Exercícios Propostos Eletrostática

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1ª Lista de Exercícios - Eletromagnetismo 
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4.3 Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão localizadas em (4, 0, -3) e (2, 0, 1), respectivamente. Se 
Q2 = 4 nC, determine Q1 tal que: 
a) O campo elétrico em (5, 0, 6) não tenha componentes em z. 
b) A força sobre uma carga de teste em (5, 0, 6) não tenha componentes em x. 
 
4.5 Determine a carga total: 
a) Sobre uma linha dada por 0 < x < 5 m, se ρL = 12 x2 mC/m. 
b) Sobre um cilindro dado por ρ = 3, 0 < z < 4 m, se ρs = ρ z2 nC/m2. 
c) Dentro de uma esfera com r = 4 m, se ρv = 10/(r sen θ) C/m3. 
 
4.12 Uma carga pontual de 100 pC está localizada em (4, 1, -3), enquanto o eixo-x está carregado 
com 2nC/m. Se o plano z = 3 também estiver carregado com 5 nC/m2, determine o campo 
elétrico no ponto (1, 1, 1). 
 
4.16 Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo 
elétrico: 
2 2
2 2
2
3 3
cos
a) 8 4 C/m
b) 8 2 2 C/m
2cos sen
b) C/m
x y
z
r
se
xy x
z
r r
n  

   
 
 
  
 
D a a
D a a a
D a a
 
 
4.22 Três cascas esféricas concêntricas com r = 1, r = 2 e r =3 têm, respectivamente, distribuições 
de cargas dadas por 2, -4 e 5 μC/m2. 
a) Calcule o fluxo através de r = 1,5 m e r = 2,5 m. 
b) Determine D em r = 0,5, r = 2,5 e r =3,5 m. 
 
4.26 Dado o campo elétrico em uma certa região do espaço 
( 1)sen ( 1)cos sen V/mzz z       E a a a , determine o trabalho realizado ao 
movimentar uma carga de 4 nC de: 
a) A(1, 0, 0) até B(4, 0, 0) 
b) B(4, 0, 0) até C(4, 30°, 0) 
c) C(4, 30°, 0) até D(4, 30°, -2) 
d) A até D 
 
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4.28 Seja V = xy2z. Calcule a energia necessária para transferir uma carga pontual de 2 μC de (1, 
-1, 2) a (2, 1, -3). 
 
4.29 Determine o campo elétrico devido aos seguintes potenciais: 
a) V = x2 + 2y2 + 4z2 
b) V = sen ( x2 + y2 + z2 )1/2 
c) V = ρ2 (z + 1 ) sen ϕ 
d) V = e-r sen θ cos 2ϕ 
 
4.30 Três cargas pontuais Q1 = 1mC, Q2 = -2mC e Q3 = 3mC estão localizadas, respectivamente, 
em (0, 0, 4), (-2, 5, 1) e (3, -4, 6). 
a) Determine o potencial VP em P(-1, 1, 1). 
b) Calcule a diferença de potencial VPQ se Q é (1, 2, 3). 
 
4.32 Uma distribuição esférica de cargas é dada por 
𝜌𝑣 = {
𝜌𝑜
𝑟
𝑎
, 𝑟 < 𝑎
0 , 𝑟 > 𝑎
 
Determine V em qualquer ponto. 
 
4.34 a) Uma carga total Q = 60 μC é dividida em duas cargas iguais localizadas a 180° uma da 
outra, posicionadas em um anel circular de raio 4m. Determine o potencial no centro do anel. 
b) Se a carga Q for dividida em três cargas iguais espaçadas em intervalos iguais de 120° nesse 
anel, determine o potencial no centro do anel. 
c) Se a carga for distribuída ao longo do anel com uma distribuição linear dada por 𝜌𝐿 =
𝑄
8𝜋
 , 
determine o potencial no centro da anel. 
 
 
 
 
 
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4.35 Para uma distribuição esférica de cargas é dada por 
𝜌𝑣 = {
𝜌𝑜(𝑎
2 − 𝑟2), 𝑟 < 𝑎
0 , 𝑟 > 𝑎
 
a) Determine E e V para r ≥ a. 
b) Determine E e V para r ≤ a. 
c) Determine a carga total. 
d) Demostre que E é máximo quando r =0,145 a. 
 
4.38 Um dipolo elétrico com 𝐩 = 𝑝𝐚𝑧 C.m está localizado em (x, y) = (0, 0). Se o potencial em (0, 
1) nm é de 9 V, determine o potencial em (1, 1) nm. 
 
4.40 Determine o trabalho necessário para deslocar as cargas Q1 = 1mC e Q2 = -2mC do infinito 
até os pontos (-2, 6, 1) e (3, -4, 0), respectivamente. 
 
4.41 Uma carga pontual Q está na origem. Calcule a energia armazenada na região dada por 𝑟 >
𝑎. 
 
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5.2 Determine a corrente total em um fio de raio 1,6 mm se 𝐉 =
500𝐚𝑧
𝜌
 A/m2. 
 
5.4 A carga 10-4 e-3t C é removida de uma esfera através de um fio. Determine a corrente no fio 
em t = 0 e t = 2,5 s. 
 
5.6 Se as extremidades de uma barra cilíndrica de carbono (σ = 3.104), de raio 5mm e 
comprimento 8 cm, são submetidas a uma diferença de potencial de 9V, determine: 
a) A resistência da barra; 
b) a corrente através da barra; c) a potência dissipada na barra. 
 
5.7 A resistência de um fio longo de seção reta circular de 3 mm de diâmetro é de 4,04 Ω/km. 
Se uma corrente de 40 A percorre o fio, determine: 
a) A condutividade do fio e identifique o material do fio; 
b) A densidade de corrente elétrica no fio. 
 
5.8 Uma bobina é feita de 150 voltas de fio de cobre enroladas em torno de um núcleo cilíndrico. 
Se o raio médio das voltas é de 6,5 mm e o diâmetro do fio é de 0,4 mm, calcule a resistência da 
bobina. 
 
5.10 Um cilindro oco de 2 m de comprimento tem sua seção reta mostrada na figura abaixo. Se 
o cilindro é feito de carbono (σ = 105 mhos/m), determine a resistência entre as extremidades 
do cilindro. Considere a = 3 cm e b = 5 cm. 
 
 
 
 
 
5.16 Duas cargas pontuais no espaço livre exercem uma força de 4,5 μN, uma sobre a outra. 
Quando o espaço entre elas é preenchido com um material dielétrico, a força muda para 2 μN. 
Determine a constante dielétrica do material e identifique o material. 
 
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5.27 A região 1 (z < 0) contém um dielétrico para o qual o εr = 2,5, enquanto que a região 2 (z > 
0) é caracterizada por εr = 4. Considere 𝐄 = −30𝐚𝑥 + 50𝐚𝑦 + 70𝐚𝑧 V/m e determine: a) D2 ; b) 
P2 ; c) o ângulo entre E1 e a normal à superfície. 
 
5.28 Dado que 𝐄1 = 10𝐚𝑥 − 6𝐚𝑦 + 12𝐚𝑧 V/m na figura abaixo, determine: a) P1 ; b) E2 e o 
ângulo que E2 faz com o eixo-y; c) a densidade de energia em cada região. 
 
 
 
 
 
 
 
5.33 Uma esfera no espaço livre, revestida de prata, de raio 5 cm, está carregada com uma carga 
total de 12 nC, uniformemente distribuída em sua superfície. Determine: a) |D| sobre a 
superfície da esfera; b) D externo à esfera; c) a energia total armazenada no campo. 
 
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6.1 No espaço livre V = 6xy2z + 8. Determine E e ρv no ponto P(1,2,-5). 
6.2 Duas placas condutoras muito extensas estão localizadas em x = 1 e x = 4. O espaço entre 
elas apresenta uma distribuição de cargas dada por (x/6π) nC/m3. Determine V em x = 2 se V(1) 
= -50 V e V(4) = 50 V. 
6.6 Determine quais das seguintes distribuições de potencial satisfazem a equação de Laplace: 
a) V1 = x2 + y2 - 2z2 + 10 
b) V2 = 1 / [( x2 + y2 + z2)1/2] 
c) V3 = ρz sen ϕ + ρ
2 
d) V4 = (10 sen θ sen ϕ) / r
2 
6.10 O campo potencial V = 2x2yz – y3z existe em um meio dielétrico cujo ε = 2ε0. A) V satisfaz 
a equação de Laplace? B) Calcule a carga total dentro de um cubo unitário dado por 0 < x,y,z < 1 
m. 
6.13 Dois cilíndricos concêntricos, ρ = 2 cm e ρ = 6 cm, são mantidos a V = 60 V e V = -20 V, 
respectivamente. Calcule V, E e D em ρ = 4 cm. 
6.26 A seção reta de um fusível é mostrado abaixo. Se o fusível for deito de cobre e sua espessura 
for de 1,5 mm, calcule a sua resistência elétrica. 
 
6.50 Uma carga pontual Q está localizada entre dois planos condutores aterrados que se 
interceptam a 45° um do outro. Determine o número de cargas imagem e suas localizações. 
6.51 Uma linha infinita x = 3, z = 4, carregada com 16 nC/m está localizada no espaço livre acima 
de um plano condutor z = 0. A) Encontre E em (2, -2, 3); b) calcule a densidade superficial de 
carga induzida sobre o plano condutor em (5, -6, 0). 
6.52 No espaço livre, planos infinitos y = 4 e y = 8 estão carregados com 20 nC/m2 e 30 nC/m2, 
respectivamente. Se o plano y = 2 está aterrado, calcule E em P(0, 0, 0) e Q(-4, 6, 2).1ª Lista de Exercícios - Eletromagnetismo 
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4.3: 
a) -3,463 nC 
b) -18,7 nC 
4.5: 
a) 0,5 C 
b) 1,206(10-6) C 
c) 157,91 C 
4.12: (-0,0216, 18, -264,7) V/m 
4.16: 
a) 8y C/m3 
b) 2z C/m3 
c) 0 
4.22: 
a) 25,13 μC; -175,93 μC 
b) 0; -2,24 ar μC/m2 ; 2,531 ar μC/m2 
4.26: 
a) 0 
b) -8 nJ 
c) 16 nJ 
b) 8 nJ 
4.28: 𝑊 = -16 μJ 
4.29: 
a) E = (-2x,4y,8z) V/m 
b) E = -(x,-y,-z)cos(x2+y2+x2)1/2 V/m 
c) E = (-2ρ(z+1)senφ, -ρ(z+1)cosφ, -ρ2senφ) V/m 
d) E = (exsenθcos2φ, -(1/r)e-rcosθcos2φ, (2/r)e-rsen2φ) V/m 
 
4.30: 
a) 𝑉 = 3 MV 
b) 𝑉 = 694 kV 
4.32: 𝑉 = {
−𝜌0𝑟
3
12𝜀0𝑎
+
𝜌0𝑎
2
3𝜀0
, 𝑟 < 𝑎
𝜌0
4𝜀0𝑟
, 𝑟 > 𝑎
 
4.34: 
a) V = 15 kV 
b) V = 15 kV 
c) V = 15 kV 
4.35: 
a) V = 2 ρ0/(15ε0r) 
b) V = (ρ0/ε0)[(r4/20)-(a2r2/6)]+[ 2 ρ0/(15ε0r)]+[ 7 ρ0a4/(60ε0)] 
c) Q = 8π ρ0/15 
d) r = 0,7453a 
4.40: W = -1,604 mJ 
4.41: W = Q2/8π ε0a 
 
 
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5.2: I = 5,026 A 
5.4: I = -0,3 mA I = -166 nA 
5.6: 
a) 33,95 mΩ 
b) 265,1 A 
c) 2.386 kW 
5.7: 
a) 3,5(107) S/m (alumínio) 
b) 5,66(106) A/m2 
5.8: R = 0,42Ω 
5.10: R = 4 mΩ 
5.16: εr = 2,25 (poliestireno) 
5.27: 
a) (-1,061, 1,768, 1,547) nC/m2 
b) (0,7958, 1,326, 1,161) nC/m2 
c) 39,79° 
5.28: 
a) (0,1768, -0,1061, 0,2122) nC/m2 
b) (10, -4, 12) V/m 
c) wE1 = 0,2219 nJ/m3; wE2 = 0,3208 nJ/m3 
5.33: 
a) 381,97 nC/m2 
b) (0,955/r2) ar nC/m2 
c) 12,96(10-6) J 
 
 
6.1: (-6y2z, -12xyz, -6xy2) V/m 
6.2: -2,667 V 
6.6: 
a) Sim 
b) Sim 
c) Não 
d) Não 
6.10: 
a) Não 
b) Q = 8,854 pC 
6.13: V = 9,52 V; E = 18,21 aρ V/m; D = 0,161 aρ nV/m2 
6.26: R = 9,236 nΩ 
6.50: N = 7 
6.51: 
a) (-138,2, -184,3, 0) V/m 
b) -1,018 nC/m2 
6.52: 
a) E = 0 V/m 
b) (0, 2,262, 0) kV/m