impressao - Rota 04

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DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Alysson Nunes Diógenes 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno, cara aluna. Na aula passada, eu usei um exemplo de 
alguém que larga a borda da piscina após aprender a nadar. Hoje, uso um 
exemplo de alguém que já sabe nadar e agora fará um curso de mergulho de 
profundidade. 
Já definimos todas as conservações na forma integral. Lembro que essas 
equações são para análise do efeito do escoamento nas fronteiras que o cercam. 
A partir de agora, deduziremos um novo conjunto de equações que nos 
permitirá analisar não mais os efeitos do escoamento, e, sim, os detalhes de 
cada pequeno conjunto de partículas de fluido. Isso nos levará à dinâmica dos 
fluidos computacional, que talvez você já tenha ouvido falar. 
Assim sendo, vamos começar? 
 
 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Agora, estamos prontos para estudar fluidos em movimento em detalhes. 
Há várias aplicações do estudo do movimento dos fluidos em detalhes, como as 
seguintes: 
 Aerodinâmica de veículos aeroespaciais e terrestres (trens, 
caminhões, carros, etc.); 
 Refrigeração de reatores nucleares; 
 Caracterização de poluição ambiental; 
 Análise e simulação de lançamento de poluentes e 
contaminantes em correntes hídricas; 
 Hidrodinâmica e hemodinâmica computacionais; 
 Indústria de petróleo; 
 Previsão de tempo. 
Um exemplo a vocês. Essa simulação foi feita por mim resolvendo 
equações de conservação na forma diferencial pelo uso de computadores. Esse 
avião é um EMB 314, o super tucano, feito pela Embraer. Na imagem, podemos 
ver a esquadrilha da fumaça em formação e, na direção oposta, uma simulação 
de um avião com a visualização do escoamento ao redor. Esse avião tem 
velocidade máxima de 590km/h, e foi nessa velocidade que a simulação ocorreu. 
 
 
3 
Figura 1 
 
 
Meramente, ao observarmos essa imagem, aplicamos uma grande parte 
dos conceitos que vimos até o momento. Essas linhas coloridas são as 
chamadas linhas de corrente, que definimos na aula 2 como uma ferramenta 
matemática para visualização de escoamentos. 
Outra aplicação é na indústria de jogos de computador. O vídeo abaixo de 
uma explosão utiliza as equações que definiremos para modelar uma 
transferência de calor com escoamento, para fazer uma explosão realista. 
Observemos: 
Observe o vídeo: 
http://www.shutterstock.com/pt/video/clip-301306-stock-footage-atomic-
bomb-with-alpha-channel-matte-fiery-side-view-vfx-element-created-using-
proprietary-cg.html?src=search/I1n9iXMoYwO_-ndUUbIJwQ:1:30/3p 
 
As equações que serão definidas na aula de hoje são as mesmas que 
utilizei para fazer essa simulação. O que significa que você também poderá, 
eventualmente, fazer simulações desse tipo. 
Sendo assim, vamos começar? 
 
 
4 
 
 
 
TEMA 1: CONSERVAÇÃO DA MASSA 
Mais uma vez, começaremos com a conservação da massa. Dessa vez, 
nosso volume de controle não é mais algum sistema grande e que envolvia todo 
o objeto. Em vez disso, analisaremos uma pequena porção do fluido, um 
diferencial de fluido, como o da figura abaixo: 
Figura 2 
 
Fonte: Fox; Pritchard; McDonald, 2006. 
A partir desse momento, este será nosso objeto de estudo. Imagine que 
pegamos uma porção grande de fluido, por exemplo, um tanque de 1m3. 
Dividimos esse tanque pela metade. 
Depois de novo, de novo e de novo, até que ele fique com dimensão bem 
pequena. Esse será o chamado diferencial de fluido. Se observarmos o conjunto 
de todos os cubinhos que compõem o tanque, podemos observar o tanque 
novamente. Mas, por enquanto, observaremos um cubinho desses. Agora, 
desenvolveremos um conjunto de equações que se aplicam a essa porção de 
fluido. 
Para avaliar as propriedades da massa (ou da densidade, que 
multiplicada pelo volume é a própria massa) em cada uma das seis faces da 
superfície de controle, usaremos uma ferramenta matemática conhecida como 
expansão por série de Taylor. Note que o centro da figura tem um “O”. A 
expansão por série de Taylor nos diz que se uma propriedade é definida no 
centro de um elemento, eu posso calcular a propriedade na face, ou na 
 
 
5 
superfície. Faremos essa expansão para a face direita da figura. Ela é a face 
indicada pela seta em azul, e tem largura dx e altura dy, estando localizada a 
dz/2 de distância do centro “O” do diferencial. 
Lembro também que, a partir de agora, a velocidade será observada como 
uma composição dos seus três vetores nas três direções �⃗� = �⃗� 𝑖̂ + 𝑣 𝑗̂ + �⃗⃗� �̂�. �⃗� é 
a componente de velocidade na direção x com o vetor unitário da direção x 𝑖̂. O 
mesmo para 𝑣 𝑗̂ e �⃗⃗� �̂� nas direções y e z, respectivamente. Observaremos na 
figura abaixo essa mesma face em destaque. Suponhamos que há dois 
escoamentos de massa (𝜌�⃗� ) acontecendo, um vindo da face sul (s) e saindo na 
face norte (n), e outro entrando na face oeste (w) e saindo na face leste (e). As 
dimensões dessas faces (no momento) serão Δx e Δy. 
Figura 3 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente faremos um balanço de massa escrito com o seguinte 
enunciado: “A variação de massa de um volume de controle no tempo 
Δ𝑚
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
, é 
a diferença da vazão de massa que entra no sistema �̇�𝑒 e da vazão de massa 
que sai �̇�𝑠”. Assim: 
Δ𝑚
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
= �̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − �̇�𝑠𝑎𝑖 
Esse enunciado é simples e intuitivo. O que eu engordo é a diferença do 
que eu como com o que eu gasto de calorias. Faz sentido, não? 
Por conveniência, reescreveremos: 
Δ𝑚
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+ �̇�𝑠𝑎𝑖 − �̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 0 
Como estamos numa face, estamos num espaço bidimensional, ou seja: 
Δ𝑚 = 𝜌∀ → Δ𝑚 = 𝜌Δ𝑥Δ𝑦 
 𝜌𝑢 𝑤 𝜌𝑢 𝑒 
 𝜌𝑣 𝑠 
 𝜌𝑣 𝑛 
𝜌 
 
 
6 
E a vazão é escrita em função apenas de uma componente da área. Por 
exemplo, para a vazão que entra pela face oeste: 
�̇�𝑤 = 𝜌�⃗� ∙ 𝐴 → �̇�𝑤 = 𝜌�⃗� 𝑖̂ ∙ Δ𝑦 = 𝜌�⃗� wΔ𝑦 
Assim, podemos dizer que há duas vazões de entrada e duas de saída. 
Logo: 
�̇�𝑠𝑎𝑖 = �̇�𝑒 + �̇�𝑛 
�̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = �̇�𝑤 + �̇�𝑠 
Ou: 
�̇�𝑠𝑎𝑖 = 𝜌𝑢 𝑒Δ𝑦 + 𝜌𝑣 𝑛Δx 
�̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝜌𝑢 𝑤Δ𝑦 + 𝜌𝑣 𝑠Δx 
Substituindo cada termo na equação original, temos: 
Δ 𝜌Δ𝑥Δ𝑦 
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+ 𝜌𝑢 𝑒Δ𝑦 + 𝜌𝑣 𝑛Δx − 𝜌𝑢 𝑤Δ𝑦 − 𝜌𝑣 𝑠Δx = 0 
Dividindo tudo por Δ𝑥Δ𝑦: 
Δρ
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+
 𝜌𝑢 𝑒
Δ𝑥
+
 𝜌𝑣 𝑛
Δy
−
 𝜌𝑢 𝑤
Δ𝑥
−
 𝜌𝑣 𝑠
Δ𝑦
= 0 
Reordenando: 
Δρ
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+
 𝜌𝑢 𝑒 − 𝜌𝑢 𝑤
Δ𝑥
+
 𝜌𝑣 𝑛 − 𝜌𝑣 𝑠
Δy
= 0 
Por fim, tomando o limite de cada Δ tendendo a zero: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
= 0 
Lembramos, então, que o operador nabla ∇ foi definido como uma 
derivada direcional que era: 
∇≡
𝜕
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂� 
Quando o aplicamos diretamente na pressão, ele era chamado gradiente 
e era utilizado para medir variações em todas as direções. Agora, nós o 
utilizaremos com o auxílio de um produto escalar, e ele será usado para 
representar uma variação de massa, ou um balanço. Assim, podemos escrever 
a equação anterior na forma: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝜌�⃗� ) = 0 
O primeiro termo representa a variação de massa (densidade) no tempo, 
e o segundo termo, o balanço de massa que passa pelas fronteiras do sistema. 
 
 
7 
Essa é a chamada equação geral da conservação da massa, obtida por Euler, 
em 1757. 
Da mesma forma como fizemos com as conservações na forma integral, 
faremos considerações comuns para simplificar as equações para seu uso. 
Outra forma de ver a equaçãoda conservação da massa: 
∇ ∙ (𝜌�⃗� ) = 𝜌∇ ∙ �⃗� + �⃗� ∙ ∇𝜌 
Assim: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇𝜌 + 𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 
Ou, definindo um outro operador, que é a derivada material: 
𝐷 
𝐷𝑡
=
𝜕 
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇ 
Esse operador se lê da seguinte forma: A derivada material de um 
parâmetro é a sua variação no tempo mais a sua componente convectiva. A 
derivada material mede uma variação no tempo e no espaço de um parâmetro. 
Para a conservação da massa: 
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ +𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 
Quando a derivada material é aplicada para a velocidade, é chamada de 
aceleração do fluido. 
𝐷(�⃗� )
𝐷𝑡
=
𝜕(�⃗� )
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇(�⃗� ) 
O primeiro termo no lado direito da equação é a variação no tempo, ou 
aceleração local e o segundo termo é a aceleração convectiva. Essa aceleração 
é provocada pelo próprio movimento das partículas de fluido. Imagine a seguinte 
situação: Uma bola de bilhar se movendo se choca com uma outra, parada, 
fazendo com que as duas se movam. Esse é um tipo de aceleração convectiva 
e ocorre para fluidos em geral. 
Assim, suponha que eu aciono uma bomba para mover água. A pressão 
que a bomba aplica causa uma aceleração no fluido, mas o fato da tubulação 
estar cheia, faz com que exista choque de partículas de água e que esses 
choques causem uma aceleração convectiva. 
Considerações: 
- Regime permanente e incompressível (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒): 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 𝑒 �⃗� ∙ ∇𝜌 = 0 
 
 
8 
Logo: 
𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 
Mas como ρ é constante, podemos passá-lo para o outro lado da equação 
dividindo. Assim: 
∇ ∙ �⃗� = 0 
Ou: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
Essa será a forma mais comum em que utilizaremos a conservação da 
massa. Na bibliografia, há a forma da equação em coordenadas cilíndricas. Você 
pode estudá-la caso deseje se aprofundar no tema. 
TEMA 2: EXERCÍCIOS 
Bocais convergentes e divergentes tem grandes aplicações na 
engenharia. Bocais divergentes são usados, por exemplo, para propelir foguetes, 
como na figura abaixo. 
 
Figura 4 
 
 
 
Por sua vez, bocais convergentes são usados para acelerar o 
escoamento, como no túnel de vento da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
9 
Figura 5 
 
 
Montaremos, então, um equacionamento para um bocal. 
Exemplo 1 – O escoamento através de um bocal convergente pode ser 
aproximado por uma distribuição de velocidades unidimensional u=u(x). Para o 
bocal da figura abaixo, considere que a velocidade varia linearmente de u=v0 a 
u=3v0 na saída, ou seja: 𝑢 𝑥 = 𝑣0 1 + 2𝑥/𝐿 (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
a) Calcule a aceleração; 
b) Avalie a variação da velocidade na entrada e na saída se v0=10m/s e 
L=1m. 
 
 
Figura 6 
 
 
Solução: 
a) Primeiramente, calcularemos a aceleração. Lembre que o 
fato de ter um escoamento em regime permanente não quer dizer que a 
 
 
10 
aceleração é nula. Quer dizer que o escoamento não varia no tempo. 
Lembrando que a aceleração é a derivada material. Assim: 
𝐷(�⃗� )
𝐷𝑡
=
𝜕(�⃗� )
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇(�⃗� ) 
Considerando que a velocidade só varia na direção x, a única componente 
de velocidade que tem variação será a u. Dessa forma: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇(�⃗� ) 
Explicitando os termos: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ (�⃗� 𝑖̂ + 𝑣 𝑗̂ + �⃗⃗� �̂�) ∙ (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
�̂�) 
Como o produto escalar de vetores unitários só é diferente de zero na 
mesma direção, por exemplo: 𝑖̂ ∙ 𝑖̂ = 1, mas 𝑖̂ ∙ 𝑗̂ = 0, chega-se a: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 
Contudo, o enunciado disse que o problema está em regime permanente, 
logo: 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 
E fazendo a derivada de cada termo, como a velocidade só depende da 
direção x: 
𝑢 𝑥 = 𝑣0 (1 +
2𝑥
𝐿
) 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
2𝑣0
𝐿
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 0 
Assim: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= 0 + 𝑣0 (1 +
2𝑥
𝐿
) (
2𝑣0
𝐿
) + 0 + 0 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2𝑣0
2
𝐿
) (1 +
2𝑥
𝐿
) 
Essa é a aceleração do sistema. Para o sistema citado, de 1m de 
comprimento e com v0=10m/s, pode-se fazer um gráfico da velocidade e da 
aceleração como na figura abaixo. Veja que a velocidade saiu de 10m/s na 
entrada para 30m/s na saída, e a aceleração também aumentou com o tempo. 
 
 
 
 
 
11 
 
Gráfico 1 
 
 
b) Agora, calcularemos a aceleração nos dois pontos pedidos. Para isso, 
só precisamos aplicar: 
Na entrada, x=0: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2𝑣0
2
𝐿
) (1 +
2𝑥
𝐿
) 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2 ∙ 102
1
) (1 +
2 ∙ 0
1
) = 200𝑚/𝑠2 
Na saída, x=1m: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2𝑣0
2
𝐿
) (1 +
2𝑥
𝐿
) 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2 ∙ 102
1
) (1 +
2 ∙ 1
1
) = 600𝑚/𝑠2 
Lembrando que apenas montamos a equação para a velocidade e a 
aceleração no tempo. Isso ainda não nos permite visualizar o escoamento. Para 
isso, seria necessário usarmos linhas de corrente, mas veremos esse assunto 
num outro momento. 
 
 
 
 
80
180
280
380
480
580
5
10
15
20
25
30
35
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
A
ce
le
ra
çã
o
V
el
o
ci
d
ad
e
Comprimento
Velocidade e Aceleração x Comprimento
V (m/s) a (m/s^2)
 
 
12 
TEMA 3: EQUAÇÃO DO MOMENTO 
Agora que já sabemos usar a conservação da massa, chegou a hora de 
deduzir a Equação do momento. Partiremos da mesma equação que utilizamos 
para a formulação integral, que a força F é a variação no tempo do momento 
linear P. Essa equação é a própria segunda lei de Newton.: 
𝑑𝐹 =
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
 
Porém, o momento é a integral da velocidade na massa: 
�⃗� = ∫ �⃗� 𝑑𝑚 
Assim, aplicando na primeira equação: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝑚
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
 
Essa componente de derivada é a aceleração do sistema, que, para um 
fluido, definimos ser a derivada material: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝑚
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝑑𝑚 [�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
] 
Por uma questão de simplicidade, desenvolveremos o equacionamento 
apenas para a componente x da velocidade. As demais equações possuem 
desenvolvimento semelhante. 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝑚 [�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
] 
Por outro lado, para um volume de controle, o mesmo que usamos agora 
há pouco, escreveremos todas as forças que atuam em um elemento de volume. 
Para cada face, pode haver uma tensão cisalhante τ ou uma tensão normal σ. 
Como estamos na direção x, a tensão normal será na direção x e as demais 
tensões serão cisalhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Figura 7 
 
 
Nesse elemento, as forças da direção x podem ser forças de superfície Fs 
ou forças de campo FB: 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝐹𝐵𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑑𝐹𝑆𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑑𝐹𝐵𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜌𝑔 𝑥𝑑∀ = 𝜌𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
𝑑𝐹𝑆𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑∀ = (
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Somando as duas: 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = (𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Mas da equação anterior: 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝑚 [�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
] 
E: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀= 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Assim: 
(𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝜌 (�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗�𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Eliminando os diferenciais: 
𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
= 𝜌 (�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
) 
 
 
14 
Voltando à forma da derivada material: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
 
Por sua vez, para um fluido newtoniano, a tensão cisalhante é diretamente 
proporcional à deformação do fluido, e a constante de proporcionalidade é a 
chamada viscosidade μ. Assim, as equações das tensões serão substituídas por: 
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 (
𝜕𝑣 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
) 
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
) 
E a tensão normal é definida como: 
𝜎𝑥𝑥 = −𝑃 −
2
3
𝜇𝛻 ∙ �⃗� + 2𝜇
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
 
Onde P sem a indicação de vetor é a Pressão, e não o momento linear. 
Substituindo: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
[2𝜇
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇𝛻 ∙ �⃗� ] +
𝜕
𝜕𝑦
[𝜇 (
𝜕𝑣 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
)] +
𝜕
𝜕𝑧
[𝜇 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
)] 
Note que é uma equação e várias incógnitas. 
Quando se considera as três dimensões, essas equações são famosas 
por não terem solução analítica para todos os casos. Inclusive, elas são um dos 
“problemas do milênio”. Caso você as resolva, será contemplado com um milhão 
de dólares. 
O fato de essas equações não terem solução foi uma das razões que 
levou ao desenvolvimento da dinâmica dos fluidos computacional, um setor que 
movimenta muito dinheiro atualmente. Mas, por enquanto, inseriremos 
simplificações na equação. 
Para escoamento incompressível e com viscosidade constante, podemos 
eliminar os termos de derivada de velocidade e os termos de derivada de 
viscosidade. Dessa forma, a equação se reduz a: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇∇2�⃗� 
Ou, generalizando para todas as direções (x, y e z): 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 − ∇𝑃 + 𝜇∇2�⃗� 
Essa é a forma mais comum das chamadas equações de Navier-Stokes. 
Os termos significam respectivamente: 
 
 
15 
1. Aceleração do fluido; 
2. Gravidade; 
3. Variação da pressão; 
4. Termo de viscosidade. 
Poderíamos ler a equação da seguinte forma: “A aceleração de um fluido 
é causada pela gravidade, por uma diferença de pressão e/ou pela influência do 
atrito através da viscosidade”. 
O sinal negativo do termo de pressão significa que a velocidade aumenta 
da região de maior pressão para a região de menor pressão. 
A última simplificação dessa equação é para o caso sem atrito (µ=0). Já 
contemplando as 3 dimensões, podemos escrever a equação mais uma vez: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 − ∇𝑃 
Essa é a chamada equação de Euler, que tem solução analítica. 
 
TEMA 4: EXERCÍCIOS 
Neste momento, eu gostaria de passar algumas orientações sobre como 
utilizar de forma adequada as equações de Navier-Stokes. Enumeraremos 
passos para que vocês solucionar problemas com o uso dessas equações, caso 
seja necessário. 
Passos para uma solução adequada das equações de Navier-Stokes: 
1. Desenhe o problema identificando os parâmetros 
importantes – Um desenho bem feito faz toda a diferença na análise do 
problema; 
2. Efetue as considerações – regime permanente, etc.; 
3. Escreva as equações diferenciais (conservação da massa e 
Navier-Stokes) e simplifique os termos; 
4. Integre as equações, chegando às constantes de 
integração; 
5. Aplique as condições de contorno; 
6. Verifique a validade do seu resultado. 
Imaginemos um problema de lubrificação, em que o óleo escoa por uma 
parede para mantê-la lubrificada. Esse problema tem várias aplicações. Poderia 
ser o cilindro do carro, que deve permanecer lubrificado enquanto o motor gira, 
por exemplo. Vamos resolver? 
 
 
16 
 
Exemplo – Considere o escoamento, em regime permanente, 
incompressível e laminar, de uma fina película de óleo escoando lentamente por 
uma parede vertical infinita (Figura abaixo). A espessura da película de óleo é h, 
e gravidade atua na z-direção negativa (para baixo). Não há nenhuma pressão 
aplicada, e o óleo escoa por gravidade. Calcule os campos de velocidade e de 
pressão no filme de óleo, e esboce o perfil de velocidade. Ignore as mudanças 
na pressão hidrostática do ar (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
Figura 8 
 
 
Solução 
Aplicação dos passos: 
Passo 1 – desenhar – A figura já está desenhada. 
Passo 2 – efetuar considerações: 
Considerações 
1 A parede é infinita no plano yz (y é dentro da página). Essa consideração 
significa que eu não estou preocupado com o efeito da direção y no escoamento, 
apenas com as direções x e z. 
2 Regime permanente (todas as derivadas parciais com respeito ao tempo 
são zero). 
3 O escoamento é paralelo à parede (o componente x da velocidade, u, é 
zero em todos os lugares). Isso faz sentido, pois o óleo não escoa para dentro 
nem para fora da parede, e, sim, paralelo a ela. 
 
 
17 
4 O fluido é incompressível e newtoniano com propriedades constantes, 
e o fluxo é laminar. Mais à frente, veremos em detalhes esse tipo de escoamento. 
5 A Pressão é atmosférica na superfície livre. Em outras palavras, não há 
nenhuma diferença de pressão aplicada 
6 O campo de velocidade é bidimensional, o que implica que a 
componente y da velocidade v, são nulas e todas as derivadas parciais em 
relação à y são iguais a zero (como dissemos antes, não estamos interessados 
na componente y do escoamento). 
7 A gravidade age na direção de z negativo (para baixo). O eixo z aponta 
para cima. 
8 Em x=0, u=v=w=0 (significa que tem atrito na parede). Uma vez que a 
molécula de óleo encosta na parede, ela não escoa. Fica parada lá. 
9 Em x=h, a velocidade é máxima, ou 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0 (significa que quanto mais 
longe da parede, mais rápido o óleo escoa). Isso faz sentido, pois quanto mais 
longe da parede, menos atrito há. 
Passo 3 – escrever as equações 
Conservação da massa incompressível em regime permanente: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
Mas, de 3 e de 6, os dois primeiros termos são nulos. Logo: 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
Isso implica que o campo de velocidades não é função de z. Chamamos 
esse escoamento de plenamente desenvolvido. 
Isso significa que ele não está mais acelerando nem no tempo, nem no 
espaço. Como ele não é função de y nem do tempo, ele é função somente de x. 
Agora, escrevamos Navier-Stokes na direção z: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= −𝜌𝑔 − ∇𝑃 + 𝜇∇2�⃗� 
Ou, com a velocidade apenas na direção z: 
𝜌
𝐷�⃗⃗� 
𝐷𝑡
= −𝜌𝑔 − ∇𝑃 + 𝜇∇2�⃗⃗� 
O sinal negativo da gravidade apareceu, porque a gravidade está em 
sentido contrário ao eixo z. 
Ou ainda, escrevendo todos os termos: 
 
 
18 
𝜌 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑦2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑧2
 
Note que todo o termo de aceleração é nulo (todo o lado esquerdo da 
equação) – escoamento desenvolvido. 
O termo de gravidade existe. 
O termo de pressão é nulo (consideração 5). 
A única derivada segunda a utilizar é na direção x (considerações 3 e 6). 
Simplificando: 
𝜇
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
− 𝜌𝑔 = 0 
Como a incógnita é a velocidade, vamos deixá-la do lado esquerdo: 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
=
𝜌𝑔 
𝜇
 
Passo 4 – integrar 
Integrando duas vezes (aparecem duas constantes de integração): 
�⃗⃗� =
𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Passo 5 – aplicar as condições de contorno 
(1) p/ x=0, w=0, isso quer dizer queC2=0 
0 =
𝜌𝑔 
2𝜇
02 + 𝐶10 + 𝐶2 → 𝐶2 = 0 
(2) p/ x=h, 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0 (a velocidade está em seu máximo), assim: 
�⃗⃗� =
𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥2 + 𝐶1𝑥 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
=
2𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥 + 𝐶1 
𝐶1 +
𝜌𝑔 ℎ
𝜇
= 0 
𝐶1 = −
𝜌𝑔 ℎ
𝜇
 
O perfil de velocidades se torna: 
�⃗⃗� = −
𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥2 −
𝜌𝑔 ℎ
𝜇
𝑥 
Passo 6 – Verificar o resultado 
Eu coloquei esse perfil de velocidades em função da espessura num 
gráfico. O que vemos do lado esquerdo seria a parede, e essa curva seria o 
 
 
19 
campo de velocidades. Note que a curva faz sentido e a velocidade é máxima 
na espessura de 2cm. 
Gráfico 2 
 
 
TEMA 5: NOÇÕES DE FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL 
Nesta parte da aula, discutiremos, de uma forma muito básica, as ideias 
por trás dinâmica dos fluidos computacional, ou, na sigla em inglês, que é a mais 
conhecida, CFD (Computational Fluid Dynamics). Primeiro, reveremos algumas 
ideias fundamentais para a solução numérica de uma equação diferencial parcial 
ordinária usando uma planilha, como o Excel, com um exemplo. Depois dessa 
aula, você será capaz de utilizar o seu computador para resolver numericamente 
uma série de problemas de CFD simples. 
A necessidade do CFD 
Como falamos agora há pouco, as equações de Navier-Stokes são de 
grande utilidade para que se conheça o escoamento em detalhes. Todavia, há a 
dificuldade de se ter muitas incógnitas e somente com simplificações é que se 
consegue resolver as equações analiticamente. 
Só para relembrarmos, se desejássemos resolver um problema simples 
de escoamento incompressível com viscosidade constante, nossas equações 
seriam estas aqui: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
-0,35
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
A
lt
u
ra
 d
a 
p
ar
ed
e 
(m
)
Espessura do filme (m)
w - m/s
 
 
20 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 − ∇𝑃 
No entanto, essas duas equações são vetoriais, e Navier-Stokes se 
transforma em um conjunto de quatro equações para as três coordenadas: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
𝜌 (
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇 
𝜕2�⃗� 
𝜕𝑥2
+
𝜕2�⃗� 
𝜕𝑦2
+
𝜕2�⃗� 
𝜕𝑧2
 
𝜌 (
𝜕𝑣 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕𝑣 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕𝑣 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑦 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇 
𝜕2𝑣 
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣 
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣 
𝜕𝑧2
 
𝜌 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑦2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑧2
 
Esse conjunto de equações não possui solução analítica para todos os 
casos. Mas, e se eu desejar resolver essas equações? Uma alternativa é a 
computação numérica, ou o uso de CFD. Aprenderemos, então, a resolver uma 
equação diferencial usando o Excel? 
Podemos implementar alguns métodos básicos de CFD usando uma 
planilha. Antes de discutir CFD um pouco mais detalhadamente, podemos definir 
algumas noções de sobre métodos numéricos para resolver alguns problemas 
simples em mecânica dos fluidos usando a planilha. 
Em primeiro lugar, consideramos resolver a forma mais simples de uma 
equação diferencial: a equação diferencial ordinária de primeira ordem: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 
Onde f(x,y) é uma função qualquer. Quando estudávamos geometria 
plana, essa derivada era chamada de coeficiente angular da reta. Quando 
estudávamos cálculo, essa derivada foi chamada tangente à curva. Tudo isso 
tem o mesmo princípio, que é: Uma derivada pode ser tratada como uma 
diferença bem pequena. Assim, eu não preciso resolver a equação diferencial. 
Ou: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛
𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛
 
Se esse xn+1-xn for constante, podemos chamá-lo de “passo” e 
simbolizarmos por h. Assim: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛
ℎ
= 𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 
Ou, como nossa incógnita é y: 
 
 
21 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 
Com: 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ 
Essas equações são o conceito básico do método de Euler para resolução 
de equações diferenciais de primeira ordem. 
Um diferencial é substituído com uma diferença finita. Nessas equações, 
yn+1 agora representa o nosso melhor esforço para encontrar o próximo ponto na 
curva de solução. 
Suponha um passo h bem pequeno. Se eu sei um ponto inicial qualquer 
da curva x0,y0, eu posso deduzir todos os outros pontos da curva. Nós não 
conseguiremos a função que é a solução da curva (a derivada), mas 
conseguiremos todos os pontos que desejarmos dela, o que para a maioria dos 
casos já é suficiente. 
Esse método é muito fácil de configurar, tornando-se uma abordagem 
atraente, mas não é muito preciso. Por outro lado, o método de Euler é o método 
numérico mais simples, e para o que vamos fazer, ele será mais do que 
suficiente. 
Resolvamos um exemplo: 
Exemplo: Um tanque contém água a uma profundidade inicial y0=1m. O 
diâmetro do tanque é D=250mm. O tanque tem um furo de diâmetro D=2mm na 
sua parte inferior. Adotou-se como modelo para o nível de água ao longo do 
tempo a equação: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −(
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦 𝑒 𝑦 0 = 𝑦0 
Figura 9 
 
 
Use 2, 5, 10 e 20 pontos e estime o nível de água no tanque depois de 
100minutos. Compare o resultado com a solução exata (a solução da equação 
diferencial acima): 
𝑦𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 = [√𝑦0 − (
𝑑
𝑑
)
2
√
𝑔
2
𝑡]
2
 
 
 
22 
Solução: 
Sabemos da equação de Euler que: 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 𝑡𝑛, 𝑦𝑛 
E: 
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ 
Note que substituímos x por t, uma vez que a derivada é no tempo. 
E, ainda: 
𝑓 𝑡𝑛, 𝑦𝑛 = −(
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦𝑛 
Para chegarmos a 100minutos usando 5 pontos, nosso passo será: 
ℎ =
𝑥5
𝑥0
 
ℎ =
100
2
= 50𝑚𝑖𝑛 = 50 ∙ 60 = 3000𝑠 
Note que o tempo precisa estar em segundos. Assim resolveremos para 
cada passo. Calculando a partir de y0, que é conhecido: 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ [− (
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦𝑛] 
Fazendo n=0: 
𝑦1 = 𝑦0 + 3.000 ∙ [− (
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦0] 
𝑦1 = 1 − 3.000 ∙ (
2
250
)
2
√2 ∙ 9,81 ∙ 1 
𝑦1 = 1 − 0,8504 = 0,14956𝑚 
Esse foi o primeiro ponto (não contamos com o ponto inicial da curva). 
Fazendo agora o segundo ponto (n=1): 
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ [−(
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦1] 
𝑦2 = 0,14956 − 3.000 ∙ (
2
250
)
2
√2 ∙ 9,81 ∙ 0,14956 
𝑦2 = −0,17933𝑚 
Obviamente, não podemos ter uma altura negativa. Encontramos o 
primeiro “defeito” do uso de um método numérico. O passo não pode ser muito 
grande, sob pena de termos um resultado errado. 
Eu fiz o mesmo cálculo para 5, 10 e 20 pontos. Observe na figura abaixo. 
Gráfico 3 
 
 
23 
 
 
Note que, apenas ao reduzirmos o passo, a solução aproximada pelo 
método de Euler rapidamente se aproximou do resultado correto. 
Vocês podem usar esse método para resolver a derivada de qualquer 
equação que você conheça a função, inclusive Navier-Stokes. 
SÍNTESE 
Caro aluno, cara aluna, mais uma vez parabenizo você pelo esforço até o 
momento. Já passamos da metade da disciplina e aprendemos muita coisa. Na 
aula de hoje, estudamos as conservações na forma diferencial, ou seja, 
determinamos os detalhes do escoamento. 
Mais uma vez, eu reforço: para o correto aprendizado, você deve praticar. 
Assim, não esqueça de estudar os capítulos e fazer bastante exercícios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100A
lt
u
ra
 y
 (
m
)
Tempo (min)
2 pontos
5 pontos
10 pontos
20 pontos
solução exata
 
 
24 
REFERÊNCIAS 
FOX, R. W; PRITCHARD, P; MCDONALD, T. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.