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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 11 Questão 1 Um disco gira em uma eletrola a 33 RPM. Qual a velocidade linear de um ponto do disco sob a agulha (a) no começo e (b) no fim do disco? Nestas duas posições, as distâncias da agulha ao eixo de rotação são 15 cm e 7 cm, respectivamente. Resolução: a) 15 1 15 1 2 33 0,15 31 0,5 . v v m min m s π − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ≅ ⋅ b) 7 1 7 1 2 33 0,07 14,5 0,24 . v v m min m s π − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ≅ ⋅ Questão 2 A hélice de um aeroplano tem raio de 1,3 m e gira a 2500 RPM, enquanto o aeroplano se desloca com uma velocidade de 480 kmڄh‐1 em relação ao solo. Calcule a velocidade de um ponto da extremidade da hélice, quando ela for medida (a) pelo piloto e (b) por um observador situado no solo. Resolução: a) 1 1 1 2 2 2500 1,3 20410 340 1224 . v f r v v m min m s km h π π − − − = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ≅ ⋅ = ⋅ = ⋅ b) ( ) 2 2 2 1 2 1 1498176 230400 1314,8 . R R R R V V v V V v V V km h− = + ⇒ = + = + ∴ ≅ ⋅ ? ? ? ۨ v ? V ? V? v? RV ? • www.profafguimaraes.net 2 Questão 3 A velocidade angular de uma partícula, em radڄs ‐1, é dada por: ω = kt, onde t é dado em segundos e k = 2 radڄs ‐2. No instante inicial a partícula está passando pelo eixo Ox (θ=0). Calcule o ângulo em que a partícula se encontra no instante t = 1s. Resolução: 2 0 2 2 2 10 2 1 . kt rad θ θ θ θ = + ⋅= + ∴ = Questão 4 Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo θ, dado por: 3 4at bt ctθ= + − , onde a, b e c são constantes. Qual é a expressão para sua aceleração angular? Resolução: 2 3 2 3 4 6 12 . d a bt ct dt d bt ct dt θω ωα = = + − ∴ = = − Questão 5 Uma roda gira com aceleração angular, α, dada por 3 24 3at btα= − , onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda tem uma velocidade angular inicial ω0, escreva as equações para (a) a velocidade angular e (b) o ângulo descrito, em função do tempo. Resolução: a) ω=? ( ) 0 0 3 2 4 3 0 4 3 t t t t dt at bt dt at bt ω α ω ω ′ ′= = − ∴ = − + ∫ ∫ b) θ=? ( ) 0 0 4 3 0 5 4 0 05 4 t t t t dt at bt dt at bt t θ ω ω θ ω θ ′ ′= = − + ∴ = − + + ∫ ∫ www.profafguimaraes.net 3 Questão 6 Um volante pesado, girando em torno de seu eixo, perde velocidade devido ao atrito nos mancais. Ao final do primeiro minuto, sua velocidade angular é de 0,90 de sua velocidade angular inicial, ω0. Supondo constantes as forças de atrito, determine a velocidade angular do volante no final do segundo minuto. Resolução: Previamente, determinaremos a aceleração angular do movimento. Assim, teremos: 0 0 0 0 0,9 1 0,1 . tω ω α ω ω α α ω = + = + ⋅ =− Agora, poderemos determinar a velocidade angular no instante 2 min. Assim, temos: 0 0 00,1 2 0,8 .ω ω ω ω ω= − ⋅ ∴ = Como era de se espera, afinal, o volante perde 10% de sua velocidade por minuto. Questão 7 Um disco homogêneo gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso e acelerando com uma aceleração constante. Num dado instante, ele gira com uma frequência angular de 10 RPS. Após executar mais 65 revoluções completas, sua frequência passa para 18 RPS. Determine: (a) a aceleração angular, (b) o tempo necessário para completar 65 rotações mencionadas, (c) o tempo necessário para atingir a frequência angular de 10 RPS. e (d) o número de rotações no intervalo de tempo que vai do repouso até o momento em que o disco atinge a frequência angular de 10 rps. Resolução: a) 2 2 0 2 2 , 2 12778 3943,8 2 408,2 10,8 . f rad s ω ω α θ ω π α α − = + ∆ = = + ⋅ = ⋅ b) 0 113,04 62,8 10,8 4,6 . t t t s ω ω α= + = + = c) 62,8 10,8 5,8 . t t t s ω α= ⇒ = = d) 2 210,8 5,8 181,7181,7 º 29 . 2 2 2 t rad n voltasαθ θ π ⋅∆ = ⇒∆ = = ∴ = ≅ www.profafguimaraes.net 4 Questão 8 Um volante completa 45 rotações quando diminui sua velocidade angular de 2,0 radڄs ‐1 até zero. Supondo uma desaceleração angular constante, determine: (a) o tempo necessário para que o volante atinja o repouso, (b) a aceleração angular, (c) o tempo necessário para completar as 30 rotações finais. Resolução: a) 0 , 45 2 282,6 2 282,6 0 2 282,6 . 2 rad t t s t ω ωθ θ π+∆ = ∆ = ⋅ =∆ += ⇒∆ =∆ b) 3 22 7,08 10 . 282,6 rad s t θα − −∆ −= = =− ⋅ ⋅∆ c) O volante terá completado 15 voltas e depois mais 30 até parar. Completado 15 voltas, a velocidade angular será dada por: 2 3 1 4 2 7,08 10 94,2, 94,2 2 15 1,6 .rad s ω π ω − − = − ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ = ⋅ Para completar as 30 voltas finais, o volante terá descrito um ângulo de 188,4 rad. Assim, teremos: 188,4 1,6 235,5 . 2 t s t = ∴∆ =∆ Questão 9 Um corpo move‐se no plano xOy, de tal modo que x = Rڄcosωt e y = Rڄsenωt. Nestas equações, x e y representam as coordenadas do corpo, t é o tempo e R e ω são constantes. (a) Elimine t entre essas equações para determinar a equação da curva que o corpo descreve. Qual é esta curva? Qual é o significado da constante ω? (b) Derive, em relação ao tempo, as equações para x e y, a fim de obter os componentes vx e vy da velocidade do corpo. Combine vx e vy para obter o módulo e a direção de v. Descreva o movimento do corpo. (c) Derive vx e vy, em relação ao tempo, para obter o módulo e a direção da aceleração resultante. Resolução: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2. x y R cos t R sen t x y R ω ω+ = + ∴ + = Que é a equação de uma circunferência com centro na origem. b) x y dx dyv R sen t e v R cos t dt dt ω ω ω ω= =− = = www.profafguimaraes.net 5 ( )12 2 2 . x y x yv v v v v v v R ω = + ⇒ = + = ⋅ ? ? ? c) 2 2yx x y dvdv a R cos t e a R sen t dt dt ω ω ω ω= =− = =− ( )12 2 2 2. x y x ya a a a a a a Rω = + ⇒ = + ∴ = ? ? ? y x ax ay ωt a R y x vx vy ωt v R www.profafguimaraes.net 6 Questão 10 A roda A, de raio rA = 10 cm, é acoplada por uma correia, B, à roda C, de raio rC = 25 cm, como mostra a figura. A roda A desenvolve, a partir do repouso, uma velocidade angular à taxa uniforme de π/2 radڄs ‐1. Determine o tempo para a roda C atingir a velocidade angular de 100 RPM, supondo que a correia não deslize. Resolução: 1 10 25 2 5 A C A A C C C C a a r r rad s α α π α πα − = ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅ Assim, teremos: 2 5 102 6 5 17 . Cf t t t s ππ ππ ⋅ = /⋅ =/ ≅ Questão 11 Um corpo rígido, partindo do repouso, gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular constante, α. Considere uma partícula a uma distância r do eixo. Expresse (a) a aceleração radial e (b) a aceleração tangencial desta partícula do corpo em termos α, r e do tempo t. (c) Se a aceleração resultante da partícula em um certo instante forma um ângulo de 600 com a aceleração tangencial, determine o ângulo total descrito pelo corpo até aquele instante.Resolução: a) 2 2 2 , . cp cp va v R R t a t R ω ω α α = = = = b) ta Rα= c) 2 2 0 2 360 3 .cp T a t Rtan t a R α α α / /= ⇒ = ⇒ =// rA rC A B C aT acp a 600 Δθ www.profafguimaraes.net 7 2 0 2 3 3 . 2 2 tt rad αθ ω αθ θα ∆ = + ∆ = ⋅ ⇒∆ = Questão 12 Um inseto, cuja massa é de 8,0ڄ10‐2 g, desloca‐se radialmente para fora, com velocidade constante de 1,6 cmڄs ‐1, ao longo de uma linha traçada no prato de uma eletrola, que gira à velocidade angular constante de 33 1 3 RPM. Determine: (a) a velocidade e (b) a aceleração do inseto em relação a um observador na sala, no instante em que o inseto está a 12 cm do eixo de rotação. (c) Qual deve ser o coeficiente de atrito mínimo para que o inseto possa se deslocar até a extremidade do prato (raio = 16 cm) sem deslizar? Resolução: a) 1 1 2 3,52 3,52 12 42,2 . f rad s v r cm s ω π ω − − = = ⋅ = = ⋅ = ⋅ ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1780,8 2,56 42,2 . R T R Tv v v v v v v v cm s− = + ⇒ = + = + ≅ ⋅ ? ? ? b) 2 2 2 2R d R dRa u R u R dt dtθ ω α ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟= − + + ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ? Como, vR = constante ֜ 2 2 0 d R dt = e ω = constante ֜ 0α= . Logo, ( ) ( ) 2 2 1 2 2 22 2 148,7 11,3 148,7 11,3 149 1,49 . Ra u cm s u cm s a cm s a m s θ − − − − = − ⋅ + ⋅ ⋅ = + ≅ ⋅ ∴ = ⋅ ? c) 1,49 0,15. 9,8 atF f ma N mg a g µ µ µ = = =/ / = = = vT vR v
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