Material complementar para estudo

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APRESENTAÇÃO 
 
Caro aluno, seja bem-vindo! 
 
Neste material estudaremos conteúdos fundamentais da Matemática de 
modo a tratar de assuntos que possam dar subsídios para as suas atividades 
cotidianas e futuras atividades profissionais, bem como contribuir para o 
desenvolvimento do seu pensamento crítico por meio da compreensão de 
conteúdos matemáticos. Com esses objetivos, os conceitos são apresentados 
de maneira contextualizada, identificando a Matemática presente em diversos 
contextos. 
Para que seu estudo ocorra de modo organizado, este material foi dividido 
em 6 unidades. Na primeira unidade intitulada “Frações: como dividir a pizza?” 
abordaremos o conceito de fração, as suas operações e propriedades. Na 
unidade 2 intitulada “Operações matemáticas básicas: o que acontece além do 
natural?” trataremos das operações matemáticas básicas de modo a auxiliá-lo a 
aplicar algoritmos e desenvolver o cálculo mental. Na unidade 3 intitulada 
“Equações: por que procurar o x?” conceituaremos equação e apresentaremos 
métodos de resolução e suas aplicações. Na unidade 4 intitulada “Tratamento 
da informação: o que os gráficos querem nos dizer?” estudaremos diferentes 
tipos de gráficos, como construí-los, interpretá-los e analisa-los. Na unidade 5 
intitulada “Relações matemáticas: que função é essa?” entenderemos o que é 
uma função e como utilizá-las na modelagem de situações diversas. Na última 
unidade intitulada “Porcentagem e Matemática Financeira: para quê juros? ” 
compreenderemos a relação entre porcentagem e juros, conhecendo diferentes 
regimes de capitalização. 
Este material foi elaborado com o intuito de manter uma relação dialógica 
de modo a contribuir para a construção do seu conhecimento matemático a 
respeito dos assuntos abordados e esperamos que ele seja por você utilizado 
com dedicação. 
 
 
 
 
UNIDADE 1 
 
FRAÇÕES: COMO DIVIDIR A PIZZA? 
 
Introdução 
É muito comum no nosso dia a dia se deparar com situações em que se 
faz necessário considerar quantidades compostas por partes que são menores 
que o inteiro e um exemplo disso são os centavos de real que comumente estão 
presentes nas mais diversas transações comerciais. 
Dessa forma, verifica-se a necessidade de retomada e aprofundamento 
da forma como representar e operar com essas quantidades, pois essas 
habilidades se configuram essenciais para sua inserção no mercado de trabalho 
e realização de posteriores estudos. 
 
Objetivos 
• Compreender a definição e representações associadas ao 
conceito de fração; 
• Compreender a equivalência entre as frações; 
• Compreender as operações fundamentais: adição, subtração, 
multiplicação e divisão com números fracionários. 
 
Além da unidade e seus múltiplos inteiros 
Como mencionado, fracionar a unidade faz parte do nosso cotidiano. 
Todavia, esse conceito matemático surgiu aproximadamente quatro mil anos 
atrás ou mais. Nas tribos primitivas, quando a divisão não era possível de ser 
realizada, havia a tendência de mudar a unidade, padronizando-a de forma a 
incluir as partes que outrora não foi possível. 
É importante ressaltar a diferença entre fração e número fracionário, para 
que assim se tenha clareza sobre os algoritmos empregados nas operações. 
Define-se frações como uma parte ou várias partes de um todo que foi 
dividido em partes iguais. Os números fracionários, por sua vez, são as 
representações associadas a esses fragmentos e são compostos por razões 
entre números inteiros não-nulos. Observe: 
𝑎
𝑏
 
Nesse caso o número b é designado por denominador e indica o número 
de partes iguais em que o inteiro foi dividido. O número a é designado por 
numerador e indica a quantidade de partes consideradas do inteiro na fração. 
Você pode notar que o denominador e o numerador apresentam 
essências distintas na construção do número fracionário. Enquanto o numerador 
está diretamente relacionado a quantidade, o denominador indica a 
fragmentação da unidade. Lembrando que durante todo esse processo de 
significação a unidade (o todo) deve estar em pano de fundo para significação 
da fração. 
As frações também apresentam a características de serem equivalentes, 
ou seja, para uma determinada quantidade de partes pode-se encontrar diversos 
números fracionários associados. 
 
Agora é a sua vez! 
 
1. Observe os seguintes grupos de fração: 
𝐴 = { 
1
3
;
2
6
 𝑒 
3
9
 } 𝑒 𝐵 = {
1
5
;
2
10
 𝑒
3
15
} 
a) Considerando o inteiro um retângulo, represente os grupos de frações: 
 
 
 
 
 
 
b) Observe as quantidades consideradas. Elas são diferentes? Justifique. 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
 
O conceito de frações semelhantes contribui diretamente quando se está 
interessado em trabalhar as operações com frações. Observe como as 
operações são realizadas e os sentidos que são atribuídos quando as 
representações geométricas são associadas às operações elementares: 
Vamos somar 
1
5
 𝑒
1
2
. Para todo esse processo, vamos considerar um retângulo de 
5x1: 
 
 
Vamos identificar cada uma das frações em relação ao inteiro: 
 
1
2
 
1
5
 
O que então, seria a soma? 
A soma pode ser compreendida como a união dessas partes, observe: 
1
2
+
1
5
= + = . 
Porém, é necessário que a soma seja referenciada em relação ao inteiro, mas 
é complicado fazer isso tendo os fragmentos de tamanho diferente. Esse fato 
nos leva a procurar uma maneira de deixar esses fragmentos do mesmo 
tamanho. É diante dessa necessidade que a equivalência entre as frações se 
configuram pertinentes, pois podemos trocar as frações por semelhantes que 
apresentam o mesmo denominador. 
Observe: 
1
2
=
1 ∙ 5
2 ∙ 5
=
5
10
 𝑒
1
5
=
1 ∙ 2
5 ∙ 2
=
2
10
 
Em relação às figuras: 
 e 
Agora podemos então realizar a soma e referenciar em relação ao inteiro, pois 
todas as peças foram niveladas para um denominador comum, observe: 
+ = 
Ou seja: 
5
10
+
2
10
=
7
10
 
Então a soma entre 
1
2
+
1
5
=
7
10
 
Nesse processo o mais complicado é achar a fração equivalente, mas você 
estar atento para as regularidades. Por exemplo: Há situações em que os 
denominadores podem ser múltiplos: 
1
6
+
4
12
=
1 ∙ 2
6 ∙ 2
+
4
12
=
2
12
+
4
12
=
6
12
 
Observe que como 12 é múltiplo de 6. Então, basta determinar a fração 
equivalente de somente uma das parcelas. Porém, como no exemplo resolvido 
anteriormente, os denominadores são primos entre si, você pode multiplicar de 
forma alternada, conforme foi realizado no exemplo. Cabe destacar que a 
maneira de proceder com a subtração é semelhante a adição. 
Você também deve estar se perguntando a respeito do cálculo do mmc. 
Pois bem, fique claro que o mmc contribui para chegarmos na soma em forma 
de uma fração irredutível, ou seja, uma fração que não podemos mais simplificar. 
A multiplicação entre frações obedece a regra de multiplicar o numerador 
de um dos fatores pelo do outro, bem como o denominador. Mas você já se 
perguntou o porquê dessa ação. Acompanhe na sequência com auxílio à 
representação geométrica. 
1
2
∙
1
3
=
1 ∙ 1
2 ∙ 3
=
1
6
 
Nesse caso, devemos nos questionar: como representar, em relação ao 
inteiro, um terço de meio? Considerando da atividade anterior: 
 
Note que em relação ao inteiro, a parte hachurada equivalea 
1
6
, o que permite 
realizar a seguinte associação: 
1
2
∙
1
3
=
1∙1
2∙3
=
1
6
 
Em relação à divisão, você pode se perguntar do algoritmo: repete a 
primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda. Uma forma de mostrar essa 
regra é conhecer a relação entre a multiplicação e a divisão, são operações 
inversas. Vamos considerar a seguinte divisão: 
1
2
÷ 3 
Nesse caso, devemos nos perguntar: qual é a terça parte de meio em 
relação ao inteiro? 
Logo temos uma representação geométrica semelhante o produto 
realizado anteriormente. Então, pode-se escrever a divisão da seguinte forma: 
1
2
÷ 3 =
1
2
∙
1
3
=
1 ∙ 1
2 ∙ 3
=
1
6
 
Esse resultado permite realizar a seguinte analogia: 
1
4
÷
2
6
=
1
4
∙
6
2
=
1 ∙ 6
4 ∙ 2
=
6
8
 
Com essas considerações e após assistir a teleaula, procure resolver as 
seguintes atividades: 
 
Agora é a sua vez! 
Atividades (adaptadas de Mori e Onaga, 2009, p.152-189) 
 
2. Uma prova de história tinha 40 questões. Mary acertou cinco oitavos. Quantas 
questões ela acertou? 
 
 
3. Da arrecadação mensal da Associação de Pais e Mestres de uma escola, 
5
12
 
são gastos com o pagamento de funcionários e 
7
15
com a compra de material de 
limpeza. Que fração representa a quantidade que sobra desse orçamento para 
as demais despesas? 
 
 
4. Uma peça de tecido tem 60 metros. Essa peça foi dividida em duas partes, 
sendo, sendo que uma delas tinha 
5
9
 do comprimento total. Dessa parte foram 
usadas 
3
4
 para fazer a cortina. Quantos metros foram utilizados para fazer a 
cortina? 
 
 
UNIDADE 2 
 
OPERAÇÕES BÁSICAS: O QUE ACONTECE ALÉM DO NATURAL? 
 
Introdução 
O estudo das quatro operações básicas – soma, subtração, multiplicação 
e divisão – é importante, pois auxilia na resolução de situações vivenciadas no 
dia a dia das pessoas. 
 
Objetivos 
▪ Compreender as quatro operações básicas – adição, subtração, 
multiplicação e divisão; 
▪ Reconhecer as diferentes ideias veiculadas pelas operações e 
utilizá-las na resolução de situações-problema; 
▪ Identificar a relação existente entre as operações. 
 
As quatro operações 
 A primeira operação que se aprende é a soma. É a base de todas as 
outras operações. Pode ser compreendida como: a adição entre dois ou mais 
números, que podem ser diferentes ou não. 
 A operação de adição é utilizada quando se precisa: reunir, juntar, 
adicionar, acrescentar e saber o total de quantidades variadas. 
 Veja um exemplo: 
Pedro tem uma coleção de figurinhas de times de futebol e já possui 4.345. 
Seus amigos João e Marcelo também colecionam figurinhas. Joao tem 1.953 
figurinhas e Marcelo 398. Quantas figurinhas Pedro, João e Marcelo possuem 
juntos? 
 
Pode-se representar essa situação assim: 
4.345 + 1.953 + 398 = ? 
4 3 4 5 Primeira parcela 
1 9 5 3 Segunda parcela 
+ 3 9 8 Terceira parcela 
6 6 9 6 Soma ou total 
 
 A segunda operação é a subtração, e está relacionada não só a ideia de 
retirar, mas também as ideias de comparar e completar. 
 Veja um exemplo: 
André rinha 4.236 figurinhas e deu 728 para seu primo. Com quantas 
figurinhas André ficou? 
 
4.236 - 728 = ? 
4 2 3 6 Minuendo 
- 7 2 8 Subtraendo 
3 5 0 8 Resto ou diferença 
 
Uma outra operação é a multiplicação que está relacionada a ideias de 
adicionar parcelas iguais ou realizar situações de combinação. 
 Veja um exemplo: 
Bruno ganhou de sua mãe uma televisão nova. O valor foi pago em três 
parcelas iguais de R$ 1.056,00. Qual o valor de TV? 
 
1.056 + 1.056 + 1.056 = ? 
1 0 5 6 Multiplicando ou primeiro fator 
X 3 Multiplicador ou segundo fator 
3 1 6 8 Produto 
 
A divisão é a operação inversa da multiplicação. A divisão está associada 
a ideia de repartir igualmente e a ideia de quantas vezes uma quantidade cabe 
na outra. 
 Veja um exemplo: 
Tiago tem 4.225 figurinhas e deseja distribuí-las igualmente entre 5 amigos. 
Cada amigo receberá quantas figurinhas? 
 
 
Dividendo 4 2 2 5 5 Dividendo 
 - 4 0 8 4 5 Quociente 
 2 2 
 - 2 0 
 0 2 5 
 - 2 5 
 0 0 Resto 
 
Agora é a sua vez! 
 
1. Identifique a ação realizada por Alexandre em cada problema. Em seguida, 
resolva o problema, colocando na resposta a ideia da ação realizada por ele. 
 
a) Alexandre queria 
calcular qual sua renda 
mensal anual. Sabendo-se 
que ele ganha R$ 3.790,00 
por mês, quanto ele ganha 
por ano? 
 
 
 
R:_____________________________________________________________. 
 
b) Alexandre comprou um 
terreno novo e quer saber o 
quanto ele é maios que o 
seu terreno antigo. Sabendo 
que o terreno novo tem 
125.000 metros quadrados e 
que o terreno antigo tem 
89.000 metros quadrados, 
qual a diferença entre os 
dois? 
 
R:_____________________________________________________________. 
 
 
c) Alexandre recebeu 
4.525 peças para embalar 
em 5 caixas. Quantas peças 
ele deverá colocar em cada 
caixa? 
 
 
R:_____________________________________________________________. 
 
 
2. Francisco comprou um terreno por R$ 118.000,00. Gastou R$ 25.000,00 para 
fazer o muro. Depois de construir o muro, ele vendeu o terreno por R$ 
147.000,00. Quanto Francisco ganhou na venda do terreno? 
 
 
3. Carlos tem um comércio de venda de alimentos. Semanalmente, ele faz o 
controle do que tem no estoque e do que precisa comprar. Carlos contou 200 
pacotes de feijão preto, com 5 kg cada, e 180 pacotes de feijão carioquinha, com 
3 kg cada. Quantos quilogramas de feijão há no estoque? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 3 
 
EQUAÇÕES: POR QUE PROCURAR O X? 
 
Introdução 
Desde a antiguidade até os dias de hoje, um dos objetivos básicos da 
Álgebra continua o mesmo: permitir a solução de problemas matemáticos que 
envolvam números desconhecidos. 
A Álgebra é uma parte da Matemática que visa estudar equações, 
polinômios, estruturas algébricas e operações matemáticas, que envolvem 
aspectos formais de algumas propriedades da aritmética. 
Diante do exposto, esta unidade terá como foco o estudo de equações 
algébricas. Ampliando o estudo desse conceito, será abordado também os 
sistemas de equações lineares. 
 
Objetivos 
• Definir equações algébricas e sistemas de equações lineares; 
• Apresentar métodos de resolução para equações algébricas e 
sistemas de equações lineares; 
• Aplicar os conceitos de equações algébricas e sistemas de 
equações lineares em situações práticas. 
 
O que é equação? 
É uma sentença matemática com relação de igualdade que apresenta, 
pelo menos, um símbolo representando um número desconhecido. Para 
convencionar, muitas vezes, adota-se esse símbolo como sendo a letra "x". 
 Exemplos: x + 5 = 2; x² + 5x -7 = 0; 2x + 3 = 4 
 
Uma equação do 1º grau, na incógnita x, é toda equação que pode ser 
escrita na seguinte forma algébrica: ax + b = 0, em que a e b são números reais, 
denominados coeficientes, sendo a≠0. Exemplo: 5x + 3 = 2 
Uma equação do 2º grau, na incógnita x, é toda equação que pode ser 
escrita na seguinte forma algébrica: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números 
reais, denominados coeficientes, sendo a ≠ 0. Exemplo: x² - 4x + 4 =0 
As equações algébricas são aplicadas a diversas situações. A seguir, 
apresentaremos algumas situações em que se recorre ao uso dessas equações, 
bem como, mostraremos algumas formas de resolução.Como podemos resolver uma equação do 1º grau? 
Para apresentar como resolver equações algébricas, como dito 
anteriormente, traremos algumas situações. Assim, a fim de responder a 
pergunta a respeito de como resolver uma equação do 1º grau, segue uma 
situação-problema: 
Exemplo: (Adaptado de SES-DF – 2014) Certo dia, do total de veículos 
no estacionamento de um shopping, 
1
4
 transportava apenas o motorista, 
2
5
 
levavam exatamente duas pessoas, e os 903 restantes transportavam mais que 
duas pessoas. Qual o total de veículos no referido estacionamento nesse dia? 
 Nessa situação-problema, busca-se o total de veículos. Desse modo, o 
total de veículos pode ser representado por “x”. Retirando os dados do problema, 
teremos uma equação do 1º grau: 
1
4
𝑥 + 
2
5
𝑥 + 903 = 𝑥 
 Inicialmente, vamos deixar as incógnitas de um lado da igualdade e os 
números do outro. Como se trata de uma igualdade, tudo que é feito de um lado 
deve ser feito do outro: 
1
4
𝑥 + 
2
5
𝑥 + 903 − 903 − 𝑥 = 𝑥 – 𝑥 − 903 
1 
4
𝑥 + 
2
5
𝑥 − 𝑥 = − 903 
Agora, é só resolver a equação juntando os termos semelhantes. Observe 
que se trata de uma operação com frações com denominadores diferentes, logo 
é necessário aplicar os conhecimentos referentes a como realizar tais 
operações: 
5
20
𝑥 +
8
20
𝑥 −
20
20
𝑥 = −
18.060
20
 
 Como todas as frações estão com os mesmos denominadores é possível 
realizar as operações indicadas, obtendo a seguinte igualdade: - 
7
20
𝑥 = - 
18.060
20
 
Para determinar o valor de x da equação anterior é possível aplicar a 
multiplicação “cruzada” ou produto dos meios pelos extremos: x = 
−20 . 18.060
20 .(−7)
=
2.580 
Após aplicar esses procedimentos determinamos que no estacionamento 
haviam 2.580 veículos. 
Veja, nessa situação-problema aplicamos alguns procedimentos, como 
deixar as incógnitas todas juntas de um lado da igualdade, para fazer isso 
recorremos a ideia de que “como se trata de uma igualdade tudo que é feito de 
um lado deve ser feito do outro”, isso foi realizado visto que muitas vezes 
ocorrem erros de sinal, entretanto, ao compreender os procedimentos a serem 
realizados não será necessário deixá-los tão detalhados. 
Vimos nessa seção como resolver uma equação do 1º grau, na próxima 
abordaremos a respeito da resolução de uma equação do 2º grau. 
 
Como resolver uma equação do 2º grau? 
Assim como na seção anterior, para responder a pergunta que é o título 
da seção apresentaremos uma situação-problema: 
Exemplo: Em torno de uma quadra de futebol de salão de 15 m de 
comprimento e 8 m de largura, deseja-se deixar uma faixa de largura constante. 
A área da quadra, com a faixa, deve ser 198 m². Qual deve ser a largura da 
faixa? 
Nessa situação-problema busca determinar a largura da faixa e fala-se da 
área total dessa quadra. Como é possível perceber trata-se de um retângulo e a 
área dele é dada pelo produto da base pela altura. 
 Retirando os dados do problema teremos que a nova largura será (x + 8) 
m e o novo comprimento (x + 15) m é dado também que a área total é 198 m². 
Com base nesses dados, obtemos: (𝑥 + 8). (𝑥 + 15) = 198, resultando em: 𝑥2 +
23𝑥 + 120 = 198 
A equação obtida é de 2º grau, para resolvê-la inicialmente deixaremos 
na forma algébrica apresentada na definição a fim de deixar a equação igual a 
zero: 
 x² + 23𝑥 + 120 − 198 = 198 − 198 𝑥² + 23𝑥 − 78 = 0 
 
Para resolver tal equação é possível aplicar a famosa “fórmula de 
Bháskara”: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Fonte: VARGAS, 2012. 
 
Agora, resolvendo a equação da situação-problema: a = 1, b = 23 e c = -
78. 
 𝑥 =
−23±√232−4.1.(−78)
2.1
 𝑥 =
−23±√841
2
 𝑥 =
−23±29
2
 
 
 𝑥′ =
−23+29
2
= 3 𝑥" =
−23−29
2
= −26 
Após determinar os valores, é possível responder o que é perguntando na 
situação-problema: a faixa deverá ter 3 m. Note, que não é possível ter um faixa 
com uma medida negativa, por isso -26 não convém. 
Veja que para resolver a situação-problema, aplicamos um procedimento 
chamado “fórmula de Bháskara”. Para resolver um equação do 2º grau completa, 
ou seja, com todos os coeficientes, esse é um procedimento prático e que pode 
ser aplicado quando por exemplo b = 0 ou c = 0, isto é, quando a equação é 
incompleta. 
Na resolução de equações de 2º grau podem ser aplicados mais alguns 
procedimentos, como o de completar quadrados, todavia apresentamos o que é 
mais utilizado e também o mais lembrado quando se fala de uma equação do 2° 
grau. 
Até o momento, vimos nessa unidade conceitos e aplicações de equações 
do 1º e 2º grau, agora abordaremos o que é e como podemos resolver um 
sistema de equações lineares. 
 
O que é um sistema de equações lineares? 
Primeiramente, antes de definirmos um sistema de equações lineares, 
vamos entender o que são equações lineares. De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., 
an, b são constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação 
linear é do tipo: 
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b 
Denominamos x1, x2, ..., xn, como incógnitas, a1, a2, ..., an, como 
coeficientes e b como termo independente. Veja o exemplo: 
3x + 5y - 6z = 8, em que x, y e z são incógnitas; 3, 5 e -6 são coeficientes e 8 é 
o termo independente 
Uma equação linear possui soluções, em que os valores das incógnitas 
serão tais que satisfazem a sua igualdade, isto é, tornem a equação 
verdadeira. Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de uma equação 
linear. 
Na equação linear 2x - y +z = 3, x = 2, y = 1 e z = 1 é solução da equação, pois 
os valores de x, y e z satisfazem a igualdade, observe que substituindo os 
valores de x, y e z, temos: 2.(2) - 1 + 1 = 4, logo 4 = 4. 
Quando temos um conjunto de equações lineares, temos um sistema de 
equações lineares. Veja abaixo um sistema de equações lineares com m 
equações e n incógnitas, tal que, aij, bi ϵ R. 
 
Assim como acontece com as equações lineares, os sistemas de 
equações lineares também tem solução, em que um conjunto de números 
satisfaz simultaneamente as m equações do sistema linear. 
Exemplo: Em certa lanchonete dois salgados fritos mais um copo 
refresco de 250 ml são vendidos por R$ 6,50. Uma pessoa comprou três 
salgados e dois copos de refrescos e pagou R$11,00. Quanto custa cada 
salgado e cada copo de refresco? 
Nessa situação-problema busca determinar quanto custará cada salgado 
e cada copo de refresco nessa lanchonete. Muitas vezes no dia a dia, nos 
deparamos com situações parecidas com estas, e um sistema de equações 
lineares pode nos auxiliar para encontrar a solução do problema. 
Analisando o problema podemos chamar de "x" o valor do salgado e "y" o 
valor de cada copo de refresco. Desse modo, sabendo que dois salgados mais 
um copo refresco são vendidos por R$ 6,50, podemos escrever a seguinte 
equação: 2x + y = 6,50 
Ainda analisando os dados do problema temos que, três salgados e dois 
copos de refrescos são vendidos por R$11,00, resultando na seguinte equação: 
3x + 2y = 11,00. 
Como os valores das incógnitas x e y devem ser iguais em ambas 
equações, podemos escrever numa forma de sistema de equações lineares. 
{
2x + y = 6,50
3x + 2y = 11
 
Podemos resolver esse sistema de equações lineares com o método da 
adição, qual se adiciona ambas equações, tendo como resultando uma única 
incógnita. 
 {
𝟐𝐱 + 𝐲 = 𝟔, 𝟓𝟎 (−𝟐)
𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟏𝟏
 {
−𝟒𝐱− 𝟐𝐲 = −𝟏𝟑
𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟏𝟏
 
Adicionando a primeira equação com a segunda equação, resultamos em: 
−x = −2, logo x = 2. 
 Substituindo o valor de x = 2 em umas das equações, encontramos o valor 
da incógnita y. 2x + y = 6,50, tal que, 2.2 + y = 6,50, resultando em y = 2,50 
Dessa forma, temos que o valor de cada salgado é R$ 2,00 e cada copo 
de refresco é R$ 2,50. 
Apresentamos um método de resolução para determinar a solução dos 
sistemas de equações lineares, existem outros, como o da substituição. 
Esperamos que os métodos de resolução de equações algébricas e 
sistemas de equações lineares possam auxiliar em situações-problemas do dia 
a dia, facilitando em suas resoluções. 
A seguir apresentaremos algumas atividades para aplicar os conceitos 
vistos nessa unidade. 
 
Agora é a sua vez! 
1. André gosta muito de viajar e em suas férias decidiu ir de carro para uma 
cidade litorânea do estado em que mora, que ainda não tinha visitado. A 
distância entre sua cidade e acidade que deseja ir é de 525 km. Durante o 
percurso, André fez uma parada para descansar e fazer um lanche. A seguir, 
percorreu o dobro da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de 
parar. Quantos quilômetros ele percorreu até sua parada para descansar e 
lanchar? 
 
2. Carla resgatou ao final de dois anos certa quantia e decidiu gastá-la da 
seguinte forma: metade para viajar, um terço para reformar a sala de estar de 
sua casa e R$ 1.000,00 para pagar algumas dívidas. Quanto Carla resgatou? 
 
3. Em certa lanchonete dois salgados fritos mais uma garrafinha de refrigerante 
de 250 ml são vendidos por R$ 6,50. Uma pessoa comprou três salgados e duas 
garrafinhas de refrigerante e pagou R$11,00. Quanto custa cada salgado e cada 
garrafinha de refrigerante? 
 
4. Em certa turma de uma escola há 28 alunos, entre meninos e meninas. Se 
tivessem mais duas meninas, o total de meninas seria o dobro do total de 
meninos. Quantos meninos e quantas meninas tem nessa turma? 
 
5. Marcos tem 21 anos e Lígia tem 18 anos. Daqui a quantos anos o produto de 
suas idades será igual a 504? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 4 
 
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: 
O QUE OS GRÁFICOS QUEREM NOS DIZER? 
 
Introdução 
As tabelas e gráficos, que são temas associados à Estatística – na 
Educação Básica refere-se ao bloco de conteúdos denominado Tratamento da 
Informação – estão presentes a todo momento nos meios de comunicação, 
sendo recursos empregados na representação de diversos fenômenos. A 
interpretação destes tipos de representações – que está associada não apenas 
à Matemática, mas também à diversas outras áreas – é fundamental para que o 
cidadão possa compreender os fenômenos que o cercam, assumindo uma 
postura crítica diante dos mesmos. 
 
Objetivos 
• Ler e interpretar tabelas e gráficos; 
• Conhecer as características dos diferentes tipos gráficos; 
• Identificar os tipos de gráficos mais adequados para a representação dos 
dados em diferentes situações. 
 
Estatística na História 
Segundo Bianchini (2006, p.78) 
A Estatística permite coletar, descrever, organizar, analisar e 
comunicar dados a respeito de uma população ou de um 
fenômeno. Os primeiros “dados estatísticos” apareceram em 
épocas muito remotas, contemporaneamente ao 
desenvolvimento da escrita. Registros históricos [...] de mais de 
2.000 anos antes de Cristo apontam o uso de processos que 
hoje chamaríamos de estatísticos. 
 Atualmente, a estatística é importante para o desenvolvimento das 
ciências, podendo ser identificada, por exemplo, por meio de tabelas e gráficos. 
 
 
 
Estudo das tabelas 
 Dentre os diversos recursos que podem ser empregados na organização 
de dados podemos destacar as tabelas, muito utilizadas na observação de 
relações entre os dados que compõem os conjuntos. 
 De acordo com Salla (2016), podemos utilizar as tabelas de diferentes 
formas na organização de dados, considerando, por exemplo, a ordem crescente 
ou decrescente no caso de números, ou em ordem alfabética quando são 
compostas por nomes. 
 Os principais elementos que compõem uma tabela são: 
• Título: fornece informações sobre o que está sendo representado; 
• Cabeçalho: colocado na parte superior da tabela, especifica o conteúdo 
das colunas, sendo que este deve estar entre traços horizontais para 
facilitar a visualização; 
• Coluna indicadora: mostra quais são os dados representados pela linha; 
• Corpo: corresponde ao conjunto de colunas e linhas que contém 
informações sobre o fenômeno estudado; 
• Fonte: inserida no rodapé da tabela, indica de onde os dados foram 
coletados, sendo responsável por determinar mais ou menos credibilidade 
aos dados apresentados. 
 
 
Fonte: adaptado de https://cleanlourenco.blogspot.com.br/2012/02/estudando-graficos 
-tabelas-e.html (acesso em 03/03/2017) 
 
A interpretação das tabelas é fundamental para que possamos 
compreender quais as informações pretende-se comunicar por meio delas e se 
a representação está adequada à situação em estudo. 
 
Agora é a sua vez! 
 
1. Para que o pouso de um avião seja autorizado em um aeroporto, a aeronave 
deve satisfazer, necessariamente, as seguintes condições de segurança: 
I. a envergadura da aeronave (maior distância entre as pontas das asas do 
avião) deve ser, no máximo, igual à medida da largura da pista; 
II. o comprimento da aeronave deve ser inferior a 60 m; 
III. a carga máxima (soma das massas da aeronave e sua carga) não pode 
exceder 110 t. 
Suponha que a maior pista desse aeroporto tenha 0,045 km de largura, e que os 
modelos de aviões utilizados pelas empresas aéreas, que utilizam esse 
aeroporto, sejam dados pela tabela: 
 
De acordo com as regras de segurança e com as informações apresentadas na 
tabela, quais os únicos modelos de aviões que estão aptos a pousar nesse 
aeroporto? Justifique sua resposta1. 
 
Interpretação gráfica e tipos de gráficos 
Assim como as tabelas, os gráficos também podem ser empregados na 
representação de conjuntos de dados, indicando a tendência de variação dos 
dados utilizando-se de recursos visuais. A interpretação deste tipo de 
representação possibilita a identificação e compreensão do conjunto de dados 
em estudo. 
Dentre os diversos tipos de gráficos existentes, podemos destacar o 
gráfico de setores, o gráfico de barras (horizontais e verticais) e o gráfico de 
linhas. 
 
1 Questão adaptada da prova do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM – do ano de 2016, em sua 
segunda aplicação. 
No gráfico de setores, a frequência de cada dado estatístico é 
representado como um setor do círculo, cuja área é proporcional à área do 
círculo. 
 
 
Fonte: http://www.brasil.gov.br/meio-ambiente/2012/11/mix-de-fornecimento-de-energia/grafico-
pizza/image_view_fullscreen (acesso em 05/03/2017) 
 
Este gráfico é empregado, dentre outras situações, quando desejamos comparar 
os dados entre si ou com o todo (BIANCHINI, 2006) 
 
Agora é a sua vez! 
 
2. Considere a seguinte notícia: 
 
Os gráficos expõem dados estatísticos por meio de linguagem verbal e não 
verbal. No texto, qual a finalidade do uso desse recurso? Por que foi selecionado 
o gráfico de setores para esta situação ao invés, por exemplo, do gráfico de 
linhas? Justifique sua resposta2. 
 
3. O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais 
reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre 
elas, fibras têxteis, tapetes,embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram 
o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET 
reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas). 
 
Com base nos gráficos e informações apresentadas, qual a quantidade 
aproximada de embalagens PET recicladas que são destinadas à produção de 
tecidos e malhas, em kton3? 
 
O gráfico de barras verticais, ou colunas, é composto por colunas com 
base em um eixo horizontal, as quais possuem mesma largura e a variação das 
alturas é devido às informações a serem representadas (BIANCHINI, 2006). 
 
 
2 Questão adaptada da prova do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM – do ano de 2013. 
3 Questão adaptada da prova do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM – do ano de 2015. 
 
Fonte: adaptado de https://iloaguiardotcom1.files.wordpress.com/2013/03/folha.jpg?w=869 
(acesso em 05/03/2017) 
 
O gráfico de barras horizontais é construído de forma semelhante ao de colunas, 
mas é composto por barras horizontais fixadas em um eixo vertical (BIANCHINI, 
2006). 
 
 
Fonte: adaptado de https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=imgres&cd= 
&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjLkd2etMDSAhUETJAKHe8VCUkQjRwIBw&url=http%3A%2F
%2Fwww.ebah.com.br%2Fcontent%2FABAAABik4AA%2Ftrabalho-estatistica&psig=AFQjCNFo 
xryijIi2ebgjhd_U1ZfKjvUzwg&ust=1488839158115468 (acesso em 05/03/2017) 
 
 
Agora é a sua vez! 
 
4. Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a 
seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada 
cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por 
mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400 000,00, distribuídos de 
acordo com o Gráfico 1. 
 
No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o 
mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa 
permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 
2013 e 2014, por grau de instrução, está representado no Gráfico 2. 
 
Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 
2014 seja o mesmo de 20134? 
 
4 Questão adaptada da prova do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM – do ano de 2014. 
 
 
 O gráfico de linhas é utilizado principalmente na descrição de fenômenos 
que variam em função do tempo. 
 
 
Fonte: http://4.bp.blogspot.com/_n_PsRVhqcdg/TS0KnoEOBeI/AAAAAAAAAXI/cPYqWz 
c07XU/s1600/Gr%25C3%25A1fico3.png (acesso em 05/03/2017) 
 
Este tipo de gráfico é composto por eixos horizontal e vertical. Ao unir os pontos 
que caracterizam os dados do conjunto obtemos a linha do gráfico (BIANCHINI, 
2006). 
 
Agora é a sua vez! 
 
5. O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado 
a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em reais) de certo 
medicamento ao longo do ano de 2011. 
 
De acordo com o gráfico, em quais meses ocorreram, respectivamente, a maior 
e a menor venda absolutas no ano de 2011? Por que, neste problema, adotou-
se a representação da situação por um gráfico de linhas? Seria adequado utilizar 
um gráfico de setores neste caso? Justifique sua resposta5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Questão adaptada da prova do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM – do ano de 2012. 
UNIDADE 5 
 
RELAÇÕES MATEMÁTICAS: QUE FUNÇÃO É ESSA? 
 
Introdução 
Nessa unidade você irá entender um pouco sobre uma relação que existe 
entre algumas grandezas, situações essas que são corriqueiras no dia a dia. Por 
exemplo quando você vai até a padaria e pede uma certa quantidade de pães, o 
preço que irá pagar por esses pães está relacionada a quantidade que comprou. 
Ou quando você mede um espaço para fazer sua horta, a quantidade de arame 
que irá gastar para cercar sua horta está relacionada com a quantidade de 
metros que esse espaço possui. Essas são algumas das muitas situações que 
possuem grandezas relacionadas. Nessa unidade você irá conhecer mais alguns 
problemas, além de descobrir quais conceitos matemáticos podem ajudar a você 
a entender e solucionar esses problemas. 
 
Objetivos 
• Conceituar função; 
• Estudar algumas características das funções; 
• Estudar alguns tipos de funções e suas características; 
• Conhecer alguns modelos que envolvem funções. 
 
FUNÇÃO 
Segundo Stewart (2016, p. 10) “uma função f é uma lei que associa, a 
cada elemento x em um conjunto D, exatamente um elemento f(x), em um 
conjunto E. Geralmente os conjuntos D e E são conjuntos numéricos. O conjunto 
D é chamado de domínio da função”. O domínio são todos os valores possíveis 
de x, ou seja, a região em que a função pode ser definida. Há casos em que a 
função não é definida, são eles: 
1) Não existe divisão por zero. Por exemplo, a função 𝑓: ℝ∗ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 tem como domínio todos os números reais com exceção do zero. 
2) Não existe logaritmo de número negativo ou de zero. Por exemplo, a 
função 𝑓: ℝ+
∗ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) tem como domínio todos os 
números reais positivos com exceção do zero. 
3) Não existe raiz, de índice par, de números negativos no conjunto dos 
números reais. Por exemplo, a função 𝑓: ℝ+ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = tem 
como domínio todos os números reais positivos. 
A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) obtidos 
quando x varia por todo o domínio. Stewart (2016) se refere a variável 
independente como o símbolo que representa um número arbitrário no domínio 
de uma função f. Esse autor comenta que o símbolo que representa um número 
na imagem de f é denominado variável dependente. 
Pense na seguinte situação: Um novo posto de gasolina se instalou na 
sua cidade, o preço cobrado pelo litro de gasolina é de R$ 3,50. Nessa situação 
temos que a variável dependente é o valor a ser pago (y) e a variável 
independente é a quantidade de gasolina (x). Com essas informações podemos 
escrever a seguinte expressão matemática: 𝑦 = 3,50𝑥. Tal expressão é 
denominada de lei de formação da função, e nos fornece o valor a ser pago de 
acordo com a quantidade de gasolina. 
 
Agora é a sua vez! 
 
1. Em algumas cidades do Brasil o valor a ser pago pela quantidade de energia 
consumida, dependente apenas dessa quantidade, não havendo nenhuma taxa 
extra. Imagine que você more em uma cidade que a conta de energia segue 
esses padrões e o valor cobrado por quilowatts consumido em um é mês é de 
R$0,70. Em relação a essa situação responda: 
a) Qual a variável dependente? Qual a variável independente? 
b) Qual a lei de formação dessa função? 
c) Quanto você irá pagar se gastar 200 quilowatts em um mês? 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Dizemos que y é uma função afim, ou do 1º grau de x se apresentar 
uma lei de formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, na qual os coeficientes a e b são 
números reais, além de, necessariamente, a ser diferente de zero (a ≠ 0). 
Segundo Stewart (2016) uma característica peculiar desse tipo de função é 
que elas variam a uma taxa constante. 
Pense na seguinte situação, uma professora de Matemática que 
ministra aulas particulares a domicilio cobra R$25,00 para ir até a casa de 
seus alunos, mas R$ 30,00 por hora trabalhada. Nessa situação a taxa 
constante é o valor cobrado para a professora ir até a casa, nesse caso 
R$25,00. A lei de formação da função que representa o valor a ser pagopelos alunos é 𝑃(ℎ) = 25 + 30ℎ em que P(h)(variável dependente) é o valor 
a ser pago e h (variável independente) é a quantidade de horas trabalhadas. 
Analisando a lei de formação dessa função podemos dizer que seu domínio 
são os números reais, pois a função existe para qualquer h real. Além disso, 
a imagem dessa função são os números reais, pois a função pode assumir 
qualquer valor real dependendo do valor de h é importante salientarmos que 
se analisarmos a lei de formação em seu contexto real, não faria sentido 
termos horas trabalhadas negativas, assim o domínio seria os reais positivos 
e consequentemente a imagem só seriam os valores reais positivos. 
 
Agora é a sua vez! 
 
2. Uma locadora de automóveis cobra para alugar um carro popular R$70,00 
acrescido de uma taxa de R$1,20 por quilômetro rodado. Determine uma lei de 
formação de uma função que permita a um interessado em locar um carro nessa 
locadora, calcular a quantia que irá pagar de acordo com a quantidade de 
quilômetros que pretende rodar. 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Dizemos ser uma função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, 
qualquer função 𝑓: ℝ → ℝ dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
onde a, b e c são números reais e 𝑎 ≠ 0. Numa função do segundo grau, os 
valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do 
segundo grau será considerada incompleta. Por exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 
O gráfico de uma função do segundo grau é chamado de parábola. Ao 
construir o gráfico de uma função quadrática notaremos sempre que: 
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
Outra característica que deve ser ressaltada sobre as funções quadráticas 
é para encontrar o zero da função. Dada a função f de A em B, chamamos raiz 
(ou zero) da função todo elemento de A cuja imagem é zero. E para encontrar a 
raiz de uma função quadrático devemos usar a seguinte fórmula: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
A função do segundo grau pode nos ajudar em problemas a trajetória de 
corpos, por exemplo ao chutar uma bola, essa geralmente tem a trajetória 
parabólica. Considere que um objeto foi lançado do topo de um edifício de 84 m 
de altura, com velocidade inicial de 32 m/s e que a expressão matemática d = 5t² 
+ 32t, representa o movimento de queda livre do corpo. Quanto tempo ele levou 
para chegar ao chão? O corpo percorreu a distância de 84 m que corresponde à 
altura do edifício. Portanto, ao substituirmos d = 84, basta resolvermos a 
equação do 2º grau formada, determinando o valor do tempo t, que será a raiz 
da equação. Assim temos: 
84 = 5𝑡2 + 32𝑡 → 5𝑡2 + 32𝑡 − 84 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−32 ± √(32)2 − 4(5)(−84)
2(5)
=
−32 ± √2704
10
=
−32 ± 52
10
 
𝑥1 =
−32 + 52
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥2 =
−32 − 52
10
= −
84
10
= −8,4 
Como o tempo é uma grandeza positiva, temos que o objeto demorou 2s 
para alcançar o chão. 
 
Agora é a sua vez! 
 
3. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela 
equação y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x 
segundos após o lançamento. Quanto tempo após o seu lançamento o projétil 
atinge o chão, ou seja, a altura zero? 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Segundo Stewart (2016) as funções exponenciais são da forma 
𝑓(𝑥) = 𝑏. 𝑎𝑥 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
 Consideremos b=1 e x=n, vamos analisar o que significa dizer 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. 
Assim temos 𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎, ou seja, a base é multiplicada por ela n vezes. 
 O autor ainda argumenta que se analisarmos a base a temos dois 
possíveis tipo da função: 
• Se 0< a < 1, temos uma função decrescente. 
• Se a >1 temos uma função crescente. 
A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos 
da natureza e da sociedade, sendo possível explicar o crescimento populacional 
por meio desta função, e até mesmo o decaimento radioativo e de alguns 
remédios no organismo. 
Por exemplo, considere que uma cultura de bactérias começa com 500 
indivíduos e dobra de tamanho a cada hora. Portanto temos: 
𝑡 = 0 → 500 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 
𝑡 = 1 → 500.2 = 500. 21 = 1000 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 
𝑡 = 2 → 500.2.2 = 500.22 = 2000 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 
𝑡 = 3 → 500.2.2.2 = 500.23 = 4000 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 
𝑡 = 𝑛 → 500.2𝑛 
Assim temos que a função que descreve o crescimento dessa colônia de 
bactérias é 𝐶(𝑡) = 500.2𝑡, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒 𝐶(𝑡)𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠. 
 
Agora é a sua vez! 
 
4. A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) segue a lei T(t) 
= 25 . (0,8)t, onde t é o tempo (em minutos) em que permanece ligada e T é a 
temperatura (em graus Celsius). Qual é a temperatura interna da geladeira no 
instante em que ela foi ligada? Quantos graus Celsius essa temperatura 
alcançará dois minutos depois que a geladeira começar a funcionar? 
 
5. Um automóvel 0 km desvaloriza de acordo com a função C(t) = 38000.(0,9)t 
em que t representa o tempo após ter sido comprado. Determine: 
a) Quanto valerá o automóvel depois de 4 anos que foi comprado? 
b) Quanto valerá o automóvel depois de 6 anos que foi comprado? 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 6 
 
PORCENTAGEM E MATEMÁTICA FINANCEIRA: 
PARA QUÊ JUROS? 
 
Introdução 
Em situações cotidianas diversas nos deparamos com muitos conceitos 
financeiros: financiamento, empréstimo, desconto, investimento, entre muitos 
outros. Para compreender todos esses conceitos e, consequentemente, lidar 
com situações financeiras diversas, é essencial que você compreenda uma ideia 
fundamental que está relacionada à todos esses conceitos: juros. 
E você sabia que juros é um ente financeiro totalmente relacionado ao 
conceito matemático de porcentagem? E que existem diferentes regimes de 
capitalização de juros? 
A partir de uma linguagem dialógica e de uma didática pautada na 
resolução de problemas, apresentamos nessa unidade os fundamentos e o 
estudo elementar de juros simples e juros compostos. Trata-se, portanto, de uma 
discussão que será provocada com o intuito de auxiliar você à compreender 
algumas das intrínsecas relações entre conceitos matemáticos e financeiros. 
 
Objetivos 
• Apresentar conceitos de porcentagem; 
• Juros simples e juros compostos de maneira a evidenciar algumas 
das intrínsecas relações entre conceitos matemáticos e 
financeiros. 
 
PORCENTAGEM 
Considere a seguinte situação: Você pretende vender uma mercadoria 
cujo custo foi de R$ 5.035,90. Nessa venda, além de cobrir o custo, você precisa 
receber uma rentabilidade, ou seja, um lucro sobre essa venda. Você espera 
obter uma rentabilidade de 5% sobre esse valor de custo. Qual deverá ser o valor 
de venda? 
Observe que nessa situação você pretende obter um lucro 
correspondente ao valor total do custo que é de R$ 5.035,90. Portanto, vamos 
considerar esse valor total (parte inteira) como correspondendo à 100%. 
 
Assimile: Chamamos 100% de parte inteira porque corresponde à: 
100% =
100
100
= 1 
 
Dessa parte inteira, vamos determinar a parte fracionária correspondente 
a 5%. Para isso, podemos considerar um simples cálculo de proporcionalidade: 
se a parte inteira (100%) é R$ 5.035,90, quanto será 6% desse valor? Assim, 
temos: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 (𝑅$) 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚
5.035,90 100%
𝑥 6%
 
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos), obtemos: 
100𝑥 = 30.215,40 
𝑥 =
30.215,40
100
 
𝑥 = 302,15Outra maneira de resolver esse mesmo problema seria considerando que: 
6% =
6
100
= 0,06 
Logo: 
0,06 ∙ 5.035,90 = 302,15 
 
Assim, temos que a parte fracionária (6%) do valor total de custo, que 
corresponde ao lucro, é de R$ 302,15. Portanto, o valor de venda da mercadoria 
deverá ser de R$ 5.035,90 + R$ 302,15 = R$ 5.338,05. 
Conhecer sobre porcentagem é fundamental no estudo relativo à 
finanças, pois está totalmente relacionado ao conceito de juros. 
 
JUROS 
Juros corresponde à uma remuneração que se obtém à partir do capital 
de terceiros, ou seja, é uma remuneração que se obtém à partir de operações 
financeiras, tais como, empréstimos, compras à prazo, pagamento de dívidas 
em atraso, etc. Podemos entender esses juros a partir de duas perspectivas 
(CASTELO BRANCO, 2015, p. 11): 
• De quem paga: juro considerado como despesa financeira, custo 
ou prejuízo; 
• De quem recebe: juro considerado como rendimento, receita ou 
ganho. 
Em outras palavras, entende-se juros a partir de dois pontos de vista: 
quem contrai um empréstimo precisa pagar por ele, como se fosse o pagamento 
de um “aluguel”. Por outro lado, quem empresta, precisa receber uma 
compensação por ficar determinado período privado de seu próprio capital. 
A relação entre juros (𝑱) e capital (𝑪 – recurso financeiro na data atual) é 
dada em termos de um coeficiente que é representado na forma de percentual: 
taxa de juros (𝒊). 
Assim, podemos entender, que em operações financeiras diversas, o 
dinheiro muda de valor com o tempo, e o principal fator que influência nessa 
mudança é a taxa de juros. Mas, além dessa taxa, o período (𝒏) de operação 
também influencia no valor do dinheiro no tempo. O valor gerado no prazo 
extremo desse período é chamado de montante (𝑴). 
Contudo, não existe uma única maneira de remunerar os capitais, mas 
existem dois regimes de capitalização, simples e composto, e em ambos 
relacionamos os conceitos financeiros apresentados. 
 
JUROS SIMPLES 
Juros simples é o sistema de capitalização linear, onde a taxa de juros 
incide apenas sobre o valor do capital durante todo o período. Matematicamente, 
temos: 
• 1º período: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 
• 2º período: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 → 𝐽 = (𝐶 ∙ 𝑖) ∙ 2 
• 3º período: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 → 𝐽 = (𝐶 ∙ 𝑖) ∙ 3 
⋮ 
• Para 𝑛 períodos: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + ⋯ → 𝐽 = (𝐶 ∙ 𝑖) ∙ 𝑛 
Logo, a fórmula para juros simples será: 𝑱 = 𝑪 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏 
Considerando que o montante é a soma do capital mais os juros 
produzidos no período, temos: 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 → 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 → 𝑴 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒏) 
 
JUROS COMPOSTOS 
Nesse regime de capitalização os juros que são gerados a cada período 
são incorporados ao principal e, sobre este novo valor, calcula-se os juros do 
próximo período e, portanto, esse regime de capitalização apresenta um 
comportamento exponencial. Assim, matematicamente temos: 
• 1º período: 𝑀 = 𝐶 + 𝐽 → 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 → 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) 
• 2º período: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) → 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)² 
• 3º período: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)² ∙ (1 + 𝑖) → 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)³ 
⋮ 
• Para 𝑛 períodos: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) … → 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 
Logo, a fórmula para juros simples será: 
𝑴 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒏 
 
Exemplo: Uma pessoa investe R$ 1.000,00 em uma aplicação que vai 
render 1% a.m. (ao mês). Veja qual será o valor do montante com o passar do 
tempo em cada regime de capitalização: 
 
Fonte: Disponível em: <http://investimentosedinheiro.com.br/juros-compostos-seu-
forte-aliado/>. Acesso em: 06 mar. 2017. 
 
Agora, é a sua vez! 
 
1. (Adaptada de: DANTE, 2010) Você aplicou um capital de R$ 800,00 em uma 
instituição financeira que trabalha no regime de juros simples com uma taxa de 
2% a.m. Após um certo tempo, você resgatou um montante de R$ 880,00. É 
correto afirmar que o tempo de aplicação foi de: 
a) 2 meses 
b) 3 meses 
c) 4 meses 
d) 5 meses 
e) 6 meses 
 
2. (Adaptada de: CASTELO BRANCO, 2015) Sabe-se que uma aplicação de R$ 
580,22, no regime de juros compostos, à taxa de 4,5%, foi resgatada após um 
período de 7 meses. É correto afirmar que o valor dos juros obtidos nessa 
operação foi de: 
a) R$ 209,38 
b) R$ 211,97 
c) R$ 213,45 
d) R$ 215,22 
e) R$ 216,90 
 
Considere o texto à seguir para responder as próximas questões: 
“O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central reduziu nesta 
quarta-feira a taxa básica de juros do país, a Selic, em 0,5 ponto percentual – de 
9,25% para 8,75% ao ano. Segundo o comunicado divulgado pelo BC, após o 
corte, a decisão foi unânime e “consistente com o cenário inflacionário benigno”. 
Fonte do texto: Revista Veja. Adaptações de: DANTE, 2010, p. 357. 
 
3. Quanto o governo economizará ao final de um ano com a redução de 0,5% na 
taxa anual de juros considerando um empréstimo feito junto aos bancos no valor 
de R$ 1.000.000.000,00? 
 
4. Quanto o governo pagará de juros a cada R$ 1.000,00 emprestados pelos 
bancos ao final de um ano tendo como base a taxa Selic de 8,75% ao ano? 
 
 
5. Infelizmente a taxa Selic não é a taxa cobrada pelos bancos aos seus 
usuários. A taxa cobrada pelo cheque especial chega a mais de 170% ao ano. 
Quanto um cidadão que utiliza R$ 1.000,00 do seu cheque especial pagará de 
juros após um ano tendo como base a taxa de 170% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
Unidade 1 
1. a) 𝐴 = { 
1
3
;
2
6
 𝑒 
3
9
 } 𝑒 𝐵 = {
1
5
;
2
10
 𝑒
3
15
} 
Grupo A: Sendo o inteiro: 
1
3
= ; 
2
6
= e 
 
3
9
 
Grupo B: Considerando o mesmo inteiro: 
1
5
= 
2
10
= 
3
15
= 
 
b) Elas não são diferentes porque são frações semelhantes, escritas de forma 
diferente, mas representam a mesma quantidade. 
 
2. Nesse caso, temos que calcular um quinto da prova, ou seja, dividir 40 por 
cinco que resulta em 8. Cada um quinto são oito questões, como Mary acertou 
três, temos o produto entre oito e três, ou seja, Mary acertou 24 questões. 
 
3. Devemos ficar atento para que o todo referenciado nesse contexto é o 
orçamento da Associação, e sua representação pode ser o inteiro, 1. Iremos 
somar as frações fornecidas pelo enunciado e depois subtrair de 1. Chegando 
na solução: 
7
60
 
 
4. Nesse caso, temos que obter cinco nonos de 60 m e após três quartos desse 
valor, resultado em 25 metros. 
 
Unidade 2 
 
 
 
 
1. a) Alexandre ganha R$ 45.480,00 por ano. Ideia de juntar parcelas iguais. 
b) O novo terreno é 36.000 m2 maior. Ideia de comparação. 
c) Ele deverá colocar 905 peças em cada caixa. Ideia de repartir 
igualmente. 
2. Francisco ganhou na venda desse terreno R$ 4.000,00. 
 
3. Há no estoque 1.540 kg de feijão. 
 
Unidade 3 
1. 175 km. 
2. R$ 6.000,00. 
3. O salgado frito custa R$ 2,00 e o refrigerante custa R$ 2,50. 
4. 18 meninas e 10 meninas. 
5. 3 anos. 
 
Unidade 4 
 
1. Os únicos aviões que estão aptos a pousar nesse aeroporto são os dos 
modelos A e B. 
 
2. O uso dos gráficos foi utilizado para sintetizar a informação a respeito do 
crescente número de casamentos e ocupações no mercado de trabalho. O uso 
do gráfico de setores deu-se devido ao objetivo de comparar uma parte do 
universo com o todo, destacando apenas um subconjunto dentre a população. 
Não seria adequado empregar o gráfico de linhas porque o problema não 
apresenta a evolução de uma variável no tempo, mas apenas em alguns 
instantes específicos.3. A quantidade de embalagens destinada à produção de tecidos e malhas é de, 
aproximadamente, 32 kton. 
 
4. O aumento da receita deve ser igual a R$ 130 000,00. 
 
 
5. A maior venda ocorreu no mês de junho e a menor, no mês de agosto. O 
gráfico de linha foi adotado porque o objetivo é observar a evolução de uma 
variável ao longo de um período de tempo. O gráfico de setores não seria 
adequado, como possíveis justificativas temos à grande quantidade de partes – 
doze por causa do total de meses – na qual o círculo deveria ser dividido ou o 
gráfico de setores não representa a evolução dos dados ao longo do tempo, mas 
sim a comparação de partes com o todo. 
 
Unidade 5 
 
1. a) A variável dependente é o valor a ser pago ao final do mês pela conta de 
energia (V) e a variável independente é a quantidade de quilowatts consumida 
(k). 
b) A lei de formação dessa função é: 𝑉(𝑘) = 0,70𝑘 
c) Como foi gasto 200 quilowatts, basta substituirmos esse valor na função, 
portanto teremos: 𝑉(200) = 0,70(200) = 140. Logo se você consumir 200 
quilowatts irá pagar ao final do mês R$ 140,00. 
 
2. A variável independente é a quantidade de quilômetros rodados (x), a variável 
independente é o valor a ser pago pelo aluguel (y). Além disso temos uma taxa 
fixa de R$70,00. Logo a lei de formação é: 
𝑦 = 70 + 1,20𝑥 
 
3. Para encontrarmos a altura zero temos que encontrar a raiz dessa função. 
Assim teremos: 
𝑦 = −40𝑥2 + 200𝑥 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−200 ± √(200)2 − 4(−40)(0)
2(−40)
=
−200 ± 200
−80
 
𝑥1 =
−200 + 200
−80
= 0 𝑒 𝑥2 =
−200 − 200
−80
= −
400
−80
= 5 
 
Assim o projétil atingirá o chão em cinco segundos após seu lançamento. 
 
 
4. A temperatura da geladeira no instante em que ela foi ligada será dada quanto 
t=0. Assim temos: 
𝑇(0) = 25. (0,8)0 = 25. (1) = 25 
Logo a temperatura será de 25ºC. 
Para descobrirmos a temperatura em dois minutos basta considerarmos 
t=2. Logo, 
𝑇(0) = 25. (0,8)2 = 25. (0,64) = 16 
Portanto a temperatura será de 16ºC. 
 
5. a) Para encontrarmos esse valor basta substituirmos t=4. Logo, 
𝐶(4) = 38000(0,9)4 = 38000(0,6561) = 24931,80 
Portanto o carro valerá após 4 anos R$ 24931,80. 
 
b) Para encontrarmos esse valor basta substituirmos t=6. Logo, 
𝐶(6) = 38000(0,9)6 = 38000(0,531441) = 20194,76 
Portanto o carro valerá após 6 anos um valor aproximado de R$ 
20.194,76 
 
Unidade 6 
 
1. Alternativa: d 
Considerando que 2% = 2/100 = 0,02, temos: 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑛) 
880 = 800 ∙ (1 + 0,02 ∙ 𝑛) 
880 = 800 + 16𝑛 
880 − 800 = 16𝑛 
16𝑛 = 80 
𝑛 =
80
16
 
𝑛 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
2. Alternativa: a 
 
Considerando que 4,5% = 4,5/100 = 0,045, temos: 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 
𝑀 = 580,22 ∙ (1 + 0,045)7 
𝑀 = 580,22 ∙ (1,045)7 
𝑀 = 580,22 ∙ 1,360862 
𝑀 = 789,599 
𝑀 ≅ 789,60 
 
Considerando que 𝑀 = 𝐶 + 𝐽, temos: 
𝑀 − 𝐶 = 𝐽 
789,60 − 580,22 = 209,38 
 
3. 0,5% 𝑑𝑒 1.000.000.000 = 5.000.000 
O governo economizará R$ 5.000.000,00 
 
4. 8,75% 𝑑𝑒 1.000 = 𝑅$ 87,50 (em qualquer um dos dois regimes de 
capitalização – simples ou composto). 
 
5. 170% 𝑑𝑒 1.000 = 𝑅$ 1.700,00 (em qualquer um dos dois regimes de 
capitalização – simples ou composto). 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada: método 
algébrico. 4 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 
 
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2010. 
 
GRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA, 
Aparecida Borges dos Santos. PROMAT: projeto oficina de matemática. São 
Paulo: FTD, 1999. 
 
IEZZI, G. et al Matemática - Volume Único. Ed. Atual. SP: São Paulo, 1997. 
 
MEC. Caderno de Teoria e Prática 3: Operações Com Números Naturais. 
Brasília: Programa Gestão da Aprendizagem Escolar Gestar I. Disponível 
em:http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/gestar/tpmatematica/mat_tp3.pdf>. 
Acesso em: 03 mar. 2017. 
 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios/ 6º ano. 
15 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática – 9º ano. 6 ed. São Paulo: Moderna, 2006. 
 
PEREIRA, Ana Paula Cabral Couto. PEREIRA. Vinicius Mendes Couto Pereira. 
Operações Fundamentais: ideias, significados e algoritmos. In: XI ENEM – 
Encontro Nacional de Educação Matemática, 2013, Curitiba. Anais..., p.1-6. 
 
PIRES, Célia Maria Carolina. Matemática: 5º ano. 4ª ed. Fortaleza: Sistema Ari 
de Sá de Ensino, 2016. 
 
SALLA, Fernanda. Gráficos e Tabelas para Organizar Informações. 
Disponível em: <https://novaescola.org.br/conteudo/163/graficos-tabelas-
organizar-informacoes> . Acesso em 05 mar. 2017. 
 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática - Ensino Médio - Volume 2. 6a. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2010. 
 
SOUZA, J. Novo Olhar: Matemática. 1.ed. v.2. São Paulo: FTD, 2010. 
 
SES – DF – 2014. Questão equação do 1º grau. Disponível em: 
https://www.aprovaconcursos.com.br/questoes-de-concurso/questao/269970. 
Acesso em: 04 mar. 2017. 
 
STEWART, James. Cálculo, volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2016.