Movimento de água

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTASUNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
LUIS EDUARDO A.S. SUZUKILUIS EDUARDO A.S. SUZUKI
MOVIMENTO DE ÁGUA NO SOLO
9A água se moverá sempre que houver desigualdae em seu potencial
total.
9A água se move em resposta a um gradiente de potencial, e não a um 
gradiente de umidade.
9É lei na natureza que os corpos assumam um estado mínimo de 
energia, mais estável. Assim, quando há diferença de potencial da água
entre dois pontos, ela se moverá do ponto de maior para o menor
potencial de energia.
Lei de Darcy
9O Engenheiro Hidráulico Henry Darcy foi o primeiro a estabelecer uma equação 
para quantificar o fluxo de água em um meio poroso, em 1856.
9Numa coluna cilíndrica de areia homogênea, saturada com água e em conexão 
com reservatórios de água mantidos em níveis constantes, ele mediu o volume 
de água que passava pela coluna por unidade de tempo.
9Para quantificar esse tipo de movimento permanente de água em meio poroso, 
Darcy apresentou a seguinte equação:
z
Kq t∆
∆−= ψθ )(
q = densidade de fluxo (volume de água V que passa através de coluna de solo 
por unidade de área A e por unidade de tempo t, m3/m2 s); K(θ) = condutividade
hidraulica (m/s), fator de proporcionalidade entre a densidade do fluxo e o 
gradiente de potencial; ψt = potencial total de água no solo; Z = distância entre dois
pontos considerados (m); = gradiente hidráulico (m/m), para coordenada
vertical. z
t
∆
∆ψ
Densidade de fluxo (q)
9A densidade de fluxo é o volume de água (V) que passa através de uma coluna
de solo por unidade de área (A) e por unidade de tempo (t). Dessa forma, as suas
dimensões são as seguintes:
At
Vq =
9Embora o fluxo tenha dimensão de velocidade, ele não representa a velocidade 
real (v) com que a água se movimenta dentro do solo, uma vez que a área de 
secção transversal considerada inclui área não disponível ao fluxo.
9Essa velocidade real (v) da água no solo é o volume de água (V) que passa por
unidade de tempo (t) e pela área disponível ao fluxo (A), isto é, secção
transversal de poros ocupados pela água.
9Para solo saturado, essa secção transversal de poros é o produto da área
efetiva (A) pela porosidade total (α):
αα
qvou
tA
Vv ==
Densidade de fluxo (q)
9Por exemplo, um volume de água de 10 cm3 atravessa 5 cm2 de solo 
em 10 minutos, tem-se:
min/2,0
min105
10
2
3
cm
cm
cmq
At
Vq ==⇒=
min/4,0
min105,05
10
332
3
cm
cmcmcm
cmv
tA
Vv =××=⇒= −α
9E considerando uma porosidade total de 50%:
min/4,0
5,0
2,0 cmqvou === α
9Esse é o caso mais simples para cálculo da velocidade real da água do 
solo, por tratar-se da condição de saturação constante, em que todos os 
poros estão contribuindo para o fluxo.
9Quando a situação é de não saturação, a área disponível ao fluxo será
aquela ocupada pela água, ou seja, a umidade volumétrica do solo (θ), 
que varia no tempo e no espaço e faz com que também a velocidade
mude:
θ
qv =
9A equação de Darcy considera que a água atravessa todo comprimento 
L em linha reta.
9No entanto, em função ao arranjo das partículas do solo, o caminho
percorrido pela água (L’) é maior que a distância L entre os dois pontos
considerados.
9É o que se chama de tortuosidade, que é a relação L’/L que, via de 
regra, varia de 1 a 2.
9Por essa razão, a velocidade real da água no solo é maior que seu
fluxo:
9A facilidade com que a água se movimenta através do solo saturado é
designada por condutividade hidráulica do solo e é expressa 
quantitativamente pela equação de Darcy:
L
Kq ψθ ∆−= )(
9O valor da condutividade hidráulica é constante em condição de 
saturação, considerando que a porosidade do solo não se altera durante 
um experimento em que se determina a condutividade.
9No entanto, em condição de não saturação, existe dependência de K 
em relação ao conteúdo de água, visto que os poros livres de água não
contribuem para o fluxo.
9O valor de K é máximo sob condições de saturação e decresce à
medida que o solo perde água.
9A condutividade hidráulica é dependente de atributos do sólido e do 
líquido que escoa.
9As características do solo que modificam os valores de K são:
- a porosidade total;
-distribuição dos poros por tamanho;
-tortuosidade.
9Em relação ao líquido, a K é influenciada pela:
-densidade do líquido;
-viscosidade do líquido.
9A densidade e a viscosidade são afetadas pela temperatura e pressão.
Condutividade hidráulica (K)
9A quantificação do movimento da água em solo saturado é a situação 
de movimento de solução mais simples, uma vez que a condutividade 
hidráulica é constante e o gradiente de potencial é, numericamente, igual 
à unidade.
9A aplicação direta da equação de Darcy é suficiente.
9São considerados 3 casos:
-movimento horizontal;
-movimento vertical descendente;
-movimento vertical ascendente.
Movimento da água em solo saturado
Movimento da água em solo saturado
(horizontal)
ψ(e) = ψp(e) + ψg(e)
ψ(s) = ψp(s) + ψg(s)
∆ψ = ψ(e) - ψ(s)
∆ψ = [ψp(e) + ψg(e)] - [ψp(s) + ψg(s)]
L
Kq ψθ ∆−= )(
L
se
K
At
Vq pp
)()( Ψ−Ψ−==
9Como o potencial gravitacional é o 
mesmo na entrada e na saída da
coluna de solo (movimento
horizontal), então:
∆ψ = ψp(e) - ψp(s)
Movimento da água em solo saturado
(coluna vertical descendente)
ψ(e) = ψp(e) + ψg(e)
ψ(s) = ψp(s) + ψg(s)
9Como o potencial de referência
gravitacional foi colocado na base da
coluna de solo, ou seja, no ponto de 
saída de água, o potencial
gravitacional na saída é igual a zero.
9Outro aspecto a ser observado no 
ponto de saída da água é que nele
atua a pressão atmosférica, que é a 
referência para a definição da energia
potencial de pressão. Isto significa
que o potencial de pressão na saída
também é igual a zero.
9Assim:
Movimento da água em solo saturado
(coluna vertical descendente)
ψ(s) = 0 + 0
∆ψ = ψ(e) - ψ(s)
∆ψ = [ψp(e) + ψg(e)] - 0
∆ψ = ψp(e) + ψg(e)
L
ee
K
At
Vq gp
)()( Ψ+Ψ−==
9Como o potencial gravitacional na
entrada da coluna de solo, expresso em
centímetros de coluna de água, é a 
altura da coluna L, a equação pode ser 
reescrita: 
L
Le
K
At
Vq p
+Ψ−== )(
Movimento da água em solo saturado
(coluna vertical ascendente)
ψ(e) = ψp(e) + ψg(e)
ψ(s) = ψp(s) + ψg(s)
∆ψ = ψ(e) - ψ(s)
∆ψ = [ψp(e) + ψg(e)] - [ψp(s) + ψg(s)]
9Como o sentido é vertical 
ascendente, a água entra na coluna
de solo pela base, na qual foi
colocado o plano de referência
gravitacional, fazendo com que o 
potencial gravitacional na entrada da
coluna seja zero.
9A saída da água na parte superior 
da coluna está no mesmo nível da
superfície da água no tubo de 
drenagem, o que faz com que o 
potencial de pressão na saída da
coluna seja a pressão atmosférica, 
isto é, igual a zero.
Movimento da água em solo saturado
(coluna vertical ascendente)
9Nesse caso a água flui por efeito 
de um gradiente de pressão e 
contra o gradiente gravitacional, 
isto é, o potencial de pressão 
precisa superar o potencial 
gravitacional.
[ ] [ ]
L
se
L
gpp )(00)( Ψ+−+Ψ=Ψ
L
se
K
At
Vq gp
)()( Ψ−Ψ−==
L
se
L
gpp )()( Ψ−Ψ=Ψ
Movimento da água em solo saturado
(coluna vertical ascendente)
9Como o potencial gravitacional 
na saída da coluna de solo, 
expresso em centímetros de 
coluna de água, é a altura da 
coluna L.
9Pode-se então reescrever a 
equação da seguinte forma:
L
L
L
e
K
At
Vq p −Ψ−== )(
K
L
e
K
At
Vq p −Ψ−== )(
9O estado de umedecimento mais comum do solo agrícola é o de não 
saturação.
9A condutividade hidráulica não é constante, depende da umidade do 
solo ou do potencial mátrico.
9Com diminuição do conteúdo de água no solo há uma diminuição da
área útil ao fluxo, e os porosfuncionam como barreiras ao movimento de 
água, diminuindo o valor da condutividade.
9Os poros preenchidos com ar aumentam a tortuosidade do fluxo.
9A variação da condutividade hidráulica com a variação da umidade é
tão acentuada que é conveniente que sejam plotados em gráficos
semilogarítmico, com a condutividade na coordenada logaritmizada.
Movimento da água em solo não saturado
9Em solo saturado o fluxo é consequência de um gradiente de potencial 
de pressão (além do gradiente gravitacional, em fluxo vertical).
9Em solo não saturado a força é a de um gradiente de potencial mátrico
(com a participação do potencial gravitacional, em fluxo vertical).
9Várias equações empíricas já foram propostas relacionando
condutividade hidráulica com umidade ou potencial matricial.
9Estas equações só tem validade para estimar a condutividade para os
locais onde elas foram experimentalmente determinadas.
Movimento da água em solo não saturado
Lei de Darcy-Buckingham
9Com o reconhecimento de que em solo não saturado a condutividade
hidráulica não é constante, variando com a quantidade de água no solo, 
percebeu-se que a lei de Darcy era válida apenas para solo saturado.
9Em 1907, Buckingham apresentou uma equação semelhante à
equação de Darcy, em que demonstra a relação funcional entre 
condutividade e umidade do solo.
9Nesta nova equação a condutividade é função da umidade; “s” é uma
coordenada qualquer de posição x, y ou z; o gradiente de potencial é
devido à diferença de potencial mátrico em x e y, combinado com o 
potencial gravitacional z.
s
Kq ∆
∆−= ψθ )(
Lei de Darcy-Buckingham
9A quantificação da densidade de fluxo q é difícil, visto que para cada 
valor de ψ haverá um valor correspondente de K.
9Como o potencial matricial é função do conteúdo de água, também o 
gradiente mudará com a variação na umidade.
9Diante dessas dificuldades, a determinação do fluxo de água em solo 
não saturado requer uma solução matemática que contemple as funções
K(θ), ψm(θ), e, consequentemente, K(ψm).
Equação da continuidade
9Para determinar o fluxo de água em solo não saturado, precisa-se conhecer a 
umidade para qualquer posição (x, z ou y) e para qualquer tempo (t).
9Ou seja, precisa-se estabelecer uma equação diferencial da umidade em função
da posição e do tempo, do tipo θ = θ (x, t).
9Equação da conservação da matéria ou equação da continuidade:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∂
∂
z
z
y
y
x
x qqq
t
θ
9Incluindo a densidade de fluxo, para as três direções, na equação da 
continuidade:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
Ψ∂
∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
Ψ∂
∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
Ψ∂
∂
∂=∂
∂
z
K
y
K
x
K
t zx
y
y
x
x
)()()( θθθθ
9Esta é a equação diferencial mais geral que governa o fluxo de água em solo não 
saturado. É conhecida como equação de Richards.