.B’
• Como X’+X=1
• S=A’.1+A.B’
• Como X.1=X
• S=A’+A.B’
• Aplicando dupla negação
• S=(A’+A.B’)’’
• 2º Teorema de De Morgan (X+Y)’=X’.Y’
– X=A’X=A
– Y=A.B’
• S=(A’’.(A.B’)’)’
• Como X’’=X
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• S=(A.(A.B’)’)’
• 1º Teorema de De Morgan (X.Y)’=X’+Y’
X=A
Y=B’Y=B
• S=(A.(A’+B’’))’
• Como X’’=X
• S=(A.(A’+B))’
• Aplicando a distributiva
• S=(A.A’+A.B)’
• Como X.X’=0
• S=(0+A.B)’( )
• Como X+0=X
• S=(A.B)’
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Regras da Álgebra Booleanas
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Regras da Álgebra Booleanas
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Regras da Álgebra Booleanas
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Regras da Álgebra Booleanas
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Regras da Álgebra Booleanas
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Regras da Álgebra Booleanas
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Regras da Álgebra Booleanas
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Exercício:
d d í l d h d• Num determinado veículo, quando o motorista retira a chave da ignição, o
sistema aciona um alarme informativo caso o motorista tenha esquecido o
farol ligado ou qualquer das setas acionadas. Para este sistema:
a) Identifique as entradas e saída do sistema;
b) Elabore a tabela‐verdade;
) ã ló i i lifi á ic) Escreva a expressão lógica e simplifique‐a se necessário;
d) E implemente o circuito.
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Resposta:
) d f d íd da) Identifique as entradas e saída do sistema;
Entradas:
A – ChaveÆ 1 (Fora da Ignição); 0 (Dentro da Ignição)
B – Farol Æ 1(Ligado); 0 (Desligado)
C – Setas Æ 1(Ligado); 0 (Desligado)
Saída:
S – AlarmeÆ 1(Ligado); 0 (Desligado)
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Resposta:
b) l b b l d db) Elabore a tabela‐verdade;
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 00 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 11 1 0 1
1 1 1 1
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Resposta:
) ló l f ác) Escreva a expressão lógica e simplifique‐a se necessário
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
“S” somente é igual a 1 em C1 (Condição 1), C2 (Condição 1) ou
em C3 (Condição 3). Então:
S = C1 + C2 + C3
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
S C1 + C2 + C3
Onde C1 somente atende a esta condição se A e C 
receberem uma lógica direta e B uma lógica inversa:
C1 = A.B’.C
Seguindo a lógica: C2 = A.B.C’
C3 = A B C Logo:
C1
C2
1 1 1 1
C3 = A.B.C Logo:
S = A.B’.C + A.B.C’ + A.B.C
C3
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Resposta:
) ló l f ác) Escreva a expressão lógica e simplifique‐a se necessário
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
S = A.B’.C + A.B.C’ + A.B.C
Simplificando:
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
S = A(B’.C + B.C’ + B.C)
S = A(B’.C + B(C’ + C)) 
Se (C’ + C) = 1 (regra 6), então:
S = A(B’.C + B) 
C1
C2
1 1 1 1
Se (B’.C + B) = B + C (regra 11), então:
S = A(B + C)
C3
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Resposta:
d) ld) Implemente o circuito
S = A(B + C)
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Exercício2:
l b ló d• Elabore o circuitológico de
AB + A(B+C) + B(B+C)
• Agora , usando técnicas da álgebra booleana, simplifique a expressão.
• Elabore o circuito lógico de sua solução simplificada e verifique quantas 
portas você economizou para realizar um circuito com o mesmo resultado.
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Exercício2 ‐ Solução:
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Exercício2 ‐ Solução:
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Exercício3:
l b l d d d• Qual a tabela verdade de:
S = A’ + B + A.B’C’
• RESPOSTA:
A B C SA B C S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
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Exercício 4:
l b l d• Qual a Expressão booleana de : A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
• RESPOSTA:
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
RESPOSTA:
S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B.C’ + A.B.C
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Dúvidas?
Alguns Slides foram cedidos pelo Prof. Victory Fernandes