Prévia do material em texto

Capa 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas de raciocínio lógico envolvendo os seguintes assuntos: Estruturas lógicas; Lógica de 
argumentação; Diagramas lógicos; Tautologias; Proposições .................................................................. 1 
 
Teoria dos conjuntos .......................................................................................................................... 43 
 
Análise Combinatória ......................................................................................................................... 54 
 
Noções de Estatística e Probabilidade. .............................................................................................. 62 
 
 
 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 1 
 
Breve introdução 
 
Não há um consenso quanto à definição da lógica, mas alguns autores a definem como o estudo dos 
processos válidos e gerais pelos quais atingimos a verdade, inclusive pelo estudo dos princípios da 
inferência válida. É a Ciência que expõe as leis, modos e formas do conhecimento científico. É uma 
ciência formal que se dedica ao estudo das formas válidas de inferência. Trata-se, portanto, do estudo 
dos métodos e dos princípios utilizados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. 
A lógica foi criada por Aristóteles, no século IV a.C., como uma ciência autônoma que se dedica ao 
estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) do ponto de vista da sua 
estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. É por esta razão que esta lógica 
aristotélica se designa também por lógica formal. 
Segundo os registros foi Aristóteles quem sugeriu o silogismo como sendo o argumento válido. 
Aristóteles é considerado o pai da lógica formal. 
 
Conceito de proposição 
 
Vamos a um conceito básico, em função de ter encontrado diversos conceitos: 
“Chama-se proposição toda oração declarativa que admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou 
Verdadeiro (V), mas não as duas valorações”. 
Em função de ser uma oração é esperado que apresente, portanto, sujeito e predicado. A expressão: 
“As belas ruas de paralelepípedo de Ribeirão Preto” NÃO se constitui uma proposição devido à ausência 
de predicado. 
Como anteriormente mencionado a oração é declarativa. Portanto, teremos alguns tipos de 
expressões que NÃO serão proposições, por serem do tipo imperativo, interjeições, exclamativa, 
interrogativas, indefinidas (abertas). 
Desta forma, não são proposições expressões do tipo: 
(A) Que bela manhã! (exclamativa). 
(B) Quer uma xícara de café? (interrogativa). 
(C) Pare!!! (imperativa – indica ordem). 
(D) Feliz Natal!. (optativa – exprime desejo). 
(E) Ele foi o melhor jogador do campeonato. (Sentença aberta; não se sabe quem é “ele” e, assim, 
não podemos valorar tal expressão). 
 
Veja algumas frases que são proposições (aquelas que podemos valorar em verdadeira ou 
falsa) 
(A) A lua é o único satélite do planeta Terra (V) 
(B) A cidade do Recife é a capital do estado do Maranhão. (F) 
(C) O número 612 é ímpar (F) 
(D) A raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 
Mas, uma proposição pode ser qualquer outro tipo de expressão, tais como as matemáticas, conjunto 
de símbolos que possuam um significado, e que pode ser valorada em verdadeiro ou falso. 
 
Exemplo: 
4 > 7 
Problemas de raciocínio lógico envolvendo os seguintes assuntos: 
Estruturas lógicas; Lógica de argumentação; Diagramas lógicos; 
Tautologias; Proposições. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 2 
Estamos afirmando que o número quatro é maior que o número sete. Temos, neste caso, símbolos 
numéricos, o que ainda assim nos permite dizer que isto é uma proposição. No caso, é uma proposição 
falsa. 
 
Veja o exemplo abaixo: 
x-8 = 0 
 
Não podemos valorar esta expressão em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não se conhece 
o valor de x. Se x valer oito, teremos x – 8 = 0. Porém, para qualquer outro valor de x que não seja oito, 
a igualdade acima está errada. 
Sendo “x” uma variável, pode assumir inúmeros valores. Quando a expressão apresentar uma 
variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Isto nos impede de julgá-la em verdadeira ou 
falsa. Logo, não é proposição. 
Em algumas situações teremos expressões que serão denominadas paradoxos. E estas não podem 
ser valoradas em falsa ou verdadeira porque teríamos uma situação de contradição. Veja a seguinte 
frase: 
Um meliante declara à polícia: “Eu sou mentiroso”. 
Isto não pode ser uma proposição lógica, pois, se consideramos que o meliante disse a verdade, 
então é verdade que ele é um mentiroso e, portanto, sendo um mentiroso ele não pode declarar uma 
verdade. Contradição! 
 
Resumindo: 
Não são proposições: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expressões de desejo, as 
expressões de sentimentos, as interjeições, orações imperativas, e aquelas que contenham variáveis 
(sentenças abertas). 
A partir daí, podemos encontrar alguns princípios que devem sempre ser observados: 
 
1) Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa 
é sempre falsa. 
 
2) Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
simultaneamente. 
 
3) Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é 
verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor. Não há meio termo. 
 
Questões 
 
01. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014) Segundo a lógica aristotélica, as proposições 
têm como uma de suas propriedades básicas poderem ser verdadeiras ou falsas, isto é, terem um valor 
de verdade. Assim sendo, a oração “A Terra é um planeta do sistema solar”, por exemplo, é uma 
proposição verdadeira e a oração “O Sol gira em torno da Terra”, por sua vez, é uma proposição 
comprovadamente falsa. Mas nem todas as orações são proposições, pois algumas orações não podem 
ser consideradas nem verdadeiras e nem falsas, como é o caso da oração: 
(A) O trigo é um cereal cultivável de cuja farinha se produz pão. 
(B) Metais são elementos que não transmitem eletricidade. 
(C) Rogai aos céus para que a humanidade seja mais compassiva. 
(D) O continente euroasiático é o maior continente do planeta. 
(E) Ursos polares são répteis ovíparos que vivem nos tópicos. 
 
02. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014) Um dos princípios fundamentais da lógica é o 
da não contradição. Segundo este princípio, nenhuma proposição pode ser simultaneamente verdadeira 
e falsa sob o mesmo aspecto. Uma das razões da importância desse princípio é que ele permite realizar 
inferências e confrontar descrições diferentes do mesmo acontecimento sem o risco de se chegar a 
conclusões contraditórias. Assim sendo, o princípio da não contradição 
(A) fornece pouco auxílio lógico para investigar a legitimidade de descrições. 
(B) permite conciliar descrições contraditórias entre si e relativizar conclusões 
(C) exibe propriedades lógicas inapropriadas para produzir inferências válidas. 
(D) oferece suporte lógico para realizar inferências adequadas sobre descrições. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 3 
(E) propicia a produçãode argumentos inválidos e mutuamente contraditórios. 
 
03. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014) Detectar narrativas mentirosas é uma tarefa 
cognitiva muito árdua que envolve o raciocínio lógico e informação sobre os acontecimentos em questão. 
Mas quando se tem informações limitadas sobre os acontecimentos, o raciocínio lógico desempenha 
um importante papel para a detecção de narrativas mentirosas. Isto ocorre porque. 
(A) os acontecimentos aparecem em sua sequência temporal ao observador atento. 
(B) o uso do raciocínio lógico permite frequentemente detectar inconsistências. 
(C) o raciocínio lógico em nada contribui para reconhecer narrativas mentirosas. 
(D) a detecção de narrativas mentirosas é uma tarefa cognitiva muito fácil. 
(E) a falsidade da narrativa é sempre evidente sem necessidade de raciocinar. 
 
04. MRE 2008 [CESPE] (MODIFICADO) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como 
verdadeiras — V —, ou falsas — F —, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. 
Julgue os itens abaixo: 
1. Considere a seguinte lista de sentenças: 
I - Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? 
II - O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. 
III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, 
x e y. 
IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. 
Nessa situação, é correto afirmar que, entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma 
proposição. 
 
05. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica 
em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. 
I. Que belo dia! 
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. 
III. O jogo terminou empatado? 
IV. Existe vida em outros planetas do universo. 
V. Escreva uma poesia. 
A frase que não possui essa característica comum é a 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) IV. 
(E) V. 
 
06. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual 
se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e 
sentenças: 
1. Três mais nove é igual a doze. 
2. Pelé é brasileiro. 
3. O jogador de futebol. 
4. A idade de Maria. 
5. A metade de um número. 
6. O triplo de 15 é maior do que 10. 
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números. 
(A) 1, 2 e 6. 
(B) 2,3 e 4. 
(C) 3,4 e 5. 
(D) 1, 2, 5 e 6. 
(E) 2, 3,4 e 5. 
 
07. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito 
do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue 
há expressões e sentenças: 
1. Tomara que chova! 
2. Que horas são? 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 4 
3. Três vezes dois são cinco. 
4. Quarenta e dois detentos. 
5. Policiais são confiáveis. 
6. Exercícios físicos são saudáveis. 
De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças 
APENAS os de números. 
(A) 1 3 e 5. 
(B) 2, 3 e 5. 
(C) 3, 5 e 6. 
(D) 4 e 6. 
(E) 5 e 6. 
 
08. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014). Um dos princípios fundamentais da lógica é o 
da não contradição. Segundo este princípio, nenhuma proposição pode ser simultaneamente verdadeira 
e falsa sob o mesmo aspecto. Uma das razões da importância desse princípio é que ele permite realizar 
inferências e confrontar descrições diferentes do mesmo acontecimento sem o risco de se chegar a 
conclusões contraditórias. Assim sendo, o princípio da não contradição 
(A) fornece pouco auxílio lógico para investigar a legitimidade de descrições. 
(B) permite conciliar descrições contraditórias entre si e relativizar conclusões 
(C) exibe propriedades lógicas inapropriadas para produzir inferências válidas. 
(D) oferece suporte lógico para realizar inferências adequadas sobre descrições. 
(E) propicia a produção de argumentos inválidos e mutuamente contraditórios. 
 
09. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014). Segundo a lógica aristotélica, as proposições 
têm como uma de suas propriedades básicas poderem ser verdadeiras ou falsas, isto é, terem um valor 
de verdade. Assim sendo, a oração “A Terra é um planeta do sistema solar”, por exemplo, é uma 
proposição verdadeira e a oração “O Sol gira em torno da Terra”, por sua vez, é uma proposição 
comprovadamente falsa. Mas nem todas as orações são proposições, pois algumas orações não podem 
ser consideradas nem verdadeiras e nem falsas, como é o caso da oração: 
(A) O trigo é um cereal cultivável de cuja farinha se produz pão. 
(B) Metais são elementos que não transmitem eletricidade. 
(C) Rogai aos céus para que a humanidade seja mais compassiva. 
(D) O continente euroasiático é o maior continente do planeta. 
(E) Ursos polares são répteis ovíparos que vivem nos tópicos. 
 
Respostas 
 
01. Não pode ser uma proposição se não for uma afirmativa, pois, as afirmativas podem ser valoradas 
em V ou F. 
Vamos analisar as alternativas: 
(A) O trigo é um cereal cultivável de cuja farinha se produz pão. (é proposição) 
(B) Metais são elementos que não transmitem eletricidade. (é proposição) 
(C) Rogai aos céus para que a humanidade seja mais compassiva. (Expressa um desejo. Não pode 
ser valorado. Não é proposição) 
(D) O continente euroasiático é o maior continente do planeta. (é proposição) 
(E) Ursos polares são répteis ovíparos que vivem nos tópicos. (é proposição) 
 
02. Este princípio propicia suporte lógico para realizar inferências adequadas sobre descrições. Pois 
se houver contradição não teríamos como definir valores lógicos às descrições 
 
03. O raciocínio logico permite detectar argumentos inválidos e inconsistências em determinadas 
descrições em narrativas. 
 
04. A sentença I é uma pergunta. Não pode ser julgada em verdadeiro ou falso, não sendo 
classificada como proposição. 
Na sentença II temos uma expressão de opinião sobre o Palácio do Itamaraty. Alguém está dizendo 
expressando sua opinião de que o Palácio é belo. Não é proposição. 
Na sentença III, temos duas variáveis (x e y). Quando temos variáveis, trata-se de uma sentença 
aberta, que não pode ser julgada em verdadeira ou falsa. Logo, não é uma proposição. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 5 
Na sentença IV, temos outra expressão de opinião. Também não é proposição. 
Resposta: errado. 
05. A frase I é exclamativa. 
A frase II não possui predicado, não sendo assim uma oração. 
A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa. 
Portanto a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única 
proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de 
não sabermos o seu valor lógico. 
 
06. As frases 1, 2 e 6 têm sujeito e predicado. São, portanto, sentenças. 
As frases 3,4 e 5 não possuem sentido completo. Não são sentenças. 
Resposta A 
 
07. 1. Tomara que chova! (exclamativa) 
2. Que horas são? (interrogativa) 
3. Três vezes dois são cinco (proposição). 
4. Quarenta e dois detentos. (sem predicado) 
5. Policiais são confiáveis. (proposição) 
6. Exercícios físicos são saudáveis. (proposição) 
Resposta: C. 
 
08. Resposta: D. 
Este princípio propicia suporte lógico para realizar inferências adequadas sobre descrições. Pois se 
houver contradição não teríamos como definir valores lógicos às descrições 
 
09. Resposta: C. 
Não pode ser uma proposição se não for uma afirmativa, pois, as afirmativas podem ser valoradas 
em V ou F. 
Vamos analisar as alternativas: 
A) O trigo é um cereal cultivável de cuja farinha se produz pão. (é proposição) 
B) Metais são elementos que não transmitem eletricidade. (é proposição) 
C) Rogai aos céus para que a humanidade seja mais compassiva. (Expressa um desejo. Não pode 
ser valorado. Não é proposição) 
D) O continente euroasiático é o maior continente do planeta. (é proposição) 
E) Ursos polares são répteisovíparos que vivem nos tópicos. (é proposição) 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. 
Uma situação que esses diagramas poderão ser usados é na determinação da quantidade de 
elementos que apresentam uma determinada característica. 
 
Diagrama de Euler 
 
Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas 
(onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um 
diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual 
certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os 
atributos para animal, mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos 
os animais, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as 
possíveis combinações ou conjunções. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 6 
Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que 
mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama 
está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada 
curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção 
e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que 
representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos 
que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos 
disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos 
comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os 
conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contida completamente dentro da zona 
interior de outro representa um subconjunto do mesmo. 
Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn 
deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as 
combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler 
algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. 
Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, 
quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”. 
Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria 
dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem 
ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas 
as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / 
analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão. 
 
Diagramas de Venn 
Designam-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar 
graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos 
diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar 
os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por 
exemplo, 4 ∈ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por 
exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da 
outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao passo que o ponto interno a uma curva 
representa um elemento pertencente ao conjunto. 
Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O 
interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com 
Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas 
por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam 
ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre 
as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em 
específico é vazia ou não vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja 
C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família 
independente se a região formada por cada uma das interseções X1 ∩ X2 ∩ ... ∩ Xn, onde cada Xi é o 
interior ou o exterior de Ci, é não vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas 
as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número 
finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos. 
Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem 
parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. 
Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, 
que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um 
conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou 
que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do 
mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao 
passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa 
sua união. 
John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos 
anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de 
matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem 
dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são 
devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 7 
e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os 
quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh. 
 
Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os 
animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se 
sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao 
mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras. 
 
 Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte 
do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se 
sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes, mas não podem voar. Os mosquitos, que voam, 
mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, 
por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer 
animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos 
fora dos dois círculos. 
Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os 
círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas 
áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro): 
- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição). 
- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição). 
- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição). 
- Animais que não possuem duas pernas e não voam(branco - fora). 
 
Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença 
de A para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada 
uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama: 
 
 
Diferença de A para B: A\B Diferença de B para A: B\A 
 
Intersecção de dois conjuntos: A∩B 
Complementar de dois conjuntos: 
U \ (A∪B) 
 
Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-
se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal 
conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas 
mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e 
B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 8 
 
União de dois conjuntos: A∪B Diferença Simétrica de dois conjuntos: A∆B 
 
Complementar de A em U: AC = U \ A Complementar de B em U: BC = U \ B 
 
Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou, sobretudo nos diagramas de três 
conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem 
bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras 
diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes. 
 
 
 
Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C. 
 
 
 
União de três conjuntos: A∪B∪C Intersecção de três conjuntos: A∩B∩C 
 
 
A \ (B ∪ C) (B ∪ C) \ A 
 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 9 
Questões 
 
01. (Receita Federal do Brasil – Auditor Fiscal - ESAF/2014) Se é verdade que alguns adultos são 
felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente verdade que: 
(A) algum adulto é aluno de matemática. 
(B) nenhum adulto é aluno de matemática. 
(C) algum adulto não é aluno de matemática. 
(D) algum aluno de matemática é adulto. 
(E) nenhum aluno de matemática é adulto. 
 
02. (Receita Federal do Brasil – Auditor Fiscal - ESAF/2014) Ana está realizando um teste e 
precisa resolver uma questão de raciocínio lógico. No enunciado da questão, é afirmado que: “todo X1 
é Y. Todo X2, se não for X3, ou é X1 ou é X4. Após, sem sucesso, tentar encontrar a alternativa correta, 
ela escuta alguém, acertadamente, afirmar que: não há X3 e não há X4 que não seja Y. A partir disso, 
Ana conclui, corretamente, que: 
(A) todo Y é X2. 
(B) todo Y é X3 ou X4. 
(C) algum X3 é X4. 
(D) algum X1 é X3. 
(E) todo X2 é Y. 
 
03. (IGP-SC - Auxiliar Pericial - Laboratório – IESES/2014) Leia as frases a seguir e assinale a 
alternativa correta: 
- Nenhum graduado é atencioso. 
- Alguns atenciosos são candidatos aprovados em concurso, logo: 
(A) Todo graduado é atencioso e aprovado em concurso. 
(B) Todo graduado é atencioso. 
(C) Alguns candidatos aprovados não são graduados. 
(D) Alguns graduados são aprovados. 
 
04. (AGU - Administrador - IDECAN/2014) Se é verdade que “alguns candidatos são estudiosos” e 
que “nenhum aventureiro é estudioso”, então, também é necessariamente verdade que 
(A) algum candidato é aventureiro. 
(B) algum aventureiro é candidato. 
(C) nenhum aventureiro é candidato. 
(D) nenhum candidato é aventureiro. 
(E) algum candidato não é aventureiro. 
 
05. (SEFAZ/RJ – Auditor Fiscal da Receita Estadual 3ª categoria – FCC/2014) Suponha que 
sejam verdadeiras as seguintes informações: 
I. Todos os empregados da empresa Alfa são competentes. 
II. Mário não trabalha na empresa Alfa. 
III. André é competente. 
IV. Alguns empregados da empresa Alfa são estudantes. 
Então, é correto afirmar que 
(A) todos os estudantes são competentes. 
(B) existe pelo menos um estudante que é competente. 
(C) André trabalha na empresa Alfa. 
(D) Mário não é competente. 
(E) existe pelo menos um estudante que não trabalha na empresa Alfa. 
 
06. (SEDS/MG - Agente de Segurança Penitenciária - IBFC/2014) Todo mafagáfo é um guilherdo 
e todo guilherdo é um rosmedo. Desse modo, é correto afirmar que: 
(A) Há mafagáfo que não é rosmedo. 
(B) Todo guilherdo é mafagáfo. 
(C) Nenhum rosmedo é mafagáfo. 
(D) Alguns guilherdos podem ser mafagáfos. 
 
07. (CRN 3ª Região - Advogado - Quadrix/2014) Certa vez uma pessoa afirmou: 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 10 
• todo nutricionista se preocupa com a saúde. 
• todos que praticam esportes se preocupam com a saúde. 
Com base apenas nas afirmações dessa pessoa, podemos concluir corretamente que: 
(A) existem pessoas que se preocupam com a saúde, mas que não são nutricionistas e não praticam 
esportes. 
(B) todos os nutricionistas praticam esportes. 
(C) todos os praticantes de esportes são nutricionistas. 
(D) existem nutricionistas que praticam esportes. 
(E) não existem nutricionistas que praticam esportes. 
 
08. (TRT/16ª Região – Analista Judiciário – Área Administrativa - FCC/2014) Se nenhum XILACO 
é COLIXA, então 
(A) todo XILACO é COLIXA. 
(B) é verdadeiro que algum XILACO é COLIXA. 
(C) alguns COLIXA são XILACO. 
(D) é falso que algum XILACO é COLIXA. 
(E) todo COLIXA é XILACO. 
 
09. (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI/2014) Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela 
que NÃO tem o mesmo significado da frase: Todo número primo, diferente de dois, é um número ímpar. 
(A) Nenhum número primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar. 
(B) Não há nenhum número primo diferente de dois que não seja ímpar. 
(C) Um número será ímpar se for primo e diferente de dois. 
(D) Se algum número primo for diferente de dois, então ele é ímpar. 
(E) Os números primos diferentes de dois são ímpares. 
 
10. (IF BA – Administrador – FUNRIO – 2014). Sabe-se que todo B é A e que algum C é A. Segue-
se necessariamente que 
(A) todo A é B. 
(B) algum C é B. 
(C) todo A é C. 
(D) pelo menos um A é B. 
(E) nenhum B é C. 
 
11. (PC/SP - Investigador de Polícia - VUNESP/2014) Argumentos também podem ser classificados 
como válidos ou inválidos do ponto de vista de sua estrutura formal, independentemente da verdade ou 
falsidade de suas premissas. 
Dentre os exemplos a seguir, assinale o argumento válido. 
(A) Algumas pessoas são simpáticas. O carteiro é uma pessoa. Logo, todos os carteiros são 
simpáticos. 
(B) Todos os seres humanos são mortais; uma vez que João é mortal, logo João é um ser humano. 
(C) Algumas focas moram na Patagônia. Alguns pinguins moram na Patagônia. Logo, todos os 
pinguins não são focas. 
(D) Todos os móveis são de madeira. Todos as cadeiras são móveis. Logo, todos os pássaros são 
móveis. 
(E) Nenhum mamífero é uma ave. Há mamíferos voadores. Logo, alguns animais voadores não são 
aves. 
 
12. (GDF–Analista de Atividades Culturais Administração – IADES/2014) Considere as 
proposições: “todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum 
teatro é casa de cultura”. Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 11 
13. (CONAB - Assistente Administrativo - IADES/2014) Se “todo verdureiro é apicultor”, “existe 
apicultor que é vaqueiro” e “nenhum vaqueiro é produtor de soja”. Com base no exposto, assinale a 
alternativa correta. 
(A) Nenhum apicultor é produtor de soja. 
(B) Vaqueiros apicultores são verdureiros. 
(C) Existem vaqueiros que não são apicultores. 
(D) Produtores de soja não podem ser verdureiros. 
(E) Se todo apicultor é vaqueiro, então nenhum verdureiro é produtor de soja. 
 
14. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014)Os silogismos são formas lógicas compostas por 
premissas e uma conclusão que se segue delas. Um exemplo de silogismo válido é: 
(A) Curitiba é capital de Estado. São Paulo é capital de Estado. Belém é capital de Estado. 
(B) Alguns gatos não têm pelo. Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos não têm pelo. 
(C) Todas as aves têm pernas. Os mamíferos têm pernas. Logo, todas as mesas têm pernas. 
(D) Antes de ontem choveu. Ontem também choveu. Logo, amanhã certamente choverá. 
(E) Todas as plantas são verdes. Todas as árvores são plantas. Todas as árvores são mortais. 
 
15. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014) Considerando a premissa maior “Nenhum inseto 
tem coluna vertebral” e a premissa menor “Todas as moscas são insetos”, a conclusão correta do 
silogismo válido é: 
(A) “Nenhum inseto é mosca”. 
(B) “Alguns insetos não são moscas” 
(C) “Nenhuma mosca tem coluna vertebral”. 
(D) “Alguns insetos têm coluna vertebral”. 
(E) “Algumas moscas são insetos”. 
 
16. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014) Considere as seguintes premissas: “Todos os 
generais são oficiais do exército”. “Todos os oficiais do exército são militares”. Para obter um silogismo 
válido, a conclusão que logicamente se segue de tais premissas é: 
(A) “Alguns oficiais do exército são militares”. 
(B) “Nenhum general é oficial do exército”. 
(C) “Alguns militares não são oficiais do exército”. 
(D) “Todos os militares são oficiais do exército”. 
(E) “Todos os generais são militares”. 
 
17. (TRF/3ª Região - Analista Judiciário - Área Apoio Especializado Arquivologia- FCC/2014) 
Diante, apenas, das premissas “Nenhum piloto é médico”, “Nenhum poeta é médico” e “Todos os 
astronautas são pilotos”, então é correto afirmar que 
(A) algum astronauta é médico. 
(B) todo poeta é astronauta. 
(C) nenhum astronauta é médico. 
(D) algum poeta não é astronauta. 
(E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico. 
 
18. (TRF/3ª Região - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC/2014) Diante, apenas, das 
premissas “Existem juízes”, “Todos os juízes fizeram Direito” e “Alguns economistas são juízes”, é 
correto afirmar que: 
(A) todos aqueles que fizeram Direito são juízes. 
(B) todos aqueles que não são economistas também não são juízes. 
(C) ao menos um economista fez Direito. 
(D) ser juiz é condição para ser economista. 
(E) alguns economistas que fizeram Direito não são juízes. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Vamos fazer a representação dos conjuntos, conforme as informações. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 12 
 
- “alguns adultos são felizes”. Portanto, há intersecção entre estes conjuntos. 
 
- nenhum aluno de matemática é feliz 
Portanto, não há intersecção entre estes conjuntos. Mas não sabemos se existe com outros ou não. 
Podemos ter algumas possibilidades. 
 
Vamos analisar as alternativas: 
A) algum adulto é aluno de matemática. ERRADO 
B) nenhum adulto é aluno de matemática. Pode ou não. 
C) algum adulto não é aluno de matemática. CORRETO. 
D) algum aluno de matemática é adulto. 
E) nenhum aluno de matemática é adulto. 
 
02. Resposta: E. 
Temos a seguinte afirmação: 
X1 = Y 
X2 = X3 ou X1 ou X4 
 
Da afirmação feita, acertadamente, conforme enunciado: 
Não há X3 e nem X4. 
Portanto X2 só poderá ser X1. E como X1 é Y, então X2 será Y. 
 
03. Resposta: C. 
Vamos fazer o diagrama 
 
Não sabemos afirmar a relação entre os conjuntos dos graduados e dos aprovados. Mas, sabemos 
que alguns aprovados são atenciosos. Logo, estes atenciosos que foram aprovados não podem ser 
graduados, pois, nenhum atencioso é graduado. 
 
04. Resposta: E. 
Vamos fazer a representação dos conjuntos, conforme as informações. 
- “alguns candidatos são estudiosos” 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 13 
 
- “nenhum aventureiro é estudioso”. Portanto, não há intersecção entre estes conjuntos. Mas não 
sabemos se existe com outros ou não. Podemos ter algumas possibilidades. 
 
 
A) algum candidato é aventureiro. Pode ser verdade (se houver intersecção) ou falso 
B) algum aventureiro é candidato. Pode ser verdade (se houver intersecção) ou falso 
C) nenhum aventureiro é candidato. Pode ser falso (se houver intersecção) 
D) nenhum candidato é aventureiro. Pode ou não ser verdade. 
E) algum candidato não é aventureiro. (região laranja no conjunto dos aventureiros). 
 
05. Resposta: B. 
Vamos montar os diagramas lógicos e depois analisar as alternativas. 
I. Todos os empregados da empresa Alfa são competentes. 
 
 
II. Mário não trabalha na empresa Alfa. 
Conclusão: Mario não pode estar neste conjunto. Não tem intersecção. 
 
 
III. André é competente. 
André está na empresa Alfa ou não. Ele pode ser competente e estar em outra empresa. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 14 
 
 
IV. Alguns empregados da empresa Alfa são estudantes. 
Existe intersecção entre estes conjuntos de estudantes e a empresa Alfa. Mas nem todos os 
estudantes trabalham nesta empresa 
 
Vamos analisar as alternativas e buscar a resposta correta: 
A) todos os estudantes são competentes. (não podemos afirmar isto pelas informações dadas. Pode 
ser que ao menos um estudante seja incompetente. 
 
B) existe pelo menos um estudante que é competente. (pelo menos um indivíduo estudante será 
competente, pois, trabalha na empresa Alfa e lá, todos são competentes). 
 
06. Resposta: “D”. 
Vejamos a resolução por diagramas: 
Todo mafagáfo é um guilherdo (mafagafo é subconjunto de guilherdo). 
Todo guilherdo é um rosmedo (guilherdo é subconjunto de rosmedo). 
 
Vamos analisar as alternativas 
A) Há mafagáfo que não é rosmedo. 
Errado. Mafagafo é subconjunto de rosmedo; 
B) Todo guilherdo é mafagáfo. 
Errado. Tem guilherdo (região roxa) que não é mafagafo (região vermelha). 
C) Nenhum rosmedo é mafagáfo. 
Errado. Tem rosmedo que é mafagafo. 
D) Alguns guilherdos podem ser mafagáfos. 
Certo. Seriam os guilherdos que estariam presentes no conjunto em vermelho. Afinal mafagafo está 
contido em guilherdo. 
 
07. Resposta: A. 
Vamos montar os diagramas lógicos destas afirmações. 
• todo nutricionista se preocupa com a saúde. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 15 
Logo, o subconjunto nutricionista está contido no conjunto saúde. 
 
 
• todos que praticam esportes se preocupam com a saúde. 
Logo, o subconjunto esporte está contido no conjunto saúde. Mas não sabemos se engloba ou não 
o conjunto dos nutricionistas. Temos, portanto, duas possibilidades: 
 
 
 
A) existem pessoas que se preocupam com a saúde, mas que não são nutricionistas e não praticam 
esportes. Correto. Isto está demonstrado no esquema acima com o X. 
Veja que X está no conjunto das pessoas que se preocupam com a saúde, mas, necessariamente 
não são nutricionistas ou praticam esportes. 
 
08. Resposta: D. 
A questão parece ser confusa ou difícil de resolver devido à semelhança entre as palavras. Mas, não 
se assuste. Faça um diagrama e pode até trocar a palavra por letra. Trata-se de quantificadores. 
NENHUM Xilaco é Colixa, significa que não há intersecção entre os conjuntos. Vamos à representação 
dos diagramas: 
 
Portanto, é mentira (é falso que) algum xilaco possa ser colixa. 
 
09. Resposta: C. 
A alternativa C traz uma frase que não tem o mesmo significado da frase acima mencionada. 
Sabemos que o único número primo que é par é o número dois. Mas nem todo número ímpar é primo. 
Mas todo número primo diferente de dois deve ser ímpar. Na alternativa ele condiciona ao número ser 
ímpar somente se ele for primo e diferente de dois, o que não é verdade. 
 
10. Resposta: D. 
Podemos interpretar como grupos esta questão. 
Todo B é A significa que o grupo B está todo contido no grupo A. 
Quando diz que algum C é A, não necessariamente C terá elementos em comum com B. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 16 
 
Desse modo, podemos comparar as alternativas como nossos grupos e verificar que apenas a 
alternativa D se encaixa: pelo menos um A é B. 
 
11. Resposta: E. 
Neste caso, devemos nos atentar para as regras do silogismo. 
Analisando as alternativas A e C, as duas possuem duas premissas particulares e de premissas 
particulares não temos uma conclusão. 
No caso da letra B, consideramos que o grupo de seres humanos está contido no grupo de mortais. 
Apesar de João ser mortal, ele pode não estar inserido no grupo de seres humanos, portanto a 
conclusão não é verdadeira. 
Para a letra D, a conclusa não tem relação com as premissas dadas, portanto não temos uma 
conclusão verdadeira. 
No caso da letra E, temos dois grupos distintos: os mamíferos e as aves. De acordo com a segunda 
premissa, existem mamíferos voadores. Logo, se o grupo de aves e mamíferos são distintos, existirão 
animais voadores que não são aves (pois podem ser mamíferos). Note que as premissas e conclusão 
estão de acordo com as regras do silogismo. 
 
12. Resposta: B. 
Cinema está contido em Casas de Cultura. 
Existe uma intersecção entre teatro e cinema mas existem teatros que não são cinemas. 
A última premissa já está garantida pelas anteriores. 
Como todo cinema é uma casa de cultura, se o teatro não for uma casa de cultura ele 
necessariamente não é um cinema. 
 
13. Resposta: E. 
O enunciado traz que o conjunto verdureiro é subconjunto do conjunto apicultor. Que existe uma 
intersecção entre o conjunto vaqueiro e o conjunto apicultor e, por fim, a intersecção entre vaqueiro e 
produtor de soja é nula. Deste modo a alternativa E informa que a intersecção entre o conjunto vaqueiro 
e o apicultor é completa, ou seja, o conjunto apicultor está contido no conjunto vaqueiro, e por 
consequência o conjunto verdureiro também e, assim como os o conjunto vaqueiro, nenhum verdureiro 
é produtor de soja. 
 
14. Resposta: B. 
Vamos analisar as alternativas e verificar onde estão os erros. 
A) Curitiba é capital de Estado. São Paulo é capital de Estado. Belém é capital de Estado.(Temos 3 
premissas e ocorre falta da conclusão) 
B) Alguns gatos não têm pelo. Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos não têm pelo. 
(correto. Temos duas premissas e uma conclusão decorrente delas). 
C) Todas as aves têm pernas. Os mamíferos têm pernas. Logo, todas as mesas têm pernas. (não 
existe uma relação da conclusão com as premissas. Mesas foi relacionada em qual premissa? 
Nenhuma. Não decorre das premissas esta conclusão). 
D) Antes de ontem choveu. Ontem também choveu. Logo, amanhã certamente choverá. (não existe 
uma relação da conclusão com as premissas. A conclusão não decorre das premissas). 
E) Todas as plantas são verdes. Todas as árvores são plantas. Todas as árvores são mortais. (não 
existe uma relação da conclusão com as premissas. Mortais foi relacionada em qual premissa? 
Nenhuma. Não decorre das premissas esta conclusão). 
 
15. Resposta: C. 
Vamos fazer a representação dos conjuntos, conforme as informações. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 17 
- “Nenhum inseto tem coluna vertebral”. Portanto, não há intersecção entre estes conjuntos. 
 
 
- “Todas as moscas são insetos” 
 
Vamos analisar as alternativas: 
C) “Nenhuma mosca tem coluna vertebral”. Correto. Não existe intersecção entre os conjuntos 
moscas e coluna vertebral 
 
16. Resposta: E. 
Vamos montar o diagrama lógico deste silogismo categórico. Depois disto vamos analisar a 
alternativa que traz uma conclusão decorrente destas premissas: 
 
 
Verificamos que teremos um silogismo se a conclusão for a encontrada na alternativa E: “Todos os 
generais são militares”. 
 
17. Resposta: C. 
Nenhum e todos são quantificadores universais. Todos os componentes estão excluídos ou incluídos 
em determinado grupo, respectivamente. 
- Nenhum piloto é médico faz com que estes dois grupos não tenham intersecção alguma. 
- Todos os astronautas são pilotos, faz com que astronautas seja subgrupo do conjunto pilotos. 
- Nenhum poeta é médico indica necessariamente que o conjunto de poetas não tenha intersecção 
com o conjunto médicos. Nada podemos afirmar sobre o conjunto dos poetas e dos demais conjuntos 
(pilotos e astronautas). 
Logo, podemos afirmar que nenhum astronauta é médico porque não existe intersecção entre os 
grupos da esquerda, no esquema abaixo e médicos (à direita). 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 18 
 
Quanto a poetas poderemos ter as seguintes situações, pois nada mais foi afirmado: 
 
 
Portanto, quando nos referimos ao grupo poetas nada podemos afirmar, a não ser que nenhum deles 
é musico. 
 
18. Resposta: C. 
Vejamos a estrutura possível usando diagramas: 
 
Agora, analisaremos as alternativas. 
A) todos aqueles que fizeram Direito são juízes. 
Não podemos afirmar isto, mas sim, o contrário. 
B) todos aqueles que não são economistas também não são juízes. 
Não ser economista significa estar fora do conjunto verde, mas, não significa estar fora do verde e 
fora do conjunto vermelho. 
C) ao menos um economista fez Direito. 
Correto, como temos alguns economistas que são juízes, significa que o conjunto verde não está 
todo contido no conjunto vermelho. Logo, ao menos um elemento estará entre o conjunto verde e azul, 
em ambas as representações possíveis para o conjunto verde. 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
Chama-se argumento uma sequência finita de proposições P (P1, P2, P3,...Pn) que inferem uma 
proposição Q (ou C), ou seja, um grupo de proposições iniciais denominadas premissas, que findam em 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 19 
uma proposição final, denominada de conclusão do argumento, que será consequência das premissas 
iniciais. 
Há um caso de argumento, em que temos duas premissas e uma conclusão. Tal argumento recebe 
o nome de silogismo categórico (Aristóteles). 
As premissas também podem ser denominadas de hipóteses e a conclusão de tese. 
Vejamos alguns exemplos de argumentos: 
 
Exemplos: 
 
01. 
Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. 
Passei no concurso 
________________________ 
∴ Irei trabalhar 
 
02. 
Se ele me ama então casa comigo. 
Ele me ama. 
__________________________ 
∴ Ele casa comigo. 
 
03. 
Todos os brasileiros são humanos. 
Todos os paulistas são brasileiros. 
__________________________ 
∴ Todos os paulistas são humanos. 
 
04. 
Todos os homens são mortais 
Sócrates é homem 
------------------------------------------ 
Sócrates é mortal. 
 
Vamos interpretar estas premissas? 
Acima, temos duas premissas (Todos os homens são mortais; Sócrates é homem). Estamos dizendo 
que essas duas premissas acarretam na nossa conclusão (Sócrates é mortal). Eis nosso exemplo de 
argumento. 
 
IMPORTANTE: 
- O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo 
é o argumento formado por duas premissas e a conclusão. 
- Em um argumento lógico, sempre consideraremos as premissas como sendo verdadeiras. 
- O argumento lógico afirma que o conjunto de premissas tem como consequência uma 
determinada conclusão. 
 
Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão. 
Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O 
Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um 
argumento com duas premissas e a conclusão. 
Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando 
a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de 
premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, 
proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo: 
Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. 
Premissa: Lontras são peixes. 
Conclusão: Logo, focas vivem no oceano. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISEPEREIRA DA SILVA
 
. 20 
Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de 
modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras 
de implicação. O símbolo A denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão. 
 
Regras de Implicação 
Premissas Conclusão Inferência 
A B A à B 
Falsas Falsa Verdadeira 
Falsas Verdadeira Verdadeira 
Verdadeiras Falsa Falsa 
Verdadeiras Verdadeira Verdadeira 
 
- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 
1 e 2). 
- Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3). 
- Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4). 
 
Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão 
seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de 
premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a 
conclusões verdadeiras. 
 
Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as 
chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, 
é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um 
argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento 
sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, 
e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento. 
A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo 
que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com 
suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar 
desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir 
que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente 
“óbvias”. 
 
Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo 
por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas 
(premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá 
ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, 
inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da 
argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos 
de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado 
pelas frases “Consequentemente...” ou “isso implica que...”. 
 
Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que 
se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada 
como conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e 
é inferida a partir delas. 
 
A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 
1. Premissa: Todo evento tem uma causa. 
2. Premissa: O universo teve um começo. 
3. Premissa: Começar envolve um evento. 
4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento. 
5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa. 
6. Conclusão: O universo teve uma causa. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 21 
A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com 
proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa 
forma levemente simplificada) como sendo a conclusão. 
 
Argumentos Dedutivos e Indutivos 
 
O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da 
conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das 
premissas. Exemplo: 
Todo ser humano tem mãe. 
Todos os homens são humanos. 
__________________________ 
∴ Todos os homens têm mãe. 
 
O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar 
as conclusões. Exemplo: 
O Flamengo é um bom time de futebol. 
O Palmeiras é um bom time de futebol. 
O Vasco é um bom time de futebol. 
O Cruzeiro é um bom time de futebol. 
______________________________ 
∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons. 
 
Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas 
nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos 
para argumentos indutivos. 
 
Argumentos Dedutivos Válidos 
 
Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos 
dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos 
valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com 
premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos 
válidos importantes. 
 
Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se 
“afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. Exemplo: 
 
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. 
José foi aprovado no concurso. 
___________________________ 
∴ José será demitido do serviço. 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma: 
 
ou 
 
Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus 
Tollens). 
Obs.: (p → q) é equivalente a (~q → ~p). Esta equivalência é chamada de contra-positiva. Exemplo: 
 
“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me 
ama”; 
 
Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo: 
Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação. 
Não há inflação. 
______________________________ 
∴ Não aumentamos os meios de pagamentos. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 22 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
ou 
 
Argumentos Dedutivos Não Válidos 
 
Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo um 
argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia a dia, nós denominamos 
muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: 
falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do 
argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação). 
Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos 
e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. Com 
as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este 
argumento é não válido, chamaremos os argumentos não válidos de falácias. A seguir, examinaremos 
algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. O primeiro caso de argumento dedutivo 
não válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente”. Exemplo: 
 
Se ele me ama então ele casa comigo. 
Ele casa comigo. 
_______________________ 
∴ Ele me ama. 
 
Podemos escrever esse argumento como: 
 
 ou 
 
Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. 
Outra falácia que corre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. 
Exemplo: 
Se João parar de fumar ele engordará. 
João não parou de fumar. 
________________________ 
∴ João não engordará. 
 
Observeque temos a forma: 
 
ou 
 
Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. 
Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de 
qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, 
argumentos não válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam 
a conclusão. 
 
 Exemplo: 
 
Todos os mamíferos são mortais. (V) 
Todos os gatos são mortais. (V) 
___________________________ 
∴ Todos os gatos são mamíferos. (V) 
 
Este argumento tem a forma: 
Todos os A são B. 
Todos os C são B. 
_____________________ 
∴ Todos os C são A. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 23 
Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não válido, pois as premissas não sustentam a 
conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta 
forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra. 
 
 
Todos os mamíferos são mortais. (V) 
Todas as cobras são mortais. (V) 
__________________________ 
∴ Todas as cobras são mamíferas. (F) 
 
Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um 
argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3, ...Pn é válido 
ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P1 ∧ P2 ∧ P3 ...Pn) e 
reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o 
argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia). 
 
Tautologia: Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma tautologia. 
Ex: P (p,q) = (p ∧ q) ↔ (p V q). Numa tautologia, o valor lógico da proposição composta P (p,q,s) = {(p 
∧ q) V (p V s) V [p ∧ (q ∧ s)]} → p será sempre verdadeiro. 
 
Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não válidos com 
conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou 
não validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou 
da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa 
ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por 
exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode 
ser um pouco confuso. 
 
Mas fica uma questão: todos os argumentos lógicos são válidos? 
Façamos, então, um estudo dos argumentos lógicos, para verificar se eles são válidos ou inválidos. 
É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a tentar entender o que significa um argumento válido 
e um argumento inválido. 
 
 
Validade de um argumento 
Dizemos que um argumento é válido, quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do 
seu conjunto de premissas, ou seja, as premissas verdadeiras garantem que a conclusão também será 
verdadeira. 
 
DICA: VÁLIDO, TODOS VERDADEIROS (premissas e conclusão). 
 
Existem casos em que o argumento é INVÁLIDO. Veremos em algumas situações que as premissas 
e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas (e até absurdas), e o argumento, ainda assim, 
poderá ser considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva 
em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a 
validade deste. 
“Quando o argumento não é válido, diz-se que é um sofisma”. 
 
OBS: 
A grande dificuldade para o concursando é que ele pensa na lógica do cotidiano e, muitas vezes 
atribui valor falso para premissas ou conclusões por considerá-las absurdas para o mundo real. Na 
lógica argumentativa pouco importa se, no mundo real, as premissas são de fato verdadeiras ou não. 
Não nos cabe avaliar se uma premissa é realmente verdadeira. Isto cabe a outros ramos das diversas 
ciências (física, química, biologia, Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, etc.). 
Na lógica argumentativa estamos interessados na forma do argumento. O que nós analisaremos é 
se o argumento está bem construído, bem formulado, isto é, se as premissas, de fato, suportam a 
conclusão, resultando num argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão 
sejam totalmente questionáveis. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 24 
Aqui vale a teoria do pedreiro: “o que vale é a construção e não o seu conteúdo” (kkkk, não existe 
esta teoria, mas a frase é totalmente válida). 
Com uma construção adequada o argumento é válido, independentemente do conteúdo das 
premissas ou da conclusão. 
 
RECAPITULANDO: 
 
Considerando SEMPRE que as premissas são verdadeiras, a conclusão necessariamente também 
seja verdadeira, então o argumento é válido. Caso contrário, se existir um caso em que todas as 
premissas são verdadeiras e a conclusão seja falsa, então o argumento é inválido. 
O que devemos fazer para determinar se um argumento é mesmo válido? Vermos muitos métodos 
que poderão ser úteis e que serão usados com frequência em questões que pedem a verificação da 
validade de um argumento qualquer. Porém, dentre estes métodos podemos ter um cuidado inicial em 
selecionar, eleger, qual o que nos daria a resposta com maior rapidez. Porém, um método será visto 
com mais atenção, pois, nos dá toda a base teórica que NUNCA podemos desprezar: a tabela-verdade. 
Este método, dependendo do caso, não é o recomendado devido ao tamanho (número de linhas) da 
tabela. 
Existem várias técnicas desenvolvidas por estudiosos e professores. O número de técnicas chega 
facilmente a, pelo menos, SEIS. Porém, para cada caso devemos eleger o que seria mais conveniente. 
 
TÉCNICAS DE ANÁLISE DA VALIDADE DO ARGUMENTO 
 
A) Através da tabela-verdade 
 
Para analisar um argumento por meio da tabela-verdade, devemos seguir alguns passos básicos: 
- montar uma tabela-verdade contendo todas as premissas e a conclusão. 
– identificar as linhas em que todas as premissas são verdadeiras. 
– verificar se, nas linhas indicadas no item anterior a conclusão também é verdadeira. 
- FINALIZANDO: nas linhas avaliadas se as premissas e a conclusão forem verdadeiras o argumento 
é válido. Em caso negativo, o argumento é inválido. 
 
Veja a situação abaixo: 
Como analisar uma questão sem frases, apenas empregando a linguagem lógica para as premissas 
e conclusão? 
Vamos seguir os passos e resolver? Mãos à obra!!! 
D e v e m o s saber que o que está acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela 
encontra-se a conclusão. Neste caso, temos duas premissas e a conclusão (um silogismo). 
Casos deste tipo podem ser frases que já foram traduzidas para linguagem simbólica. 
Depois de construir a tabela-verdade, devemos verificar quais são as suas linhas em que os valores 
lógicos das premissas têm valor V. Depois devemos analisar as linhas das premissas com valores V 
(com premissas verdadeiras) com os valores lógicos das colunas da conclusão forem também 
Verdadeiros. Nestes casos o argumento é válido. Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que 
contêm premissas verdadeiras) houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é 
inválido. 
Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve várias 
proposições simples. 
 
EXEMPLO: 
(p ∧ q) → r 
 
1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão. Teríamos, 
portanto, três tabelas a construir (uma tabela para cada premissa e uma tabela para a conclusão). Para 
economizarmos espaço, ganharmos tempo e facilitarmos a execução do deste passo, faremos somente 
uma tabela-verdade, em que as premissas e a conclusão corresponderão a distintas colunas nesta 
tabela, conforme se observa abaixo. 
Observe que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos: 
- A 1ª premissa (4ª coluna da tabela) é obtida pelacondicional entre a 3ª e a 2ª colunas. 
- A 2ª premissa (5ª coluna) é obtida pela negação da 2ª coluna. 
- A conclusão (8ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 6ª e a 7ª colunas. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 25 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 
Linha q R (p∧q) 1ªPrem 
(p ∧ q) → r 
2ª Prem 
~r 
~p ~q Conclusão 
~p ∨ ~q 
1 V V V V F F F F 
2 V F V F V F F F 
3 F V F V F F V V 
4 F F F V V F V V 
5 V V F V F V F V 
6 V F F V V V F V 
7 F V F V F V V V 
8 F F F V V V V V 
 
2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das 
premissas são todos V. Daí, observamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas premissas 
com valor lógico V. 
 
3º passo) Finalizando, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 
4ª, 6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido. 
 
Resumindo: 
 
PREMISSAS VERDADEIRAS E CONCLUSÕES VERDADEIRAS = ARGUMENTO VÁLIDO. 
 
EXEMPLO: Classifique o argumento abaixo em válido ou inválido 
 
Premissas: 
1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema. 
2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto. 
3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. 
4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto. 
Conclusão: Manuel não vai ao mercado. 
 
Resolução: 
 
Vamos dar nomes às proposições simples. 
m: Manuel vai ao mercado. 
c: Cláudia vai ao cinema. 
p: Pedro vai ao porto. 
b: Beatriz vai ao boliche 
s: Suelen vai ao shopping 
 
Lembra quantas linhas teremos? X = 25 = 32 linhas. 
Olha só que tabela grande: 
 
 Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4 Conclusão 
M C P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~ p ~m 
V V V V V 
V V V V F 
V V V F V 
V V V F F 
V V F V V 
V V F V F 
V V F F V 
V V F F F 
V F V V V 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 26 
V F V V F 
V F V F V 
V F V F F 
V F F V V 
V F F V F 
V F F F V 
V F F F F 
F V V V V 
F V V V F 
F V V F V 
F V V F F 
F V F V V 
F V F V F 
F V F F V 
F V F F F 
F F V V V 
F F V V F 
F F V F V 
F F V F F 
F F F V V 
F F F V F 
F F F F V 
F F F F F 
 
E aí? Vai encarar esta tabela? Só se for para treinar, porque na prova você não deverá dispender 
tanto tempo assim. Só se tiver tempo de sobra e ainda não consegui responder por outra técnica. 
 
A.2. Tabela Verdade com linhas excluídas 
Uma possibilidade interessante, quando se usa a tabela-verdade é a possibilidade de eliminar as 
linhas que podem originar premissas falsas (já que elas devem ser sempre verdadeiras para o 
argumento poder ser válido e partimos sempre desta consideração). Mas dependendo do número de 
premissas, ainda assim seria trabalhosa. 
 
Exemplo: 
Classifique o argumento abaixo em válido ou inválido 
Premissas: 
1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema. 
2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto. 
3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. 
4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto. Conclusão: Manuel não vai ao mercado. 
Já vimos a montagem da tabela-verdade vamos usá-la novamente o exemplo anterior. Portanto: 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
M c P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨ ~p ~m 
V V V V V V 
V V V V F F 
V V V F V F 
V V V F F F 
V V F V V V 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 27 
V V F V F F 
V V F F V F 
V V F F F F 
V F V V V V 
V F V V F F 
V F V F V F 
V F V F F F 
V F F V V V 
V F F V F F 
V F F F V F 
V F F F F F 
F V V V V V 
F V V V F F 
F V V F V F 
F V V F F F 
F V F V V V 
F V F V F F 
F V F F V F 
F V F F F F 
F F V V V V 
F F V V F F 
F F V F V F 
F F V F F F 
F F F V V V 
F F F V F F 
F F F F V F 
F F F F F F 
 
Vamos analisar a primeira premissa: trata-se de uma condicional. E só temos um caso em que ela 
será falsa. Isto não ajuda muito. Portanto, não perderemos tempo com ela. Analisaremos a terceira 
premissa, pois esta é uma conjunção: 
 
- Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. 
Acima temos um conectivo “e”. Há um único caso em que a proposição composta com a conjunção 
é verdadeira: quando as duas parcelas são verdadeiras. 
Logo, o único caso em que a proposição acima é verdadeira é quando Beatriz vai ao boliche e Suelen 
vai ao shopping. Portanto, para que a terceira premissa seja verdadeira, devemos ter, obrigatoriamente 
as seguintes condições: 
Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping (b e s devem ser verdadeiros). 
 
Tal fato nos ajudará muito, pois, as linhas em que isto não ocorrer podem ser omitidas da tabela-
verdade. Lembrando que a cada 4 linhas apenas UMA será verdadeira para a premissa. Logo, no caso 
em questão, das 32 linhas reduziremos as que tornam a premissa verdadeira para apenas 8 linhas. 
Vejam, na tabela acima que marquei em vermelho onde b e s em que pelo menos um deles é falso, 
tornando esta premissa falsa. Com isto o número de linhas já diminuiria muito e restariam as linhas 
abaixo. 
 
 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 28 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
M C p B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V V V V 
V V F V V 
V F V V V 
V F F V V 
F V V V V 
F V F V V 
F F V V V 
F F F V V 
 
Vamos para a quarta premissa. Por que esta premissa agora? Porque temos informação sobre 
Suelen. Em nenhuma outra premissa temos informação sobre Beatriz. Portanto, é o que nos resta de 
caminho. 
 
4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto. É uma premissa. Como qualquer premissa, 
deve ser verdadeira. Temos uma disjunção. Para que seja verdadeiro, pelo menos uma das parcelas 
deve ser verdadeira. A primeira parcela nós já sabemos alguma coisa sobre ela. Vimos que Suelen vai 
ao shopping (s é verdadeiro). Mas na premissa Suelen não vai ao shopping torna esta parcela falsa. 
Analisaremos a segunda parte da proposição da premissa 4. 
Nesta disjunção temos a ocorrência da negação de s (~s, que teria valor falso). Portanto, para que 
esta disjunção seja verdadeira, a segunda proposição obrigatoriamente deverá ser verdadeira. Mas veja: 
a segunda proposição sendo verdadeira corresponderá à negação de p sendo verdadeiro. Portanto p é 
falso (linhas a serem eliminadas). Com isto, descartaremos as linhas em que p é falso. Na tabela acima 
marcarei em vermelho as linhas em que p é falso. Nossa tabela-verdade ficará assim: 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
m C P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V V V V 
V F V V V 
F V V V V 
F F V V V 
 
Como temos também uma disjunção na segunda premissa, faremos a mesma análise, levando em 
consideração que em 
2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto. 
 
Sabemos que Pedro ir ao porto é falso é obrigatório que Claudia vai ao cinema seja verdadeiro.(c: 
deve ser verdadeiro.). Eliminaremos assim as linhas em que c tenha valor lógico Falso. 
Na tabela acima marcarei em vermelho as linhas em que c é falso. 
Nossa tabela-verdade fica reduzida a: 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
m C p B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V V V V 
F V V V V 
 
Para finalizar, analisaremos a primeira premissa: 
1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema. 
A segunda parcela deste condicional é verdadeira (Cláudia vai ao cinema). Com isso, 
automaticamente, o condicional será verdadeiro, independentemente do valor lógico da primeira 
parcela. Assim, não interessa o valor lógico de m. Qualquer que seja, a primeira premissa será 
verdadeira. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 29 
Deste modo, não conseguimos excluir mais linhas da nossa tabela-verdade.Ela ficará da forma como 
vimos acima. 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
m C p B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s ∨~p ~m 
V V V V V 
F V V V V 
 
Nos resta completar o que sobrou da tabela-verdade inicial. 
Ora, nós fomos retirando todos os casos que tornavam as premissas falsas. Logo, nos casos 
restantes, todas as premissas são verdadeiras. 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
M C P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V F V V V V V V 
V V F F V V V V V 
 
Assim, só montamos as linhas que interessam: só aquelas em que todas as premissas são 
verdadeiras. Nestas linhas, vamos analisar a conclusão. 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
m C P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V F V V V V V V F 
V V F F V V V V V V 
 
Agora buscaremos as linhas em que a conclusão também seja verdadeira. Caso tenhamos linha com 
premissas verdadeiras e a conclusão seja falsa o argumento não é valido. Vejam que existe um caso 
de premissas verdadeiras e conclusão falsa. 
Resposta: argumento inválido. 
 
Outra técnica possível, e eu arriscaria dizer que é a mais rápida e mais empregada para se resolver 
as questões, é a que eu, pessoalmente, denomino de: 
 
2) TÉCNICA DA PREMISSA FÁCIL 
 
Considerando as premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. 
Devemos “garimpar” entre as premissas dadas uma que seja fácil (geralmente proposição simples e 
a conjunção) e analisar os conectivos após atribuir um valor lógico devido à dica da premissa fácil 
Este método, fácil e eficiente serve para resolver a maioria das questões cobradas pela ESAF (neste 
assunto) e também outras bancas. 
Vou demonstrar a validade de um argumento empregando esta técnica fazendo DOIS exemplos. 
Vale lembrar que SEMPRE considerarei as premissas como verdadeiras. Daí, por meio das operações 
lógicas com os conectivos e com o valor lógico da PREMISSA FÁCIL, descobriremos o valor lógico da 
conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido. 
 
Exemplo 01: 
(p V q) 
 
1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é: 
1ª premissa o valor lógico de p ∨ q é verdade 
2ª premissa o valor lógico de ~p é verdade. 
 
Buscaremos, agora, determinar o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade de, 
após isso, obter o valor lógico da conclusão. 
Observando a 2ª premissa, verificamos que esta é uma proposição simples (e, portanto verdadeira, 
segundo a técnica). 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 30 
Conclusão: 
2ª premissa: ~p é verdade 
Como ~p é verdade, logo p é falso. 
 
Usaremos esta informação para obter o valor lógico da proposição simples p, na proposição 
composta da premissa 1). 
Observação: 
Avaliando a 1ª premissa antes da segunda premissa não teríamos como obter de imediato o 
valor lógico de p, e nem de q, mesmo considerando a premissa como verdadeira 
2º passo) 
Análise da 1ª premissa: 
p ∨ q é verdade 
 
Sabendo que p é falso, e que p ∨ q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo com a tabela-
verdade do “ou” (uma das premissas deve ser verdadeira), é necessariamente verdade. 
Portanto, até o momento concluímos que: 
p é falso 
q é verdade 
 
3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor 
lógico da Conclusão. Como esta é formada apenas pela proposição simples q, então a conclusão tem 
o mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido. 
 
Exemplo 2: 
Usarei o mesmo exemplo que verificamos na técnica A. 
Classifique o argumento abaixo em válido ou inválido 
Premissas: 
1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema. 
2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto. 
3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. 
4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto. 
 
Conclusão: Manuel não vai ao mercado. 
 
Vamos considerar todas as premissas como verdadeiras e usar a informação da premissa fácil e 
com a análise dos conectivos, para ver se a conclusão dada é verdadeira e definirmos a validade do 
argumento. 
Observa-se que ao final do texto existe uma informação dada por uma premissa simples, que é a 
conclusão (que pode ser V ou F). A premissa 3 que é a dica, pois, a única maneira da conjunção ser 
verdadeira é que ambas as parcelas sejam verdadeiras. Portanto, a premissa 3 nos permite concluir 
que: 
 
3- Beatriz vai ao boliche (V) e Suelen vai ao Shopping (V). 
Observe que a premissa que novamente traz Beatriz (não tem mais premissa) ou Suelen é a premissa 
4, que está na forma de disjunção. Ora, a tabela-verdade da disjunção requer que uma das parcelas 
seja verdadeira e a outra seja falsa. Como sabemos que Suelen não vai ao shopping é falso, a outra 
parcela deve ser verdadeira. Portanto, concluímos que “Pedro não vai ao porto” é verdade. Portanto, 
“Pedro vai ao porto” é falso. 
 
4 – Suelen não vai ao shopping (F) ou Pedro não vai ao porto. (V) 
Observe que a premissa que novamente traz Pedro é a premissa 2, que está na forma de disjunção. 
Ora, a tabela-verdade da disjunção requer que uma das parcelas seja verdadeira e a outra seja falsa. 
Como sabemos que “Pedro vai ao porto” é falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Portanto, 
concluímos que “Cláudia vai ao cinema” é verdade. Portanto, 
(F) Cláudia vai ao cinema (V) ou Pedro vai ao porto (F). 
Resta agora analisar a premissa 1: 
1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema (V). 
Como sabemos que “Cláudia vai ao cinema” é verdade para a condicional ser verdadeira com a 
segunda parcela sendo verdade a primeira parcela tanto pode ser verdadeira como falsa. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 31 
Portanto, não podemos garantir a veracidade ou falsidade da primeira parcela. Logo, Manuel pode 
ou não ir ao mercado não tornará a premissa falsa. Então, teremos a seguinte situação na tabela 
verdade (já explorada anteriormente): 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
m C P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V F V V V V V V F 
V V F F V V V V V V 
Temos uma situação em que o argumento apresenta premissas verdadeiras e conclusão falsa. Isto 
torna o argumento inválido. 
 
RESULTADO: argumento INVÁLIDO. 
Veja que esta mesma questão fora anteriormente resolvida pela confecção da tabela-verdade 
(claro, obtendo-se mesmo resultado), porém, com muito mais trabalho para resolver. 
 
3) Técnica da conclusão FALSA 
Este método é parecido com o método anteriormente descrito, com a seguinte diferença: 
considerando a conclusão é falsa e fazer a verificação se conseguimos ter todas as premissas 
verdadeiras. Se a se concluirmos que é possível a existência dessa situação o argumento será 
inválido. 
Ou seja, um argumento é válido se não ocorrer a situação em que as premissas são verdades e a 
conclusão é falsa. 
Este método consiste em fazer uma avaliação “às avessas”, pois, faremos a análise das premissas 
e verificar se conseguiremos ter todas as premissas sendo verdadeiras e a conclusão é falsa. Caso isto 
se verifique o argumento será inválido. 
Professor, se a técnica é muito parecida com a anterior por que temos duas técnicas para usar? Caro 
aluno, às vezes temos casos em que a proposição em estudo pode admitir duas ou mais possibilidades, 
o que torna a análise mais complicada se consideramos a conclusão verdadeira. Mas, com a conclusão 
sendo falsa a tabela-verdade pode permitir uma única valoração, facilitando a análise. 
 
PRESTE BEM A ATENÇÃO: 
 
Nesta técnica começamos a análise pela conclusão. 
Por que? Quando devemos usar esta técnica? 
Esta técnica é indicada quando a conclusão só apresenta um caso de falso. Isso ocorre quando a 
conclusão é: 
- uma proposição simples ou uma disjunção ou uma condicional 
 
Vamos a um exemplo. 
 
Exemplo 01: 
Premissa 1: Se fizer sol então vou nadar ou jogar futebol 
Premissa 2: Se eu nadar então não fez sol. 
Premissa 3: Se chover então não vou jogar futebol 
Conclusão: Se fizer sol então não chove. 
 
Veja, que se considerarmosa conclusão como verdade teríamos três possibilidades para que isto 
aconteça. Porém, ao considerá-la falsa teremos uma única situação: 
Antecedente Verdade e consequente falso. 
Portanto, concluiríamos que: 
Fez sol é verdade 
Não Choveu é falso (logo, choveu é verdade). 
Agora o que faremos? 
Vamos trabalhar com estas duas conclusões das proposições da conclusão e verificar se teremos 
todas as premissas verdadeiras. Caso isto ocorra, teremos um argumento INVÁLIDO. Para que o 
argumento seja válido deveremos ter uma incompatibilidade, uma incongruência nas premissas. 
 
Então, vamos à análise: 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 32 
Inicialmente esquematizaremos as premissas e a conclusão com os valores lógicos atribuídos a eles: 
Verdade para a Premissa 1: Se fizer sol então vou nadar ou jogar futebol 
Verdade para a Premissa 2: Se eu nadar então não fez sol. 
Verdade para a Premissa 3: Se chover então não vou jogar futebol 
Conclusão: Se fizer sol então não chove. (F) (a condicional é falsa e não as duas premissas 
simples) 
 
Depois devemos procurar nas premissas onde teríamos as proposições “Chover” e “fez sol” e 
substituir pelos valores lógicos atribuídos na conclusão 
Veja que temos nas premissas 1 e 2 a condicional com a parcela referente ao sol e na premissa e 3 
a parcela referente a chuva (chover). 
Vamos, então, adicionar os valores lógicos e depois concluirmos o que for possível: 
 
Premissa 1: Se fizer sol (V) então vou nadar ou jogar futebol 
Premissa 2: Se eu nadar então não fez sol.(F). 
Premissa 3: Se chover(V). então não vou jogar futebol 
Vamos à análise das premissas individualmente, no que for possível: 
Premissa 1: a parcela ‘vou nadar ou jogar futebol” deve ser verdade, pois corresponde à segunda 
parte da condicional. E isto ocorre quando uma das parcelas da disjunção seja verdadeira. Portanto, 
não podemos ainda concluir mais nada sobre esta parcela 
 
Premissa 2: Se eu nadar então não fez sol (F). 
Podemos concluir que nadar é falso, pois, se fosse verdade a condicional toda seria falsa (e a 
premissa também). 
Portanto: nadar é falso 
 
Premissa 3: Se chover(V) então não vou jogar futebol 
Como a primeira parcela da condicional é verdade, a segunda parcela deverá ser verdade para que 
a condicional (e a premissa) seja verdade. 
Conclusão: não vou jogar futebol é verdade. Logo, jogar futebol é falso. 
 
Agora já sabemos que jogar futebol é falso e que nadar é falso podermos substituir na premissa 
1, que ficaria assim: 
Premissa 1: Se fizer sol (V)então vou nadar (F) ou jogar futebol (F). 
Tivemos aqui um problema: Não conseguimos chegar a todas as premissas como sendo verdadeiras. 
Veja: 
Premissa 1: Se fizer sol (V)então vou nadar (F) ou jogar futebol (F). RESULTADO: PREMISSA 
FALSA!!!!! 
 
Usando a tabela-verdade da disjunção a proposição ficaria falsa. 
Transformando a premissa 1 em linguagem simbólica teríamos: V → F V F, e isto resulta em 
um valor lógico Falso, tanto para a disjunção (segunda parcela da condicional) como para a 
premissa. 
A premissa A → (B ∨ C) deveria ser verdade!!! 
 
Esta contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, chegar a todas as 
premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso argumento é 
válido. 
 
Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teríamos que conseguir chegar a todas as 
premissas verdadeiras. Porém, a primeira premissa foi avaliada como falsa. Concluímos que o 
argumento é válido! 
 
EM RESUMO: se conseguirmos obter todas as premissas como verdadeiras, a partir de valor lógico 
falso para a conclusão teríamos argumento inválido (pois argumento válido deve ter premissas e 
conclusão verdadeiras). 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 33 
Veja o segundo exemplo da técnica anterior. Constatamos que o argumento era inválido. Tente, como 
treino, aplicar esta técnica e você verá que será possível tornar todas as premissas verdadeiras, partindo 
da conclusão tomada como falsa. 
 
RESUMO DAS TÉCNICAS E QUANDO USÁ-LAS 
 
 Deve ser usada quando... O argumento é válido quando... 
Método da Construção 
da Tabela- Verdade do 
argumento 
em qualquer caso, mas 
preferencialmente quando o argumento 
tiver no máximo duas proposições 
simples 
(SILOGISMO). 
nas linhas da tabela em que os 
valores lógicos das premissas têm 
valor V, os valores lógicos relativos a 
coluna da conclusão forem também 
V. 
Método da Premissa 
Fácil 
Considerar as 
premissas verdadeiras 
e o valor lógico da 
conclusão verdadeiro 
Método a acima não puder ser 
empregado, e houver uma premissa fácil 
(que seja uma proposição simples; ou 
que esteja na forma de uma conjunção) 
o valor encontrado para a conclusão 
é obrigatoriamente verdadeiro. 
Método da conclusão 
falsa 
Considerar a 
Conclusão como Falsa 
e verificar se as 
premissas podem ser 
verdadeiras 
for inviável a aplicação dos métodos 
anteriores. Também é recomendável 
que a conclusão seja uma proposição 
simples ou uma disjunção ou uma 
condicional. 
não for possível a existência 
simultânea de conclusão falsa e 
premissas verdadeiras. 
 
Há, ainda, a possibilidade da “Técnica do Chute” 
 
Quando não tivermos uma proposição simples para utilizar como ponto de partida na análise do 
argumento, podemos fazer o seguinte. Damos um “chute”. Escolhemos uma das premissas e chutamos 
alguma coisa. Em seguida, verificamos se este chute nos leva a algum absurdo ou não. 
Cuidado: é importante saber que essa técnica pode levar a erros. Caso o argumento lógico apresente 
mais de uma linha da tabela-verdade em que todas as premissas são verdadeiras, a técnica do chute 
pode nos levar a uma resposta errada. 
Você poderia se lembrar desta situação, que já estudamos anteriormente, em que temos um 
argumento inválido: 
 
 Prem Prem Prem Prem Conclusão 
M C P B S m → c c ∨ p b ∧ s ~s∨~p ~m 
V V F V V V V V V F 
V V F F V V V V V V 
 
Existem outras técnicas que não abordarei aqui. Para os que desejam uma boa ideia de como 
responder a maioria das questões estas técnicas seriam o suficiente. Não vejo porque “complicar” mais 
o assunto, que, a meu ver, é o mais penoso para o candidato. 
 
Questões 
 
01. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP/2014) O silogismo é a forma lógica proposta pelo 
filósofo grego Aristóteles (384 a 322 a.C.) como instrumento para a produção de conhecimento 
consistente. O silogismo é tradicionalmente constituído por 
(A) duas premissas, dois termos médios e uma conclusão que se segue delas. 
(B) uma premissa maior e uma conclusão que decorre logicamente da premissa. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 34 
(C) uma premissa maior, uma menor e uma conclusão que se segue das premissas. 
(D) três premissas, um termo maior e um menor que as conecta logicamente. 
(E) uma premissa, um termo médio e uma conclusão que decorre da premissa. 
 
02. (TJ/SE – Técnico Judiciário Área Administrativa Especialidade Programação de Sistemas 
– CESPE UNB/2014) Julgue os próximos itens, considerando os conectivos lógicos usuais ¬, ˄, ˅, →, 
↔ e que P, Q e R representam proposições lógicas simples. 
A proposição [(¬P)vQ↔]{¬[P˄(¬Q)]} é uma tautologia. 
(Certo) (Errado) 
 
03. (PC/SP – Escrivão de Polícia - VUNESP/2014) Os silogismos são formas lógicas compostas por 
premissas e uma conclusão que se segue delas. Um exemplo de silogismo válido é: 
(A) Curitiba é capital de Estado. São Paulo é capital de Estado. Belém é capital de Estado. 
(B) Alguns gatos não têm pelo. Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos não têm pelo. 
(C) Todas as aves têm pernas. Os mamíferos têm pernas. Logo, todas as mesas têm pernas. 
(D) Antes de ontem choveu. Ontem também choveu. Logo, amanhã certamente choverá. 
(E) Todas as plantas são verdes. Todas as árvores são plantas. Todas as árvores são mortais. 
Vamos analisar as alternativas e verificar onde estão os erros. 
 
04. (MTur – Contador- ESAF/2014) Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma 
tautologia. 
(A) p v q → q 
(B) p ˄ q → q 
(C) p ˄ q ↔ q 
(D) (p ˄ q) v q 
(E) p v q ↔ q 
 
05. (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI/2014) Um enunciado é uma tautologia quando não 
puder ser falso, um exemplo é: 
(A) Está fazendo sol e não está fazendo sol. 
(B) Está fazendo sol. 
(C) Se está fazendo sol, então não está fazendo sol. 
(D) não está fazendo sol. 
(E) Está fazendo sol ou não está fazendo sol. 
 
06. (CGE/MA – Auditor - FGV/2014) Analise as premissas a seguir. 
• Se o bolo é de laranja, então o refresco é de limão. 
• Se o refresco não é de limão, então o sanduíche é de queijo. 
• O sanduíche não é de queijo. 
Logo, é correto concluir que: 
(A) o bolo é de laranja. 
(B) o refresco é de limão. 
(C) o bolo não é de laranja. 
(D) o refresco não é de limão. 
(E) o bolo é de laranja e o refresco é de limão. 
 
07. (MDIC – Analista Técnico Administração - CESPEUnB/2014) P1: Os clientes europeus de 
bancos suíços estão regularizando sua situação com o fisco de seus países. 
P2: Se os clientes brasileiros de bancos suíços não fazem o mesmo que os clientes europeus, é 
porque o governo do Brasil não tem um programa que os incite a isso. 
Considerando que as proposições P1 e P2 apresentadas acima sejam premissas de um argumento, 
julgue o item a seguir, relativo à lógica de argumentação. 
O argumento formado pelas premissas P1 e P2 e pela conclusão “Os clientes brasileiros de bancos 
suíços não estão regularizando sua situação com o fisco de seu país.” é um argumento válido. 
(certo) (errado) 
 
08. (PRODEST/ES - Assistente de Tecnologia da Informação - VUNESP/2014) Se Cássia é tia, 
então Alberto não é tio. Se Cláudio é tio, então Wiliam é pai. Verifica-se que Alberto e Cláudio são tios. 
Conclui-se, de forma correta, que 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 35 
(A) Wiliam não é pai e Cássia é tia. 
(B) se Wiliam é pai, então Cássia é tia. 
(C) se Cássia não é tia, então Wiliam não é pai. 
(D) Cássia é tia e Wiliam é pai. 
(E) Cássia não é tia e Wiliam é pai. 
 
09. (DESENVOLVE/SP - Contador - VUNESP/2014) Se eu falo, então tu te calas. Se não te calas, 
então ela acorda. Se ela acorda, então eu embalo. 
Eu não embalo e não grito. 
A partir dessas informações, pode-se concluir corretamente que 
(A) eu falo e tu te calas. 
(B) eu falo ou eu grito. 
(C) tu não te calas e ela não acorda. 
(D) ela não acorda e tu te calas. 
(E) ela acorda e eu embalo. 
 
10. (PRODEST/ES - Analista Organizacional - Ciências Jurídicas - VUNESP/2014) Se é quarta-
feira, treino tênis por duas horas exatamente. Se treino tênis por duas horas exatamente, então lancho 
no clube. Após treinar tênis, ou jogo bola ou lancho no clube. Após o último treino de tênis, joguei bola, 
o que permite concluir que: 
(A) era fim de semana. 
(B) não era quarta-feira. 
(C) lanchei no clube. 
(D) treinei por menos de duas horas. 
(E) treinei tênis por duas horas exatamente. 
 
11. (DESENVOLVE/SP - Contador - VUNESP/2014) Considere as afirmações: 
I. A camisa é azul ou a gravata é branca. 
II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul. 
III. O paletó é cinza ou a calça é preta. 
IV. A calça é preta ou a gravata é branca. 
Em relação a essas afirmações, sabe-se que é falsa apenas a afirmação IV. Desse modo, é possível 
concluir corretamente que 
(A) a camisa é azul e a calça é preta. 
(B) a calça é preta ou o sapato é marrom. 
(C) o sapato é marrom ou a gravata é branca. 
(D) a calça é preta e o paletó é cinza. 
(E) a camisa é azul ou o paletó é cinza. 
 
12. (FUNDUNESP - Analista de Tecnologia da Informação - Redes - VUNESP/2014) Se Wilma é 
analista, então Gustavo não é aviador. Se Oswaldo é aviador, então Sidney é contador. Verifica-se que 
Gustavo e Oswaldo são aviadores. Conclui-se, de forma correta, que 
(A) Wilma é analista e Sidney é contador. 
(B) Wilma é analista se, e somente se, Sidney é contador. 
(C) Wilma não é analista e Sidney não é contador. 
(D) Wilma não é analista se, e somente se, Sidney não é contador. 
(E) Wilma não é analista e Sidney é contador. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 A estrutura de um silogismo segue a composição da alternativa C: uma premissa maior, uma menor 
e uma conclusão que se segue obrigatoriamente das premissas apresentadas. 
 
02. Resposta: CERTO. 
 Podemos deduzir tais informações ou fazer a tabela verdade. Vamos fazer a tabela para treinar um 
pouco. Além do que, acho que é mais fácil analisar, neste caso, pela tabela verdade. 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 36 
P Q ~P ~Q [(¬P)vQ [P˄(¬Q)] ¬[P˄(¬Q)] [(¬P)vQ↔]{¬[P˄(¬Q)]} 
V V F F V F V V 
V F F V F V F V 
F V V F V F V V 
F F V V V F V V 
Somente valores verdadeiros na coluna da bicondicional proposta. Logo, é uma tautologia. 
 
03. Resposta: B. 
(A) Curitiba é capital de Estado. São Paulo é capital de Estado. Belém é capital de Estado.(Temos 3 
premissas e ocorre falta da conclusão) 
(B) Alguns gatos não têm pelo. Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos não têm pelo. 
(correto. Temos duas premissas e uma conclusão decorrente delas). 
(C) Todas as aves têm pernas. Os mamíferos têm pernas. Logo, todas as mesas têm pernas. (não 
existe uma relação da conclusão com as premissas. Mesas foi relacionada em qual premissa? 
Nenhuma. Não decorre das premissas esta conclusão). 
(D) Antes de ontem choveu. Ontem também choveu. Logo, amanhã certamente choverá. (não existe 
uma relação da conclusão com as premissas. A conclusão não decorre das premissas). 
(E) Todas as plantas são verdes. Todas as árvores são plantas. Todas as árvores são mortais. (não 
existe uma relação da conclusão com as premissas. Mortais foi relacionada em qual premissa? 
Nenhuma. Não decorre das premissas esta conclusão). 
 
04. Resposta: B. 
Analisemos algumas coisas sobre tautologia e as alternativas. Lembre-se que a condicional será 
falsa em uma única situação: primeira parcela verdadeira e segunda falsa. Vamos analisar as 
alternativas: 
(A) p v q → q 
p v q formam uma disjunção. Se ambas forem verdadeiras, então, teremos valor verdadeiro. Porém, 
se uma delas for falsa, a primeira parcela será ainda verdadeira mas, se q for falso a condicional será 
falsa. Logo, nem sempre será uma tautologia. 
(B) p ˄ q → q 
Aqui temos uma conjunção na parcela inicial da condicional. Ambas as parcelas devem ser 
verdadeiras para que a conjunção seja verdadeira. Logo, p e q verdadeiros levam a esta situação: 
 V → V. Nesta situação a condicional será sempre verdadeira. Ou seja, será uma tautologia. 
 
05. Resposta: E. 
Típico caso de tautologia. Quaisquer que sejam os valores lógicos sempre teremos uma situação de 
verdade. 
Vamos passar para a linguagem lógica 
Alternativa A: 
p e ~p: Se temos uma conjunção. Basta que uma das parcelas seja falsapara que esta seja falsa. 
Portanto, nem sempre será tautologia. 
B e D: não é uma implicação. Apenas uma simples proposição. 
C: existe a possibilidade de não ser uma tautologia. Vejamos: 
“Se está fazendo sol, então não está fazendo sol”. 
 
Tabela verdade: 
 
p está fazendo sol ~p: não está fazendo sol p → ~p 
V F F 
F V V 
 
Veja que a tabela verdade da condicional depende dos valores lógicos das premissas. Logo, não é 
uma tautologia. 
Se temos uma disjunção basta que uma das parcelas seja verdadeira para que esta seja verdadeira. 
Então, se p é falso, ~p é verdadeiro. Ou vice-versa. 
(E) Está fazendo sol ou não está fazendo sol. 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 37 
06. Resposta: B. 
 Para que um argumento seja válido devemos ter as premissas sempre sendo verdadeiras. Se 
tivermos premissas verdadeiras e conclusão verdadeira o argumento será válido. 
Vamos analisar as premissas e desenvolvermos nosso raciocínio de acordo com o fundamento 
anteriormente citado: 
• Se o bolo é de laranja, então o refresco é de limão. 
• Se o refresco não é de limão, então o sanduíche é de queijo. 
•O sanduíche não é de queijo (V) 
Agora, transferiremos os valores lógicos obtidos para as premissas, considerando-as todas 
verdadeiras: 
• Se o refresco não é de limão, então o sanduíche é de queijo. 
 (? ) (F) 
Uma condicional será falsa apenas quando a primeira parcela for Verdadeira e a segunda Falsa. 
Logo, neste caso, a primeira parcela deve ser Falsa. 
• Se o refresco não é de limão, então o sanduíche é de queijo. 
 (F) (F) 
Conclusão: o refresco é de limão. 
 
Se o bolo é de laranja, então o refresco é de limão. 
 (? ) (V) 
Alternativa A: (A) o bolo é de laranja. 
Para a condicional a primeira parcela pode ser verdadeira ou falsa e a condicional será verdadeira, 
pois, a segunda parcela é verdadeira. O bolo pode ou não ser de laranja. Logo, não é possível afirmar 
esta conclusão. (ERRADA). 
Vamos testar a alternativa B: o refresco é de limão. 
Já havíamos chegado a esta verdade anteriormente. Logo, conclusão correta. 
 
07. Resposta: ERRADO. 
Para que um argumento seja válido devemos ter as premissas sempre sendo verdadeiras. Se 
tivermos premissas verdadeiras e conclusão verdadeira o argumento será válido. 
Vamos analisar as premissas e desenvolvermos nosso raciocínio de acordo com o fundamento 
anteriormente citado: 
P1: Os clientes europeus de bancos suíços estão regularizando sua situação com o fisco de seus 
países.(V) 
P2: Se os clientes brasileiros de bancos suíços não fazem o mesmo que os clientes europeus, é 
porque o governo do Brasil não tem um programa que os incite a isso. 
conclusão “Os clientes brasileiros de bancos suíços não estão regularizando sua situação com o fisco 
de seu país.” (V) 
 
Vamos transferir este valor lógico da conclusão e ver se a P2 poderá ser verdadeira: 
P2: Se os clientes brasileiros de bancos suíços não fazem o mesmo que os clientes europeus (V), é 
porque o governo do Brasil não tem um programa que os incite a isso. 
Resposta: Errado. 
 
08. Resposta: E. 
A questão pede a conclusão correta em função das premissas que sempre consideramos 
verdadeiras. Então, vamos organizar as premissas: 
I) Se Cássia é tia, então Alberto não é tio. 
II) Se Cláudio é tio, então Wiliam é pai. 
III) Verifica-se que Alberto e Cláudio são tios 
Temos duas premissas condicionais e uma premissa na forma de conjunção. E isto é muito bom, 
porque as duas parcelas da conjunção devem ser verdadeiras para que esta seja verdadeira. 
Vamos atribuir valores lógicos ás proposições e premissas e determinar a conclusão correta: 
III) Verifica-se que Alberto e Cláudio são tios. 
Verdades: Alberto é tio e Claudio é tio. 
 
II) Se Cláudio é tio, então Wiliam é pai. 
 (V) (?) 
Para que a condicional seja verdadeira a segunda parcela deverá ser verdadeira. Então, Wilian é pai 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 38 
I) Se Cássia é tia, então Alberto não é tio. 
 (?) (F) 
 
Para que a condicional seja verdadeira a primeira parcela deverá ser falsa. 
Concluimos que Cassia não é tia. 
Cuidado ao analisar as alternativas. Elas devem ser analisadas levando em conta os conectivos. A 
resposta correta é a E. 
09. Resposta: D. 
 A questão pede a conclusão correta em função das premissas que sempre consideramos 
verdadeiras. Então, vamos organizar as premissas: 
I) Se eu falo, então tu te calas. 
II) Se não te calas, então ela acorda. 
III) Se ela acorda, então eu embalo. 
IV) Eu não embalo e não grito. 
Temos tres premissas condicionais e uma premissa na forma de conjunção. E isto é muito bom, 
porque as duas parcelas da conjunção devem ser verdadeiras para que esta seja verdadeira. 
Vamos atribuir valores lógicos ás proposições e premissas e determinar a conclusão correta: 
IV) Eu não embalo e não grito. 
Verdades: 
não embalo.(V) 
Não grito. (V) 
 
III) Se ela acorda, então eu embalo. 
(?) (F) 
Para que a condicional seja verdadeira a primeira parcela deverá ser falsa. “ela acorda” é falso. 
Então, ela não acorda. (V). 
 
II) Se não te calas, então ela acorda. 
 (?) (F) 
Para que a condicional seja verdadeira a primeira parcela deverá ser falsa. “Não te calas” é falso. 
Concluimos que te calas.(V). 
 
I) Se eu falo, então tu te calas. 
 (?) (V) 
Portanto a primeira parcela pode ser verdadeira ou falsa. 
Cuidado ao analisar as alternativas. Elas devem ser analisadas levando em conta os conectivos. A 
resposta correta é a D 
 
10. Resposta: B. 
A questão pede a conclusão correta em função das premissas que sempre consideramos 
verdadeiras. Então, vamos organizar as premissas: 
I) Se é quarta-feira, treino tênis por duas horas exatamente. 
II) Se treino tênis por duas horas exatamente, então lancho no clube. 
III) Após treinar tênis, ou jogo bola ou lancho no clube. 
IV) Após o último treino de tênis, joguei bola, 
 
Temos duas premissas condicionais, uma disjunção exclusiva e uma premissa simples. E isto é muito 
bom, porque já temos o valor lógico de uma das premissas. 
Vamos atribuir valores lógicos ás proposições e premissas e determinar a conclusão correta: 
IV) Após o último treino de tênis, joguei bola. (V). 
III) ou jogo bola ou lancho no clube. 
 (V) (?) 
Para que a bicondicional seja verdadeira apenas uma das parcelas deverá ser verdadeira. Como a 
primeira parcela já é verdadeira a segunda parcela deverá ser falsa. Então, lancho no clube é falso. 
Logo, não lancho no clube. 
 
II) Se treino tênis por duas horas exatamente, então lancho no clube. 
 (?) (F) 
Para que a condicional seja verdadeira a primeira parcela deverá ser falsa. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 39 
Concluímos que não treino tênis por 2 horas exatamente. 
 
I) Se é quarta-feira, treino tênis por duas horas exatamente. 
(?) (F) 
Para que a condicional seja verdadeira a primeira parcela deverá ser falsa. 
Concluímos que não é quarta. 
 
11. Resposta: E. 
A questão pede a conclusão correta em função das premissas dadas, sendo que a IV é falsa e as 
demais são verdadeiras. Então, vamos organizar as premissas: 
I. A camisa é azul ou a gravata é branca. 
II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul. 
III. O paletó é cinza ou a calça é preta. 
IV. A calça é preta ou a gravata é branca. 
Temos uma premissa falsa na forma de disjunção. E isto é muito bom, porque as duas parcelas da 
disjunção devem ser falsas para que esta seja falsa. 
Vamos atribuir valores lógicos ás proposições e premissas e determinar a conclusão correta: 
IV. A calça é preta ou a gravata é branca. 
 (F) (F) 
Verdades: 
A calça não é preta 
A gravata não é branca 
 
III. O paletó é cinza ou a calça é preta. 
 (?) (F) 
Para que a disjunção seja verdadeira a primeira parcela deverá ser verdadeira, pois, na disjunção 
uma das parcelas deve ser verdadeira ou ambas. Então, o paletó é cinza. 
 
I. A camisa é azul ou a gravata é branca. 
 (?) (F) 
Para que a disjunção seja verdadeira a primeira parcela deverá ser verdadeira, pois, na disjunção 
uma das parcelas deve ser verdadeira ou ambas. Então, a camisa é azul 
II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul. 
 (?) (V) 
Portanto a primeira parcela precisa ser falsa, pois, na disjunção exclusiva apenas uma das parcelas 
pode ser verdadeira pra que ela seja verdadeira. Então, o sapato não é marrom. 
Cuidado ao analisar as alternativas. Elas devem ser analisadas levando em conta os conectivos. A 
resposta correta é a E. 
Resposta: E. 
 
12. Resposta: E. 
Vamos organizar as informações: 
Se Wilma é analista, então Gustavo não é aviador. 
Se Oswaldo é aviador, então Sidney é contador.Verifica-se que Gustavo e Oswaldo são aviadores 
Considerado que Gustavo e Oswaldo são aviadores, vamos substituir seus devidos valores lógicos 
nas condicionais seguintes: 
-Se Wilma é analista, então Gustavo não é aviador (F). 
-Se Oswaldo é aviador (V), então Sidney é contador. 
Numa condicional a única situação em que ela é falsa é se tivermos a primeira parcela verdadeira e 
a segunda parcela falsa. Como queremos que as afirmativas sejam verdadeiras não pode ocorrer a 
situação de falsidade. Logo, vamos analisar os demais valores lógicos das condicionais: 
-Se Wilma é analista, então Gustavo não é aviador (F). 
O valor lógico da primeira parcela deve ser falsa. Concluímos que “Se Wilma é analista” é Falso. 
Então, Wilma NÃO é analista. 
-Se Oswaldo é aviador (V), então Sidney é contador. 
Para a afirmativa ser verdadeira a segunda parcela deve ser verdadeira. Então, Sidney é contador. 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 40 
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS: ESTUDO DOS CONECTIVOS. 
 
Estudo das proposições simples e compostas 
Os lógicos procuraram combater as limitações da lógica clássica e encontrar uma linguagem artificial, 
simbólica e altamente abstrata, na qual se define rigorosamente o significado de cada símbolo e o 
conjunto das regras que permitem relacioná-los de um modo tão rigoroso como aquele que é 
característico do cálculo matemático. Foi assim que se foi constituindo a lógica moderna ou logística 
que dispõe de: 
- um conjunto de símbolos formais, constantes e variáveis; 
- regras de combinação desses símbolos entre si; 
- regras de transformação dessas combinações elementares de símbolos. 
Seguindo, analisando as proposições, percebemos que estas podem ser classificadas como simples 
ou atômicas; compostas ou moleculares. 
As proposições simples não contêm nenhuma outra proposição fazendo parte integrante de si 
mesmas, ou seja: elas não podem ser divididas em outras proposições menores. 
Veja o exemplo abaixo: 
p: Marcela é auditora 
q: Paulo é bancário 
r: Wagner é professor 
As proposições compostas são formadas por duas ou mais proposições ligadas por meio de 
determinadas palavras ou expressões a que chamamos de operadores ou conectivos lógicos. 
As proposições simples combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores 
(conectivos), gerando novas sentenças chamadas de compostas ou moleculares. 
Quando juntamos duas ou mais proposições simples, formamos outra proposição, maior, chamada 
de proposição composta. Geralmente simbolizamos as proposições simples por letras minúsculas e as 
proposições compostas por letras maiúsculas do alfabeto (algumas bancas como a CESPE não usam 
esta simbologia, necessariamente). 
 
O que são os Conectivos? 
 
Definimos os conectivos como aquelas expressões lógicas que permitem ligar entre si várias 
proposições simples, obtendo proposições complexas cuja verdade ou falsidade estarão dependentes 
da verdade ou falsidade das proposições iniciais e da natureza dos conectivos envolvidos. 
Toda a proposição interligada por conectivos também terá um valor lógico (V/F). 
Os conectivos serão representados nas proposições compostas das seguintes formas: 
- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) 
- Disjunções inclusivas: a ∨ b (lê-se: a ou b) 
- Disjunções exclusivas: a V b (lê-se “ou a ou b” ( u m a c o i s a o u o u t r a ) 
- Condicionais: a → b (lê-se: se a então b) 
- Bicondicionais: a ↔ b (lê-se: a se somente se b) 
Além disso, é importante saber que existe a negação, que pode ser simbolizada por “~” (til) ou por “ 
¬ ” (cantoneira), além da equivalência entre proposições, representadas pelo símbolo ≡ ou ⇔. 
 
Cuidado: 
Várias questões de prova pedem que se “converta” uma frase escrita para a simbologia lógica, ou 
vice versa. Por isto, é importante que, inicialmente, você se familiarize com estas formas de 
representação. Muitas bancas (principalmente CESPE) utilizam apenas esta forma de linguagem em 
algumas questões. Vejamos alguns exemplos: 
 
Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: 
P: Nesse país o direito é respeitado. 
Q: O país é próspero. 
R: O cidadão se sente seguro. 
S: Todos os trabalhadores têm emprego. 
Considere também que os símbolos “ ∨ ”, “ ∧ ”, “ → ” e “ ¬ ” representem os conectivos lógicos 
“ou”, “e”, “se, então” e “não”, respectivamente. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser 
representada simbolicamente por P ∧ (¬R). 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 41 
2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser 
representada simbolicamente por Q→S. 
3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego” é uma consequência 
de, “nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q ∧ R) → P. 
 
Resolução. 
Primeiro item. Temos: 
“Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” Vamos colocar parêntesis 
para delimitar as proposições simples: 
(Nesse país o direito é respeitado), mas (o cidadão não se sente seguro) 
As duas parcelas são unidas pela palavrinha “mas”, que acrescenta uma informação. Ela tem um 
papel análogo ao do “e”. É como se afirmássemos que o direito é respeitado e o cidadão não se sente 
seguro. 
Além disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negação. Portanto, a proposição 
mencionada pode ser representada por: P ∧ (¬R). 
Item certo 
Segundo item. A sentença é: 
Se (o país é próspero), então (todos os trabalhadores têm emprego). 
Em símbolos: Q → S 
Item certo 
Terceiro item. 
A proposição é: “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego” é uma consequência 
de, “nesse país, o direito ser respeitado”. 
Vamos usar parêntesis para delimitar as proposições simples: 
((O país ser próspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) é uma consequência de, (nesse 
país, o direito ser respeitado). 
A expressão “é uma consequência”, remete ao condicional (se, então). Podemos reescrever a frase 
assim: 
Se (nesse país, o direito é respeitado), então ((o país é próspero) e todos os trabalhadores têm 
emprego)). 
Em símbolos, ficamos com: P → (Q ∧ S). 
Não foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado. 
Gabarito: certo, certo, errado 
Exemplo: Julgue os itens a seguir: 
 
1. A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” 
poderia ser representada por uma expressão do tipo P → [(¬Q) ∧ (¬R)]. 
 
Resolução: 
Nesta proposição temos um condicional escrito em ordem inversa. Colocando na ordem normal, 
temos: 
Se (Alberto é francês), então (João não é norte-americano) e (Lucas não é brasileiro). 
Vamos dar nomes às proposições simples: 
P: Alberto é francês 
Q: João é norte-americano 
R: Lucas é brasileiro 
A simbologia para a proposição composta ficaria: P → [(¬Q) ∧ (¬R)] 
Que é exatamente o que afirmou o item. 
Gabarito: Certo 
 
Questões 
 
01. (TJ/SE – Técnico Judiciário Área Administrativa Especialidade Programação de Sistemas 
– CESPE UNB/2014) Julgue o item que segue, relacionado à lógica proposicional. 
A sentença “O reitor declarou estar contente com as políticas relacionadas à educação superior 
adotadas pelo governo de seu país e com os rumos atuais do movimento estudantil” é uma proposição 
lógica simples. 
(Certo) (Errado) 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 42 
02. (TJ/SE – Técnico Judiciário Área Administrativa Especialidade Programação de Sistemas 
– CESPE UNB/2014) Julgue o item que segue, relacionado à lógica proposicional. 
A sentença “O sistema judiciário igualitário e imparcial promove o amplo direito de defesa do réu ao 
mesmo tempo que assegura uma atuação investigativa completa por parte da promotoria” é uma 
proposição lógica composta. 
(Certo) (Errado) 
 
03. (TJ/SE – TécnicoJudiciário Área Administrativa Especialidade Programação de Sistemas 
– CESPE UNB/2014) Julgue o item que segue, relacionado à lógica proposicional. 
A sentença “A crença em uma justiça divina, imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo para muitos 
que desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos, assegurados na Constituição” é uma 
proposição lógica simples. 
(Certo) (Errado) 
 
04. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP/2014). Os conectivos ou operadores lógicos são 
palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições 
de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de 
conjunção, negação e implicação, respectivamente. 
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q 
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q 
(C) p -> q, p v q, ¬ p 
(D) p v p, p -> q, ¬ q 
(E) p v q, ¬ q, p v q 
 
05. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP/2014) A lógica clássica possui princípios fundamentais 
que servem de base para a produção de raciocínios válidos. Esses princípios foram inicialmente 
postulados por Aristóteles (384 a 322 a.C.) e até hoje dão suporte a sistemas lógicos. Tais princípios 
são os 
(A) da inferência, da não contradição e do terceiro incluído. 
(B) da diversidade, da dedução e do terceiro incluído. 
(C) da identidade, da inferência e da não contradição. 
(D) da identidade, da não contradição e do terceiro excluído. 
(E) da diversidade, da indução e da não contradição. 
 
06. (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI/2014) Assinale, dentre as alternativas a seguir, aquela 
que NÃO caracteriza uma proposição. 
(A) 107 -1 é divisível por 5 
(B) sócrates é estudioso. 
(C) 3-1 >1 
(D) √8 < 4 e 3 < √8 
(E) este é um número primo. 
 
Respostas 
Resposta: ERRADO. 
Esta proposição é composta e é do tipo conjunção, devido ao uso do conectivo “e”, unindo as duas 
parcelas. 
Vejam: 
p = “O reitor declarou estar contente com as políticas relacionadas à educação superior adotadas 
pelo governo de seu país ” 
q = “com os rumos atuais do movimento estudantil” 
O reitor está contente com a política educacional E com os rumos do movimento estudantil. 
 
Resposta: ERRADO. 
É uma proposição simples. Não é um conectivo o “e” apresentado no trecho “sistema judiciário 
igualitário e imparcial....”. 
 
03. Resposta: CERTO. 
É uma proposição simples. Não é um conectivo o “e” apresentado no trecho “divina, imparcial, 
incorruptível e infalível....”. Temos uma única afirmativa nesta frase. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 43 
04. Resposta: B.A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é 
representada pelo símbolo ∧. A negação é representada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar 
uma proposição simples (por exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma proposição composta 
do tipo condicional (Se, então) é representada pelo símbolo (→). 
 
05. Resposta: D. 
Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo. 
Princípio do terceiro excluído: Uma RESPOSTA: só pode ser verdadeira ou falsa. 
Princípio da identidade: Uma proposição é equivalente a ela mesma 
 
06. Resposta: E. 
A proposição requer que seja possível atribuir valor lógico verdadeiro ou falso para uma frase 
declarativa ou uma expressão em sentença fechada. Isto não se observa na alternativa E. 
 
 
É uma reunião, agrupamento de pessoas, seres, objetos, classes…, que possuem a mesma 
característica, nos dá ideia de coleção. 
 
Noções Primitivas 
 
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definições: 
- Conjunto; 
- Elemento; 
- E a pertinência entre um elemento e um conjunto. 
 
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de 
conjuntos. 
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode 
ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento 
de algum outro conjunto. 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras 
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. 
 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA. 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA. 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como representar um conjunto 
 
1) Pela designação de seus elementos: 
Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Teoria dos conjuntos. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 44 
Exemplos: 
{a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais 
{1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 
 
2) Pela sua característica 
Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: 
{x, | (tal que) x tem a propriedade P} 
Exemplos: 
- {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u} 
- {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10} 
 
3) Pelo diagrama de Venn-Euler 
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada 
diagrama de Venn. 
 
Exemplos: 
- Conjunto das vogais 
 
 
- Conjunto dos divisores naturais de 10 
 
Igualdade de Conjuntos 
 
Dois conjuntos A = B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e 
escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja dizemos que estes conjuntos são distintos e 
escrevemos A ≠ B. 
Exemplos: 
1) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 
2) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade 
dos conjuntos. 
 
Tipos de Conjuntos 
 
- Conjunto Universo 
Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. 
Exemplo: 
Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. 
 
- Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 0 ou, simplesmente { }. 
Exemplo: 
A = {x| x é natural e menor que 0} 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 45 
- Conjunto Unitário 
Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. 
Exemplos: 
- Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3} 
- Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6} 
 
- Conjuntos Finitos e Infinitos 
Finito = quando podemos enumerar todos os seus elementos. Exemplo: Conjuntos dos Estados da 
Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, Minas Gerais} 
Infinito = contrário do finito. Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
...}. A reticências representa o infinito. 
 
Relação de Pertinência 
 
A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou não pertence). Ele relaciona 
elemento com conjunto. 
 
Exemplo: 
Seja o conjunto B={1, 3, 5, 7} 
* 1ϵ B, 3 ϵ B, 5 ϵ B 
* 2 B, 6  B , 9 B 
 
Subconjuntos 
 
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, 
dizemos que A é subconjunto de B. 
Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as 
mesmas caraterísticas de um conjunto maior. 
 
Exemplos: 
- B = {2, 4} A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2  {2, 3, 4, 5, 6} e 4  {2, 3, 4, 5 ,6} 
 
 
- C = {2, 7, 4} A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7 {2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
- D = {2, 3}  E = {2, 3}, pois 2 ϵ {2, 3} e 3 ϵ {2, 3} 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 46 
 
 
Relação de inclusão 
 
Deve ser usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto 
é subconjunto ou não de outro conjunto. 
 
Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: 
 
Estácontido  Contém 
Não está contido 
Não contém 
 
Operações com Conjuntos 
 
- União de conjuntos 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem 
a A ou a B. Representa-se por AB. 
Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB} 
 
Exemplos: 
- {2, 3}  {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4}  {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} 
- {2, 3}  {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 
- {a, b}  = {a, b} 
 
- Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, 
simultaneamente, a A e a B. Representa-se por AB. Simbolicamente: AB = {x | x  A e x  B} 
 
 
Exemplos: 
- {2, 3, 4}  {3, 5} = {3} 
- {1, 2, 3}  {2, 3, 4} = {2, 3} 
- {2, 3}  {1, 2, 3, 5} = {2, 3} 
- {2, 4}  {3, 5, 7} =  
 
1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 
2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 
3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: 
B= {{ },{2},{4},B} 
Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos então B possui 2n subconjuntos e, portanto, 
P(B) possui 2n elementos. 
Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A (exemplo acima), basta calcularmos aplicando o 
fórmula: 
Números de elementos(n)= 5  2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele próprio. 
 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 47 
Observação: Se AB = , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
 
- Propriedades dos conjuntos disjuntos 
1) A U (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A U B) = A 
3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 
4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
 
- Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre 
os respectivos números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas 
vezes. 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim 
a relação dada será verdadeira. 
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma 
eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
- Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 
1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 
2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 
3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 
4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 
- Diferença 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a 
A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta 
observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. 
Simbolicamente: A – B = {x | x  A e x  B} 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 48 
 
 
Exemplos: 
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}  A – B = {1, 3} e B – A = 
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}  A – B = {1} e B – A = {4} 
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}  A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5} 
 
 
- Complementar 
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B 
em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
 
Dizemos complementar de B em relação a A. 
 
 
 
Exemplos: 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2} 
c) C =  C = S 
 
Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos 
 
Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos 
dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para 
resolvê-los. 
 
Exemplos: 
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes 
resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam 
do partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas 
responderam a pesquisa? 
Resolução pela Fórmula 
» n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
» n(A U B) = 92 + 80 – 35 
» n(A U B) = 137 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 49 
Resolução pelo diagrama: 
- Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos, 
então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. 
- Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, 
então o número de operários que gostam somente do partido B é: 92 – 35 = 57. 
- Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 
responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à 
pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. 
 
 
2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem 
automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo? 
(A) 16 motoristas 
(B) 32 motoristas 
(C) 48 motoristas 
(D) 36 motoristas 
Resolução: 
 
Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 
Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 
Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 
A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. 
Resposta: B 
 
3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos 
estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da 
cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas? 
(A) 20% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 33% 
(E) 35% 
Resolução: 
 
70 – 50 = 20. 
20% utilizam as duas empresas. 
Resposta: A. 
 
Questões 
 
01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores 
de uma cidade, 13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. 
Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 50 
nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e 
Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O 
número de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a 
(A) 15. 
(B) 21. 
(C) 18. 
(D) 27. 
(E) 16. 
 
02. (EBSERH/HU-UFS/SE - Tecnólogo em Radiologia - AOCP /2014) Em uma pequena cidade, 
circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os 
moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. 
Sendo assim, quantos por centos não leem nenhum dos dois jornais? 
(A) 15% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 29% 
(E) 35% 
 
03. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar 
documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para 
atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são 
capazes de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são 
capazes de classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 
técnicos. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados 
anteriormente, eles somam um total de 
(A) 58. 
(B) 65. 
(C) 76. 
(D) 53. 
(E) 95. 
 
04. (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARIFADO I – FCC/2014) O diagrama indica a 
distribuição de atletas dadelegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-
se que esse país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada 
atleta da delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha 
do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação 
desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas 
conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
05. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Qual é o número 
de elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 
31? 
(A) 9 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 51 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
06. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Considere dois 
conjuntos A e B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa 
que apresenta o conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
07. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa biblioteca são lidos 
apenas dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que 
todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de 
frequentadores que leem ambos, é representado: 
(A) 26% 
(B) 40% 
(C) 34% 
(D) 78% 
(E) 38% 
 
08. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC/2014) Uma pesquisa, com 
200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-
se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. 
Utilizam as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e 
C um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se 
corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
09. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa recepção, foram 
servidos os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram 
pastel, 7 comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois 
salgados? 
(A) 0 
(B) 5 
(C) 1 
(D) 3 
(E) 2 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) Em 
uma pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de 
celular, constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam 
as duas operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
(A) 420 
(B) 650 
(C) 500 
(D) 720 
(E) 800 
 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 52 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
De acordo com os dados temos: 
7 vereadores se inscreveram nas 3. 
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma 
fazer nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) 
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. 
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. 
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. 
 
Só em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 
 
02. Resposta: D. 
 
26 + 7 + 38 + x = 100 
x = 100 - 71 
x = 29% 
 
03. Resposta: B. 
Técnicos arquivam e classificam: 15 
Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 
Classificam e atendem: 4 
Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 
- 4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. 
Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. 
 
04. Resposta: D. 
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 53 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três 
medalhas multiplica-se por 3. 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 
 
05. Resposta: B. 
Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto 
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
10 elementos. 
 
06. Resposta: E. 
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. 
A – B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de A  B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 
 
07. Resposta: B. 
 
 
80 – x + x + 60 – x = 100 
- x = 100 - 140 
x = 40% 
 
08. Resposta: E. 
 
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 
92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 
92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 
x + 462 – 180 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 
 
 
 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 54 
09. Resposta: C. 
 
 
2 + 3 + 4 + x = 10 
x = 10 - 9 
x = 1 
 
10. Resposta: C. 
 
300 – 150 = 150 
270 – 150 = 120 
Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total) 
 
 
 
 
Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de 
possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de 
azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), 
chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise 
Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de 
elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são 
formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise 
combinatória. Veja quais propriedades existem: 
 
- Princípio fundamental da contagem 
- Fatorial 
- Arranjos simples 
Análise Combinatória. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 55 
- Permutação simples 
- Combinação 
- Permutação com elementos repetidos 
 
Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio 
combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O 
acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes: 
 
• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. 
• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. 
 
Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um 
acontecimento é igual ao produto m . n 
 
Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a 
cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse 
dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho 
e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer? 
 
Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou 
seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de 
possibilidades: 
 
 
 
Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, 
n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, 
n2, n3, … , nk 
 
Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem. 
 
Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos 
ab, ac e ca”. 
 
ab e ac sãoagrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 56 
ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam 
somente pela ordem dos elementos. 
 
Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com 
estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são 
considerados distintos, pois indicam números diferentes. 
 
Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e 
com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos são iguais, pois 
indicam a mesma reta. 
 
Conclusão: Os agrupamentos... 
 
1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo 
menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos. 
ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações. 
 
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos 
determinam. 
 
2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de 
contagem serão agrupados e considerados distintos. 
ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos. 
 
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles 
determinados. 
 
Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos 
os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. 
A função fatorial é normalmente definida por: 
 
𝑛! =∏𝑘
𝑛
𝑘=1
 ∀𝑛 ∈ 𝑁 
 
Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 
 
Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de 
nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n 
+ 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0. 
Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes 
de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número 
de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. 
 
(
𝒏
𝒌
) =
𝒏!
𝒌! (𝒏 − 𝒌)!
 
 
Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro 
pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um 
natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k 
elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos. 
 
- Cálculos do número de arranjos simples: 
 
Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k: 
 
n → possibilidades na escolha do 1º elemento. 
n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um deles já foi usado. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 57 
n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois deles já foi usado. 
. 
. 
. 
n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois l-1 deles já foi usado. 
 
No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos 
de A (tomados k a k), temos: 
 
 An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) 
 (é o produto de k fatores) 
 
Multiplicando e dividindo por (n – k)! 
 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛(𝑛 − 1). (𝑛 − 2).… . (𝑛 − 𝑘 + 1). (𝑛 − 𝑘)!
(𝑛 − 𝑘)!
 
 
Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n! 
 
Podemos também escrever: 
 
𝑨𝒏,𝒌 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒌)!
 
 
Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos 
elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, 
as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem 
entre si somente pela ordem de seus elementos. 
 
Cálculo do número de permutação simples: 
 
O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula 
An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos: 
 
 Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n! 
 
Portanto: 
 
Pn = n! 
 
Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se 
diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos 
k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre 
si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n 
elementos de A. 
 
Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A 
podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd 
 
Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas: 
 
Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos. 
abc abd acd bcd 
acb 
bac 
bca 
cab 
cba 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 58 
Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3: 
 
abc abd acd bcd 
acb adb adc bdc 
bac bad cad cbd 
bca bda cda cdb 
cab dab dac dbc 
cba dba dca dcb 
 
(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos 
 
Logo: C4,3 . P3 = A4,3 
 
Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n 
elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos: 
a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos. 
b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos. 
 
Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou 
 
 
 
Lembrando que: 
 
 
 
Também pode ser escrito assim: 
 
 
 
Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos 
não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se 
levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. 
O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: 
A*n,k = nk 
 
Permutações com elementos repetidos 
 
Considerando: 
 
α elementos iguais a a, 
β elementos iguais a b, 
γ elementos iguais a c, …, 
λ elementos iguais a l, 
 
Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos. 
 
Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível 
formarmos com os n elementos: 
 
𝑷𝒏
𝜶,𝜷,𝜸,… ,𝛌 
=
𝒏!
𝜶! . 𝜷! . 𝜸! . … . 𝛌!
 
n,k
n,k
k
A
C =
P
,
,
! !
,
( )! !( !
n k
n k k
k
nAn n
A P e
kn k P k n k
æ ö
= = =ç ÷
- -è ø
,
,
!
1( )!
n k
n k
k
nA n
C
kP k n k
æ ö
= = = ç ÷
- è ø
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 59 
Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de 
k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações 
completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações 
simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n 
elementos, de k a k, indicado por C*n,k 
 
 
 
Questões 
 
01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 7 e 8? 
 
02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para 
que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem 
realizados é: 
(A)182 
(B) 91 
(C)169 
(D)196 
(E)160 
 
03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas 
entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as 
letraspuder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas 
possíveis é: 
(A) 78.125 
(B) 7.200 
(C) 15.000 
(D) 6.420 
(E) 50 
 
04. (UFTM) João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. 
Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e à como diferentes, contudo, João queria que elas 
fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o 
número de cartões esperados por João é igual a 
(A) 720 
(B) 1.680 
(C) 2.420 
(D) 3.360 
(E) 4.320 
 
05. (UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, 
como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é 
(A) PROVA. 
(B) VAPOR. 
(C) RAPOV. 
(D) ROVAP. 
(E) RAOPV. 
 
06. (MACKENZIE) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. 
Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os 
suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é: 
(A) 66 
(B) 72 
(C) 90 
*
, 1,
1
 n k n k k
n k
C C
k+ -
+ -æ ö
= = ç ÷
è ø
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 60 
(D) 120 
(E) 124 
 
07. (ESPCEX) A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática 
composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras 
distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências 
e 3 de retas? 
(A) 80 
(B) 96 
(C) 240 
(D) 640 
(E) 1.280 
 
08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo 
que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, 
nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos 
dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados? 
(A) 06 
(B) 10 
(C) 12 
(D) 15 
(E) 20 
 
09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de 
maneiras diferentes de formar duas equipes é 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 25 
(E) 30 
 
10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule: 
a) quantos são no total; 
b) quantos não possuem o algarismo 2; 
c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez; 
d) quantos têm os algarismos distintos; 
e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais. 
 
Respostas 
 
01. 𝐴7,3
7!
(7−3)!
=
7!
4!
= 
7.6.5.4!
4!
= 7.6.5 = 210 
 
 
02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182. 
 
03. 
 
 
 Algarismos 
 
 
 
 Letras 
 
As três letras poderão ser escolhidasde 5 . 5 . 5 =125 maneiras. 
Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 = 120 maneiras. 
O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 . 120 = 15.000. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 61 
04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi 
 
𝑃7
2 =
7!
2!
= 7.6.5.4.3 = 2520 
 
II) O número de cartões esperados por João era 
 
𝑃7
3 =
7!
3!
= 7.6.5.4 = 840 
 
Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680 
 
05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então 
teremos: 
P4 = 24 que começam por A 
P4 = 24 que começam por O 
P4 = 24 que começam por P 
A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV. 
 
06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar 
uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 
2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é 
 
𝐶6,1. 𝐶4,4 + 𝐶6,2. 𝐶4,3 = (
6
1
) . (
4
4
) + (
6
2
) . (
4
3
) = 
 
 6.1 + 15.4 = 6 + 60 = 66 
 
 
07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240 
 
08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e outros 3. 
II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 
mais experientes e 2 entre os 3 restantes. 
III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é 
𝐶2,1 = (
2
1
) = 2 
 
IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é 
 
𝐶3,2 = (
3
2
) =
3!
2! .1!
=
3.2!
2! .1
= 3 
 
V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6 
 
09. 
𝐶6,3
2
=
20
2
= 10 
 
10. 
a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000 
b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832 
c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168 
d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536 
e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464 
 
 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 62 
 
CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
 
Panorama Histórico 
 
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. 
Desde a Antiguidade muitos povos já faziam uso dos recursos da Estatística, através de registro de 
número de óbitos, nascimentos, número de habitantes, além das estimativas das riquezas individuais e 
sociais, entre muitas outras. 
Na Idade Média as informações colhidas tinham como finalidade tributária e bélica. 
Somente a partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos 
sócias, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. 
No século XVII o estudo de tais fatos foi adquirido, aos poucos, feição verdadeiramente científica. 
Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o 
seu objetivo e suas relações com as ciências. 
A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de 
decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político… 
Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a 
um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de 
recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens. 
Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso cotidiano, 
precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas. 
 
 
Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão 
através da análise dos dados que possuímos. 
Podemos ainda dizer que a Estatística é: 
 
 
 
Noções de Estatística e Probabilidade. 
É a ciência que se ocupa de coletar, organizar, analisar e interpretar dados para que se 
tomem decisões. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 63 
Divisão da estatística 
 
- Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. 
 
- Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e a interpretação desses dados. 
 
Método Estatístico 
 
Atualmente quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo. A verdade é 
que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos, ou 
seja desenvolvemos maneiras ou métodos para tais fins. 
 
 
 
- Método experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar 
esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. 
Muito utilizado no estudo da Física, da Química etc 
 
- Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas 
causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, 
que influências cabem a cada uma delas. 
 
Fases do método estatístico 
 
- Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características 
mensuráveis do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos 
necessários à sua descrição. 
 
A coleta 
pode ser 
 
 
Direta: quando é feita sobre elementos informativos de registro obrigatório(nascimento, casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias), 
dados coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e questionários, 
como por exemplo o censo demográfico. A coleta direta de dados pode ser 
classificada em fator do tempo: 
(i) contínua (registro) – quando feita continuamente. 
(ii) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo (exemplo o 
censo de 10 em 10 anos, etc) 
(iii) ocasional – quando feita extemporaneamente, a fim de atender uma 
conjuntura ou a uma emergência (caso de epidemias) 
 
Indireta: quando é indeferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou de 
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. 
Exemplo: pesquisas de mortalidade infantil, que é feita através de dados 
colhidos por uma coleta direta (número de nascimentos versus números de 
obtidos de crianças) 
 
- Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos devem ser cuidadosamente criticados, 
à procura de possível falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo 
vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas. 
A crítica é interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 
 
- Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios 
de classificação, que pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 
 
Método é um conjunto de meios dispostos 
convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 64 
- Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser apresentados sob forma adequada 
(tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento 
estatístico. 
 
 
- Análise dos resultados: realizadas anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos 
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a 
indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões. 
 
Mais alguns conceitos devem ser aprendidos para darmos continuidade ao nosso entendimento 
sobre Estatística. 
 
- Variáveis: conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
As variáveis podem ser: 
1) Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), 
cor da pele, entre outros. Dizemos que estamos qualificando. 
2) Quantitativas – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade 
dos alunos, etc). Uma variável quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o 
nome de variável contínua; e uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável recebe o nome de variável discreta. 
 
- População estatística ou universo estatístico: conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma 
característica comum. 
Exemplos: estudantes (os que estudam), concurseiros (os que prestam concursos), ... 
Podemos ainda pesquisar uma ou mais características dos elementos de alguma população, as quais 
devem ser perfeitamente definidas. É necessário existir um critério de constituição da população, válido 
para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. 
 
- Amostra: é um subconjunto finito de uma população. 
 
 
 
A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados 
verificados em amostras retiradas dessa população. É preciso garantir que a amostra possua as 
mesmas características da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. 
 
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população. 
Principais propriedades: 
- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade; 
- É caro; 
- É lento; 
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de anos 10 em 10 anos); 
- Nem sempre é viável. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 65 
Dados brutos: quando observamos ou fazemos n perguntas as quais nos dão n dados ou respostas, 
obtemos uma sequência de n valores numéricos. A toda sequência denominamos dados brutos. 
 
 
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos. 
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas no ano letivo em Matemática: 5,5 ; 7 ; 6,5 ; 9 
Os dados brutos é a sequência descrita acima 
Rol: 5,5 – 6,5 – 7 – 9 (ordenação crescente das notas). 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Distribuição de Frequência: Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos 
números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por 
classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. 
- Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto. 
- Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor 
valor das observações: 
- Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior 
valor das observações. 
- Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar 
compreendido entre 5 a 20. 
- Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
- Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e 
superior) 
 
Exemplo: 
 
 
Regras para elaboração de uma distribuição de frequências: 
 
- Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 
Valor mínimo: 5,1 
Valor máximo: 14,9 
 
- Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor 
valor das observações: LI: 5,1 
 
- Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior 
valor das observações: LS:15 
- Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar 
compreendido entre 5 a 20. Neste caso, K é igual a 8,94, aproximadamente, 8. 
 
Dados brutos é uma sequência de valores numéricos não 
organizados, obtidos diretamente da observação de um 
fenômeno coletivo. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 66 
- Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
No exemplo, será igual a: 1,23. 
 
- Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e 
superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite superior será 15 + 1,23. 
 
 
Distribuições Simétricas: A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente 
simétrica, relativamente a uma classe média. 
 
 
 
Caso especial de uma distribuição simétrica: Quando dizemos que os dados obedecem a uma 
distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino. 
 
Distribuições Assimétricas: A distribuição das frequências apresenta valores menores num dos 
lados: 
 
 
Distribuições com "caudas" longas: Observamos que nas extremidades há uma grande 
concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição. 
 
 
 
 
Distribuição Normal: A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística, 
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em 
formato de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média. Considerando a probabilidade de 
ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação 
assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 67 
 
68,26% => 1 desvio 
95,44% => 2 desvios 
99,73% => 3 desvios 
 
Na figura acima, tem as barras na vertical representando os desvios padrões. Quanto mais afastado 
do centro da curva normal, mais área compreendidaabaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 
68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados 
compreendidos e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a 
variabilidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que 
buscamos embaixo da normal. 
Propriedade 1: "f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0; 
Propriedade 2: "f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39; 
Propriedade3: "f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito; 
Propriedade4: "f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou 
quando z tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1. 
Para se obter a probabilidade sob a curva normal, utilizamos a tabela de faixa central. Exemplo: 
 
As alturas de grupo de crianças são tidas como normais em sua distribuição, com desvio padrão em 
0,30m e média em 1,60. Qual a probabilidade de um aluno medir (1) entre 1,50 e 1,80, (2) mais de 1,75 
e menos de 1,48? 
 
(1) 
z1= (1,50-1,60)/0,30=-0,33 
z2= (1,80-1,60)/0,30= 0,67 
Então, z1 (0,1293) + z2 (0,2486) = 37,79% 
 
(2) 
z1= (1,75-1,60)/0,30=0,30 
0,500-0,1915 = 30,85% 
 
(3) 
Z1= (1,48-1,50)/0,30 =-0,4 
0,500-0,1554 = 34,46% 
Questões 
 
01. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO 
– EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Identifique a alternativa que apresenta a frequência absoluta (fi) de 
um elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % e cujo total de elementos (N) da amostra é 
igual a 72. 
(A) 18. 
(B) 36. 
(C) 9. 
(D) 54. 
(E) 45. 
 
02. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Em uma faculdade, uma 
amostra de 120 alunos foi coletada, tendo-se verificado a idade e o sexo desses alunos. Na amostra, 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 68 
apurou-se que 45 estão na faixa de 16 a 20 anos, 60, na faixa de 21 a 25 anos, e 15 na faixa de 26 a 
30 anos. Os resultados obtidos encontram-se na Tabela abaixo. 
 
Quais são, respectivamente, os valores indicados pelas letras P, Q, R e S? 
(A) 40 ; 28 ; 64 E 0 
(B) 50 ; 28 ; 64 E 7 
(C) 50 ; 40 ; 53,3 E 7 
(D) 77,8 ; 28 ; 53,3 E 7 
(E) 77,8 ; 40 ; 64 E 0 
 
03. (IMESC – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2013) Na tabela a seguir, constam 
informações sobre o número de filhos dos 25 funcionários de uma pequena empresa. 
 
Com base nas informações contidas na tabela, é correto afirmar que o número total de filhos dos 
funcionários dessa pequena empresa é necessariamente 
(A) menor que 41. 
(B) igual a 41. 
(C) maior que 41 e menor que 46. 
(D) igual a 46. 
(E) maior ou igual a 46. 
 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
f_r=f_i/N 
f_i=0,25∙72=18 
 
02. Resposta: B. 
Pela pesquisa 45 alunos estão na faixa de 16 a 20 
São 10 do sexo masculino, portanto são 45-10=35 do sexo feminino. 
70---100% 
35----P 
P=50% 
70---100% 
Q---40% 
Q=28 
35+28+S=70 
S=7 
Pela última coluna(% de sexo masculino): 
20+R+16=100 
R=64 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 69 
P=50; Q=28; R=64; S=7 
 
03. Resposta: E. 
1 filho: 7 pessoas -7 filhos 
2 filhos: 5 pessoas – 5.2=10 filhos 
3 filhos: 3 pessoas – 3.3=9 
Já são 26 filhos. 
Temos mais 5 pessoas que tem mais de 3 filhos, o número mínimo são 4 filhos. 
5.4=20 
26+20=46 filhos no mínimo. 
 
AMOSTRAGEM 
 
É um técnica especial para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na 
escolha. 
 
Probabilística (aleatória): A probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida. 
Cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. 
 
Não-probabilística (não aleatória): Não se conhece a probabilidade de um elemento ser escolhido 
para participar da amostra. 
 
No quadro abaixo está descrita os métodos de amostragem: 
 
 
 
- Amostragem probabilística 
 
Amostragem casual ou aleatória simples: este tipo de amostragem se assemelha ao sorteio 
lotérico. Ela pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio 
de um dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais serão pertentes à amostra. 
Exemplo: 15% dos alunos de uma população de notas entre 8 e 10, serão sorteados para receber 
uma bolsa de estudos de inglês. 
 
 
 
Desvantagens: 
- Requer listagem da população; 
- Trabalhosa em populações elevadas; 
- Custos elevados se a dispersão da amostra for elevada. 
- Facilidade de cálculo estatístico; 
- Probabilidade elevada de compatibilidade dos dados da amostra e da 
população. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 70 
Amostragem sistemática: escolher cada elemento de ordem k. Assemelha-se à amostragem 
aleatória simples, porque inicialmente enumeram-se as unidades da população. Mas difere da aleatória 
porque a seleção da amostra é feita por um processo periódico pré-ordenado. Os elementos da 
população já se acham ordenados, não havendo necessidade de construir um sistema de referência. 
Exemplo: Amostra de 15% dos alunos com déficit de atenção diagnosticado. Sorteia-se um valor de 
1 a 5. Se o sorteado for o 2, incluem-se na amostra o aluno 2, o 7, o 12 e assim por diante de cinco em 
cinco. 
 
Amostragem proporcional estratificada: muitas vezes a população se divide em subpopulações – 
estratos, então classificamos a população em, ao menos dois estratos, e extraímos uma amostra de 
cada um. Podemos determinar características como sexo, cor da pele, faixa etária, entre outros. 
Exemplo: Supondo que dos noventa alunos de uma escola, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas 
vamos obter a amostra proporcional estratificada de 10% desta população. 
Temos dois estratos: sexo masculino e feminino. 
 
Sexo População 10% Amostra 
M 54 
10𝑥54
100
= 5,4 5 
F 36 
10𝑥36
100
= 3,6 4 
Total 90 
10𝑥90
100
= 9,0 9 
 
Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem aos meninos e de 55 a 90, 
as meninas. 
Para amostragem muito grande também fazemos o uso da Tabela de Números Aleatórios, elaborada 
a fim de facilitar os cálculos, que foi construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos 
ao acaso nas linhas e colunas, conforme pode ser visto abaixo: 
 
 
 
Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da 
mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa 
necessidade. Os números obtidos irão indicar os elementos da amostra. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 71 
 
 
No nosso exemplo vamos definir como critérios a primeira e a segunda colunas da esquerda, de cima 
para baixo (constituídos de 2 algarismos), obtermos os seguintes números. 
 
57 28 92 90 80 22 56 79 53 18 53 03 27 05 40 
Eliminamos os números maiores que 90 e os números repetidos. 
 
Assim temos: 
28 22 53 18 03 – para os meninos; 
57 90 80 56 – para as meninas. 
 
 
 
Desvantagens: 
- Necessita de maior informação sobre a população; 
- Cálculo estatístico mais complexo. 
 
Amostragem por conglomerado: é uma amostra aleatória de agrupamentos naturais de indivíduos 
(conglomerados) na população. Dividimos em seções a área populacional, selecionamos aleatoriamente 
algumas dessas seções e tomamos todos os elementos das mesmas. 
Exemplo: 
 
O mapa mostra os conglomerados selecionados (neste caso os municípios), que apresentaram a 
maior proporção de casos de dengue confirmados no Estado de São Paulo até março de 2015. 
 
A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para esquerda ou vice versa), 
verticalmente (de cima para baixo ou vice versa), diagonalmente (no sentido ascendente ou 
descendente), formando desenho de alguma letra e até mesmo escolhendo uma única linha ou 
coluna. O critério adotado deve ser definido antes do início do processo. 
 
- Pressupõe um erro de amostragem menor; 
- Assegura uma boa representatividadedas variáveis estratificadas; 
- Podem empregar-se metodologias diferentes para cada estrato; 
- Fácil organização do trabalho de campo. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 72 
 
 
Desvantagens: 
- Maior erro de amostragem; 
- Cálculo estatístico mais complexo na estimação do erro de amostragem. 
 
- Amostragem não-probabilística 
 
Amostragem por cotas: consiste em uma amostragem por julgamento que ocorre em suas etapas. 
Em um primeiro momento, são criadas categorias de controle dos elementos da população e, a seguir, 
selecionam-se os elementos da amostra com base em um julgamento. 
 
Amostragem por julgamento: quando o pesquisador seleciona os elementos mais representativos 
da amostra de acordo com seu julgamento pessoal. Essa amostragem é ideal quando o tamanho da 
população é pequeno e suas características, bem conhecidas. 
 
Amostragem por conveniência: é uma amostra composta de indivíduos que atendem os critérios 
de entrada e que são de fácil acesso do investigador. Para o critério de seleção arrolamos uma amostra 
consecutiva. 
Exemplo: Em uma pesquisa sobre dengue, arrolar os 200 pacientes que receberam diagnostico em 
um hospital. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Mais econômica; 
- Fácil administração; 
- Não necessita de 
listagem da população. 
 
- Maior erro de amostragem que em 
amostras aleatórias; 
- Não existem metodologias válidas 
para o cálculo do erro de 
amostragem; 
- Limitação representativa; 
- Maior dificuldade de controle de 
trabalho de campo 
 
- Tamanho da Amostra 
 
O tamanho da amostra deve ser determinado antes de se iniciar a pesquisa. 
Deve-se usar a maior amostra possível, pois quanto maior a amostra, maior a representatividade da 
população. Amostras menores possuem resultados menos precisos. 
É muito importante usarmos amostras de tamanhos adequados, para que os dados tenham maior 
confiabilidade e precisão. 
Consideramos: 
 
 
- Erros de amostragem 
 
Diferença randômica(aleatória) entre a amostra e população da qual a amostra foi retirada. O 
tamanho do erro pode ser medido em amostras probabilísticas, expressa como “erro padrão” (ou 
precisão) de média, proporção entre outros. 
Erro padrão da média: é usado para estimar o desvio padrão da distribuição das médias amostrais, 
tanto para populações finitas ou infinitas (será abordado em medidas de dispersão). 
- Não existem listagem de toda a população; 
- Concentra os trabalhos de campo num número limitado de elementos da 
população. 
Amostras grandes: n > 100 
Amostras médias: n > 30 
Amostras pequenas: n < 30 
Amostras muito pequenas: n < 12 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 73 
- Intervalo de confiança 
 
É o grau de certeza de a média de uma população. É o intervalo que indica que há 95% de confiança 
de que o parâmetro populacional se encontra. 
Tem como objetivo indicar a precisão de uma amostra em estimar os valores de uma população. 
 
São utilizados também para: 
- Indicar confiabilidade de uma estimativa 
- Como forma alternativa de expressar o nível de significância: Um IC 95% equivale ao nível de 
significância de 5%. 
 
 
 
Cálculos do intervalo de confiança: 
 
1) Para uma proporção populacional: 
 
 
 
Onde: 
p é a proporção amostral 
Z é o valor da variável normal padrão para o grau de confiabilidade adotado 
n é o tamanho amostral. 
 
2) Para uma média populacional 
 
 
 
Exemplo: 
 
Dados x = 15, σ = 3, n = 50 
IC 95% μ = X ± z.e 
Para acharmos o Z , basta pegarmos o grau de confiabilidade (neste caso 95%), transforma-lo para 
decimal (0,95) e dividirmos por 2 (0,95 / 2 = 0,475). Após consultamos a tabela z, e achamos o valor 
correspondente à 0,475 = 1,96. Não é necessário memorizar a tabela, no concurso será fornecido o 
valor de z para resolução da questão. 
- A amplitude do intervalo é inversamente proporcional ao tamanho da amostra; 
- Quanto maior o n (menor a margem de erro), mais estreito é o intervalo e 
maior é a precisão. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 74 
 
 
𝑒 = 𝑍√
𝜎
𝑛
→ 𝑒 = 1,96√
3
50
→ 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑎çã𝑜 = 0,835 
 
P (X – e < μ < X + e) 
P (15 – 0,835 < μ < 15 + 0,835)  P (14,16 < μ < 15,83)  X = 15; IC 95% = 14,16 a 15,83. 
 
SERIES ESTATÍSTICAS 
 
A Estatística tem objetivo sintetizar os valores que uma ou mais variáveis possam assumir, para que 
tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. Esses valores irão fornecer 
informações rápidas e seguras. 
 
 Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 75 
 
 
 
 
 
 Séries Estatísticas: toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos 
em função da época, do local ou da espécie. 
 
Observamos três elementos: 
- tempo; 
- espaço; 
- espécie. 
 
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classifica-la em: 
- Histórica; 
- Geográfica; 
- Específica. 
 
- Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas: Os valores da variável são descritos 
em, determinado local, em intervalos de tempo. 
 
1) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo; 
 
2) Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; 
 
3) Coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; 
 
4) Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal; 
 
5) Casa ou célula – espaço destinado a um só número; 
 
6) Título – Conjunto de informações, as mais completas possíveis, que satisfazem as seguintes 
perguntas: O quê? Quando? Onde? localizando-se no topo da tabela. 
 
Elementos complementares: de preferência colocados no rodapé. 
- Fonte; 
- Notas; 
- Chamadas. 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 76 
 
 
- Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização: valores da variável, em 
determinado instante, discriminados segundo regiões. 
 
 
 
- Séries específicas ou categóricas: aquelas que descrevem valores da variável, em determinado 
tempo e local, segundo especificações ou categorias. 
 
 
 
 
- Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada: utilizamos quando temos a necessidade de 
apresentar, em uma única tabela, variações de mais de uma variável. Com isso conjugamos duas séries 
em uma única tabela, obtendo uma tabela de dupla entrada, na qual ficam criadas duas ordens de 
classificação: uma horizontal e uma vertical. 
 
Na tabela abaixo vamos a variável região e tempo. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 77 
 
 
 Dados absolutos e dados relativos 
 
Aos dados resultantes da coleta direta da fonte, sem manuseio senão contagem ou medida, são 
chamados dados absolutos. Não é dado muito importância a estes dados, utilizando-se de os dados 
relativos. 
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que estabelecem entre 
dados absolutos e têm por finalidade facilitar as comparações entre quantidades. Os mesmos podem 
ser traduzidos por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
 
- Percentagens: 
 
Considerando a série: 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA 
CIDADE A - 1995 
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS 
1º grau 19.286 
2º grau 1.681 
3º grau 234 
Total 21.201 
Dados fictícios. 
 
 
Calculando os percentagens dos alunos de cada grau: 
 
1º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
19.286𝑥100
21.201
= 90,96 = 91,0 
 
2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
1.681𝑥100
21.201
= 7,92 = 7,9 
 
3º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
234𝑥100
21.201
= 1,10 = 1,1 
 
Formamos com os dados uma nova coluna na série em estudo: 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 78 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A - 1995 
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS % 
1º grau 19.286 91,0 
2º grau 1.681 7,9 
3º grau 234 1,1 
Total 21.201 100,0 
 
Esses novos valores nos dizem que,de cada 100 alunos da cidade A, 91 estão matriculados no 1º 
grau, 8 (aproximadamente) no 2º grau e 1 no 3º grau. 
 
- Índices: razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra. 
 
Exemplos: 
 
𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎
𝑥100 
 
 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 = 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
 
 
 
Econômicos: 
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
 
- Coeficientes: razões entre o número de ocorrências e o número total (ocorrências e não 
ocorrências). 
 
Exemplos: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ó𝑏𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Educacionais: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
 
 
 
- Taxas: coeficientes multiplicados por um potência de 10 (10,100, 1000, ...) para tornar o resultado 
mais inteligível. 
 
Exemplos: 
 
Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000. 
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000. 
 
1) Em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito. 
Coeficiente de defeitos: 4/200 = 0,02 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 79 
Taxa de defeitos = 2% (0,02 x 100) 
 
Questão 
 
01. O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1º ano no início de 2009 e 683.816 no final do ano. 
O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior 
evasão escolar? 
 
 
Resposta 
 
01. Resposta: Evasão estado A: 6,8% e Evasão estado B: 5,5%. 
 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑨: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
683816
733986
= 0,931647𝑥100 = 93,16472 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 6,8% 
 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑩: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
412457
436127
= 0,945727𝑥100 = 94,57268 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 5,4% 
 
 
TIPOS DE GRÁFICOS 
 
Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados de várias formas: 
 
Pictogramas 
Desenhos ilustrativos 
 
 
 
Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas 
contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso 
de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de freqüência consiste em listar os valores 
possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de 
suas ocorrências. A frequência do valor i será representada por ni, a frequência total por n e a freqüência 
relativa por fi = ni/n. 
Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em 
geral), faz sentido incluirmos também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, obtidas 
pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado. 
No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem assumir infinitos valores diferentes, é 
inviável construir a tabela de frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos 
praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para resolver este problema, determinamos 
classes ou faixas de valores e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no caso da 
variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 
60 |— 70, e assim por diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para estabelecer as 
faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude. 
Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas 
extremidades da tabela. Exemplo: 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 80 
 
 
Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no 
eixo das abscissas e suas as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da 
variável desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua freqüência ou porcentagem. Este tipo 
de gráfico é interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite 
investigar a presença de tendência nos dados. Exemplo: 
 
 
 
Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em 
setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a 
frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas 
nominais. Exemplo: 
 
 
 
Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da 
variável e com área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada 
retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente 
da área pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na 
construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) 
quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. Exemplo: 
 
0
2
4
6
8
10
Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4
Título do principal
Coluna 1
Coluna 2
Coluna 3
29,38%
15,71%18,39%
35,52%
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 81 
 
 
Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar observações medidas ao longo do 
tempo, enfatizando sua tendência ou periodicidade. Exemplo: 
 
 
 
Polígono de Frequência: 
Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das classes. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de Ogiva: 
Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando 
os pontos extremos. 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5
P
on
to
s
Rodadas
Rodadas do Brasileirão 2011
Corinthians
São Paulo
Flamengo
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 82 
 
 
Questões 
 
01. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE/2015) 
 
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
 — Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
 Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
 dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações) 
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por 
região em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit 
de vagas no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário — 
registrado em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 
100 mil habitantes. 
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir. 
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste. 
 
( )certo ( ) errado 
 
02. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015) A distribuição de salários de uma empresa 
com 30 funcionários é dada na tabela seguinte. 
 
Salário (em salários mínimos) Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
 Pode-se concluir que 
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários. 
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 83 
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários. 
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total. 
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total. 
 
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015) Considere a tabela de distribuição defrequência seguinte, em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados. 
 
xi fi 
30-35 4 
35-40 12 
40-45 10 
45-50 8 
50-55 6 
TOTAL 40 
 
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor representa a distribuição de 
frequência da tabela. 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
04. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP/2013) Observe os gráficos e analise as 
afirmações I, II e III. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 84 
 
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, 
foi maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à 
distância foi de 2 para 5. 
É correto o que se afirma em 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
05. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE/2015) 
 
 
 
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue. 
Se os percentuais forem representados por barras verticais, conforme o gráfico a seguir, então 
o resultado será denominado histograma. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 85 
 
( ) Certo ( ) Errado 
Respostas 
 
01. Resposta: Certa. 
555----100% 
306----x 
X=55,13% 
 
02. Resposta: D. 
(A) 1,8*10+2,5*8+3,0*5+5,0*4+8,0*2+15,0*1=104 salários 
(B) 60% de 30, seriam 18 funcionários, portanto essa alternativa é errada, pois seriam 12. 
(C)10% são 3 funcionários 
(D) 40% de 104 seria 41,6 
20% dos funcionários seriam 6, alternativa correta, pois5*3+8*2+15*1=46, que já é maior. 
(E) 6 dos trabalhadores: 18 
30% da renda: 31,20, errada pois detêm mais. 
 
03. Resposta: A. 
A menor deve ser a da primeira 30-35 
Em seguida, a de 55 
Depois de 45-50 na ordem 40-45 e 35-40 
 
04. Resposta: E. 
I- 69,8------100% 
 781,6----x 
X=1119,77 
 
II- 781,6-680,7=100,9 
 
III- 
10
25
=
2
5
 
05. Resposta: Errado 
Como foi visto na teoria, há uma faixa de valores no eixo x e não simplesmente um dado. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os 
elementos de A. 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o 
resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de 
A relativa a essa operação. 
 
 Média Aritmética Simples 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 86 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. 
 
- Cálculo da média aritmética 
 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por 
definição: 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 
elementos, dividida por 5. Assim: 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 = 
35
5
↔ 𝑥 = 7 
 
A média aritmética é 7. 
 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
 
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70 
 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70. 
 
 Média aritmética ponderada 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um 
“determinado peso” é chamada média aritmética ponderada. 
 
- Cálculo da média aritmética ponderada 
 
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com 
“pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição: 
 
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus 
elementos, dividida pelo número de elementos n. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 87 
 
 
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples. 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, 
respectivamente. 
 
Se x for a média aritmética ponderada, então: 
 
𝑥 = 
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 = 
70 + 60 + 50
10
 ↔ 𝑥 = 
180
10
 ↔ 𝑥 = 18 
 
A média aritmética ponderada é 18. 
 
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de 
peixes capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Campo 
Grande. 
 
Tipo de peixe Quilo de peixe pescado Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao 
supermercado. 
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e fazendo a leitura da tabela, 
concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor 
unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de R$ 9,00. 
Vamos chamar o preço médio de p: 
 
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes capturadas de cada espécie. 
 
 
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos 
produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos. 
 
A palavra média, sem especificações (aritmética ou ponderada), 
deve ser entendida como média aritmética. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 88 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP/2014) Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus 
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações 
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos 
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável 
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de 
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos 
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território 
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE. 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma 
determinada cidade. (Dados aproximados) 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a 
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é: 
 
 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 
de densidade 900 g/lTal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L1 para cada 5 
partes de L2 A densidade da mistura final, em g/l, será 
(A) 861,5. 
(B) 862. 
(C) 862,5. 
(D) 863. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 89 
04. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média 
aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos 
homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total 
de alunos da turma é 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 16. 
(E) 20. 
 
05. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média, em metros, dos cinco ocupantes 
de um carro era y. Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do carro, a altura média 
dos que permaneceram passou a ser 1,8 m que, em relação à média original y, é 
(A) 3 cm maior. 
(B) 2 cm maior. 
(C) igual. 
(D) 2 cm menor. 
(E) 3 cm menor. 
 
06. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em uma empresa com 5 funcionários, a soma 
dos dois menores salários é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-
se o menor e o maior desses cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir 
que a média aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a 
(A) R$ 3.500,00. 
(B) R$ 3.400,00. 
(C) R$ 3.050,00. 
(D) R$ 2.800,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
 
07. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, que 
vende à vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com 
o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado. 
 
PORCENTUAL DO 
FATURAMENTO 
PRAZO PARA 
PAGAMENTO (DIAS) 
15% À vista 
20% 30 
35% 60 
20% 90 
10% 120 
 
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a 
(A) 75. 
(B) 67. 
(C) 60. 
(D) 57. 
(E) 55. 
 
08. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende 
camisetas com malha de três qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de malha 
superior custa R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de 
malha comum, 150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de 
uma camiseta foi de: 
(A) 20. 
(B) 20,5. 
(C) 21. 
(D) 21,5. 
(E) 11. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 90 
09. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador 
– FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 
1 na primeira prova, peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno que 
tirou 8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 na terceira? 
(A) 7,0 
(B) 8,0 
(C) 7,8 
(D) 8,4 
(E) 7,2 
 
10. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia 
Elétrica/Física/Matemática – FUNCAB/2014) A tabela abaixo mostra os valores mensais do Imposto 
Predial e Territorial Urbano (IPTU) pagos pelos apartamentos de um condomínio. Determine a média 
aritmética desses valores. 
 
Número de Apartamentos Valor de IPTU Pago 
5 R$ 180,00 
5 R$ 200,00 
10 R$ 220,00 
10 R$ 240,00 
4 R$ 300,00 
6 R$ 400,00 
 
(A) R$ 248,50 
(B) R$ 252,50 
(C) R$ 255,50 
(D) R$ 205,50 
(E) R$ 202,50 
 
11. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Em 
uma seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os 
cargos que ocupam, é a seguinte: 
 
Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário 
de cada um dos dois gerentes é de 
(A) R$ 2.900,00. 
(B) R$ 4.200,00. 
(C) R$ 2.100,00. 
(D) R$ 1.900,00. 
(E) R$ 3.400,00. 
 
12. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. 
Um candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 91 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos 
Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
13. (VUNESP – 2014 – FUNDUNESP – Assistente Administrativo) Um concurso teve duas fases, 
e, em cada uma delas, os candidatos foram avaliados com notas que variaram de zero a dez. Para efeito 
de classificação, foram consideradas as médias ponderadas de cada candidato, uma vez que os pesos 
da 1.ª e da 2.ª fases foram 2 e 3, respectivamente. Se um candidato tirou 8 na 1.ª fase e 5 na 2.ª, então 
é verdade que sua média ponderada foi 
(A) 6,2. 
(B) 6,5. 
(C) 6,8. 
(D) 7,1. 
(E) 7,4. 
 
14. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP/2014) A tabela mostra os valores de algumas latinhas 
de bebidas vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em certo dia. 
 
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida 
Refrigerante R$ 4,00 8 
Suco R$ 5,00 6 
Cerveja X 4 
 
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, na média, o 
preço de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha de cerveja era 
(A) R$ 5,00. 
(B) R$ 5,50. 
(C) R$ 6,00. 
(D) R$ 6,50. 
(E) R$ 7,00. 
 
15. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP/2014) Em um edifício 
residencial, 14 unidades pagam uma taxa mensal de condomínio no valor de 930 reais. Para as 28 
unidades restantes, que são menores, a taxa mensal de condomínio também é menor. Sabendo-se que 
o valor médio da taxa mensal de condomínio, nesse edifício, é de 750 reais, é correto afirmar que o valor 
em reais que cada unidade menor paga mensalmente de condomínio é igual a 
(A) 600. 
(B) 620. 
(C) 660. 
(D) 700. 
(E) 710. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Foi dado que: J = 2.M 
 
𝐽 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2.𝑀 ( I ) 
 
Foi pedido: 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ? 
 
Na equação ( I ), temos que: 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 92 
7 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
 
 
7
2
= 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
 
 
𝑎 + 𝑏 +⋯+ 𝑔
𝑀
= 3,5 
 
02. Resposta: E. 
 
 [30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000 
 
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30% 
 
 
03. Resposta: C. 
 
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5 
 
04. Resposta: D. 
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens). 
 
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas: 
𝑆
𝑚+ℎ
= 7,5  𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ) 
 
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas: 
𝑆1
𝑚
= 8  𝑆1 = 8𝑚 
 
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas: 
𝑆2
ℎ
= 6  𝑆2 = 6ℎ 
 
Somando as notas dos homens e das mulheres: 
S1 + S2 = S 
8m + 6h = 7,5(m + h) 
8m + 6h = 7,5m + 7,5h 
8m – 7,5m = 7,5h – 6h 
0,5m =1,5h 
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
 
𝑚 = 3ℎ 
h + 8 = 3h 
8 = 3h – h 
8 = 2h  h = 4 
m = 4 + 8 = 12 
Total de alunos = 12 + 4 = 16 
 
05. Resposta: A. 
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos: 
 
𝑆
5
= 𝑦  S = 5y 
 
𝑆−3,45
3
= 1,8  S – 3,45 = 1,8.3 
S – 3,45 = 5,4 
S = 5,4 + 3,45 
S = 8,85, então: 
5y = 8,85 
y = 8,85 : 5 = 1,77 
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais. 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 93 
06. Resposta: A. 
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
x1 + x2 = 4000 
x3 + x4 + x5 = 12000 
 
 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000 
 
x2 + x3 + x4 = 9000 
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000 
 
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente: 
 𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000 
 
 𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000 
 
Então, a média aritmética: 
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500 
 
07. Resposta: D. 
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos 
porcentuais. 
 
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
= 
 
=
600+2100+1800+1200
100
= 
 
=
5700
100
=57 
 
08. Resposta: C. 
 Também média aritmética ponderada. 
 
180.15+150.24+70.30
180+150+70
= 
 
=
2700+3600+2100
400
= 
 
=
8400
400
= 21 
 
09. Resposta: B. 
Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos 
os pesos, assim temos: 
𝑀𝑃 = 
8.1 + 6,5.2 + 9.3
1 + 2 + 3
=
8 + 13 + 27
6
=
48
6
= 8,0 
 
10. Resposta: B. 
 
𝑀 =
5.180 + 5.200 + 10.220 + 10.240 + 4.300 + 6.400
5 + 5 + 10 + 10 + 4 + 6
=
10100
40
= 252,50 
 
11. Resposta: C. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 94 
1490 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800 
2𝑥 = 4200 
𝑥 = 2100 
Cada um dos gerentes recebem R$ 2100,00 
 
12. Resposta: C. 
 
2.77 + 3.62 + 1.72 + 4. 𝑥
2 + 3 + 1 + 4
= 80 
 
412 + 4. 𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
4x = 800 – 412 
x = 388 / 4 
x = 97 
 
13. Resposta: A. 
𝑀𝑝 = 
2.8 + 3.5
2 + 3
 = 
16 + 15
5
 = 
31
5
 = 6,2 
 
 
14. Resposta: E. 
 
8.4 + 6.5 + 4. 𝑥
8 + 6 + 4
= 5 
 
 
62 + 4. 𝑥
18
= 5 
 
4.x = 90 – 62 
x = 28 / 4 
x = R$ 7,00 
 
15. Resposta: C. 
 
𝟏𝟒 . 𝟗𝟑𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟏𝟒 + 2𝟖
= 𝟕𝟓𝟎 
 
𝟏𝟑𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟒𝟐
= 𝟕𝟓𝟎 
 
13020 + 28.x = 42 . 750 
28.x = 31500 – 13020 
x = 18480 / 28 
x = R$ 660,00 
 
MEDIANA, MODA E QUARTIS 
 
Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, 
os valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, 
existe um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média 
aritmética dos dois valores centrais para a mediana. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 95 
É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte 
modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a 
divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 
50% são maiores ou iguais à mediana. 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n 
elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois 
elementos médios. 
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte 
modo: 
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a 
divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 
50% são maiores ou iguais à mediana. 
 Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: 
- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. 
 
Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; 
então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
 
 
 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos 
dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 
11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente. 
 
 
 
 
Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria 
a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75. 
 
 
 
Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte 
notação: X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos 
dados. 
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. 
A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou 
"muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são 
os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar 
a mediana. 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana. 
- for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que 
a mediana. 
- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser 
inferior à mediana. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 96 
 
 
Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando 
uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais. 
 
 
Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível 
aos dados. 
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. 
 
Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, 
dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas. 
Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo 
com a seguinte tabela de frequências: 
 
 
Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos. 
Resolução: = (75.23 + 100.58 +...+ 400.7 + 1700.2)/160 = 156,10 
Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80 e 81 = 100 euros. 
Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e uma mediana de 100, é reflexo do fato 
de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, 
numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 
50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita 
essa ideia. 
 
Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou 
aproximadamente simétrica, as medidas de localização do centro da amostra (média e mediana) 
coincidem ou são muito semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é 
assimétrica, fato que se prende com a pouca resistência da média. 
 
Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas 
na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo 
geral: 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 97 
Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, 
de maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados 
são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da 
representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe 
modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por 
vezes a mediana. 
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se 
os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou 
a classe modal. 
 
 
 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não sepode calcular a média e por 
vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação). 
 
 
 
Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vimos anteriormente é a medida de 
localização, tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são 
maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 
100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos 
da amostra são maiores ou iguais a Qp. 
Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada. 
Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica. 
Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o 
cálculo dos quartis: 
 
Qp = 
 
onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a. 
Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o nome de 1º quartil e 3º quartil. Exemplo: 
Tendo-se decidido registrar os pesos dos alunos de uma determinada turma prática do 10º ano, 
obtiveram-se os seguintes valores (em kg): 
 
52 56 62 54 52 51 60 61 56 55 56 54 57 67 61 49 
 
a) Determine os quartis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis. 
b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado "normal", isto é nem demasiado magro, nem 
demasiado gordo? 
 
Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos: 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 98 
49 51 52 52 54 54 55 56 56 56 57 60 61 61 62 67 
 
a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 
 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 
 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 
 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5 
 
b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco "forte", pois naquela turma só 25% dos 
alunos é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg. 
 
Questões 
01. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia 
Elétrica/Física/Matemática – FUNCAB/2014) Determine a mediana do conjunto de valores (10, 11, 12, 
11, 9, 8, 10, 11, 10, 12). 
(A) 8,5 
(B) 9 
(C) 10,5 
(D) 11,5 
(E) 10 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) As massas de 5 
amigos são 63,5; 70,3; 82,2; 59 e 71,5 quilogramas. A média e a mediana das massas são, 
respectivamente: 
(A) 69,3 e 70,3 quilogramas. 
(B) 172,25 e 82,2 quilogramas. 
(C) 69,3 e 82,2 quilogramas. 
(D) 172, 70,3 quilogramas. 
 
03. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) O gráfico apresenta informações 
sobre o número médio de anos de estudo da população brasileira, com base na Pesquisa Nacional por 
Amostra de Domicílios de 2011, publicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). 
 
 
 
Com base nas informações do gráfico, é verdade que 
(A) o número de homens com estudo é menor que o número de mulheres com estudo, nos anos de 
2009 e 2011. 
(B) de 2009 para 2011 houve um aumento no número de homens com estudo. 
(C) em 2010, a média de anos de estudo das mulheres era de 7,4 anos. 
(D) em 2009, a média de anos de estudos das mulheres era de exatos 7 anos e 3 meses. 
(E) a média de anos de estudo das mulheres não ultrapassou a 5 meses a dos homens, nos anos de 
2009 e 2011. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 99 
04. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Um concurso é composto por três 
fases, com pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua 
nota foi 7,0 e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0. 
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5, 
que as notas apresentadas ainda não estão multiplicadas pelos respectivos fatores, e que em cada fase 
as notas variam de zero a dez, pode-se afirmar corretamente que 
(A) não há como Pedro ser aprovado no concurso. 
(B) Pedro já está aprovado no concurso, independentemente da nota que tirar na 3.ª fase. 
(C) se Pedro tirar 5,0 ou mais na 3.ª fase, então ele estará aprovado no concurso. 
(D) Pedro precisa tirar, no mínimo, 7,0 na 3.ª fase, para ser aprovado no concurso. 
(E) tirando 4,0, Pedro estará aprovado no concurso. 
 
05. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) A tabela a seguir apresenta o índice de 
desenvolvimento humano (IDH) de alguns países da América Latina referente ao ano 2012. 
 
Países IDH 
Argentina 0,811 
Bolívia 0,645 
Brasil 0,730 
Chile 0,819 
Colômbia 0,719 
Cuba 0,780 
México 0,775 
Uruguai 0,792 
Venezuela 0,758 
 
Disponível em: <http://www.abinee.org.br/abinee/decon/decon55a.htm>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
Dentre os países listados, aquele cujo IDH representa a mediana dos dados apresentados é: 
(A) Brasil 
(B) Colômbia 
(C) México 
(D) Venezuela 
 
06. (QC – Segundo Tenente – Ciências Contábeis – MB/2014) Analise a tabela a seguir. 
 
 Classe Velocidade (em nós) Tempo(h) 
 1 0 |------- 5 1 
 2 5 |------ 10 7 
 3 10 |------ 15 15 
 4 15 |------ 20 9 
 5 20 |------ 25 3 
 6 25 |------ 30 2 
 
Dos registros de navegação de um determinado navio, foi obtido o quadro acima. 
 
Após análise dos registros, determine a média das velocidades do navio na série observada e 
assinale a opção correta. 
 
(A) 13,43 nós 
(B) 13,92 nós 
(C) 14,12 nós 
(D) 14,69 nós 
(E) 15,26 nós 
 
07. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA/2014) Considere o conjunto de dados 
abaixo, referente ao salário médio dos funcionários de uma empresa. 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 100 
 
O valor da Mediana é: 
(A) 1240 
(B) 1500 
(C) 1360 
(D) 1600 
(E) 1420 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Na tabela, as letras q, p e m substituem 
as alturas, relacionadas em ordem crescente, de seis alunos do Curso de Formação de Oficiais da 
Polícia Militar avaliados em um exame biométrico, sendo que, nessa tabela, letras iguais correspondem 
a alturas iguais. 
 
Nome Altura (em centímetros) 
Gonçalves q 
Camargo q 
Pacheco q 
Mendes p 
Santos m 
Ferreira m 
 
Sabendo-se que a moda, a mediana e a média aritmética das alturas desses alunos são, 
respectivamente, 173 cm, 174,5 cm e 175,5 cm, pode-se concluir que a altura do aluno Ferreira é igual, 
em centímetros, a 
(A) 177. 
(B) 178. 
(C) 179. 
(D) 180. 
(E) 182. 
 
09. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Considere o seguinte conjunto: 
{15; 17; 21; 25; 25; 29; 33; 35} 
A média, a mediana e a moda desse conjunto de dados são, respectivamente, 
(A) 1, 2 e 3 
(B) 5, 7 e 9 
(C) 7, 9 e 5 
(D) 25, 25 e 25 
(E) 25, 27 e 29 
 
(SEFAZ/RJ – ANALISTA DE CONTROLE INTERNO – CEPERJ/2013) Observe os números 
relacionados a seguir, e responda às questões de números 10 e 11. 
 
 
 
10. A mediana desses valores vale: 
(A) 6 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 101 
(B) 6,5 
(C) 7 
(D) 7,5 
(E) 8 
 
11. A moda desses valores vale: 
(A) 8 
(B) 7 
(C) 6 
(D) 5 
(E) 4 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Coloquemos os valores em ordem crescente: 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12 
 
Como a Mediana é o elemento que se encontra no meio dos valores colocados em ordem crescente, 
temos que: 
𝑀 =
10 + 11
2
=
21
2
= 10,5 
 
02. Resposta: A. 
A média é: 𝑀 =
63,5+70,3+82,2 + 59+71,5
5
 = 
346,5
5
= 69,3 
Para verificar a mediana, basta colocar os valores em ordem crescente e verificar o elemento que se 
encontra no meio deles: 
59 63,5 70,3 71,5 82,2 
 
03. Resposta: E. 
Média das mulheres: 
7,3+7,5
2
= 
14,8
2
= 7,4 anos = 7,4 . 12 = 88,8 meses 
 
Média dos homens: 
7+7,1
2
= 
14,1
2
= 7,05 anos = 7,05 . 12 = 84,6 meses 
Assim, 88,8 – 84,6 = 4,2 meses 
 
04. Resposta:C. 
Pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua nota foi 
7,0 e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0. 
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5 
 
𝑀 = 
1.7 + 2.4 + 3. 𝑥
1 + 2 + 3
= 5 
 
 
15 + 3. 𝑥
6
= 5 
 
15 + 3𝑥 = 6 . 5 
 
3𝑥 = 30 − 15 
 
𝑥 =
15
3
= 5 
 
05. Resposta: C. 
Vamos colocar os números em ordem crescente: 
0,645 0,719 0,730 0,758 0,775 0,780 0,792 0,811 0,819 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 102 
O número que se encontra no meio é 0,775 (México). 
 
06. Resposta: C. 
Vamos calcular a média de cada classe: 
* Classe 1: (0 + 5) / 2 = 5 / 2 = 2,5 
2,5 . 1 = 2,5 
* Classe 2: (5 + 10) / 2 = 15 / 2 = 7,5 
7,5 . 7 = 52,5 
* Classe 3: (10 + 15) / 2 = 25 / 2 = 12,5 
12,5 . 15 = 187,5 
* Classe 4: (15 + 20) / 2 = 35 / 2 = 17,5 
 
17,5 . 9 = 157,5 
* Classe 5: (20 + 25) / 2 = 45 / 2 = 22,5 
22,5 . 3 = 67,5 
* Classe 6: (25 + 30) / 2 = 55 / 2 = 27,5 
27,5 . 2 = 55 
* Soma das médias = 522,5 
* Total de horas = 37h 
Por final: 522,5 / 37 = 14,12 
 
07. Resposta: C. 
Colocando na ordem crescente: 
1100;1200;1210;1250;1300;1420;1450;1500;1600;1980 
A mediana é o número que se encontra no meio. Nesse caso que tem 10 números(par) é a média do 
5º e 6º números: 
 
1300 + 1420
2
=
2720
2
= 1360 
 
08. Resposta: C. 
* Se a moda é 173 cm, então q = 173 cm (Gonçalves, Camargo e Pacheco). 
* Se a mediana é 174,5 cm, então (q + p) / 2 = 174,5. 
q + p = 174,5 . 2 
q + p = 349 cm 
* Se a média aritmética é 175,5 cm, então: 
 
𝑀 = 
3.𝑞+𝑝+2.𝑚 
6
= 175,5 
 
2.𝑞+𝑞 + 𝑝 +2.𝑚 
6
= 175,5 
 
2.173 + 349 + 2.m = 175,5 . 6 
346 + 349 + 2.m = 1053 
2.m = 1053 – 695 
m = 358 / 2 
m = 179 cm 
 
09. Resposta: D. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
15 + 17 + 21 + 25 + 25 + 29 + 33 + 35
8
= 25 
 
A mediana é a média entre o 4º e 5º termo: 
 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
25 + 25
2
= 25 
Moda é o número que mais aparece: 25 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 103 
10. Resposta: C. 
Colocando em ordem crescente: 
3; 4; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9 
 
São 9 elementos, então a mediana é o quinto elemento(9+1/2) 
Mediana 7 
 
11. Resposta: A. 
Moda é o elemento que aparece com mais frequência: 8 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
As medidas de tendência central fornecem informações valiosas mas, em geral, não são suficientes 
para descrever e discriminar diferentes conjuntos de dados. As medidas de Dispersão ou variabilidade 
permitem visualizar a maneira como os dados espalham-se (ou concentram-se) em torno do valor 
central. Para mensurarmos esta variabilidade podemos utilizar as seguintes estatísticas: amplitude total; 
distância interquartílica; desvio médio; variância; desvio padrão e coeficiente de variação. 
 
- Amplitude Total: é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. 
Ex.: dados: 3, 4, 7, 8 e 8. Amplitude total = 8 – 3 = 5 
 
- Distância Interquartílica: é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil de um conjunto de 
dados. O primeiro quartil é o valor que deixa um quarto dos valores abaixo e três quartos acima dele. O 
terceiro quartil é o valor que deixa três quartos dos dados abaixo e um quarto acima dele. O segundo 
quartil é a mediana. (O primeiro e o terceiro quartis fazem o mesmo que a mediana para as duas 
metades demarcadas pela mediana.) Ex.: quando se discutir o boxplot. 
 
- Desvio Médio: é a diferença entre o valor observado e a medida de tendência central do conjunto 
de dados. 
 
- Variância: é uma medida que expressa um desvio quadrático médio do conjunto de dados, e sua 
unidade é o quadrado da unidade dos dados. 
 
- Desvio Padrão: é raiz quadrada da variância e sua unidade de medida é a mesma que a do conjunto 
de dados. 
 
- Coeficiente de variação: é uma medida de variabilidade relativa, definida como a razão percentual 
entre o desvio padrão e a média, e assim sendo uma medida adimensional expressa em percentual. 
 
Boxplot: Tanto a média como o desvio padrão podem não ser medidas adequadas para representar 
um conjunto de valores, uma vez que são afetados, de forma exagerada, por valores extremos. Além 
disso, apenas com estas duas medidas não temos idéia da assimetria da distribuição dos valores. Para 
solucionar esses problemas, podemos utilizar o Boxplot. Para construí-lo, desenhamos uma "caixa" com 
o nível superior dado pelo terceiro quartil (Q3) e o nível inferior pelo primeiro quartil (Q1). A mediana 
(Q2) é representada por um traço no interior da caixa e segmentos de reta são colocados da caixa até 
os valores máximo e mínimo, que não sejam observações discrepantes. O critério para decidir se uma 
observação é discrepante pode variar; por ora, chamaremos de discrepante os valores maiores do que 
Q3+1.5*(Q3-Q1) ou menores do que Q1-1.5*(Q3-Q1). 
O Boxplot fornece informações sobre posição, dispersão, assimetria, caudas e valores discrepantes. 
 
O Diagrama de dispersão é adequado para descrever o comportamento conjunto de duas variáveis 
quantitativas. Cada ponto do gráfico representa um par de valores observados. Exemplo: 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 104 
 
 
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da 
variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra. 
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define 
a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 
 
Variância: Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos 
desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de 
observações da amostra menos um. 
 
 
 
Desvio-Padrão: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se 
exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão 
com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio 
padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, 
maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam 
imediatamente da definição, são: o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os 
dados. 
 
 
 
Exemplo: Em uma turma de aluno, verificou-se através da análise das notas de 15 alunos, os 
seguintes desempenhos: 
 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 105 
Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. 
Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55. 
 
Vejamos de outra forma: 
 
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da 
variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra. 
Repare-se nas duas amostras seguintes, que embora tenham a mesma média, têm uma dispersão bem 
diferente: 
 
 
Como a medida de localização mais utilizada é a média, será relativamente a ela que se define a 
principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 
Define-se a variância, e representa-se por s2, como sendo a medida que se obtém somando os 
quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo 
número de observações da amostra menos um: 
 
 
Se afinal pretendemos medir a dispersão relativamente à média. Por que é que não somamos 
simplesmente os desvios em vez de somarmos os seus quadrados? 
Experimenta calcular essa soma e verás que (x1-x) + (x2-x) + (x1-x) + ... + (xn – x) ≠ 0. Poderíamos ter 
utilizado módulos, para evitar que os desvios negativos, mas é mais fácil trabalhar com quadrados, não 
concorda?! E por que é que em vez de dividirmos pó “n”, que é o número de desvios, dividimos por (n-
1)? Na realidade, só aparentementeé que temos “n” desvios independentes, isto é, se calcularmos (n-
1) desvios, o restante fica automaticamente calculado, uma vez que a sua soma é igual a zero. Costuma-
se referir este fato dizendo que se perdeu um grau de liberdade. 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma 
que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades 
que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: 
 
 
 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior 
será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da 
definição, são: 
- o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre 
os dados. 
- se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. 
 
Exemplo: Na 2ª classe de certa escola o professor deu uma tarefa constituída por um certo número 
de contas para os alunos resolverem. Pretendendo determinar a dispersão dos tempos de cálculo, 
observam-se 10 alunos durante a realização da tarefa, tendo-se obtido os seguintes valores: 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 106 
 
 
Resolução: Na tabela anterior juntamos duas colunas auxiliares, uma para colocar os desvios das 
observações em relação à média e a outra para escrever os quadrados destes desvios. A partir da 
coluna das observações calculamos a soma dessas observações, que nos permitiu calcular a média = 
16.9. Uma vez calculada a média foi possível calcular a coluna dos desvios. Repare-se que, como seria 
de esperar, a soma dos desvios é igual a zero. A soma dos quadrados dos desvios permite-nos calcular 
a variância donde s = 3.54. 
s2 = 112.9 9 = 12.54 
 
O tempo médio de realização da tarefa foi de aproximadamente 17 minutos com uma variabilidade 
medida pelo desvio padrão de aproximadamente 3.5 minutos. Na representação gráfica ao lado 
visualizamos os desvios das observações relativamente à média (valores do exemplo anterior): 
 
Do mesmo modo que a média, também o desvio padrão é uma medida pouco resistente, pois é 
influenciado por valores ou muito grandes ou muito pequenos (o que seria de esperar já que na sua 
definição entra a média que é não resistente). Assim, se a distribuição dos dados for bastante 
enviesada, não é conveniente utilizar a média como medida de localização, nem o desvio padrão como 
medida de variabilidade. Estas medidas só dão informação útil, respectivamente sobre a localização do 
centro da distribuição dos dados e sobre a variabilidade, se as distribuições dos dados forem 
aproximadamente simétricas. 
Propriedades para dados com distribuição aproximadamente normal: Uma propriedade que se 
verifica se os dados se distribuem de forma aproximadamente normal, ou seja, quando o histograma 
apresenta uma forma característica com uma classe média predominante e as outras classes se 
distribuem à volta desta de forma aproximadamente simétrica e com frequências a decrescer à medida 
que se afastam da classe média, é a seguinte: 
Aproximadamente 68% dos dados estão no intervalo . 
 
 
 
Desvio Padrão: Propriedades para dados com distribuição aproximadamente normal: 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 107 
- Aproximadamente 68% dos dados estão no intervalo 
- Aproximadamente 95% dos dados estão no intervalo 
- Aproximadamente 100% dos dados estão no intervalo 
 
 
 
Como se depreende do que atrás foi dito, se os dados se distribuem de forma aproximadamente 
normal, então estão praticamente todos concentrados num intervalo de amplitude igual a 6 vezes o 
desvio padrão. 
A informação que o desvio padrão dá sobre a variabilidade deve ser entendida como a variabilidade 
que é apresentada relativamente a um ponto de referência - a média, e não propriamente a variabilidade 
dos dados, uns relativamente aos outros. 
A partir da definição de variância, pode-se deduzir sem dificuldade uma expressão mais simples, sob 
o ponto de vista computacional, para calcular ou a variância ou o desvio padrão e que é a seguinte: 
 
 
 
Amplitude: Uma medida de dispersão que se utiliza por vezes, é a amplitude amostral r, definida 
como sendo a diferença entre a maior e a menor das observações: r = xn:n - x1:n, onde representamos 
por x1:n e xn:n, respectivamente o menor e o maior valor da amostra (x1, x2, ..., xn), de acordo com a 
notação introduzida anteriormente, para a amostra ordenada. 
 
Amplitude Inter-Quartil: A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensível à 
existência, na amostra, de uma observação muito grande ou muito pequena. Assim, define-se uma outra 
medida, a amplitude inter-quartil, que é, em certa medida, uma solução de compromisso, pois não é 
afetada, de um modo geral, pela existência de um número pequeno de observações demasiado grandes 
ou demasiado pequenas. Esta medida é definida como sendo a diferença entre os 1º e 3º quartis. 
Amplitude inter-quartil = Q3/4 - Q1/4 
Do modo como se define a amplitude inter-quartil, concluímos que 50% dos elementos do meio da 
amostra, estão contidos num intervalo com aquela amplitude. Esta medida é não negativa e será tanto 
maior quanto maior for a variabilidade nos dados. Mas, ao contrário do que acontece com o desvio 
padrão, uma amplitude inter-quartil nula, não significa necessariamente, que os dados não apresentem 
variabilidade. 
 
Amplitude inter-quartil ou desvio padrão: Do mesmo modo que a questão foi posta relativamente 
às duas medidas de localização mais utilizadas - média e mediana, também aqui se pode por o problema 
de comparar aquelas duas medidas de dispersão. 
- A amplitude inter-quartil é mais robusta, relativamente à presença de "outliers", do que o desvio 
padrão, que é mais sensível aos dados. 
- Para uma distribuição dos dados aproximadamente normal, verifica-se a seguinte relação. 
Amplitude inter-quartil 1.3 x desvio padrão. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 108 
- Se a distribuição é enviesada, já não se pode estabelecer uma relação análoga à anterior, mas pode 
acontecer que o desvio padrão seja muito superior à amplitude inter-quartil, sobretudo se se verificar a 
existência de "outliers". 
Questão 
 
01. (AL/GO – Assistente Legislativo – Assistente Administrativo – CS/UFG/2015) Em 
estatística, a variância é um número que apresenta a unidade elevada ao quadrado em relação a 
variável que não está elevada ao quadrado, o que pode ser um inconveniente para a interpretação 
do resultado. Por isso, é mais comumente utilizada na estatística descritiva o desvio-padrão, que 
é definido como 
(A) a raiz quadrada da mediana, representada por "s" ou "μ". 
(B) a raiz quadrada da variância, representada por "s" ou "α". 
(C) a raiz quadrada da variância, representada por "s" ou "α". 
(D) a raiz quadrada da média, representada por "s" ou "α". 
 
Resposta 
 
01. Resposta: C. 
Como visto, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
PROBABILIDADE 
 
 Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento 
 
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos 
considerar: 
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis. 
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o 
número de elementos do espaço amostra por n(S). 
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o 
número de elementos do evento por n(A). 
 
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos. 
Ø = evento impossível. 
S = evento certo. 
 
 Conceito de Probabilidade 
 
As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade 
de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada 
pelo quociente entre o número de elementosA e o número de elemento S. Representando: 
 
𝑷(𝑨) =
𝒏(𝑨)
𝑵(𝑺)
 
 
Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, 
temos: 
- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
- um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S. 
- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3. 
- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴1)
𝑁(𝑆)
=
3
6
=
1
2
 
 
 Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio 
 
- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é 
igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1. 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 109 
- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A). 
 
Demonstração das Propriedades 
 
Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos: 
 
{
𝑛(∅) = 0 → 𝑃(∅) =
0
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(∅) = 0
𝑃(𝑆) =
𝑛(𝑆)
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(𝑆) = 1
 
 
{
∅ ∁ 𝐴 ∁ 𝐴 ↔ 𝑛(∅) ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑆) ↔
↔ 
𝑛(∅)
𝑛(𝑆)
≤ 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
≤ 
𝑛(𝑆)
𝑛(𝑆)
↔ 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
 
 
{
𝐴 ∪ �̅� = 𝑆
𝐴 ∩ �̅� = ∅
 
 
{
↔ 𝑛(𝐴) + 𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑆) ↔
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(�̅�)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝑆)
𝑛(𝑆)
↔
↔ 𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 1 ↔ 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴)
 
 
União de Eventos 
 
Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 
 
↔
𝑛(𝐴∪𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝑆)
 
 
Logo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
 
 
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe 
que A ∩ B = 0, portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de 
dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente: 
 
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) 
 
 
 
A
B
S
A
B
S
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 110 
Eventos Exaustivos 
 
Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes 
serão denominados exaustivos se A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …∪ An = S 
 
 
 
Então, logo: 
 
{
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ …∪ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯+ 𝑃(𝐴𝑛)
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪…𝐴𝑛) = 𝑃(𝑆) = 1
 
 
Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 
 
 Probabilidade Condicionada 
 
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B 
condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É 
representada por P(B/A). 
 
Veja: 𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐴)
 
 
 
 
Eventos Independentes 
 
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes 
somente quando: 
 
 P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B) 
 
Intersecção de Eventos 
 
Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo: 
 
𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐴)
=
𝑛(𝐴∩𝐵)+𝑛(𝑆)
𝑛(𝐴)+𝑛(𝑆)
=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
 
 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐵)
=
𝑛(𝐴∩𝐵)+𝑛(𝑆)
𝑛(𝐵)+𝑛(𝑆)
=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Assim sendo: 
 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 111 
Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição 
ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação: 
 
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou 
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
 Lei Binominal de Probabilidade 
 
Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de 
maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa 
ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 
1 – p. 
 
Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de 
ocorrer o evento A só k vezes? 
 
Resolução: 
- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário 
ocorrer exatamente n – k vezes o evento A. 
- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de 
ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é: 
 
𝑝. 𝑝. 𝑝… . . 𝑝⏟ 
𝑘 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
. (1 − 𝑝). (1 − 𝑝)… . . (1 − 𝑝)⏟ 
(𝑛−𝑘)𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
= 𝑝𝑘 . (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 
 
- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de 
maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. 
- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e 
portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k 
 
Questões 
 
01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que 
contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é: 
 
(A) 
1
3
 (B) 
1
2
 (C) 
1
4
 (D) 
1
12
 (E) 
1
8
 
 
02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em 
uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, 
de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos 
os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) 
é: 
 
 
 
(A) 
1
3
 (B) 
1
4
 (C) 
7
15
 (D) 
7
23
 (E) 
7
25
 
 
0
2
4
6
8
10
Sem
filhos
1 filho 2 filhos 3 filhos
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 112 
03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei 
ou uma dama? 
 
04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada 
uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números 
ímpares ou dois números iguais? 
 
05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. 
A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é 
(A) 10% 
(B) 12% 
(C) 64% 
(D) 82% 
(E) 86% 
 
06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao 
acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca? 
 
07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. 
Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é: 
(A) 42% 
(B) 45% 
(C) 46% 
(D) 48% 
(E) 50% 
 
08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 
0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é: 
(A) 0,5 
(B) 5/7 
(C) 0,6 
(D) 7/15 
(E) 0,7 
 
09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com 
reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem 
brancas é: 
 
(A) 
1
81
 (B) 
16
81
 (C) 
4
81
 (D) 
24
81
 (E) 
2
81
 
 
10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de 
laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na 
lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas 
suficientes para fazer o suco dessa fruta é: 
 
(A) 1 (B) 
1
39
 (C) 
1
38
 (D) 
2
3
 (E) 
2
37
 
 
Respostas 
 
01. 𝑃(𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) = 4
12
=
1
3
 
 
02. A partir da distribuição apresentada no gráfico: 
08 mulheres sem filhos. 
07 mulheres com 1 filho. 
06 mulheres com 2 filhos. 
02 mulheres com 3 filhos. 
 
1133648 E-book geradoespecialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 113 
Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido 
um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25. 
 
03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 4
52
+
4
52
=
8
52
=
2
13
 
 
04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. 
Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida 
é: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
9
36
+
6
36
−
3
36
=
12
36
=
1
3
 
 
05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500 
 
A: o número sorteado é formado por 3 algarismos; 
A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500 
 
B: o número sorteado é múltiplo de 10; 
B = {10, 20, ..., 500}. 
 
Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que 
a1 = 10 
an = 500 
r = 10 
Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50 
 
Dessa forma, p(B) = 50/500. 
 
A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; 
A Ω B = {100, 110, ..., 500}. 
De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(A∩B) = 41/500 
 
Por fim, p(A.B) = 
401
500
+
50
500
−
41
500
=
41
50
= 82% 
 
06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas. 
Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9 
A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4 
B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2 
 
 𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(𝐴) =
4
9
≅ 44,4% 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(𝐵) =
2
9
≅ 22,2% 
 
Como A∩B = ∅, A e B são eventos mutuamente exclusivos; 
Logo: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 
4
9
+
2
9
=
6
9
→ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
2
9
≅ 67,0% 
 
07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos: 
(A) “A” acerta e “B” erra; ou 
(B) “A” erra e “B” acerta. 
 
Assim, temos: 
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 
P (A ∪ B) = 40% . 70% + 60% . 30% 
P (A ∪ B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 
P (A ∪ B) = 0,28 + 0,18 
P (A ∪ B) = 0,46 
P (A ∪ B) = 46% 
 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA
 
. 114 
08. Sendo A e B eventos independentes, P(A∩B) = P(A) . P(B) e como P(A∪B) = P(A) + P(B) – 
P(A∩B). Temos: 
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 
0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 
0,7 . (PB) = 0,5 
P(B) = 5/7. 
 
09. Representando por 𝑃(𝐵1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝑃4) a probabilidade pedida, temos: 
𝑃(𝐵1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝑃4) = 
𝑃(𝐵1). 𝑃(𝑃2). 𝑃(𝐵3). 𝑃(𝑃4) = 
 
2
6
.
4
6
.
2
6
.
4
6
= (
2
6
)
2
. (
4
6
)
2
=
4
81
 
 
10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes 
foram servidos com apenas um desses sucos, então: 
I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os 
nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas. 
II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove 
primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco. 
A probabilidade de isso ocorrer é: 
 
𝐶9,8. (
1
3
)
8
. (
2
3
)
1
= 9.
1
38
.
2
3
=
2
37
 
 
 
 
Referências 
 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
GONÇALVES, Antônio R. - Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora Saraiva: 2002 
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São 
Paulo – Editora Atlas S. A: 1999 
DORA, Filho U – Introdução à Bioestatística para simples mortais – São Paulo – Elsevier: 1999. 
http://www.andremachado.org 
1133648 E-book gerado especialmente para DENISE PEREIRA DA SILVA