Introdução ao MHS

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Introdução ao MHS
O que é MHS?
MHS significa Movimento Harmônico Simples.
O que isso quer dizer?
Movimento harmônico é um movimento oscilatório, ou seja, que apresenta algumas propriedades que se repetem com o tempo (como a posição x(t), a velocidade v(t), aceleração a(t), etc).
A estrutura de um movimento harmônico sempre vai ser dada por funções seno ou cossenos (isso que vai gerar as repetições). Por exemplo:
x(t)=2cos(3t)
y(t)=sen(t)
E por que se chama movimento harmônico simples?
Movimento harmônico simples significa que é um movimento harmônico que não tem atrito. Existem ainda os MHAs, que são movimentos harmônicos amortecidos. Mas não se preocupe com eles agora.
Equação do MHS
Como a gente viu, a equação do MHS vai ser ou uma função seno ou uma função cosseno.
No geral, ela vai ter o seguinte formato:
x(t)=Acos(ωt+φ)
Ou:
x(t)=Asen(ωt+φ)
Essa é a chamada equação da posição de um MHS.
Nessa equação, temos:
A:Representa a amplitude do movimento.
ω:Representa a frequência angular.
φ:Representa a fase do movimento.
Mas o que significa cada uma dessas coisas? 
Bom, nós vamos entender melhor nos exercícios, mas por hora, basicamente temos o seguinte:
A:É o maior “afastamento” possível que o objeto que está executando o MHS pode ter da origem.
ω:É uma espécie de velocidade angular. É dada em rad/s. A expressão geral pra ela é:
ω=2πT=2πf
Onde T é o período do movimento, ou seja, o tempo de um ciclo total. 
A frequência é o inverso do período:
f=1T
φ:É o ângulo inicial do movimento. Tem a ver com a posição inicial do objeto.
Velocidade e aceleração
E como são as equações da velocidade e da aceleração pros MHS?
Muito simples, basta a gente derivar (:
Derivando uma vez:
x(t)=Acos(ωt+φ)→dx(t)dt=−ωAsen(ωt+φ)
∴
v(t)=−ωAsen(ωt+φ)
Repare que, como o seno varia entre -1 e +1, então temos a velocidade máxima:
vmax=ωA
E o objeto fica variando entre as velocidades ωAωA e −ωA-ωA.
Para a aceleração, derivamos outra vez:
dv(t)dt=−ω2Acos(ωt+φ)
A aceleração máxima é:
amax=ω2A
Defasagem entre a velocidade e aceleração
Aqui vamos ver que existe uma defasagem entre as funções seno e cosseno.
Exemplo:
Quando cos(0)=1, temos que sen(0)=0.
Ou quando sen(π2)=1, temos que cos(π2)=0.
Isso quer dizer que as funções estão defasadas por π2.
Isso também vai acontecer com a velocidade e com a aceleração:
	Quando a aceleração for máxima, a velocidade será mínima (zero).
	Quando a velocidade for máxima, a aceleração será mínima (zero).
Posições de velocidade nula e aceleração nula
Vamos tentar descobrir as posições onde a velocidade de um MHS torna-se nula intuitivamente. Veja a figura:
A bolinha azul está se movendo para a esquerda, em MHS, com velocidade não nula. Pra completar o Ciclo do MHS, ela deve chegar até a extremidade esquerda e voltar.
Onde a velocidade se anulará então?
No extremo −A, pois ali a velocidade muda de sentido.
Isso acontece também pro extremo direito. Então, podemos dizer que:
v(x=A)=v(x=−A)=0
Show?
Bom, como vimos antes, onde há um mínimo de velocidade há um máximo de aceleração. Assim:
A aceleração será máxima em x=A e x=−A.
Vamos analisar de novo o movimento da partícula. Como a velocidade se anula nas extremidades, temos que o valor inicial dela, em x=A, seja 0, e em x=−A também. Porém, ela se move nessa trajetória, logo, a partir das extremidades a velocidade tende a crescer.
Onde ocorre o máximo da velocidade?
Em x=0.
Pelos motivos que vimos antes, a aceleração se anula em x=0.
Olha o resuminho bizu!!!
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Gráficos do MHS
Agora que já sabemos as equações do MHS (posição, velocidade e aceleração), vamos dar uma olhada nos gráficos dessas coisas.
Estaremos preocupados em encontrar basicamente três características desses gráficos: a amplitude, o período e a constante de fase.
Com isso, conseguiremos montar a equação da posição:
x(t)=Acos(ωt+φ)
Ou a equação de velocidade:
v(t)=−ωAsen(ωt+φ)
Ou a de aceleração:
a(t)=−ω2Acos(ωt+φ)
Características gerais
Os gráficos seguirão o padrão seno ou cosseno, como nos exemplos abaixo:
 
No segundo gráfico, temos uma marcação: A. Essa é a maior distância atingida em x e vai ser a nossa amplitude. 
Nesse exemplo, usamos um gráfico da posição. Caso fosse um gráfico da velocidade ou aceleração, teríamos, no lugar do A, a velocidade máxima ou aceleração máxima, respectivamente.
Período
O período vai ser o intervalo de tempo que o MHS leva pra repetir um ciclo. 
Esse ciclo geralmente terá uma dessas duas aparências:
Assim:
Ou assim:
Beleza, para achar o período é só pegar o intervalo de tempo entre os extremos.
Observação: Caso o gráfico esteja deslocado (com uma fase), tente visualizar esses espaços no gráfico deslocado também. O importante é lembrar que o período sempre gera um ciclo completo.
A partir do valor do período, você pode calcular a frequência angular ou a de oscilação:
ω=2πT
f=1T
Fase
E se o gráfico não começar no 0 ou na amplitude? E se começar assim:
Nesse caso, teremos uma constante de fase φ diferente de 0.
Então, se a função for do tipo:
a(t)=amáxcos(ωt+φ)
E o valor em t=0 for a0, teremos que fazer:
a(0)=amáxcos(φ)=a0→cos(φ)=a0/ amáx→φ=arccos(a0/ amáx)
E assim descobriremos o valor da nossa constante de fase. 
Movimento Circular no MHS
Você sabia que um MHS pode ser interpretado como a projeção de um MCU (movimento circular uniforme)? Então, vamos ver isso com calma! Dá uma olhada na figura abaixo:
A figura representa um carrinho em uma roda gigante, que está executando um MCU. A sombra desse MCU, no chão, é um MHS.
Mas então, como deduzir a equação do MHS a partir de um MCU?
Vamos ver essa outra figura pra ficar mais claro:
A partícula vermelha está executando um MCU. A partícula preta um MHS. Pelo triângulo retângulo da figura, a gente consegue perceber que:
x=rcosθx
Mas quem é r? r é a amplitude do MHS, que é igual ao raio do MCU. Assim:
r=A
E θ? θ é dado por:
θ=ωt
Onde esse ω é a velocidade angular no MCU e a frequência angular no MHS. Sacou? O ω tem dois significados nos dois movimentos distintos.
Assim:
x=Acos(ωt)
Mas ali consideramos que o movimento se inicia no θ0=0. Se ele iniciar com uma fase inicial, teremos:
θ0=φ
Assim:
x(t)=Acos(ωt+φ)
Pronto, e chegamos, a partir do triângulo retângulo da figura do MCU, na equação do MHS. (:
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Oscilador Linear Massa-Mola
Em um oscilador massa-mola, temos que:
ω=√k/m
Com essa fórmula, podemos relacionar a constante de uma mola, k, com a frequência angular e a massa.
Vamos ver de onde essa relação veio (relaxa que você só vai precisar ver essa demonstração uma vez, depois é só decorar a fórmula =p).
Mas antes disso, vamos dar uma olhada no conceito de força elástica.
Força Elástica
A força elástica é dada por:
Fel=−kx
Por que o "−"?
Porque a força elástica sempre vai ser contrária a elongação. Exemplo: se você tiver puxando a mola pra direita, surgirá uma força elástica apontando pra esquerda.
Continuando...
EDO do MHS
A EDO do MHS é a seguinte:
x¨+ω2x=0
Como chegamos a essa equação? 
Lembra que vimos que a aceleração no MHS é dada por −ω2x?
Então, usando a definição de aceleração instantânea:
 a=x¨=−ω2x→ x¨+ω2x=0 
No caso do sistema massa-mola, veremos que essa equação também pode ser escrita por:
x¨+(k/m)x=0
Mas e agora? Como é que chegamos a essa segunda equação?
Vamos considerar um sistema massa-mola oscilando em torno da posição de equilíbrio:
Vamos analisar as forças atuantes no bloco em um instante genérico:
Só temos a força elástica (normal e peso se anulam). Então a força resultante,
que é horizontal, é dada por:
FR=Fel
⇒FR=kx
Pronto!
Agora é só substituir na Segunda Lei de Newton:
FR=ma
Só que a aceleração é a derivada segunda da posição:
a=x¨
Substituindo:
FR=ma
⇒kx=mx¨
⇒mx¨−kx=0
⇒x¨−kmx=0
Opa! O que é que deu errado aqui?
Deveria ter um sinal de ++ ali pra ficar igual à equação do MHS, não é?
Isso aconteceu porque não colocamos o sinal correto na força elástica!
Assim, colocando o sinal negativo:
Fel=−kx
Substituindo corretamente, agora:
FR=ma
⇒−kx=mx¨
⇒mx¨+kx=0
⇒x¨+kmx=0
Agora sim, chegamos à equação diferencial do movimento harmônico simples do sistema massa-mola!
Comparando a equação que achamos com a equação do MHS:
x¨+kmx=0
x¨+ω2x=0
Podemos notar que:
ω2=k/m
Logo:
ω=√k/m
Show? É essa a equação que você vai usar. Além dessa, você vai usar a equação do período e da frequência:
ω=2π/T=√k/m → T=2π√m/k 
f=1/T→ f=1/2π√k/m
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Associação de Molas 
O que é uma associação entre molas? Nada mais nada menos do que uma união entre elas.
Vamos aprender agora como fazer a associação entre molas de duas formas: em paralelo e em série.
Molas em paralelo
Bom, nós queremos encontrar a constante da mola equivalente. Como faremos isso com molas colocadas em paralelo? Vamos primeiro analisar a figura:
Se tivermos n molas em paralelo ligadas a uma superfície, teremos uma força elástica resultante Fr. Essa força pode ser expressa por:
Fr=F1+F2+F3+F4+…+Fn
Sendo k1 e x1 a constante e a elongação da mola 1, k2 e x2a da mola 2, k3 e x3 a da mola 3, e assim por diante, podemos escrever:
krxr=k1x1+k2x2+k3x3+k4x4+…+knxn
No entanto, dê uma olhada na figura. Como elas estão postas em paralelo, a elongação de cada mola deve ser a mesma. Logo:
xr=x1=x2=x3=x4=…=xn=x
Logo, podemos reescrever a expressão como:
krx=k1x+k2x+k3x+k4x+…+knx
Cortando x x em ambos os lados:
kr=k1+k2+k3+k4+…+kn
E essa é a expressão para se calcular a constante da mola resultante em uma associação em paralelo. (:
Então é isso, nesse caso a gente só soma as constantes mesmo!
Molas em série
Bom, galera, nesse caso, não teremos uma mesma elongação para cada mola. Porém, teremos uma coisa em comum entre elas: a força.
A força é mesma para todas as molas. Podemos escrever o valor de x de em função da força e da constante da mola dessa forma:
F=kx↔x=Fk
Sendo xr a elongação resultante, podemos escrever:
xr=x1+x2+x3+x4+…+xn
Escrevendo em função da força e da constante:
F/kr=F/k1 + F/k2 + F/k3+ F/k4+…+F/kn
Cortando F dos dois lados:
1/kr=1/k1 + 1/k2 + 1/k3+ 1/k4+…+1/kn
E essa é a expressão que a gente usa pra calcular o kr nesse caso.
Obs: Se vocês perceberem, a associação de molas segue a lógica inversa à associação de resistores elétricos. 
Bom, isso pode ser um bizu: quando a associação é em paralelo, basta lembrarmos da associação em série dos resistores! O contrário também é válido! 
Mas se você não lembra disso, não se preocupe, só seguir a lógica acima.
Resumindo:
Em paralelo: kr=k1+k2+k3+…kn
Em série: 1/kr=1/k1+1/k2+…+1/kn
Molas cortadas
Agora a situação é um pouco diferente: e se tivéssemos uma mola, de comprimento L, que fosse cortada em duas molas de comprimento L1e L2?
A diferença desse caso para o que estávamos vendo é que os comprimentos são diferentes.
Assim, é de se esperar que as constantes de cada pedaço sejam diferentes, né mesmo?
Olhe o esquema acima, após termos cortado a mola. Agora pense... e se uníssemos os dois pedaços de novo, que tipo de associação estaríamos fazendo?
Estaríamos fazendo uma associação em série!!!!
Lembra que, nesse caso, a força será a mesma para todas as molas? Hum, então podemos escrever que:
k1L1=k2L2
E essa mesma força vai ser igual a força da mola unida (de comprimento total) dada por:
F=kL
Assim:
k1L1=k2L2=kL
Calma, estamos quase no fim! Agora já temos tudo o que precisamos. Basta a gente escrever, usando a igualdade acima, que:
k1=kL/L1
k2=kL/L2
Opa! E qual a conclusão mais legal que podemos tirar dali? É que a mola mais rígida será aquela que tiver o menor comprimento, assim como a mola menos rígida será aquela que tiver o maior comprimento.
Ou seja: a rigidez do pedaço de mola cortada é inversamente proporcional ao seu comprimento.
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Oscilações Acopladas
Bom, você já estudou associação entre molas, mas como será que um sistema desses se comporta?
Por exemplo, se o problema te mostrar um sistema assim:
Ou seja, dois carrinhos unidos por três molas. E, a partir dessa configuração malucona, o enunciado te perguntar: “Quais são as frequências de vibração desse sistema?”
É isso que você vai aprender aqui (:
O que são oscilações acopladas?
Bom, o movimento de um carrinho influencia no outro, certo? Porque se um carrinho se mover para frente ou para trás, ele comprime ou distende as molas. Essas molas influenciam no movimento do outro carrinho, não é mesmo?
Dizemos que esse sistema é um sistema de oscilações acopladas. O “Acoplamento” é justamente esse efeito: Os carrinhos não têm movimentos independentes, mas sim dependentes um do outro.
Como resolver esse problema?
Vamos desenvolver uma forma de abordar esse problema em cinco passos: 
	Definir o sentido dos deslocamentos e definir as forças do sistema.
	Definir o sistema de EDO’s pela segunda Lei de Newton.
	Usar uma solução padrão e montar a matriz do sistema.
	Calcular o determinante.
	Resolver a equação do segundo grau ou Biquadrada final, obtendo as frequências.
Calma, não é tão complicado assim! Vamos ver cada um desses passos com calma.
Passo 1
Vamos definir o sentido dos deslocamentos no sistema. Pra isso, vamos adotar um sentido positivo para a direita, como sempre fazíamos. A diferença aqui é que vamos considerar dois deslocamentos diferentes: x1 e x2:
Esses dois deslocamentos são considerados positivos, de início, como você pode ver no sentido deles na figura, ok? Isso facilitará as contas.
Bora analisar primeiro as forças que agem no carrinho 1:
Como estamos considerando deslocamentos positivos, a força 1 vai ser dada pela distensão da mola 1, ou seja:
F1=−k1x1
Certo? Como sempre, a força elástica vai contra o deslocamento. Mas e a força 2? Bom, vamos deixar essa pro final, pois ela depende do outro carrinho.
Agora, pro carrinho 2:
Onde F3 é dada por:
F3=−k3x2
Qual o motivo desse sentido? Bom, novamente, como estamos considerando os deslocamentos positivos, a mola 3 está sendo comprimida. Assim, a força terá o sentido acima, contrário ao sentido positivo do eixo x.
E agora, a misteriosa força F2...
Bom, essa força afeta os dois movimentos, por isso a deixei por último. Vamos fazer mais uma consideração: Que x2 é maior que x1. Assim, o "x" da mola 2será dado por:
x=x2−x1
Ou seja, a mola foi esticada um pouquinho pelo carrinho da frente, mas como o carrinho de trás andou um pouquinho, precisamos desconsiderar isso no cálculo final. Além disso, no geral, estamos considerando que a mola está sendo “ esticada” e por isso que a força tem sinais opostos nos carrinhos:
E o módulo da força F2 é dado por:
|F2|=k2|x2−x1|
Passo 2
Precisamos agora definir as EDO’s. Vamos começar com o carrinho 1: Olhando os sentidos das forças que nele agem, podemos escrever :
m1x1¨=−k1x1+k2(x2−x1)
∴
m1x1¨+k1x1−k2(x2−x1)=0 
Isolando x1 e x2:
m1x1¨+x1(k1+k2)−k2x2=0
Fazendo a mesma coisa pro carrinho 2:
m2x2¨=−k3x2−k2(x2−x1)
∴
m2x2¨+k3x2+k2(x2−x1)=0
∴
m2x2¨+x2(k2+k3)−k2x1=0
Assim temos o sistema:
m1x1¨+x1(k1+k2)−k2x2=0 
{ m2x2¨+x2(k2+k3)−k2x1=0
Passo 3
Agora vamos usar uma solução padrão pra manipular nosso sistema. Esse é o nosso pulo do gato.
Como você deve lembrar, a solução de um MHS tem a forma:
x(t)=Acos(ωt+φ)
Então vamos usar as soluções:
x1(t)=A1cos(ωt+φ)
x2(t)=A2cos(ωt+φ)
Ambos com a mesma frequência ω?Sim, pois
estamos procurando frequências de oscilação comum para todo o sistema. Agora, substituindo essas equações no sistema de EDO’s e lembrando que:
x¨(t)=−ω2Acos(ωt+φ)
Vamos chegar ao resultado abaixo:
−ω2m1A1cos(ωt+φ)+A1cos(ωt+φ)(k1+k2)−k2A2cos(ωt+φ)=0
{−ω2m2A2cos(ωt+φ)+A2cos(ωt+φ)(k2+k3)−k2A1cos(ωt+φ)=0
Se botarmos os cossenos em evidência
(−ω2m1A1+A1(k1+k2)−k2A2)cos(ωt+φ)=0
{ (−ω2m2A2+A2(k2+k3)−k2A1)cos(ωt+φ)=0
E para que isso seja verdade, é necessário que os caras entre parêntese sejam 0
−ω2m1A1+A1(k1+k2)−k2A2=0
{−ω2m2A2+A2(k2+k3)−k2A1=0
Beleza? Agora vamos escrever isso na forma matricial( dá um pulinho lá em álgebra linear, caso não lembre):
−m1ω2+(k1+k2) −k2 A1 0 
[−k2 −m2ω2+(k2+k3)]∙[A2]=[0]
Passo 4
Pela equação matricial dali de cima, podemos ver que existe a solução:
A1 0 
[ A2]=[0]
Porém, não a queremos, não é mesmo? Porque isso geraria:
x1=x2=0
Pra que isso não aconteça, o determinante da matriz maior precisa ser nulo. Assim:
det −m1ω2+(k1+k2) −k2 
[−k2 −m2ω2+(k2+k3)] =0
O que nos leva à equação:
(−m1ω2+(k1+k2)).(−m2ω2+(k2+k3))−k22=0
(m1m2)ω4−[(k1+k2)m2+(k2+k3)m1]ω2+[(k1+k2)−k2²]=0
A equação acima é chamada de equação de frequência ou equação característica do sistema.
Passo 5
Você deve estar se perguntando: a equação gerada vai ser sempre tão grande? A resposta é: geralmente não. Geralmente o problema vai simplificar sua vida colocando as massas iguais, algumas constantes de molas iguais, etc. Mas precisamos entender o caso geral, captou? 
Precisamos resolver a equação biquadrada. Como faz isso mesmo? É assim:
a4+4a2+2=0
Na equação acima, você chama:
x=a2
E assim ela se transforma em:
x2+4x+2=
Dai você resolve essa equação do segundo grau e, com os valores de xx, você acha a:
a=∓ √ x
Vamos fazer isso na nossa equação de frequência( só que aqui vamos usar as variáveis x e ω):x e ω):
(m1m2)ω4−[(k1+k2)m2+(k2+k3)m1]ω2+[(k1+k2)−k22]=0
x=ω2
(m1m2)x2−[(k1+k2)m2+(k2+k3)m1]x+[(k1+k2)−k22]=0
∴
x=(−b∓√b2−4ac)
2a
Onde:
b=[(k1+k2)m2+(k2+k3)m1]
a=m1m2
c=[(k1+k2)−k22]=
Assim:
x=−[(k1+k2)m2+(k2+k3)m1]
∓√ ((k1+k2)m2+(k2+k3)m1)2−4.m1m2((k1+k2)−k22)
2m1m2
Com os valores de xx, você calcula as frequências:
ω=∓√x 
Preste atenção nessa última equação: só tomaremos os valores positivos de ω. Devemos fazer isso porque as frequências são, por definição, positivas.
Ufa! Terminamos. Você só deve prestar atenção em duas coisas:
	Os valores de x precisam ser positivos( afinal de contas, depois você vai tirar a raiz deles)
	Os valores de ω também precisam ser positivos.
E é isso, bora fazer uns exercícios pra fixar isso bem (:
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Energia do MHS
T 
E como será que a energia se comporta no MHS? Será que ela se conserva?
Sim, ela se conserva!
Bom, vamos primeiro analisar a equação da energia potencial para um sistema massa-mola em MHS.
Imaginemos uma mola de constante k e uma massa m acoplada a ela. 
A energia potencial relacionada a essa mola quando ela tem uma elongação (ou deslocamento) x é dada por:
Ep=kx2/2
Ora, mas como vimos antes, x x pode ser expresso por:
x(t)= Acos(ωt+φ)
Onde AA é a amplitude máxima do movimento!
Então podemos reescrever a equação da energia potencial como:
Ep=k(Acos(ωt+φ))2=kA2cos2(ωt+φ)
2 2
Legal! Agora vamos analisar a energia cinética do movimento. A gente aprende no curso de mecânica que a energia cinética pode ser calculada por:
Ec=mv2/2
Só que já vimos que, para o MHS, a velocidade é calculada por essa expressão:
v(t)=−ωA sen(ωt+φ)
Logo, a gente pode reescrever a equação da energia cinética assim:
Ec=m(ωAsen(ωt+ φ))2=mω2A2sen2(ωt+φ)
2 2
Como ω= √ k/m →k=mω2! Logo, substituindo na equação de cima:
Ec=kA2sen2(ωt+φ)
2
Agora, se somarmos a energia cinética e a energia potencial:
Ep+Ec=kA2cos2(ωt+φ)2 + kA2sen2(ωt+φ)2=kA2(cos2(ωt+φ)+sen2(ωt+φ))2 2 2 2
Lembra que cos2θ+sen2θ=1 ?
Sabendo disso, podemos prosseguir:
kA2(cos2(ωt+φ)+sen2(ωt+φ))=kA2
2 2
Olha que interessante: descobrimos que a soma da energia cinética com a potencial para um dado deslocamento x é igual a energia potencial máxima, ou seja, aquela que corresponde ao deslocamento x=A (:
E no fim das contas, a expressão que você deve lembrar é essa:
Etotal=Epotencial+EcinéticaEtotal=Epotencial+Ecinética
kA2=kx2+mv2
2 2 2
Essa é a equação da conservação da energia pro MHS.
Agora, vamos observar como a energia varia com a posição da nossa massa em MHS:
Alguns pontos que temos que notar:
	Quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula e vice-versa;
	Quando x=0, a energia cinética é máxima e igual à energia total;
	Quando x=±A, a energia potencial é máxima e igual à energia total.
Bora fazer uns exercícios pra fixar. (:
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MHS + Colisões
Vamos aprender agora a resolver um tipo diferente de questão, no qual existem colisões envolvendo um móvel que está em MHS ou colisões que geram um MHS.
Do que eu estou falando? Imagine a seguinte cena:
Temos um projétil que se aproxima de um bloco preso a uma mola.
Para o nosso exemplo, vamos supor que o projétil fica alojado no bloco após a colisão. 
Como era de se esperar, após a colisão, os dois objetos, o bloco e o projétil, passarão a se mover juntos. E qual será o movimento? 
O movimento será um MHS, graças a mola.
A análise desse tipo de problema terá duas etapas:
	Cálculo da conservação do momento linear e;
	Cálculo da conservação da energia mecânica.
Conservação do momento Linear
Seja M a massa do bloco e m a massa do projétil.
A velocidade do projétil é v.
Pela conservação do momento, o momento inicial será igual ao momento final:
Qi=Qf
Assim:
mv=(M+m)vf
Por que colocamos a soma no lado direito? Porque os dois móveis passam andar juntos, com uma mesma velocidade vf.
Assim:
vf=mv/(M+m)
E essa será a velocidade final do conjunto.
Conservação da energia e MHS resultante
Bom, como a gente tinha falado, essa colisão vai gerar um MHS.
O mais importante nesse ponto será determinar a amplitude do movimento.
E como faremos isso? Por conservação da energia mecânica.
No início, a mola não está comprimida, mas o conjunto bloco e projétil possuem uma velocidade inicial, que calculamos no item anterior.
Usando a equação:
kA2=kx2+mtotalv2
2 2 2 
Para o estado inicial: x=0. Então:
kA2=mtotalv2f
2 2
Sacou? No início, só há energia cinética. Assim, vamos ter:
A=vf.√ mtotal/k
Onde:
vf=mv(M+m)
E:
mtotal=M+m
Resumindo:
Primeiro: Faça a conservação do momento.
Segundo: Faça a conservação da energia mecânica no MHS.
Bora fazer uns exercícios sobre isso agora.
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Pêndulos Simples
Vamos aprender aqui o que é um pêndulo simples e como chegar em algumas equações que regem esse tipo de movimento:
Um Pêndulo simples tem o seguinte formato padrão:
Pra se chegar na EDO desse movimento, vamos seguir os passos abaixo:
Passo 1: diagrama de corpo livre e forças atuantes.
Isolando a massa, temos o seguinte:
Passo 2: encontrar força resultante.
Como não há movimento na direção do fio, podemos decompor o peso nessa direção e na direção do movimento, perpendicular.
Então a força resultante é dada por:
FR=Psenθ
Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton:
FR=ma
Sabemos que a=x¨, mas no caso do pêndulo, temos que:
x=Lsenθ
Esse seno tá atrapalhando nossa vida, não é?
Mas para pequenos valores de θθ: senθ≈θ
Observação: apareceu um seno, só falar que o ângulo é pequeno e substitui o seno pelo próprio ângulo.
Então:
x=Lθ
Derivando duas vezes:
x¨=Lθ¨
Passo 4: chegar à equação do MHS
Substituindo na Segunda Lei de Newton:
FR=ma
⇒Psenθ=m(Lθ¨)
⇒mgsenθ=mLθ¨
⇒gsenθ=Lθ¨
⇒Lθ¨−gsenθ=0
De novo, vamos usar a aproximação para pequenos valores de θ:
senθ≈θ
Logo:
Lθ¨−gθ=0
⇒θ¨−gLθ=0
Opa! O sinal está errado de novo!
Voltando um pouco, corrigimos a força resultante:
FR=−Psenθ
E aí sim vamos chegar na equação do MHS:
θ¨+gLθ=0
Comparando com a equação do MHS:
θ¨+ω2θ=0
Então:
ω2=gL
⇒ω= √ gL
Assim, o período vai ser dado por:
ω=2πT=√ gL
∴
T=2π√Lg
E é essa última equação a mais importante pra você. O período vai variar somente com o comprimento e com a gravidade do local.
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Pêndulo Físico
Nós vimos o caso do pêndulo simples. Agora, veremos o caso do pêndulo físico.
Mas qual a diferença entre eles? A diferença está na massa: No pêndulo simples, a massa está toda concentrada em um ponto, na extremidade do pêndulo.
Já no caso do pêndulo físico, a massa está distribuída:
Nesse caso, temos um corpo de massa m e momento de inércia I, preso a um eixo em um ponto cuja distância ao centro de massa é d.
O nosso objetivo aqui é encontrar a equação do período do pêndulo Físico.
Vamos ao passo-a-passo:
Passo 1: diagrama de corpos livres e forças atuantes.
Temos um par de ação e reação nessa massa. Então a força resultante é zero!
E agora?
Agora a gente usa a Segunda Lei de Newton para rotação:
τR=Iα
Vamos calcular o torque em relação ao ponto do eixo, ou seja, o ponto que não se move:
τ=−Pdsenθ
Passo 2: encontrar torque resultante:
Como o torque que calculamos é o único que atua no corpo, então:
τR=−Pdsenθ
Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton:
τR=Iα
Como α=θ¨
⇒−Pdsenθ=Iθ¨
⇒Iθ¨+Pdsenθ=0
Para pequenos valores de θ: senθ≈θ
Então:
Iθ¨+Pdθ=0
⇒θ¨+PdIθ=0
Pronto! Já está no formato da equação do MHS (desta vez, acertamos o sinal de primeira!).
Então ótimo. Comparando com a equação do MHS, temos que:
ω=√Pd/I
Assim, o período é dado por:
2πT=√Pd/I→T=2π√I/Pd
Considerações sobre o Momento de inércia
É importante dizer que esse momento de inércia é o momento de inércia do corpo em relação ao ponto O.
Ou seja, você vai ter que usar o teorema dos eixos paralelos, caso o ponto O não esteja em cima do centro de massa do corpo.
Dê uma revisada nesse assunto se você não lembra bem, só olhar o nosso conteúdo de mecânica ( Física 1, Física A, etc).
De qualquer forma, você vai usar a fórmula abaixo:
I=Icm+Md2
Onde d é a distância do centro de massa do corpo até o eixo de rotação e M é a massa do corpo.
Sacou? #PartiuExercitar 
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Pêndulo de Torção3min T 
Os pêndulos de torção, ou angulares, são simples de serem analisados! Vamos lá: 
Vamos considerar um disco conectado ao teto por um fio, como na figura:
Se a gente girar o disco a partir da posição de equilíbrio, θ=0, ele vai oscilar entre os ângulos +θM e −θM.Para que isso aconteça, deve haver um torque restaurador atuando sobre o disco. Esse torque é dado por:
τ=−kθ
Onde kk é a constante de torção. Consegue notar uma semelhança com o MHS não angular? (:
Bom, como só há esse torque agindo sobre o disco, ele causa o torque resultante! Usando a segunda lei de Newton para rotações:
τr=−kθ=Iα
Lembrando que α=θ¨·, e reagrupando:
θ¨I+kθ=0↔θ¨+kIθ=0 
Como o termo que acompanha a variável de primeira ordem é velocidade angular ao quadrado,ω2ω2,podemos escrever:
ω2=kI ↔ω= √k/I →T=2π√I/k
E chegamos no período do pêndulo de torção. Bem tranquilo
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Movimento Harmônico Amortecido
O que é MHA?
A única coisa que muda em relação ao MHS é que agora tem atrito. Só isso!
MHA significa movimento harmônico amortecido.
Então o sistema não fica oscilando para sempre, ele vai parar com o tempo, porque a força de atrito vai tirando energia do sistema até ele parar. Nesse caso, a energia não se conserva!
Equação do MHA
Agora temos que acrescentar na Segunda Lei de Newton a força de atrito também.
Vamos ver o exemplo do sistema massa-mola.
Observe que, nesse caso, além da mola com constante elástica k, temos também um amortecedor, com constante de amortecimento c.
Além do amortecedor, existem outros fatores que podem gerar atrito no sistema. Se o bloco estivesse mergulhado em um fluido viscoso, por exemplo, a força de atrito seria a força que o líquido exerce no bloco. Outro exemplo: se fosse uma mola vertical, um disco preso à massa faria com que a resistência do ar exercesse uma força de atrito também.
Mas em todos esses casos, a força de atrito é calculada da mesma maneira:
Fat=−cv
onde v é a velocidade.
Assim como a força elástica é sempre contrária à posição, a força de amortecimento (atrito) também é.
Mas atrito não era Fat=μN?
Era, mas nesse caso, estamos considerando atritos viscosos, que são sempre calculados daquela maneira. Esse atrito que aprendemos antes é o atrito seco.
Beleza, então vamos isolar o bloco e ver quais forças estão atuando nele:
Então a força resultante é:
FR=Fel+Fat
onde Fat=−cv e Fel=−kx
Observação: você também poderia dizer que FR=−Fel−Fat, mas aí teria que dizer que Fat=cv e Fel=kx.
Substituindo na Segunda Lei de Newton:
FR=ma
⇒−cv−kx=ma
Mas a=x¨ e v=x˙
Então:
−cx˙−kx=mx¨
Logo:
mx¨+cx˙+kx=0
Essa é a equação do MHA.
Observação: os coeficientes são sempre positivos! Se tiver algum negativo, verifique o sinal das forças, como fizemos antes no MHS.
Taí! Percebeu que fizemos os mesmos passos do MHS?
A única diferença é que apareceu um termo a mais nessa equação.
Se fizermos c=0 (atrito zero), teremos a equação do MHS.
E essa equação é uma EDO de 2ª ordem homogênea.
E como é que a gente resolve?
Vamos dar uma puxada lá no Cálculo! Quando temos uma EDO de 2ª ordem homogênea, resolvemos a equação auxiliar:
mr2+cr+k=0
Dividindo todo mundo por m:
r2 + c r +k=0
m m
Agora, chamando cm=γ ω20=km, vamos calcular o ∆dessa equação:
∆=b2−4ac=γ2−4.1.ω20
E então temos três possibilidades:
Δ>0 ;Δ=0 ;Δ<0
Em cada caso, temos uma solução diferente, lembra?
Então vamos analisar cada uma dessas possibilidades agora.
Mas antes vamos dar nome aos bois:
Quando Δ>0: amortecimento supercrítico;
γ2>ω0
Quando Δ=0: amortecimento crítico;
γ2=ω0
Quando Δ<0: amortecimento subcrítico; 
γ2<ω0
É só você lembrar que “sub” significa “abaixo” (abaixo de zero) e “super” significa “acima” (acima de zero).
Beleza?
Então vamos lá!
Amortecimento supercrítico
Nesse caso: Δ>0
Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e distintas:
mr2+cr+k=0
r2+c r+k=0
m m
Lembrando que ∆>0.
A solução é dada por:
x(t)=c1er1t+c2er2t
As constantes c1 e c2 são dadas pelas condições iniciais de x(0) e x˙(0).
O gráfico do amortecimento supercrítico tem essa cara:
Uma soma de exponenciais decrescentes.
Amortecimento crítico
Nesse caso: Δ=0
Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e iguais:
r2 + c r + k=0
m m
r=r1=r2=−c=−γ
2m 2
Porque o ∆=0.
A solução é dada por:
x(t)=c1ert+c2tert
Ou, se preferir colocar em evidência:
x(t)=(c1+c2t)ert
As constantes c1c1 e c2c2 também são dadas pelas condições iniciais de x(0) e x˙(0).
O gráfico do amortecimento crítico tem mais ou menos a mesma cara do amortecimento supercrítico (lembra que r<0):
Como você pode perceber, o x decai mais rapidamente nesse caso do que no caso supercrítico, mesmo o amortecimento sendo menor.
Amortecimento subcrítico
Nesse caso: Δ<0
Então a equação auxiliar tem duas raízes imaginárias:
r2+c r+k=0
m m
Chamando γ=cm e ω20=km:
r2+γr+ω20=0
Lembrando que ∆<0
E a solução é dada por:
x(t)=e−γt2[c1cos(ωt)+c2sen(ωt)]
Onde 
Ω = 1√4ω20m2−c2=√ω20−γ2
2m 4
As constantes c1 e c2 são sempre dadas pelas condições iniciais de x(0)x0 e x˙(0)
Dando uma sacudida nessas funções trigonométricas, a gente pode reescrever essa solução na forma 
x(t)=Ae−γt2cos(ωt+ϕ)
Agora, as constantes
A e ϕ são dadas pelas condições iniciais de x(0)x0 e x˙(0)
E o gráfico do amortecimento subcrítico tem uma cara assim:
Nesse caso, o movimento é oscilatório, mas as amplitudes vão sendo cada vez menores, até parar.
Importante: não se preocupe em decorar essas soluções, caso você não lembre! Se for necessário, vai ter um formulário com elas. O mais importante é saber calcular Δ e classificar o amortecimento em subcrítico, crítico ou supercrítico!
Obs: Lembre-se que o amortecimento que faz com o x tenda a origem mais rapidamente é o crítico. Isso já caiu em algumas provas.
Considerações finais
Entendeu a ideia, então?
No fundo, estamos fazendo o mesmo que fizemos com MHS, só que considerando o atrito.
Uma observação importante: dissemos que a força de atrito é sempre da forma:
Fat=−cx˙
Depois era só substituir na Segunda Lei de Newton:
FR=ma
Mas se for o caso de ser a Segunda Lei de Newton de rotação:
τR=Iα
O torque de atrito é dado por:
τat=−cθ˙
Entendeu? Seria o equivalente da rotação: o torque de atrito é proporcional à velocidade angular.
Será sempre assim a menos que o problema forneça outra expressão, beleza?
Outra observação: fizemos um exemplo de massa-mola, mas poderia ser um pêndulo ou qualquer outro sistema. Mas a ideia é a mesma. É só seguir o passo-a-passo!
Resumão
Ficou informação pra caramba, né? Vamos tentar dar uma revisada aqui nos pontos mais importantes.
	Equação do MHA:
Tem essa cara:
ax¨+bx˙+cx=0
onde aa, b e c são positivos!
Força de amortecimento (atrito):
Fat=−cx˙
Torque de amortecimento (atrito):
τat=−cθ˙
onde γ é a constante de amortecimento.
	Tipos de amortecimento
ax¨+bx˙+cx=0
Δ=b2−4ac
Supercrítico: Δ>0
Crítico: Δ=0
Subcrítico: Δ<0
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Oscilações Forçadas8min T 
O que são oscilações forçadas?
Já vimos que pode existir uma força de amortecimento que “atrapalha” a oscilação. E se surgir, agora, uma força externa que também afete a oscilação, como a força peso?
Como assim? Veja a figura abaixo:
Chamamos isso de oscilação forçada. 
Nesse caso, uma oscilação forçada com uma força que é constante no tempo.
Matematicamente falando, antes estávamos lidando com EDOs Homogêneas. Agora, não mais. Então, a solução geral agora será dada pela soma de uma solução homogênea com uma solução particular:
x(t)=xh(t)+xp(t)
Bora aprender a resolver isso.
Quando a força externa for constante
Vamos usar como exemplo de força constante a força peso, já comentada. Aliás, as chances de você encontrar uma questão envolvendo uma oscilação influenciada pela força peso são grandes.
Usando a segunda Lei de Newton aplicada ao exemplo lá de cima , vamos obter:
ma=FR
ma=−kx+mg
ma+kx=mg
Ahh, mas lembra aí que podemos chamar a aceleração aa de x¨. E dividindo tudo por m, temos:
x¨+k x =g
m
Definimos ω2=k/m:
x¨+ω2x=g
Obs: Veja que o sentido do peso nesse caso é positivo pois eu adotei o sentido positivo de x para baixo.
Beleza, chegamos a equação diferencial. Agora, como foi dito, a solução vai ser do tipo:
x(t)=xh(t)+xp(t)
Para achar a solução homogênea, basta ignorarmos tudo que não é o x(t) ou suas derivadas. Então, xh(t)xh(t) é a solução da equação homogênea:
x¨+ω2x=0
Que é uma equação simples de um MHS. Nós já vimos que essa solução é do tipo:
xh(t)=Acos(ωt)+Bsen(ωt)
E agora, como achar a solução particular?
Bom, você deve lembrar de EDO que a gente “chuta” um valor pra solução particular que seja matematicamente parecido com a parte não-homogênea da equação e depois substitui na equação diferencial.
Nesse caso, como a parte não homogênea é uma constante (g), então vamos chutar um valor constante também. Bem assim:
xp(t)=C
Substituindo na EDO:
xp¨+ω2xp=g
0+ω2C=g
Percebeu que a apareceu um zero ali porque a segunda derivada de uma constante é zero, né?
Lembrando que: ω2=k/m::
C(k/m)=g
C=mg/k=xp(t)
Então, no final:
x(t)=xh(t)+xp(t)
x(t)=Acos(ωt)+Bsen(ωt)+mg/k
Show? Ah, e se nesse caso tivesse um amortecimento?
Seria muito parecido, e solução particular seria a mesma. Por quê? Bom, porque as derivadas zerariam na EDO pelo mesmo motivo que antes:
xP¨+γxP˙+ω2xP=0
0+γ0+k C =g→C=mg
m k
O que mudaria seria a equação da parte homogênea, que depende do tipo de amortecimento, como vimos no capítulo de MHA.
E se a força for oscilatória?
Olhe a figura: Agora temos uma força externa que não é constante e que varia no tempo como uma força oscilatória:
Fext=F0cos(Ωt)
Por exemplo, quando você está empurrando um balanço para um amigo que está sentado.
Como vamos resolver isso? Simples, vamos partir da segunda Lei de Newton novamente.
Equacionando
Usamos a segunda lei de Newton para buscarmos uma solução, lembrando que nesse caso, não possuímos amortecimento:
ma=−kx+F0cos(Ωt)
Substituindo a=x¨a=x¨ e dividindo tudo por m:
x¨+k x =F0cos(Ωt)
m m
Fazendo ω2=k/m. 
Repare que ωω é a frequência natural de oscilação da mola (um valor constante), mas ΩΩ é a frequência angular da oscilação externa (de valor variável). Não confunda as duas!!
x¨+ω2x=F0cos(Ωt)
m
Se liga, é um erro muito comum você chegar numa equação do tipo:
x¨+ω2x=F0cos(Ωt)
Mas isso está errado, pois no desenvolvimento da EDO a gente dividiu tudo pela massa. Preste atenção nisso!
Enfim, como vimos, a solução vai ser do tipo:
x(t)=xh(t)+xp(t)
A solução homogênea é a solução de um MHS, mas a solução particular a gente vai precisar chutar, usando os métodos de EDOs. 
Como a parte não homogênea é um cosseno, é de se esperar que a solução particular seja do tipo:
xp(t)=C cos(Ωt)
Vamos descobrir esse C:
Assim:
x˙p(t)=−ΩC sen(Ωt)
x¨p(t)=−Ω2C cos(Ωt)
Assim, na EDO:
−Ω2Ccos(Ωt)+ω2Ccos(Ωt)=F0mcos(Ωt)
Cortando os cossenos:
(ω2−Ω2)C=F0/m
C=F0(ω2−Ω2)
m
Então a solução particular vai ser:
xp(t)=F0m(ω2−Ω2)cos(Ωt)
A massa oscila com a frequência da força externa, sem diferença de fase. Se força empurra o balanço, ele vai pra frente, se você puxa, ele vai pra trás, como esperado. 
Juntando tudo:
Ressonância
Repare na amplitude da solução particular que acabamos de achar.
xp(t)=A(Ω)cos(Ωt)
A(Ω)=F0/m(ω2−Ω2)
A amplitude do movimento depende da frequência da oscilação externa (Ω).
No caso do balanço, se você fica empurrando o balanço muito rápido (alta frequência) ou muito devagar (baixa frequência), a amplitude de oscilação vai ser baixa: seu amigo não se diverte. 
limΩ→±∞A(Ω)=0
Mas o que acontece quando a frequência externa fica igualzinha a frequência natural do sistema? 
Quando Ω=ωΩ=ω, o denominador vai a zero!
limA(Ω) = lim F0=+∞
Ω→ω Ω→ω m(ω2−Ω2)
A amplitude de oscilação vai ficando maior e maior até o infinito, como na figura abaixo. Chamamos esse fenômeno de RESSONÂNCIA!
O máximo de amplitude só acontece quando o sistema entra em ressonância, isso é, quando Ω=ωΩ=ω! Na ausência de amortecimento, a ressonância gera amplitudes infinitas!
Ou seja, se você quiser que seu amigo se divirta no balanço, você tem que empurrar com uma frequência próxima à frequência natural de oscilação do sistema para que ele tenha uma amplitude significativa. Mas cuidado, porque se não tiver atrito nenhum seu amigo vai sair voando para o infinito e além!
Agora é SUPER importante que você reforce todos os conceitos com os exercícios. Tanto os teóricos quanto os de conta, eles são essenciais para que você internalize os conhecimentos. 
1 – INTRODUÇÃO AO MHS
EXERCÍCIOS
1 – Uma partícula se move segundo um movimento harmônico simples. Quando sua posição é 
x = xmáx /2, o módulo de sua velocidade é:
a) v = vmáx
b) v = √3 vmáx/2
c) v = √2 vmáx
d) v = 2vmáx/√3
e) v = 2vmáx/√3
2 – Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30 ° com a horizontal e tem uma mola fixa no final da rampa. O bloco é solto de uma posição inicial tal que a distância entre a ponta livre da mola e a face do bloco é L. Quando o bloco bate na mola, um dispositivo
é acionado conectando o bloco na mola. O bloco comprime a mola até um valor máximo igual a L, quando a velocidade instantânea do bloco torna-se zero. Considere um eixo x ao longo do plano inclinado no sentido descendente com sua origem na posição da ponta livre da mola quando ela não está deformada. Determine, em função dos parâmetros fornecidos e da aceleração da gravidade g no local:
a) A frequência angular do movimento harmônico simples que o bloco executa após conectar-se à mola.
b) A posição x0 na qual a velocidade do bloco é máxima.
c) A posição xmáx mais alta que o bloco alcança após conectar-se à mola.
3 – Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4 s e amplitude de 5 cm. O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3 cm vale:
a) 16π cm/s
b) 8π cm/s
c) 4π cm/s
d) 2π cm/s
e) 32π cm/s
4 – A agulha de uma máquina de costura executa movimento harmônico simples com amplitude de 1,27 cm e frequência de 2,55 Hz. Responder justificando:
a) Qual a velocidade máxima da agulha?
b) Qual é a aceleração máxima da agulha?
5 – Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um objeto executando um movimento harmônico simples?
a) A velocidade do objeto nunca é zero.
b) A aceleração do objeto nunca é zero.
c) A aceleração e a velocidade do objeto são simultaneamente zero.
d) A velocidade do objeto é zero quando sua aceleração é máxima.
e) A aceleração máxima do objeto é igual à sua velocidade máxima.
6 – Quando se quadruplica a amplitude de um oscilador harmônico:
a) Sua velocidade máxima dobra.
b) Sua velocidade máxima cai à metade.
c) Sua velocidade máxima fica inalterada.
d) Sua velocidade máxima fica reduzida a ¼.
e) Sua velocidade máxima quadruplica.
7-Uma massa ligada a uma mola tem posição instantânea x(t) = 20 sen(2t), com x em centímetros e t em segundos. A velocidade da massa é a metade da sua velocidade inicial no instante:
a) t = 0
b) t = 0,26 s
c) t = 0,52 s
d) t = 30 s
e) t = 15 s
8 – A figura ao lago mostra o deslocamento de um bloco preso a uma mola executando um movimento harmônico simples. Qual é o módulo da velocidade máxima que o bloco pode ter? A resposta deve está na unidade cm/s.
a) π/2
b) 3π/2
c) 49/2
d) 49/4
e) 14
f) 7/π
g) 2π/3
h) 5π/8
i) 7π/8
j) 5
k) 49/8
l) 49
m) 7/2
n) 21
o) 9/2
p) ½
q) 10
r) 5π
s) 15/4
t) 14π
u) 28
9 – Os objetos A e B estão presos, separadamente a uma mola ideal e executam movimento harmônico simples. O período e a amplitude do objeto B são duas vezes maiores que os valores correspondentes do objeto A. Qual é a sua relação entre as velocidades máximas dos dois objetos?
a) a velocidade de B é duas vezes maior que a de A.
b) a velocidade de B é quatro vezes maior que a de A.
c) a velocidade de A é duas vezes maior que a de B.
d) a velocidade de A é quatro vezes maior que a de B.
e) as velocidades máximas dos objetos de A e B são iguais.
10 – Uma bola de aço está pendurada em uma mola ideal vertical e descreve um movimento harmônico simples com amplitude de 0,1 m e uma frequência angular de π rad/s. Qual das expressões abaixo representa a aceleração da bola, em m/s², em função do tempo?
a) a(t) = (10/π²) cos(10π t);
b) a(t) = - (10π²) sen²( π t);
c) a(t) = - (10π²) sen( π t);
d) a(t) = - (π²/10) cos( π t);
e) a(t) = - (π²/10) cos²( π t);
11 – O deslocamento de um objeto oscilando em um movimento harmônico simples é descrito pela equação x(t) = X(t) = A cos(wt + ø0). Se x (0) = 0 e v(0) é negativo, então a contante de fase ø0 é
a) 0
b) π/2
c) π
d) 3 π/2
e) 2 π
12 - Uma partícula está em movimento harmônico simples com período T. No instante t=0, a partícula passa pela posição de equilíbrio. Em qual dos instantes abaixo a partícula estará mais afastada da posição de equilíbrio? 
(A) t=0,50 T 
(B) t=0,70 T
(C) t=T 
(D) t=1,4 T 
(E) t=1,5 T
13 - Um bloco realiza um movimento harmônico simples. Se tanto o período quanto a amplitude do movimento são dobrados, o que ocorre com a máxima velocidade?
(a) Aumenta em 4 vezes.
(b) Cai pela metade.
(c) Dobra.
(d) Permanece inalterada.
(e) Diminui em 1/4.
14 - Um oscilador harmônico simples tem amplitude xm, atinge velocidade máxima de vm e possui aceleração máxima amam. Num dado instante de tempo, qual das opções abaixo pode representar sua posição, sua velocidade e sua aceleração, respectivamente?
(a) xm/2, −3√vm/2, −am/2
(b) xm/2, −vm/2, −am/2.
(c)  xm/2,  3√vm/2, −am/2.
(d) −xm, 0, −am
(e) −xm, vm, −am.
(f) 0, 0, 0.
(g) 0, vm, am.
(h) Nenhuma das alternativas anteriores.
15 - A figura abaixo mostra um gráfico de posição vsvs tempo de um oscilador harmônico simples. A função x(t)x(t) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:
	x(t)=15cos(0,1t+π/2).
	x(t)=15cos(0,1t−π/2).
	x(t)=15cos(0,2πt+π/2).
	x(t)=15cos(0,2πt−π/2).
	x(t)=30cos(0,1t+π/2).
	x(t)=30cos(0,1t−π/2).
	x(t)=30cos(0,2πt+π/2).
16 - Os gráficos abaixo descrevem o movimento de quatro osciladores harmônicos simples. Assinale a alternativa INCORRETA:
	Todos, exceto III oscilam com período de 10s.
	II e IV partem de sua posição de equilíbrio em t=0s.
	I e II oscilam com a mesma amplitude.
	III oscila com frequência menor que todos os restantes,
	III realiza 18 oscilações por minuto.
17 - Durante um conserto de uma roda-gigante com raio de 40 metros, um técnico deixa apenas um dos carrinhos instalado. Para testes, a roda é acionada por volta de meio-dia, até atingir uma velocidade angular constante correspondente a uma volta a cada 180segundos, no sentido anti-horário. O técnico então observou que a sombra do carrinho projetada no chão descreve um movimento harmônico simples. Suponha que o técnico começou a observar a sombra quando o carrinho se encontrava no alto da trajetória. (Adote o ponto central da projeção como origem do eixo x e considere que a sombra possui velocidade inicial negativa).
	Encontre a amplitude do movimento da sombra projetada no solo.
	Encontre o período e a frequência angular deste movimento.
	Escreva as equações que descrevem a posição, a velocidade e a aceleração da sombra em função do tempo neste movimento harmônico simples.
	Faça uma gráfico da sombra em função do tempo para dois períodos. No gráfico devem estar indicados, numericamente, os valores máximo e mínimo da posição e os tempos em que a sombra atinge esses pontos.
18 - Um ponto move-se sobre a circunferência de raio R desacelerando, de modo que no cada instante os módulos da aceleração radial e transversal são iguais. Sabendo que no instante t=0 a velocidade angular do ponto é igual a ω0ω0. Encontre, usando coordenadas polares:
	A velocidade angular ω do ponto.
	A velocidade v do ponto.
	A aceleração a do ponto.
Formulário:
ar=r¨−rθ˙2
aθ=rθ¨+2r˙θ˙
v=r˙er+rθ˙eθ
19 - O gráfico mostra a oscilação de um bloco de massa 300 g preso a uma mola. Responder justificando:
	Qual é a constante elástica da mola?
	Qual é o módulo da velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio?
	Qual é a constante de fase?