Princípios de Lógica Formal Clássica

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Samuel Valentim Afonso
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Princípios da
Lógica Formal Clássica
Samuel Valentim Afonso
AVISOS IMPORTANTES
O presente livro digital, também conhecido como e-book, tem como finalidade
oferecer um panorama geral da Lógica Formal, especificamente no que
concerne ao cálculo de proposições clássico.
O material aqui apresentado não substitui livros sobre o assunto, sendo apenas
uma fonte de orientação a quem quer que esteja estudando Lógica.
O autor possui sua propriedade intelectual e todos os direitos autorais lhe são
reservados.
Direitos de Uso e de Distribuição
A reprodução total ou parcial deste material deverá ser feita sob aviso prévio e
deixando o devido crédito ao autor.
O usuário tem total liberdade para usar o material como quiser, quantas vezes
quiser, mas para sua distribuição (que é gratuita) é necessário citar o autor, o
site e enviar um comunicado ao mesmo a fim de garantir a integridade do
conteúdo e da fonte do material.
Qualquer reprodução do material sem este cumprimento é tido como plágio e
enquadra-se como crime conforme a legislação.
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O que encontrará neste e-book
• A “ilógica” da Lógica tem lógica!;
• Definição de Lógica;
• Sentenças e proposições;
• Inferência e argumento;
• Argumentos dedutivos e indutivos;
• Argumentos válidos e argumentos corretos;
• Alfabeto da Lógica;
• Operadores lógicos;
• Símbolos: constantes e variáveis individuais, constantes de predicado, 
operadores lógicos;
• Funções lógicas;
• Fórmula atômica e molecular;
• Cálculo Proposicional Clássico (CPC);
• Valoração;
• Tabelas Verdade;
• EXTRA 1: Os três princípios fundamentais por trás da lógica clássica ou “As 
leis do pensamento”; Tautologia, contradição e contingência;
• EXTRA 2: PASSO A PASSO PARA MONTAR TABELAS VERDADES.
• Acesso ao curso completíssimo de Lógica.
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A “ilógica” da Lógica tem lógica!
O motivo deste título não é outro senão chamar atenção para alguns fatos:
1. A palavra lógica é usada em muitas acepções:
A. Como uma ciência: Tal questão será esclarecida ao longo deste e-
book.
B. Como um tipo de padrão de racionalidade: de alguma maneira as
pessoas tendem a criar certos padrões e uma hierarquia do ponto
de vista do que seria mais racional;
C. Como um conjunto ordenado de ideias: é comum ouvirmos
pessoas elogiando outras pela capacidade que estas têm de
sintetizarem e organizarem as ideias. De um modo sumário, tais
pessoas são qualificadas como lógicas que, num sentido popular do
termo, significa que são “razoáveis” ou “racionais”.
2. Não é de interesse da Lógica ter, em princípio, algum fundo de realidade
com o mundo objetivo, podendo suas estruturas serem utilizadas tanto
para analisar a realidade objetiva como o campo abstrato;
3. A Lógica da qual tratará este e-book será a Lógica Formal Clássica, ou seja,
não nos interessará o conteúdo das proposições, mas tão somente, sua
estrutura formal, na qual utilizaremos símbolos já conhecidos por
qualquer pessoa que tenha cursado o ensino fundamental.
Se você estuda lógica, ou está iniciando agora, então já se deparou ou irá se
deparar com frases aparentemente sem sentido, do ponto de vista pragmático.
Ou seja, frases que parecem desafiar o senso comum.
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Se Maria vai à loja, João chega atrasado. Ou Maria vai
à loja, ou João chega cedo.
Maria não vai à loja. 
Logo, João chega cedo.
No entanto, esta aparente ilógica da Lógica tem fundamento. Mas antes, vou
definir o que vem a ser Lógica.
Na verdade, como em todas as ciências, uma definição sempre será
incompleta, mas, para fins didáticos, será importante fazê-la.
É necessário destacar, inicialmente, que não existe uma só Lógica. Existe uma
infinidade de lógicas, que, inclusive, são usadas em várias áreas do
conhecimento. Mas a que será tratada aqui é a Lógica Clássica, ou Lógica
Simbólica, ou Lógica Matemática, especificamente o cálculo de proposições
clássico.
Basicamente Lógica é:
DEFINIÇÃO 1.1 LÓGICA é uma ciência que sistematiza e estuda
regras e métodos de inferência, cujo objetivo é identificar quais
condições garantem que a conclusão de um argumento segue de
suas premissas.
Mas você deve ter notado que a própria definição exige que outros termos
sejam mais esclarecidos. É o que farei nas páginas que seguem...
Está definição é incompleta e há inúmeras outras formas de definir o que é a
Lógica. No entanto, para este e-book a definição 1.1 já é suficiente, e, caso
haja necessidade de alguma complementação, a mesma será feita no
decorrer do texto.
Sentenças e Proposições
Na sintaxe da língua portuguesa, sabe-se que uma oração é composta de
algumas palavras em uma certa ordem e um verbo flexionado. Uma oração contém
um sentido completo, e transmite ao leitor ideias, sentimentos ou fatos.
No entanto, é possível expressar-se também sem auxílio de verbos flexionados.
Neste caso, ao enunciado emitido sem o recurso verbal, dá-se o nome, na sintaxe
portuguesa, de frase.
Toda oração, portanto, é uma frase. E frases podem ser:
a) Exclamativas:
b) interrogativas;
c) imperativas e;
d) declarativas.
Ao lógico, nesse contexto da Lógica Clássica, interessam as frases declarativas, ou,
também conhecidas como sentenças declarativas.
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DEFINIÇÃO 1.2 – SENTENÇAS DECLARATIVAS são um conjunto de
palavras da gramática portuguesa ordenadas de tal modo que as
declarações podem ser verdadeiras ou falsas, mas, neste caso, não
ambas.
No entanto, como é sabido, muitas vezes a mesma ideia pode ser transmitida
de modos diferentes.
“O menino jogou a bola” ou “a bola foi jogada pelo menino”.
Claramente são orações distintas. Os verbos estão flexionados de modo
diferente, no entanto, a ideia transmitida é uma só.
A isto, damos o nome de PROPOSIÇÃO.
DEFINIÇÃO 1.3 – PROPOSIÇÃO é o significado de sentenças
declarativas.
Inferência e argumento
Basicamente podemos resumir inferência como um processo onde
chegamos a uma informação nova, não existente antes, baseado em
afirmações feitas previamente.
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DEFINIÇÃO 1.4 - INFERÊNCIA é um processo no qual chega-se a
uma nova informação baseando-se em proposições anteriormente
ditas.
ARGUMENTO
Premissa: Todos os pássaros são da classe das aves.
Premissa: Bem-te-vis são pássaros.
Conclusão: Bem-te-vis são aves.
No entanto, ao lógico não interessam as afirmações que são ditas. O que
importa é se a estrutura destas afirmações dá-nos condições de dizer que a
conclusão conquistada é fornecida totalmente ou parcialmente pelas
afirmações ditas. Neste sentido precisamos de mais algumas definições:
DEFINIÇÃO 1.5 - Um ARGUMENTO é um conjunto de proposições
nas quais deseja-se que uma delas seja conclusão baseada nas
proposições anteriores. Às proposições que encadeiam-se para a
conclusão, dão-se o nome de premissas.
Percebeu que a conclusão deste argumento encontra-se inclusa nas
premissas? No entanto nem sempre a conclusão está totalmente nas
premissas.
Para que um conjunto de afirmações seja um argumento (definição 1.5), em
Lógica, este conjunto precisa ter uma estrutura. Então, precisamos diferenciar
dois tipos fundamentais de argumentos:
Argumentos dedutivos e indutivos
Agora que já sabe o que é um argumento, vamos ver seus dois tipos
fundamentais.
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DEFINIÇÃO 1.6 - ARGUMENTOS DEDUTIVOS são argumentos cuja
conclusão está contida já nas premissas. Também são chamados
de argumentos não ampliativos.
Este tipo de argumento é o que vamos tratar aqui neste e-book.
Todo tipo de argumento sugere que as premissas impliquem numa prova da
conclusão. No entanto, num argumento dedutivo as premissas, caso
verdadeiras, fornecem provas cabais desta conclusão.
Os argumentos dedutivos terão atenção especial e precisam de um estudo
mais detalhado. Os termos válidos e corretos são utilizados para qualificar um
argumento desta natureza.
DEFINIÇÃO 1.6.1 ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDO: é um
argumento que, se suas premissas forem verdadeiras, elas
fornecem provas de sua conclusão.
A esta altura você deve estar se perguntando...
Existe argumento dedutivo 
válido cujas premissas sejam 
falsas?
Para responder esta pergunta, veja alguns exemplos interessantes de
argumentos VÁLIDOS:
1º exemplo: 
Uma premissa falsa e a conclusão verdadeira
ARGUMENTO 1
Premissa 1: Todo ser da classe das aves é pássaro; (falso)
Premissa 2: Bem-te-vi é da classe das aves; (verdadeiro)
Conclusão: Bem-te-vi é pássaro. (verdadeiro)
2º exemplo: 
Todas as premissas são falsas e a conclusão verdadeira
ARGUMENTO 2
Premissa 1: Todos animais voadores são da classe das aves; (falso)
Premissa 2: Galinhas são animais voadores ; (falso)
Conclusão: Galinhas são da classe das aves. (verdadeiro)
Nos casos acima, note que caso se verifique, de alguma maneira, que se todas
as premissas fossem verdadeiras a conclusão necessariamente o seria por
força das premissas.
Especificamente neste caso, você pode observar o seguinte: Se fosse o caso de
realmente todos os animais voadores serem aves, se as galinhas realmente
fossem animais voadores, necessariamente, por força das premissas, a
conclusão teria que ser que as “galinhas são da classe das aves” (de fato o são).
Mas veja este outro exemplo:
3º exemplo: 
Todas as premissas e a conclusão falsas
ARGUMENTO 3
Premissa 1: Todos os animais voadores são pássaros; (falso)
Premissa 2: Galinhas são animais voadores ; (falso)
Conclusão : Galinhas são pássaros. (falso)
Repare que todo o argumento é composto de premissas falsas, no entanto, o
argumento é válido. Se fosse o caso das premissas 1 e 2 serem verdadeiras, ou
seja, se todo animal voador fosse pássaro e se galinhas fossem voadores,
necessariamente, por força das premissas, galinhas seriam pássaros.
Veja um outro exemplo...
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4º exemplo: Todas as premissas e a conclusão verdadeiras
ARGUMENTO 4
Premissa 1: Todo pássaro é da classe das aves; (verdadeiro)
Premissa 2: Bem-te-vis são pássaros ; (verdadero)
Conclusão: Bem-te-vis são da classe das aves.. (verdadeiro)
Neste caso, todas as premissas fornecem material cabal para a conclusão. Aqui,
a este argumento, denominamos argumento correto.
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DEFINIÇÃO 1.6.2 - ARGUMENTO DEDUTIVO CORRETO: Se um
argumento é válido e possui suas premissas verdadeiras, então ele é dito
correto.
Caso o argumento não seja válido, ele será chamado de inválido.
5º exemplo: premissas verdadeiras e conclusão falsa
ARGUMENTO 5
Premissa 1: Todo pássaro é da classe das aves. (verdadeiro)
Premissa 2: Galinhas são da classe das aves; (Verdadeiro)
Conclusão: Galinhas são pássaros. (Falso)
Este caso é de um argumento inválido. 
Portanto, podemos fazer mais uma definição:
DEFINIÇÃO 1.6.3 - ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO: Um
argumento é dito inválido se possui suas premissas verdadeiras e a
conclusão falsa.
Observação: Estas qualidades são possíveis apenas em argumentos dedutivos
conforme a definição 1.6
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OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
• Existe a possibilidade de uma premissa ser falsa, a conclusão verdadeira e
ainda assim, o argumento ser válido.
É o caso do ARGUMENTO 1
• Todas as premissas falsas, a conclusão verdadeira, e, ainda assim, o
argumento ser válido.
É o caso do ARGUMENTO 2
• Todas as premissas falsas, a conclusão também ser falsa e, ainda assim, o 
argumento ser válido. 
É o caso do ARGUMENTO 3
• Todas as premissas e a conclusão serem verdadeiras. Neste caso o
argumento, além de ser válido, é chamado correto.
É o caso do ARGUMENTO 4
• O que não pode ocorrer é as premissas serem verdadeiras e a conclusão 
falsa. Se assim o for, o argumento é dito inválido.
É o caso do ARGUMENTO 5
A partir de agora, todas as vezes em que a palavra argumento for utilizada, 
será no sentido de argumento dedutivo conforme a definição 1.6.
Argumento indutivo
Argumentos indutivos são argumentos também chamados de
ampliativos; o que significa dizer que, embora ele contenha elementos das
premissas, sua conclusão vai além do que está contido nelas.
Neste tipo de argumento não há como utilizar as definições de válidos ou
inválidos. Eles podem ser fortes ou fracos e sua conclusão poderá ser mais ou
menos provável. Quando se fala em teoria da probabilidade basicamente
estuda-se teoria indutiva.
Exemplo de argumento indutivo:
Premissa 1: O biólogo Marcelo avistou um pato branco no lago;
Premissa 2: Alguns dias depois, Marcelo avista outro pato, igualmente
branco, no mesmo lago;
Premissa 3: Marcelo avista por dois meses consecutivos, apenas patos
brancos no lago;
Conclusão: Logo, é provável que todos os patos no lago sejam brancos.
Costuma-se dizer também que os argumentos indutivos partem de casos
particulares para caso geral (portanto, ampliativos), enquanto argumentos
dedutivos partem do geral para o particular (portanto, não ampliativos).
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Alfabeto e Linguagem
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Para a formalização dos argumentos é necessário um alfabeto lógico que
permita traduzir as sentenças ou proposições em símbolos.
Elementos de uma proposição.
1. Indivíduos;
2. propriedade dos indivíduos;
3. a partícula que une estes dois elementos.
Ao primeiro elemento descrito acima utilizamos constantes e variáveis
individuais; Ao segundo elemento utilizamos constantes de predicado, e ao
terceiro utilizamos os conectivos (símbolos de operadores lógicos).
Por exemplo, a sentença:
Baleias são mamíferos e pássaros são aves.
As palavras “Baleias” e “pássaros” são chamadas indivíduos da proposição, e
são utilizadas as letras minúsculas para simbolizá-las;
A expressão “são mamíferos” e “são pássaros” são propriedades dos
indivíduos, também chamadas de predicados, e são simbolizadas pelas letras
maiúsculas do alfabeto;
O termo que liga as duas sentenças são chamados operadores lógicos ou
conectivos, neste caso é a palavra “e”.
O alfabeto é uma convenção. Muitos autores utilizam letras gregas e caracteres
usados na teoria de conjuntos para complementar este alfabeto. A utilização
de elementos externos a este alfabeto é chamada de metalinguagem.
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Constantes individuais são símbolos do alfabeto que representam os
indivíduos num enunciado. Geralmente são utilizadas as letras minúsculas de
a, …t, juntamente com subscritos.
a, b, c, …, t,a1, b1, … , t1, a2, …
Exemplo: na sentença “baleias são mamíferos” o termo “ baleias” pode ser
simbolizado com a letra “b”. Assim, obtém-se “b são mamíferos ”.
Ao se utilizar os subscritos podemos expressar um conjunto enumerável e
infinito de expressões, através de símbolos.
Variáveis individuais são símbolos querepresentam um conjunto que possui a
mesma propriedade, não especificando apenas um indivíduo. São
representados pelas letras minúsculas u, …, z, de nosso alfabeto juntamente
com subscritos:
u, v, w, x, z, u1, v1, w1, … , z1, u2, v2, w2, …
Exemplo: “Existem seres que são mamíferos” pode ser simbolizado por “x são
mamíferos”.
Novamente, embora o alfabeto seja limitado, o conjunto de expressões com
subscritos torna-se enumerável e infinito.
Constantes de predicado são símbolos que representam as propriedades dos
indivíduos. São utilizadas as letras A, … , T do nosso alfabeto:
A, B, C, …, T,A1, B1, … , T1, A2, …
“b são mamíferos ” pode ser representado por Mb, onde M representa “são 
mamíferos ”.
“Alguns seres são mamíferos ” pode ser representado por Mx, onde M
representa “são mamíferos ”.
A ordem aqui é uma convensão. Primeiro as constantes de predicado, em
seguida as constantes ou variáveis individuais.
Operadores Lógicos
Há algumas palavras que ligam duas fórmulas atômicas. A estas palavras damos
o nome de operador lógico ou conectivo. Sua função é formar sentenças a
partir de sentenças simples.
Vamos ver cinco operadores lógicos:
NEGAÇÃO
Basicamente sua função é negar o que está sendo afirmado. Há várias formas
de negar, a mais comum é com a palavra “não”, mas expressões como “é falso
que…”, “não é verdade que…”, e outras, também pode ser usadas.
Símbolo: ¬
CONJUNÇÃO
Este operador une duas sentenças, sejam elas atômicas ou complexas. Precisa-
se de pelo menos duas sentenças para sua utilização.
A conjunção é dada pela expressão “… e …”, mas é possível ter outras formas
como “todavia”, “contudo”, “mas”. É utilizado o caractere ∧ para simbolizá-lo.
Símbolo: ˄
DISJUNÇÃO
O operador lógico disjunção é o que corresponde no português como sendo o
“ou”. Seu símbolo é o ˅ e há outras maneiras, no português, para expressar a
disjunção. São elas: “ora … ora”, “ou … ou”,” … e/ou …”, entre outras.
Símbolo: ˅
CONDICIONAL
O operador lógico implicação material corresponde ao “se … então”. Uma
sentença neste estilo é chamada sentença condicional, ou somente
condicional.
Símbolo: →
BICONDICIONAL
O operador bicondicional, já faz uma alusão à sua função. É como se fosse uma
condicional nas duas direções.
Símbolo:↔
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Esquema
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Embora tenha mostrado como formalizar sentenças por meio de símbolos de
indivíduos e de predicados, aqui irei simplificar um pouco as coisas.
Usaremos, para tal, apenas os símbolos de operadores lógicos, parênteses e
predicados como letras sentenciais.
Quando temos uma sentença como:
Baleias são mamíferos.
Damos o nome de sentença simples. Ela pode ser traduzida para a linguagem
de predicados de primeira ordem como: Mb
Onde, já vimos, M significa “...são mamíferos” (predicado, ou propriedade) e b
significa “baleia”
A expressão Mb é chamada fórmula atômica.
No caso da expressão
Baleias são mamíferos e pássaros são aves
Formalizamos como: Mb ˄ Ap
Neste caso, “A” representa a expressão “...são aves.” e “p” simboliza “pássaros”.
Note que o conectivo une duas fórmulas atômicas. A esta damos o nome de
fórmula molecular.
No entanto, vou convencionar aqui que M ˄ A formaliza a expressão acima.
Esta simplificação é utilizada no Cálculo Proposicional Clássico (CPC), que é um
subconjunto do cálculo de predicados de primeira ordem.
FÓRMULAS
Valoração e Tabela Verdade
Quando defini o que são sentenças disse que poderiam ser verdadeiras ou
falsas, mas não ambas.
Quando traduzimos as proposições para a linguagem formal, ou seja, quando
formalizamos as sentenças, as fórmulas (atômicas ou moleculares) também
serão verdadeiras ou falsas.
No caso, dizer que uma sentença é verdadeira ou falsa é interpretá-la. Na
maioria das vezes esta interpretação advém por meio da realidade.
No entanto, pode-se simplesmente valorar uma fórmula atômica
considerando-se a possibilidade dela ser ou verdadeira ou falsa.
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Mas, a partir do momento
que as fórmulas atômicas são
valoradas, como é possível
saber o valor verdade das
fórmulas moleculares?
As fórmulas moleculares são verdadeiras ou falsas a depender de como as
funções de verdade, ou seja, os operadores lógicos, modificam a valoração.
O que significa que os operadores lógicos funcionam como funções
matemáticas: eles recebem os valores verdades e, dependendo do operador, a
resposta será verdadeira ou falsa.
Vamos ver isto em mais detalhes....
Vamos desenvolver melhor as ideias sobre funções de verdade.
Quando uma fórmula atômica é valorada, sua relação com outras fórmulas
atômicas assumirão certos valores, podendo ser verdadeiro ou falso.
Este novo valor, resultado da união de fórmulas atômicas, é dado em função de
como os operadores atuam em cada fórmula molecular.
O caso mais simples para aprender isto é pelo operador negação. Se uma dada
fórmula atômica, digamos, G, for verdadeira, a negação dela, ou seja, ¬G será
falsa. Se a mesma fórmula atômica G, assumir valor falso, sua negação ¬G será,
verdadeira.
Colocando isto em uma tabela:
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Como pode observar, o operador modifica o valor verdade de uma fórmula
molecular.
Ou seja, é como se fosse uma caixa mecânica que recebe o material bruto,
processa este material e dá uma resposta. Dentro da caixa estão os
operadores, o material bruto é a própria valoração das fórmulas atômicas.
Assim, a resposta é o resultado do processo funcional dos operadores.
O valor de saída poderá ser verdadeiro ou falso.
Agora vejamos como os outros operadores atuam nas fórmulas atômicas.
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A conjunção une duas fórmulas através do operador ˄ . No português é o
conectivo “e”.
Podemos usar a seguinte técnica mnemônica:
Se você for contratado para trabalhar em determinado local e lhe oferecerem
um salário e um benefício, então, só ficará satisfeito se for obedecido este
acordo, caso contrário, não ficará satisfeito.
Ou seja, receber o salário tem a valoração verdadeiro , e receber benefício
também tem valoração verdadeira.
O não cumprimento do acordo recebe a valoração falsa.
Pensando assim, ficará fácil ver que:
Linha 4: receber o salário porém não receber o benefício será uma quebra no
acordo, portanto, terá valoração falsa.
Linha 5: Por outro lado, não receber o salário, mas receber o benefício,
também será quebra de acordo, portanto, falsa será a valoração da
conjunção.
Linha 6: Não receber o salário nem o benefício, também será quebra de
acordo.
Linha 3: Logo, apenas se você receber o salário e o benefício é que a
conjunção será verdadeira.
Observação 1: esta é apenas uma técnica mnemônica para entender a tabela.
Obviamente, o valor verdade das fórmulas atômicas não tem nada a ver com
sentimentos ou quebras de contratos sendo apenas convenções úteis.
Observação 2: Esta mesma observação 1 serve para todas as demais técnicas
mnemônicas utilizadas neste e-book.
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No caso da disjunção, o operador é ˅. No português equivale ao “ou ... ou ....”.
Na verdade este disjuntivo pode ser inclusivo ou exclusivo. Disjunção
exclusiva: ao usar esta disjunção pode ser que aconteça o caso de ser uma
coisa ou outra, não podendo ocorrer as duas simultaneamente. Disjunção
inclusiva: pode ocorrer uma coisa, mas também a outra, simultaneamente.
Algumas vezes utiliza-se e/ou para dizer a possibilidade dos dois disjuntivos
ocorrerem juntos.
Adotarei aquia forma inclusiva (e/ou).
Podemos usar a seguinte técnica mnemônica:
Se você tiver fazendo um curso cuja avaliação seja por via de notas e de
frequência, então: ser aprovado recebe valoração verdade, não ser aprovado
recebe valoração falsa. Ter frequência recebe valoração verdade, ter nota
recebe valoração verdade.
Linha 4: Havendo nota suficiente (V), mesmo sem frequência regular (F), você
será aprovado,(V).
Linha 5: Mas, se tiver frequência regular (V), mesmo sem nota (F), , também
será aprovado (V).
Linha 6: Se não tiver nota (F), nem frequência regular (F), não será aprovado
(F).
Linha 3: Havendo nota (V), e frequência regular (V), será aprovado.
Você pode notar que o valor verdade da disjunção é predominantemente
verdadeiro, ao contrário da conjunção. Ou seja, no caso da disjunção o valor
verdade apenas será falso caso ambos os disjuntivos forem falsos.
Note que a tabela que fizemos é um resumo das regras da função-disjunção.
Que tal você fazer uma tabela para a disjunção exclusiva? Ou seja, a disjunção
que não permite que uma coisa e outra ocorram simultaneamente.
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No caso da condicional, o operador é →. No português equivale ao “se ...
então ....”. Há algumas confusões com relação à sua interpretação, pois
observando rapidamente pode-se ser tentado a interpretar como sendo uma
relação de causa e efeito. No entanto, a condicional não necessariamente é
uma relação do tipo causa-efeito.
• Pode ser do tipo Inferência lógica:
Se todos os pássaros voam e Bem-te-vis são pássaros, então, Bem-te-vis
voam.
Note que foi inferido que os Bem-te-vis voam pelo fato dele ser pássaro e
todos os pássaros voarem, mas a causa de um Bem-te-vi voar, certamente não
é o fato dele ser pássaro.
• Pode ser do tipo Definição:
Se bolas são esféricas, então elas são redondas.
Neste caso, ser redondo é uma característica implícita na definição de esfera.
• Pode ser do tipo Causa-Consequência:
Se a luz passar por uma fenda dupla, ela se comportará como um
fenômeno ondulatório.
Neste caso, para saber se o consequente é verdadeiro é preciso verificar por
via empírica. Não é por via de inferência e nem da definição de luz que o
consequente é deduzido, mas sim por uma relação causal relacionada com a
experiência.
• Pode ser do tipo Decisório:
Se você sair, eu irei comer tudo sozinho.
Aqui o consequente é fruto de uma decisão, não é uma relação causal, nem
inferência, tampouco por definição.
.
Neste ponto é importante você ter observado que não existe, pois, uma
relação objetiva entre o antecedente e o consequente da conjunção.
Há uma discussão maior sobre o operador condicional que vai além do objetivo
deste material. Tecnicamente, os lógicos denominam implicação material a um
condicional que vai além do escopo dos quatro tipos citados há pouco.
O fato é que, em linhas gerais, não pode ocorrer a afirmação do antecedente e
a negação do consequente. Ou seja, se o consequente for falso, o antecedente
não poderá ser verdadeiro, em outras palavras, não pode ocorrer que o
antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.
Se notar pela tabela, na linha 4 o antecedente sendo verdadeiro e o
consequente falso, leva à condicional falsa.
A tabela deixa a desejar, mas é uma convenção útil, embora seja muito
estranho pensar que a implicação “Se o rato é um pássaro (falso), então o Sol é
gelado (falso)” assume o valor verdade verdadeiro. Em linguagem simbólica:
P: “o rato é um pássaro”;
Q: o Sol é gelado;
P → Q
Segundo nossa tabela, se o antecedente for falso e o consequente também o
for, toda a implicação será verdadeira. Pode soar estranho, mas é uma
convenção importante.
Como já disse no início do E-book, há outros tipos de Lógica em que a
condicional é tratada de forma diferente, mas por enquanto esta tabela é o
que temos.
Podemos usar a seguinte técnica mnemônica:
Linha 4: se a verdade levar à falsidade, a condicional toda é falsa, mas;
Linha 5: a falsidade pode levar à verdade assim como:
Linha 6: a falsidade pode levar à falsidade.
Linha 3: mas somente a verdade leva exclusivamente à verdade.
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No caso do operador bicondicional as discussões seguem o mesmo sentido do
condicional. Este operador basicamente é uma condicional de duas vias:
(G→H ) ˄ (H → G).
Podemos usar a seguinte técnica mnemônica:
Basta pensar em equivalência: se o antecedente for equivalente ao
consequente, o operador lógico condicional é verdadeiro, caso contrário, é
falso.
Linha 3: se o antecedente (V) é equivalente ao consequente (V), então o
bicondicional é verdadeiro;
Linha 4: se o antecedente (V) não é equivalente ao consequente (F), então o
bicondicional é falso;
Linha 5: se o antecedente (F) não é equivalente ao consequente (V), então o
bicondicional é falso;
Linha 6: se o antecedente (F) é equivalente ao consequente (F), então o
bicondicional é verdadeiro;
Conhecendo como os operadores atuam com as fórmulas, é possível agora,
estudar algumas fórmulas por meio da técnica de Tabelas Verdade. Mas antes,
vamos ver um pouco sobre valoração.
Esta é a parte que iremos ver um pouco sobre a interpretação das proposições.
Valorar uma sentença significa emitir um juízo, em nosso caso, dizer se tal é
verdadeira ou falsa. No entanto, afirmar que uma dada proposição é
verdadeira ou é falsa, remete à questão da interpretação.
Já disse a pouco que a Lógica Formal não se preocupa com a essência do
enunciado, mas, tão somente, com a forma e sua estrutura formal.
Mas, como as aplicações da Lógica estão em diversas áreas do conhecimento
humano, é razoável que num determinado contexto o conteúdo das sentenças
seja importante, se não, primordial.
Vejamos o seguinte argumento:
“Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento
uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele
estado por forças imprimidas sobre ele.”
Esta, na verdade, é a primeira lei de Newton, exposta em seu livro Principia.
Vou formalizar o argumento e em seguida faremos uma valoração.
A: Todo corpo continua em seu estado de repouso;
B:Todo corpo continua em seu estado de movimento uniforme em linha reta;
C: Forças que são imprimidas sobre ele mudam seu estado;
Agora podemos formalizar como segue:
¬ C → A ˅ B
Ou seja, se não houver força sendo imprimida para mudar seu estado, todo
corpo permanece em repouso, ou todo corpo permanece em movimento
retilíneo uniforme.
Perceba pelo argumento acima, que a conclusão e as premissas não estão
numa ordem tradicional.
A conclusão: “Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de
movimento uniforme em uma linha reta” encontra-se no início do argumento,
enquanto a premissa, no final.
Valorar significar dar o valor verdadeiro ou falso às fórmulas atômicas, e pelos
operadores encontramos o valor verdade das fórmulas moleculares.
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Valoração
Poderíamos fazer a seguinte valoração:
v1(A) = V; v1(B)= F ; v1(C)= F .
• A partir destas três valorações encontra-se o valor verdade das fórmulas 
moleculares, por exemplo: v1(¬C) = V, v1(A˅B) = V, v1(¬ C → A ˅ B) = V . 
No entanto, temos que fazer para isto para todas as combinações.
Ou seja, teria que ter v2 , v3, etc...
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Tabela Verdade
Em casos onde o número de fórmulas atômicas é reduzido, é possível utilizar o
procedimento da tabela verdade.
Há uma relação entre o número de linhas de uma tabela verdade e o número
de fórmulas atômica. Esta relação é 2n ,onde n é o número de fórmulasatômicas.
Ou seja, no caso do argumento anterior, são 3 as fórmulas atômicas, logo, são
23 linhas, ou, 8 linhas. Note que quanto maior o número de fórmulas, mais
linhas surgem, o que torna este método exaustivo para argumentos grandes.
Vamos ver como fica a tabela verdade para este argumento, levando em conta
a disjunção inclusiva.
A esta altura, já deu para perceber que seria uma tarefa bastante longa, caso
houvesse mais proposições..
Uma técnica para o preenchimento dos valores verdade de cada fórmula é a
seguinte:
Se houver apenas duas fórmulas A e B, fazer a duplicação do valor verdade de
uma e alternando outra.
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Se houver três fórmulas A, B e C, então quadriplique um valor verdade, dobre
o outro, alterna o outro, como segue:
Já deu para notar que a tabela vai ficando longa. Mas para uma quantidade de
até 4 fórmulas esta técnica das tabelas é muito eficaz. Segue outro exemplo:
(¬A ˄ C)→ ¬ B
Note que a coluna em azul o valor verdade está quadruplicado, em verde está
duplicado e em amarelo está alternado.
Os três princípios fundamentais por trás da 
lógica clássica;
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Tradicionalmente a lógica fundamenta-se em três princípios básicos que
utilizamos frequentemente neste e-book sem que os mesmos tenham sido
expostos diretamente.
Frequentemente estes princípios também são chamados de Leis do
Pensamento.
Estes princípios são alvo de muita controvérsia e, através deles, ou melhor, a
ausência de algum deles gera outros tipos de Lógica.
Possuem vários nomes e maneiras de enunciá-los.
1 – Princípio da identidade
Este princípio diz que se uma proposição qualquer é verdade, então ela é
verdadeira. Ou seja, o que é, é! Ou, uma coisa é igual a si mesma.
Toda vez que escolhemos uma linha da valoração, estamos dizendo que, para
aquele conjunto de proposições, se determinada proposição é verdadeira,
então ela é verdadeira.
Formalização: A → A
Analisando este princípio pela tabela verdade, note que não importa a
valoração dada à sentença, tal princípio será sempre tautológico.
Tautologia: Uma proposição será uma tautologia se, para toda valoração a ela
atribuída (verdadeira ou falsa), resultará sempre em verdade (V).
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2 – Princípio da não-contradição
Este princípio também é conhecido como princípio da contradição, e ele afirma
que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso. Ou seja, ele não pode
assumir as duas valorações simultaneamente.
Note que o princípio de identidade é diferente do princípio da não-contradição.
Formalização: ¬(A ˄ ¬A)
É falso afirmar que uma coisa pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.
Caso fosse possível, isto nos levaria à uma contradição (coluna 3).
Observando a tabela, verifica-se, pela quarta coluna, que este princípio é
também uma tautologia. Caso fosse possível uma coisa ser verdadeira e falsa
simultaneamente, teríamos uma contradição!
Contradição: Uma proposição é uma contradição se, para toda valoração a ela
atribuída, terá sempre valor verdade falso (coluna 3). A negação da contradição
é uma tautologia (coluna 4).
3 – Princípio do terceiro excluído
Este princípio afirma que uma proposição ou é verdadeira, ou é falsa, não
havendo outra possibilidade. Ou seja, não há meia verdade, nem meia
falsidade, ou outro valor lógico que não verdadeiro ou falso.
Formalização: A ˅ ¬A
É preciso levar em conta que este princípio não leva a uma interpretação dual.
Ou seja, negar que um objeto é quadrado, não quer dizer que ele seja redondo
(embora possa ser), apenas quer dizer que ele não é quadrado. A negação de
uma proposição não sugere a existência de uma nova proposição, mas reafirma
a própria existência. Afinal, só se pode negar algo que existe, mesmo que
hipoteticamente!
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Vimos o que é uma tautologia, e o que é uma contradição, porém, há outra
possibilidade e esta é que leva à investigação do real, é a contingência.
Contingência: Uma proposição é uma contingência se não for uma tautologia e
nem uma contradição, ou seja, se existir pelo menos uma valoração em que
assumirá valor verdade verdadeiro e, para pelo menos outra valoração, assumir
valor verdade falso.
Veja no exemplo acima que não é uma tautologia e nem uma contradição. A
importância deste tipo de situação é que a verdade ou falsidade precisa ser
investigada para se ter um parecer.
Nas tautologias ou contradições, independente do mundo real, elas serão
verdadeiras ou falsas, sempre, respectivamente. Já na contingência isto vai
depender da sua interpretação do mundo.
A contingência lega à interpretação do real, somente através desta
investigação, que podemos dizer ser uma investigação científica, é que é
possível extrair uma inferência logicamente aceitável.
Um exemplo claro disto foi a Primeira Lei de Newton que expomos neste e-
book.
Considerando a disjunção inclusiva, ignoramos um fato importante: Não é
possível um corpo que não lhe foi impressa uma força para lhe mudar o
movimento, estar em movimento retilíneo uniforme e em repouso
simultaneamente, no entanto, pela tabela verdade, tal caso é verdadeiro.
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Passo a passo para montar uma tabela
verdade
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Utilizando o seguinte a seguinte proposição: A ↔ B
PASSO A PASSO
PARA FAZER TABELA VERDADE COM 
DUAS PROPOSIÇÕES
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PASSO A PASSO
PARA FAZER TABELA VERDADE COM 
TRÊS PROPOSIÇÕES
Utilizando o seguinte a seguinte proposição: ¬A → (C ˄ B)
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Esta foi uma introdução básica a alguns conceitos de Lógica 
Formal Clássica, particularmente o 
Cálculo Proposicional Clássico (CPC).
Espero que tenha gostado! 
Continue acompanhando meu trabalho e sempre estarei 
colocando muito material sobre este e outros assuntos.
M E U S C A N A I S D E A C E S S O
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Em caso de dúvidas ou sugestões entre em contato comigo por estes canais. 
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REFERÊNCIAS
CAPUTI, Armando; MIRANDA, Daniel. Bases matemáticas. 12 ed. Santo André: 
Universidade Federal do ABC, 2015. 363 p.
COPI, Irving M.. Introdução à lógica. 2 ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978. 488 p.
MENDELSON, Elliott. Introduction to mathematical logic. 4 ed. [S.L.]: 
Chapman & Hall, 1997. 439 p.
MORTARI, Cezar A.. Introdução à lógica. 1 ed. São Paulo: Unesp, 2001. 390 p.
MUNDIM, Roberto Patrus. A Lógica Formal – princípios elementares. Revista 
Economia & Gestão (E&G), Belo Horizonte, v. 2, n. 3, p. 135-145, jun. 2002.
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