Oscilações Forçadas e Amortecidas

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Oscilações Forçadas e Amortecidas
ARAÚJO, M.P.,
∗
FARIAS, R.S.F.,
†
SILVA, D. J. R.,
‡
and LEITE, M. M. F.
§
Engenharia de Petróleo, Centro universitário Tiradente, 57038-000, Maceió, Alagoas, Brazil
Resumo
Na natureza é commum encontramos casos de sistemas oscilantes que estão sujeitos à ação
de forças dissipativas, as quais tendem a trazer o sistema para uma posição de equilíbrio
(oscilações amortecidas), assim como à forças externas períodicas que tendem a modificar a
frequência de oscilação do sistemas (oscilaões forçadas). Neste trabalho abordaremos estes
dois casos e apresentaremos suas equações de movimento e principais características.
Abstract
In nature, it is common to find cases of oscillating systems that are subject to the action
of dissipative forces, which tend to bring the system into a position of equilibrium (damped
oscillations), as well as the periodic external forces that tend to modify the oscillation fre-
quency of the Systems (Forced oscillations). In this work we will discuss these two cases and
present their equations of motion and main characteristics.
1. INTRODUÇÃO
Quando uma partícula realiza um movimento oscilatório, isto é, quando ela se move para frente
e para trás simetricamente em torno de um ponto de equilíbrio e este movimento se repete em
intervalos iguais, dizemos este movimento é perióico. Os sistemas que se comportam com esse tipo
de movimento são chamados de osciladores harmônicos.
Classicamente um oscilador harmônico é um sistema que apresenta uma força que será sempre
direcionada para a posição de equilíbrio, força restauradora, a qual é proporcional ao deslocamento.
Em um sistema onde a única força atuante é a força restauradora, o movimento realizado por esse
sistema é conhecido como movimento harmônico simples (MHS). A força restauradora é dada pela
lei de Hook, sendo expressa por
Fel = −kx (1)
∗
Electronic address: mariiana.pinheiro@hotmail.com
†
Electronic address: renata_feitosa@hotmail.com
‡
Electronic address: denildojunio1@outlookcom
§
Electronic address: miqueias_mateus@outlook.com
2
Onde a constante de proporcionalidade k é chamada de Constante elática.
De acordo com a segunda lei de Newton, a equação de movimento de um corpo realiza um MHS,
em uma dimensão, em torno de um ponto de equilíbrio estável é dada por
m
d2x(t)
dt2
+ k.x(t) = 0, (2)
onde m é a massa do corpo, x é o deslocamento relativo à posição de equilíbrio e d2x/dt2. A solução
da equação (2) é dada por
x(t) = |A| cos(ω0t+ ϕ), (3)
sendo ω0 =
√
k/m a frequência angular. As constantes |A| e ϕ são definidas pelas condições
iniciais da oscilação (quando t = 0), onde |A| é a amplitude da oscilação e ϕ a constante de fase que
indica em que ponto da trajetória, ou em que fase da oscilação, se encontrava o corpo no instante
considerado como t = 0. Como podemos notar, em um MHS corpo oscila, sempre, entre os pontos
de retorno ou de afastamento máximo, +A e −A , ou seja, com a amplitude constante, dada pelas
condições iniciais.
Entretanto, na maioria dos sistemas macroscópicos oscilantes, a amplitude diminui com o passar
do tempo até parar. Nesse caso, dizemos, que há um amortecimento no movimento oscilatório.
Para representar este fato introduzimos uma força proporcional à velocidade do corpo e em sentido
contrário a esta, o que se aproxima do que ocorre quando um corpo oscila imerso em um fluido
(como o ar ou algum líquido), com velocidades baixas. Tal força é chamada força de resistência ou
força de amortecimento,
Fa = −bdx
dt
(4)
Em um movimento oscilatório, como o de uma pessoa em um balanço, se nenhuma força atuar
sobre o sistema pessoa-balanço, esse terá um movimento harmônico amortecido, ou seja, sua ampli-
tude irá diminuir gradualmente até parar. No entanto, se uma força externa periódica for aplicada
ao sistema, ele passará a executar um movimento de oscilação forçada, de tal modo que a amplitude
do movimento pode aumentar ou diminuir proporcionalmente a frequência da força que foi aplicada
ao sistema.
Um sistema que executa oscilações forçadas possui duas frequências angulares associadas a ele. A
primeira está relacionada a frequência angular das oscilações livres do sistema, em outras palavras,é
a frequência natural do sistema e a seguda expressa a frequência angular da força externa que produz
a oscilação forçada. A frequência natural do sistema pode ser expressa por
f0 =
ω0
2pi
. (5)
3
Se a frequência angular da força externa for igual à frequência angular natural do sistema, a ampli-
tude do sistema de oscilação forçada será máxima. Nesse caso o sistema passaria a oscilar com um
amplitude crescente. Essa condição do sistema recebe o nome de ressonância. Porém, em um caso
real, o sistema não atinge essa amplitude devido a precença de forças dissipativas como o atrito, a
resistência do ar e a resistência do material.
2. OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Se não houvessem forças dissipativas, como o atrito, um pêndulo ou um sistema massa mola
oscilaria indefinidamente. No entanto, devido a estas forças a energia mecânica do sistema oscilador
é dissipada, fazendo com que o sistema acabe por parar de oscilar. Tal movimento é dito amortecido
e denomina-se movimento harmônico amortecido.
O movimento harmônico amortecido pode ser caracterizado de três formas:
• Se o amortecimento for grande o suficiente, de modo que o oscilador não chegue a completar
nem um ciclo de oscilações, este tipo de movimento é dito superamortecido.
• Se o amortecimento é suficientemente pequeno para que o sistema oscile com uma amplitude
que diminui lentamente com o tempo, o movimento é dito subamortecido.
• O movimento com o mínimo amortecimento que ainda não resulta em oscilações é dito criti-
camente amortecido.
2.1. Equações de movimento do oscilador harmônico amortecido
Como mencionado anteriomente, para o oscilador harmônico amortecido consideramos a presença
de força dissipativas no sistema. Para obtermos a equação de movimento do oscilador harmônico
amortecido introduzimos uma força de amortecimento, (4), na força resultante do sistema oscilante,
com isso,
FR = Fel + Fa
= −k.x− bdx
dt
. (6)
Da segunda lei de Newton temos que
FR = m.a = m.
d2x
dt2
, (7)
4
logo,
−k.x− bdx
dt
= m.
d2x
dt2
. (8)
Vamos chamar
d2x
dt2
= x¨ e dxdt = x˙. Dividindo a equação (8) por m obtemos
x¨+
b
m
x˙+
k
m
x = 0, (9)
lembrando que ω0
2 = km e definindo o parâmetro de amortecimento β =
b
2m , a equação (9) pode
ser reescrita como
x¨+ 2βx˙+ ω0
2x = 0. (10)
A equação (10) admite como solução a seguinte relação x = ert, dessa forma temos
x = ert
x˙ = r.ert
x¨ = r2.ert,
logo
r2.ert + 2βr.ert + ω0
2.ert = 0
r2 + 2βr + ω0
2 = 0. (11)
Resolvendo a equação (11) obtemos como soluções r′ = −β +
√
β2 − ω02 e r′′ = −β −
√
β2 − ω02.
Assim, a solução geral da equação é
x(t) = A.e
(
−β+
√
β2−ω02
)
t
+B.e
(
−β−
√
β2−ω02
)
t
x(t) = A
[
e−βt.e
(√
β2−ω02
)
t
]
+B
[
e−βt.e−
(√
β2−ω02
)
t
]
x(t) = e−βt
[
A.e
√
β2−ω02 +B.e−
√
β2−ω02
]
, (12)
sendo (12) é a solução geral da equação de movimento para o oscilador harmônico amortecido.
2.1.1. Superamortecido: β2 > ω0
2
Omovimento harmônico superamortecido ocorre quando o amortecimento for grande o suficiente,
de modo que o oscilador não chegue a completar nem um ciclo de oscilações, isto é, β2 > ω0
2
, então
chamando ω =
√
β2 − ω02 e susbstituindo em (12) obtemos a equação de movimento para um
oscilador harmônico superamortecido
x(t) = e−βt
[
A.eωt +B.e−ωt
]
(13)
5
2.1.2. Subamortecido: β2 < ω0
2
Por sua vez o movimento harmônico subamortecido ocorre quando o amortecimento é suficiente-
mente pequeno para que o sistema oscile comuma amplitude que diminui lentamente com o tempo,
em outras palavras, quando β2 < ω0
2
. Nesse caso, vamos chamar iω =
√
β2 − ω02 e susbstituir
em (12), assim
x(t) = e−βt
[
A.eiωt +B.e−iωt
]
(14)
Usando eiθ = cos θ + isenθ então (14) fica
x(t) = e−βt {A [cos(ωt) + isen (ωt)] +B [cos(−ωt) + isen (−ωt)]}
Lembrando que: cos(−ωt) = cos(ωt) e sen (−ωt) = −sen (ωt), logo
x(t) = e−βt {A [cos(ωt) + isen (ωt)] +B [cos(ωt)− isen (ωt)]}
= e−βt {(A+B) cos(ωt) + [i(A−B)]sen (ωt)}
= e−βt [C cos(ωt) +Dsen (ωt)] (15)
Onde C = (A + B) e D = [i(A − B)]. Nesse ponto, precisamos escrever uma constante ϕ que
abrangerá qualquer combinação de soluções em seno ou cosseno, tal que C = |A| cosϕ e D =
−|A|senϕ. Substituindo essa solução em(15)
x(t) = |A|e−βt [cos(ωt) cosϕ− sen (ωt)senϕ]
sabendo que: cos(a + b) = cos a cos b − senasenb, a equação de movimento para um oscilador
harmônico subamortecido é
x(t) = |A|e−βt cos(ωt+ ϕ) (16)
2.1.3. Criticamente amortecido: β2 = ω0
2
Por fim quando β2 = ω0
2
o sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível
sem oscilar. Assim assumindo novamente ω =
√
β2 − ω02, tal que ω → 0 para β2 = ω02 e usando
essa condição em (12) obtemos a equação de movimento para um oscilador harmônico criticamente
amortecido:
x(t) = e−βt (A+B.t) (17)
6
3. OSCILAÇÕES FORÇADAS
Ao estudar o oscilador harmônico simples e o oscilador harmônico amortecido, nos deparamos
apenas com casos onde ocorre oscilações livres, isto é, aquelas em que o oscilador adquire, por
meio do deslocamento e da velocidade inicial, uma certa quantidade de energia e em seguida oscila
livremente evoluindo com o tempo, sendo amortecido por forças dissipativas que atuam sobre ele.
Vamos agora estudar o comportamento do oscilador harmônico sob a ação de uma força externa
periódica, tal que o período desta força é diferente do período de oscilação do oscilador, porduzindo
oscilações chamadas de oscilações forçadas. Essa força externa irá suprir de forma continua a energia
do oscilador, compensando a energia dissipada.
para o caso de um oscilador harmônico não-amortecido. Considerando uma força externa perió-
dica do tipo F (t) = F0 cos(ωt), a equação de movimento, segundo (2) é
d2x
dt2
+ ω0
2x =
F0
m
cos(ωt) (18)
onde chamaremos ω0 de frequência natural das oscilações livres. A equação (18) é uma equação
diferencial de 2
a
ordem não homegênea, de modo que uma solução pode ser obtida tomando a parte
real de ambos os membros da seguinte equação diferencial da variável complexa z
d2z
dt2
+ ω0
2z =
F0
m
eiωt (19)
A solução geral da equação (19) para o oscilador forçado para a variável complexa z é portanto
z(t) = − F0
m(ω2 − ω02)e
iωt +
C1
2iω0
eiω0t + C2e
−iω0t. (20)
A solução da equação do oscilador forçado para a variável real x é obtida quando tomamos a parte
real da solução para a variável complexa z, isto é, x(t) = Re[z(t)]. Assim,
x(t) = − F0
m(ω2 − ω02)Re
[
eiωt
]
+Re
[
C1
2iω0
eiω0t + C2e
−iω0t
]
= − F0
m(ω2 − ω02)Re
[
eiωt
]
+Re
[
− iC1
2ω0
eiω0t
]
+Re
[
C2e
−iω0t] , (21)
lembrando que e±iθ = cos θ ± senθ, então
Re
[
eiωt
]
= Re [cosωt+ isenωt] = cosωt; (22)
Re
[
− iC1
2ω0
eiω0t
]
= Re
[
− iC1
2ω0
cosω0t+
C1
2ω0
senω0t
]
= −Re[iC1]
2ω0
cosω0t+
Re[C1]
2ω0
senω0t, onde : Re[iC1] = −Im[C1]
=
Im[C1]
2ω0
cosω0t+
Re[C1]
2ω0
senω0t; (23)
Re
[
C2e
−iω0t] = Re [C2 cosω0t− iC2senω0t] = Re[C2] cosω0t+ Im[C2]senω0t. (24)
7
Assim (21) fica
x(t) = − F0
m(ω2 − ω02) cosωt+
A︷ ︸︸ ︷[
Im[C1]
2ω0
+R2[C2]
]
cosω0t+
B︷ ︸︸ ︷[
Re[C1]
2ω0
+ Im[C2]
]
senω0t
x(t) = − F0
m(ω2 − ω02) cosωt+A cosω0t+Bsenω0t,
onde A e B são são constantes reais arbitrárias e independentes. Do mesmo modo que fizemos
na soluaçõa da eq. (15), vamos assumir uma constante ϕ que abrangerá qualquer combinação de
soluções em seno ou cosseno, tal que a = |A| cosϕ e b = −|A|senϕ. Com isso a equação de
movimento para um sistema com oscilação forçada é
x(t) = − F0
m(ω2 − ω02) cosωt+ |A| cos (ω0t+ ϕ). (25)
Em (25), podemos ver a equação (3) para um sistema em MHS acrescida de um termo que carac-
teriza o movimento de oscilação forçada, o qual depende da força externa aplicada e as frequências
do oscilador e da força.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo deste trabalho discutimos alguns aspectos de sistemas com oscilações amortecido e
forçadas. Nas seção que tratou das oscilações amortecidas estudamos três tipos de amortecimentos:
O superamortecido, quando temos um alto grau de amortecimento, de modo que o oscilador não
chegue a completar nem um ciclo de oscilações, o subamortecido quando o fator de amortecimento
é pequeno permitindo o sistema oscilar com uma amplitude que diminue com o tempo e o amorte-
cimento crítico que possui um amortecimento mínimo no qual o sistema retorna para o estado de
esquilíbrio rapidamente sem oscilar. Por fim estudamos as oscilações sujeitas auma força externa
periódica (Oscilaçoes forçadas), onde abordamos caso de um oscilador harmônico não amortercido
e vimos que a equação de movimento para esse sistemas apresenta a solução geral do MHS e um
segundo termo que é expresso em função da força externa aplicada ao sistema e irá causar o mo-
vimento forçado. Esses sistemas oscilatórios estão presentes em nosso cotidiano, ainda que não os
pecebamos, como nos amortecedores dos carros e ônibus, nas oscilaçoes do diafragma do tímpano
de nosos ouvidos ao escutarmos um som e até mesmo no simples balançar de um balanço.
8
Agradecimentos
À Prof. Dr. Nívea Fernanda Correa nos transmitir seus conhecimentos.
[1] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 2: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. 4
a
edição, Editora
Edgard Blücher, 2002.
[2] SEARS, ZEMANSKY, Física, Vol 2, 10
a
Edição, Pearson, 2003.
[3] HALLIDAY, RESNICK, WALKER, Fundamentos da Física, Vol. 2, 8
a
Edição, LTC, 2009.
[4] TIPLER, Física, Vol 1, 6
a
Edição, LTC,2009.
[5] SERWAY, JEWEET, Princípios de Física, 2
a
Edição, Vol 2, Thonson, 2006.