Cálculo 1 - Gabarito de Prova

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MAT 001 Prova 1 04/10/2014
(Q1) (35 pontos) Considere a func¸a˜o f : R! R definida por
f(x) =
8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:
3
p
x+ 1� 3p2
x� 1 se x > 1
1 se x = 1
sen2 ((x� 1) ⇡2 )
3x� 3 se �1  x < 1
20 + 3x� 22x2 � 3x3 + 2x4 se x < �1
a) Discuta a continuidade de f .
b) Calcule f(0), f(2), f(�2) e f(3). E´ poss´ıvel garantir a existeˆncia de soluc¸a˜o para a
equac¸a˜o f(x) = 0 no intervalo [0, 2]? E no intervalo [�3,�2]? Justifique sua resposta.
c) Verifique se f e´ deriva´vel em x = 1.
(Q2) (35 pontos) Seja f(x) uma func¸a˜o real de uma varia´vel real.
a) Determine o domı´nio das func¸o˜es f(x) e f 0(x) supondo f(x) = ln
✓
x
x+ 1
◆
.
b) Calcule a derivada de f(x) nos seguintes casos:
(b1) f(x) = tan3(3x+ 1) (b2) f(x) =
cos(2x)
1� sen(2x)
(Q3) (30 pontos) Considere f uma func¸a˜o que satisfaz |f(x)|  x2 para todo x 2 R.
a) Calcule lim
x!0
f(x). Mostre que f(x) e´ cont´ınua em x = 0.
Dica: utilize o Teorema do Confronto.
b) Mostre que f 0(0) = 0.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!