E7 Colisao Inelastica

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Experimento E7
COLISÃO INELÁSTICA
24 de fevereiro de 2011
1 Objetivo
Obter o coeciente de restituição entre uma bola e o chão.
2 Teoria
Uma colisão entre dois corpos pode ser classicada considerando-se a energia cinética do conjunto antes e depois da colisão.
Se a energia cinética do conjunto se conserva, a colisão é chamada totalmente elástica; se parte da energia cinética se
transforma em outra forma de energia, a colisão é inelástica. Quando os dois corpos permanecem unidos após a colisão,
esta é dita totalmente inelástica. Considere uma bola que, sendo solta do repouso da altura inicial Hi, chega ao chão
com uma velocidade vi. Imediatamente após o contato com o chão, a bola se deforma e segue sofrendo uma compressão,
até atingir o repouso (situação de compressão máxima). A partir desse instante, ela passa a se expandir e salta, com
velocidade vf , indo até uma outra altura. Observe que, em geral, a bola deixa o chão com uma velocidade menor que a
velocidade que possuía quando atingiu o chão, alcançando uma altura Hf , que é menor que a altura inicial da qual ela
foi solta. A figura 1 ilustra esta situação.
vi
vf
H i
Hf
Figura 1: A bola cai de uma altura Hi e chega ao solo com velocidade vi. Após a colisão, ela sai com velocidade vf
atingindo a altura Hf .
Define-se o coeciente de restituição, r, de uma colisão desse tipo como
r =
|vf |
|vi| . (1)
O coeficiente de restituição pode ser utilizado como um indicativo de quão elástico é o choque entre a bola e o chão. A
perda de energia cinética nessa colisão é dada pela diferença entre a energia cinética da bola ao colidir com o chão e a
energia cinética da mesma ao deixar o chão, ou seja
∆K =
1
2
mv2f −
1
2
mv2i ,
que, em termos do coeciente de restituição, pode ser colocada na forma
∆K =
1
2
mv2i
(
r2 − 1) . (2)
Observe que esta variação de energia cinética é negativa, indicando uma perda de energia cinética. Na realidade, esta
�perda� corresponde, fisicamente, a uma transformação de energia cinética em outras formas de energia durante a colisão.
As equações (1) e (2) mostram que, numa colisão totalmente elástica, r = 1 e a energia cinética é conservada durante
a colisão. Numa colisão inelástica, devido a transformação de parte da energia cinética em outras formas de energia, a
velocidade de saída do chão, vf , é menor do que a velocidade de chegada ao chão, vi, o que dá r < 1 e, portanto, ∆K < 0.
1
Vamos analisar a situação em termos de energia potencial gravitacional U . A potencial gravitacional no momento em
que a bola é solta vale
1 Ui = mgHi. Após colidir com o chão, a bola retorna à altura Hf , onde sua energia potencial
gravitacional vale Uf = mgHf . Logo, a variação de energia potencial na colisão vale
∆U = mg (Hf −Hi) , (3)
que também é negativa, pois Hf < Hi. Considerando que a energia mecânica se conserva entre o instante inicial quando a
bola foi solta e o momento imediatamente anterior ao choque, podemos escrever mgHi = 12mv
2
i , o que dá para a variação
de energia cinética
∆K = mgHi
(
r2 − 1) . (4)
Mas ∆K =
1
2
mv2f −
1
2
mv2i = mgHf −mgHi que, inserida na equação (4), nos dá
mgHi
(
r2 − 1) = mg (Hf −Hi) ,
ou seja,
r2 =
Hf
Hi
,
dando o coeciente de restituição em termos da razão entre as alturas antes e após a colisão da bola com o chão. Desta
forma, a altura que a bola atinge após colidir com o chão será sempre uma fração fixa da altura inicial da qual ela caiu.
3 Descrição do experimento
O experimento consiste em deixar uma bola cair, de uma altura inicial, e medir a altura da mesma após a colisão com o
chão, repetindo-se algumas vezes. A seguir, solta-se novamente a bola desta nova altura, medindo-se novamente a nova
altura final, repetindo-se o procedimento algumas vezes. Serão anotadas cerca de seis alturas diferentes.
4 Equipamento/Material utilizado
1. Régua decimetrada.
2. Bola.
5 Procedimento Experimental
(a) Antes de começar suas medidas, treine um pouco a maneira de observar e medir para possibilitar um melhor resultado,
com menor erro.
(b) Deixe a bola cair da uma altura Ho (desconhecida) acima de 18, 0 dm e anote a altura H1 atingida após a primeira
colisão inelástica com o solo. Repita a operação quatro vezes e determine a média da altura H1 atingida e o desvio
médio da mesma.
(c) Em seguida, solte a bola dessa altura média H1 e meça o valor de H2, repetindo o procedimento afim de determinar
o valor médio de H2 e de seu desvio médio. Faça o procedimento acima para as seis primeiras colisões, anotando os
dados na Tabela da folha de relatórios.
(d) Responda as demais questões da folha de relatórios.
1
Considera-se o nível zero de energia potencial gravitacional no chão.
2
Experimento 7 - COLISÃO INELÁSTICA FEX 1001
Tabela 1
Altura ( ) medida 1 medida 2 medida 3 medida 4 medida 5 altura média:
H
desvio médio:
∆H
H1
H2
H3
H4
H5
H6
Tabela 2√
H2/H1
√
H3/H2
√
H4/H3
√
H5/H4
√
H6/H5 r
1. Usando o fato de que r2 =
H1
Ho
=
H2
H1
=
H3
H2
= · · · = Hn
Hn−1
, mostre que Hn = Hor2n.
2. Linearize a equação Hn = Hor2n mostrando claramente os coeficientes angular e linear da reta. Construa
o gráfico linearizado em papel mono-log utilizando os dados de sua tabela 1.
3. Calcule, a partir do gráfico linearizado, o valor do coeficiente de restituição entre a bola e o chão e o valor
da altura inicial de lançamento Ho. Indique no gráfico os pontos lidos. Mostre os cálculos com clareza.
3
4. Usando a igualdade apresentada na questão 1 e os valores médios de Hi da tabela 1, calcule os diferentes
valores do coeficiente de restituição e complete a tabela 2.
5. Calcule o valor médio de r e compare com o valor que você obteve a partir do gráfico linearizado, calculando
o erro percentual. Adote o valor médio como valor de referência. Mostre os cálculos com clareza.
4