Conceitos e Dimensionamento CA

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CONCRETO ARMADO
CONCEITOS E DIMENSIONAMENTO DO 
CONCRETO ARMADO
AULA VIII
Prof. MSc. MACEL WALLACE QUEIROZ FERNANDES
1
CONCEITOS
21,65 s
kf
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
5 %
Resistência ( f )
mf
CONCEITOS
3
CONCEITOS
• DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO E
MÓDULO DE ELASTICIDADE:
4
Eci = tg α’
Ecs = tg α’’
Na falta de resultados de
ensaios a NBR 6118 permite
estimar os módulos.
- Para fck de 20 a 50 MPa
ckEci fE 5600α=
sendo: αE = 1,2 para basalto e diabásio;
αE = 1,0 para granito e gnaisse;
αE = 0,9 para calcário;
αE = 0,7 para arenito.
CONCEITOS
• PARA ANÁLISE NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
(ELU):
NO TRECHO CURVO:
5
2 ‰ 3,5 ‰
 σ
 f
0,85 fcd
ck
c
c ε














−−=
2
002,0
1185,0 ccdc f εσ
CONCEITOS
• CARACTERÍSTICAS DO AÇO:
� CLASSE CA25 E CA50 – BARRAS OBTIDAS POR LAMINAÇÃO A
QUENTE;
� CLASSE CA60 – FIOS OBTIDOS POR TREFILAÇÃO OU LAMINAÇÃO A
FRIO (φ<10mm)
� MÓDULO DE ELASTICIDADE: E=210GPa = 2,1*106Kgf/m2
AÇOS COM PATAMAR DE ESCOAMENTO DEFINIDO
6
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS AÇOS
AÇO Fyk (MPa) Fyd (MPa)
CA25 250 (25kgf/mm2) 217 0,104
CA50 500 (50kgf/mm2) 435 0,207
CA60 600 (60kgf/mm2) 522 0,248
s
yd
yd E
f
=ε
DIMENSIONAMENTO DAS ESTRUTURAS
O dimensionamento de uma estrutura deve garantir
que ela suporte, de forma segura, estável e sem
deformação excessiva, todas as solicitações, durante
sua execução e utilização.
A insegurança de uma estrutura está relacionada às
seguintes incertezas:
• RESISTENCIA DOS MATERIAIS, TEMPO DE APLICAÇÃO DE CARGA,
FADIGA, CONTROLE DOS ENSAIOS;
• CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS (LOCAÇÃO ERRADA);
• AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS;
• VALORES DAS SOLICITAÇÕES.
7
DIMENSIONAMENTO DAS ESTRUTURAS
O cálculo ou dimensionamento de uma estrutura,
consiste em uma das seguintes operações:
• COMPROVAR QUE UMA SEÇÃO PREVIAMENTE CONHECIDA É
CAPAZ DE RESISTIR ÀS SOLICITAÇÕES MAIS DESFAVORÁVEIS;
• DIMENSIONAR UMA SEÇÃO AINDA NÃO DEFINIDA, A FIM DE QUE
SUPORTE AS SOLICITAÇÕES MÁXIMAS;
8
DIMENSIONAMENTO DAS ESTRUTURAS
• MÉTODO DE CÁLCULO NA RUPTURA (ESTADOS
LIMITES):
Neste método, a segurança é garantida. As solicitações
correspondentes às cargas “MAJORADAS” são menores que as solicitações
últimas.
Rd > Sd
• EM RESUMO:
• ADOTA-SE VALORES CARACTERÍSTICOS PARA ÀS RESISTÊNCIAS E
PARA AS AÇÕES;
• TRANSFORMA-SE OS VALORES CARACTERÍSTICOS EM VALORES
DE CÁLCULO. MINORANDO AS RESISTÊNCIAS E MAJORANDO AS
AÇÕES.
9
DIMENSIONAMENTO DAS ESTRUTURAS
10
SEGURANÇA E ESTADOS LIMITES
Todos os tipos de estrutura devem possuir uma
margem de segurança contra o colapso e
deformações, vibrações e fissurações excessivas, sob
o risco de perdas de vidas humanas e danos
materiais de grande valor.
O dimensionamento da estrutura é feito no Estado
Limite Último (ELU), isto é, na situação relativa ao
colapso. Entretanto, os coeficientes de ponderação
fazem com que, em serviço, as estruturas trabalhem
“longe” da ruína.
11
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
É o “estado-limite relacionado ao colapso, ou a
qualquer outra forma de ruína estrutural, que
determine a paralisação do uso da estrutura.” (NBR
6118/14, 3.2.1).
Deduz-se, portanto, que, em serviço, a estrutura não
deve ou não pode alcançar o Estado Limite Último
(ruína).
12
13
Os estados limites de serviço definidos são:
a) Estado limite de formação de fissuras (ELS-F);
b) Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W):
c) Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF):
d) Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE):
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
(ELS)
AÇÕES
É QUALQUER INFLUÊNCIA, OU CONJUNTO DE
INFLUÊNCIA, CAPAS DE PRODUZIR ESTADO DE TENSÃO
OU DE DEFORMAÇÃO EM UMA ESTRUTURA.
• PERMANENTES (g): Ocorrem com valores constantes durante a vida útil
da construção (Peso próprio, Instalações, Elementos construtivos,
Recalque, Protensão, Fluência, Retração);
• VARIÁVEIS (q): Ocorrem pela utilização. Podem ser Diretas Acidentais
(Pessoas, Mobiliário, Veículos, Materiais, Cargas Móveis, Vento, Pressão
Hidrostática etc.) Podem ser Indiretas (Variação uniforme e não uniforme
da temperatura)
• EXCEPCIONAIS: Casos especiais de ações (Tremor de terra)
PARA CONSTRUÇÕES USUAIS, A NBR 6118/2014 CLASSIFICA AS AÇÕES EM 
PERMANENTES E VARIÁVEIS. 14
AÇÕES
VALORES INDICADOS PARA CARGA PERMANENTE E
SOBRECARGA:
• CARGA PERMANENTE (g):
15
MATERIAIS PESO ESPECÍFICO (KN/m³)
CONCRETO SIMPLES 24
CONCRETO ARMADO 25
BLOCO CERÂMICO FURADO – ALVENARIA 13
BLOCO CERÂMICO MACIÇO – ALVENARIA 18
ARGAMASSA DE CIMENTO E AREIA 21
REVESTIMENTOS SIMPLES 0,8 (KN/m²)
COBERTURAS COM TELHAS 
FIBROCMENTO
0,6 (KN/m²)
COBERTURAS COM TELHA CERÂMICA 1,0 (KN/m²)
AÇÕES
VALORES INDICADOS PARA CARGA PERMANENTE E
SOBRECARGA:
• SOBRECARGA:
16
LOCAL PESO ESPECÍFICO (KN/m²)
FORRO (SEM ACESSO AO PÚBLICO) 0,50
SALAS, QUARTOS E CORREDORES 
(RESIDÊNCIAS)
1,5
COZINHAS E WC 2,0
COMPARTIMENTOS DE ACESSO AO 
PÚBLICO (ESCOLAS, RESTAURANTES 
ETC)
3,0
LOCAIS PARA FESTAS, GINÁSTICA, 
ESPORTE, TEATROS, CLUBES ETC
4,0
ARQUIVOS, BIBLIOTECAS E DEPÓSITOS DEVE SER VISTO CASO A CASO
AÇÕES
17
AÇÕES
COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO PARA O “ELU”
• QUADRO 1.4 (LIVRO – CHUST) – γf = γf1* γf3 :
ONDE:
γf1 = CONSIDERA A VARIABILIDADE DAS AÇÕES
γf2 = CONSIDERA A SIMULTANEIDADE DE ATUAÇÃO DAS AÇÕES (γf2 – Ψ0, Ψ1 OU Ψ2).
γf3 = CONSIDERA O DESVIO DE EXECUÇÃO E APROXIMAÇÕES.
18
AÇÕES
COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO PARA O “ELU”
• QUADRO 1.5 (LIVRO – CHUST) – γf2:
ONDE:
γf1 = CONSIDERA A VARIABILIDADE DAS AÇÕES
γf2 = CONSIDERA A SIMULTANEIDADE DE ATUAÇÃO DAS AÇÕES (γf2 – Ψ0, Ψ1 OU Ψ2).
γf3 = CONSIDERA O DESVIO DE EXECUÇÃO E APROXIMAÇÕES.
19
AÇÕES
CONSIDERAÇÕES SOBRE SIMULTANEIDADE
(COMBINAÇÕES) DAS AÇÕES
QUANDO EXISTIREM AÇÕES VARIÁVEIS DE NATUREZA DIFERENTES COM
POUCA PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA SISULTÂNEA, ADOTA-SE AS
SEGUINTES AÇÕES DE CÁLCULO:
• TABELA 11.3 DA NBR 6118: COMBINAÇÕES DO “ELU”
20
AÇÕES
21
AÇÕES PERMANENTES DIRETAS
AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS
AÇÕES VARIÁVEIS DIRETAS
AÇÕES VARIÁVEIS INDIRETAS
EXERCÍCIO
22
CONCRETO ARMADO
CONCEITOS E DIMENSIONAMENTO DO 
CONCRETO ARMADO
AULA IX
Prof. MSc. MACEL WALLACE QUEIROZ FERNANDES
23
LAJES EM VIGOTA PRÉ-MOLDADA
• EM CÁLCULO DE ESTRUTURAS COMPOSTAS (LAJES, VIGAS,
PILAR ETC) É NECESSÁRIO CONHECER O TIPO DE PAVIMENTO
OU TIPO DE FORRO;
• NÃO É POSSÍVEL COMPARAR O FORRO DE UMA CASA
POPULAR (60m²) COM UM FORRO DE UM TEATRO (1000m²);
• PARA PEQUENAS OBRAS, VAMOS ESTUDAR AS LAJES PRÉ-
MOLDADAS. ESTAS LAJES SÃO UTILIZADAS PARA VENCER
PEQUENOS E MÉDIOS VÃOS E CARGAS NÃO MUITO
ELEVADAS.
24
LAJES EM VIGOTA PRÉ-MOLDADA
25
• VAMOS CONSIDERAR QUE AS LAJES PRÉ-MOLDADAS
SÃO “UNIDIRECIONAIS” E NO CASO AO LADO, AS
CARGAS SERIAM DISTRIBUÍDAS NAS VIGAS “V1” E “V2”.
• É RECOMENDADO QUE APROXIMADAMENTE 25% DA
CARGA TOTAL SEJAM TRANSMITIDAS PARA AS VIGAS
LATERAIS “V2” E “V4”.
LAJES EM VIGOTA PRÉ-MOLDADA
26
LAJES EM VIGOTA PRÉ-MOLDADA
• CRITÉRIO PARA ESCOLHA DA LAJE PRÉ-MOLDADA:
�AÇÕES ATUANTES DA LAJE:
�CARGA ACIDENTAL – “q” (QUADRO 2.2 CHUST);
�CARGA PERMANENETE ESTRUTURAL (PESO PRÓPRIO) – “g1”;
�SOBRECARGA PERMANENTE (REVESTIMENTO E FORRO) – “g2”.
�DETERMINAÇÃO DO TIPO DA LAJE:
A PRINCIPAL RAZÃO PARA SE USAR LAJE PRÉ-MOLDADA É A ECONOMIA DE
FORMAS E COM ISSO, NÃO É COVENIENETE VARIAR MUITO A GEOMETRIA. A DICA É
USAR O MESMO PADRÃO DE LAJE, VARIANDO APENAS A ARMADURA.
1. NO QUADRO 2.4 (CHUST) TEM-SE OS VÃO MÁXIMOS (metro) PARA LAJES PRÉ-
MOLDADAS, COM APOIO SIMPLES E INTER EIXO DE 33cm;
2. NO QUADRO 2.5 (CHUST)TEM-SE AS ALTURAS INICIAIS DA LAJE PRÉ-MOLDADA EM
FUNÇÃO DA CARGA E VÃOS LIVRES MÁXIMOS;
3. NO QUADRO 2.6 (CHUST) TEM-SE A ALTURA TOTAL DA LAJE EM FUNÇÃO DOS
ELEMENTOS DE ENCHIMENTO;
4. NO QUADRO 2.8 (CHUST) TEM-SE A ESPESSURA MÍNIMA DA CAPA DE CONCRETO PARA
ALTURAS TOTAIS PADRONIZADAS.
27
28
Figura – Nervuras
unidirecionais na
laje treliçada.
29
Figura – Aspecto das nervuras pré-fabricadas com
armadura em forma de treliça espacial.
LAJE PRÉ-FABRICADA TRELIÇADA
30
Figura – Aspecto inferior de laje 
treliçada com enchimento em isopor.
Figura – Posicionamento das 
nervuras pré-fabricadas de laje 
treliçada.
LAJE PRÉ-FABRICADA TRELIÇADA
EXERCÍCIO
31
CONCRETO ARMADO
CONCEITOS E DIMENSIONAMENTO DO 
CONCRETO ARMADO
AULA X
Prof. MSc. MACEL WALLACE QUEIROZ FERNANDES
32
• SABEMOS QUE UM MOMENTO FLETOR CAUSA TENSÕES NORMAIS
NAS SEÇÕES QUE ATUA.
• O DIMENSIONAMENTO É FEITO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU).
NESTE ESTADO PODE OCORRER TANTO PELA RUPTURA DO
CONCRETO COMRPIMIDO, QUANTO PELA DEFORMAÇÃO EXCESSIVA
DA ARMADURA TRACIONADA.
• AS SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO (Md E Vd), SÃO AQUELAS QUE, SE
ALCANÇADAS, LEVARÃO A ESTRUTURA A ATINGIR UM ESTADO
LIMITE, CARACTERIZANDO A SUA RUÍNA.
33
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
• FLEXÃO NORMAL
� FLEXÃO SIMPLES: NÃO HÁ ESFORÇO NORMAL ATUANDO (VIGAS LAJES)
� FLEXÃO COMPOSTA: HÁ ESFORÇO NORMAL ATUANDO (PILARES E VIGAS
PROTENDIDAS).
• FLEXÃO PURA: CASO PARTICULAR DE FLEXÃO SIMPLES OU
COMPOSTA ONDE NÃO HÁ ESFORÇO CORTANTE.
INICIALMENTE, VAMOS CONSIDERAR PARA VIGAS, APENAS FLEXÃO
NORMAL SIMPLES E PURA EM QUE N=0 E V=0.
34
TIPOS DE FLEXÃO
• SITUAÇÃO
� A SEÇÃO TRANSVERSLA CENTRAL DA VIGA DE CONCRETO ARMADO,
RETANGULAR NESTE CASO, ESTA SUBMETIDA AO MOMENTO PLETOR “M”
CRESCENTE.
� PODEMOS AFIRMAR QUE ESTA SEÇÃO PASSA POR 3 NÍVEIS DE DEFORMAÇÃO
DENOMINADOS “ESTÁDIOS”.
� ESTES “ESTÁDIOS” DETERMINAM O COMPOSTAMENTO DE UMA PEÇA ATÉ
SUA RUÍNA.
35
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS 
SOB TENSÃO NORMAL
• ESTÁDIOS DE CÁLCULO
� A SEÇÃO TRANSVERSLA CENTRAL DA VIGA DE CONCRETO ARMADO,
RETANGULAR NESTE CASO, ESTA SUBMETIDA AO MOMENTO PLETOR “M”
CRESCENTE.
� PODEMOS AFIRMAR QUE ESTA SEÇÃO PASSA POR 3 NÍVEIS DE DEFORMAÇÃO
DENOMINADOS “ESTÁDIOS”.
� ESTES “ESTÁDIOS” DETERMINAM O COMPOSTAMENTO DE UMA PEÇA ATÉ
SUA RUÍNA.
36
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS 
SOB TENSÃO NORMAL
• ESTÁDIO I – ESTADO ELÁSTICO
� SOB A AÇÃO DE MOMENTO “M” PEQUENO, A TENSÃO DE TRAÇÃO NO
CONCRETO NÃO ULTRAPASSA SUA RESISTÊNCIA CARACTERISTICA (fctk).
o DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO AO LONGO DA SEÇÃO É LINEAR.
o AS TENSÕES NAS FIBRAS MAIS COMPRIMIDAS SÃO PROPORCIONAIS ÀS
DEFORMAÇÕES, CORRESPONDENDO AO TRECHO LINEAR DO DIAGRAMA TENSÃO
X DEFORMAÇÃO.
o NÃO HÁ FISSURAS VISÍVEIS.
37
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS 
SOB TENSÃO NORMAL
• ESTÁDIO II
� COM O AUMENTO DO MOMENTO FLETOR, AS TENSÕES DE TRAÇÃO ABAIXO
DA LINHA NEUTRA “LN” TERÃO VALORES SUPERIORES AO DA RESISTÊNCIA
CARACTERÍSTICA DO CONCRETO (fctk).
o CONSIDERA-SE QUE APENAS O AÇO PASSA A RESISTIR AOS ESFORÇOS DE
TRAÇÃO.
o ADMITE-SE QUE A TENSÃO DE COMPRESSÃO NO CONCRETO CONTINUE LINEAR.
o AS FISSURAS DE TRAÇÃO NA FLEXÃO NO CONCRETO SÃO VISÍVEIS.
38
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS 
SOB TENSÃO NORMAL
• ESTÁDIO III
� O MOMENTO FLETOR SE APROXIMA DO VALOR DE RUÍNA (Mu).
CONSIDERANDO CONCRETOS ATÉ C50.
o A FIBRA MAIS COMPRIMIDA DO CONCRETO COMEÇA A SE PLASTIFICAR E A
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA VAI DE εc2 = 0,2% ATÉ εc2 = 0,35%.
o A PEÇA ESTÁ BASTANTE FISSURADA E COM FISSURAS PRÓXIMAS DA LINHA
NEUTRA “LN”
o SUPÕES-SE A DISTRIBUIÇÃO SEGUNDO UM DIAGRAMA PARÁBOLA –
RATÂNGULO.
39
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS 
SOB TENSÃO NORMAL
• OBSERVAÇÃO
“OS ESTÁDIOS I E II OCORREM OU CORRESPONDEM ÀS 
SITUAÇÕES DE SERVIÇO”.
“OS ESTÁDIO III OCORRE AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
(ELU). NESTE ESTÁDIO FAREMOS NOSSO 
DIMENSIONAMENTO”.
40
PROCESSO DE COLAPSO DE VIGAS 
SOB TENSÃO NORMAL
� ATÉ A RUPTURA, AS SEÇÕES TRANSVERSAIS PERMANECEM PLANAS
(BERNOULLI).
� O ENCURTAMENTO DE RUPTURA NO CONCRETO É DE 0,35% (3,5 POR MIL),
SENDO ATINGIDO O VALOR DE CÁLCULO DAS TENSÕES LIMITES DE
COMPRESSÃO A 0,85Fcd, PARA DEFORMAÇÕES ACIMA DE 0,2% (2 POR MIL).
� ALONGAMENTO MÁXIMO NO CÁLCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO É DE
1,0% (10 POR MIL).
� A TENSÃO DE COMPRESSÃO NO CONCRETO PODE SER CONSIDERADA
CONSTANTE APLICANDO-SE UM COEFICIENTE DE 0,8 NA DISTÂNCIA DA LINHA
NEUTRA.
41
HIPÓTESES BÁSICAS PARA CÁLCULO
ANALISANDO A FIGURA TEREMOS:
42
HIPÓTESES BÁSICAS PARA CÁLCULO
EXERCÍCIO
43
� A DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE RESISTENTE DE CÁLCULO DE UMA SEÇÃO
PASSA PELA DEFINIÇÃO DE QUAL DOMÍNIO AS DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS
DA PEÇA ESTÃO ATUANADO.
� ESTES DOMÍNIOS REPRESENTAM AS POSSIBILIDADES DE RUÍNA QUE A SEÇÃO
TRANSVERSAL PODERÁ APRESENTAR.
� PARA CADA PAR DE DEFORMAÇÃO DO AÇO (εS) E DO CONCRETO (εC) TÊM-SE
UM PARA DE ESFORÇO (M;N) CORRESPONDENTE.
44
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES NA 
SEÇÃO TRANSVERSAL
� TEM-SE TRAÇÃO UNIFORME, SEM COMPRESSÃO.
TEMOS OS INTERVALOS:
-∞ < X < 0� X = -∞� εS = εC = 1,0% (10 por mil)
X = 0� εC = 0 e εS = 1,0% (10 por mil)
45
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO I
� TEM-SE FLEXÃO SIMPLES OU COMPOSTA SEM RUPTURA À COMPRESSÃO DO
CONCRETO (εC < 0,35% E COM ALONGAMENTO DO AÇO MÁXIMO εS = 1,0%).
TEMOS OS INTERVALOS:
0 < X < 0,259d� X = 0� εS = 1,0% e εC = 0%
X = 0,259d� εS = 1,0% e εC = 0,35%
46
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO II
� TEM-SE FLEXÃO SIMPLES (SEÇÃO SUBARMADA) OU COMPOSTA COM
RUPTURA À COMPRESSÃO DO CONCRETO E AÇO COM ESMAGAMENTO DO
AÇO (εS > εyd).
TEMOS OS INTERVALOS:
0,259d < X < 0,628d� X = 0,259d� εS = 1,0% e εC = 0,35%
X = 0,628d� εS = εyd e εC = 0,35% 47
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO III
CA50 - εyd=0,207%
� TEM-SE FLEXÃO SIMPLES (SEÇÃO SUPERARMADA) OU COMPOSTA COM
RUPTURA À COMPRESSÃO DO CONCRETO E AÇO TRACIONADO SEM
ESCOAMENTO (εS > εyd). DEVE-SE EVITAR DIMENSIONAR VIGAS NESTE
ESTÁDIO POIS A RUPTURA SE DÁ DE FORMA FRÁGIL (SALVO PROTENSÃO).
TEMOS OS INTERVALOS:
0,628d < X < d� X = 0,628d� εS = εyd e εC = 0,35%
X = 0,628d� εS = 0 e εC = 0,35% 48
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO IV
CA50 - εyd=0,207%
� TEM-SE FLEXÃO COMPOSTA COM ARMADUDA COMPRIMIDA. (PILARES)
TEMOS OS INTERVALOS:
d < X < h� X = d� εS = 0 e εC = 0,35%
X = h� εS < 0 (COMPRESSÃO) e εC = 0,35%
49
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO IV-a
CA50 - εyd=0,207%
� TEM-SE COMPRESSÃO NÃO UNIFORME (PILARES)
TEMOS OS INTERVALOS:
h < X < + ∞� X = h� εS < 0 e εC = 0,35%
X = h� reta “b” (ENCURTAMENTO) εS = 0,2% e εC = 0,35%
AQUI TEM-SE RUPTURA FRÁGIL, POIS O CONCRETO DE ROMPE COM 
ENCURTAMENTO DA ARMADURA (NÃO HÁ FISSURAÇÃO) 50
DOMÍNIO DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO V
CA50 - εyd=0,207%
EXERCÍCIO
51
EXERCÍCIO
52
CONCRETO ARMADO
FUNDAMENTOS DO CONCRETO 
ARMADO
AULA XI
Prof. MSc. MACEL WALLACE QUEIROZ FERNANDES
53
� ALGUMAS LIMITAÇÕES ARQUITETÔNICAS FARÃO COM QUE SEJA NECESSÁRIO
UTILIZAR UMA VIGA COM ALTURA MENOR QUE A ALTURA MÍNIMA EXIGIDA
PELO MOMENTO FLETOR ATUANTE DE CALCULO Md;
� NESTES CASOS, DETERMINA-SE O MENTO MITE “Mlim” QUE A SEÇÃO RESISTE
E SUA RESPECTIVA ÁREA DE AÇO (As1) CONSIDERANDO O ESTADO LIMITE
COM “X=0,45d” (DOMINIO 3);
� A DIFERANÇA ENTRE Md E Mlim SERÁ O M2, OU SEJA, M2=Md-Mlim. M2
SERÁ RESISTIDO POR UMA ARMAÇÃO DE COMPRESSÃO E PARA MANTER O
EQUILÍBRIO, TAMBÉM TEM-SE ARMADURA ADICIONAL DE TRAÇÃO
(ARMADURA DUPLA)
54
CÁLCULO DE SEÇÃO COM 
ARMADURA DUPLA
LOGO TEREMOS:
� Mlim = MOMENTO QUE IMPÕE A SEÇÃO A TRABALHAR NO ESTADO LIMITE
DA DUCTIBILIDADE;
� X=0,45d = SERÁ A POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA REFERENTE AO CONCRETO
COMPRIMIDO E A ARMADURA TRACIONADA “As1”;
� M2 = MOMENTO QUE SERÁ RESISTIDO POR ARMADURACOMIDA As’ E POR
ARMADURA TRAONADA As2;
55
CÁLCULO DE SEÇÃO COM 
ARMADURA DUPLA
• MOMENTO LIMITE:
���� → ���� = � − 
, �
��� → 
��� = 
, ���
TEM-SE
���� = 
, ����� ∗ �� ∗ 
, �
��� ∗ � − 
, �
���
���� = 
, ��� ∗ ��� ∗ �� ∗ �
�
LOGO TEM-SE “As1” PARA “Mlim” ��� =
����
�∗���
→ ��� =
����
(��
,�
���)∗���
• PARA O MOMENTO “M2” (NÃO HÁ COLABORAÇÃO DO CONCRETO). LOGO
“As2” É OBTIDA PARA RESISTIR O MOMENTO “M2”.
�� = ��� ∗ � − �
� = ��� ∗ ��� ∗ (� − �
�)
��� =
��
� − �� ∗ ���
→ ��� =
�� −����
� − �� ∗ ���
56
CÁLCULO DE SEÇÃO COM 
ARMADURA DUPLA
As= As1+As2
• PARA (As’) - ARMADURA COMPRIMIDA, TEM-SE:
�� → ��� ∗ �
��(� − ��) → ��� =
�� −����
� − �� ∗ ���
• Digite a equação aqui.
,-�
���
=
.��
������
→ .′� =
,-�(
�����
0)
���
• (ε‘s) E (f’s) – DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA E TENSÃO DA ARMADURA
COMPRIMIDA.
• Xlim = POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA.
57
CÁLCULO DE SEÇÃO COM 
ARMADURA DUPLA
PARA SE CONHECER 
f’s Á PRECISO 
CONHECER (ε’s).
EXERCÍCIO
58
� MODELO CLÁSSICO DE TRELIÇA
• APÓS FISSURAÇÃO, AS VIGAS APRESENTAM UMA DISTRIBUIÇÃO INTERNA DE
TENÇÕES QUE SUJERE A FORMA DE UMA TRELIÇA TEÓRICA (TRELIÇA DE
MORSCH);
59
CISALHAMENTO EM VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO
� MODELO CLÁSSICO DE TRELIÇA
• EM VIGAS COM ESFORÇO CORTANTE, INDEPENDENTE DA RESISTÊNCIA À
COMPRESSÃO DO CONCRETO, APÓS A FORMAÇÃO DAS FISSURAS DE
CISALHAMENTO, SURGEMMECANISMOS INTERNOS RESISTENTES.
• ESTAS PARCELAS SÃO CHAMADAS DE CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO AO
CISALHAMENTO. 60
CISALHAMENTO EM VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO
PODEMOS AGRUPAR OS MECANISMOS 
EM 3 GRUPOS:
• Vd = EFEITO DE PINO DA 
ARMADURA LONGITUDINAL;
• Va = ATRITO DA SUPERFÍCIE DAS 
FISSURAS DE CISALHAMENTO;
• Vc = CONTRIBUIÇÃO DA ZONA 
COMPRIMIDA ACIMA DA “LN”.
� MODELO CLÁSSICO DE TRELIÇA
• A CAPACIDADE RESISTENTE AO CISALHAMENTO DE UMA VIGA DE CONCRETO
ARMADO PODE SER TOMADA COMO A SOMA DA CONTRIBUIÇÃO DA
ARMADURA TRANSVERSAL E DA CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO.
• A PARCELA DO CONCRETO É DE DIFICIL ESTIMATIVA DEVIDO A VARIAÇÃO DE
INFLUÊNCIA DE CADA MECANISMO.
• ELZANATY (1986), LEONHARDT (1982), TAYLOR (1978) E MICHELL (1991)
APRESENTARAM ESTUDOS SOBRE CISALHAMENTO.
61
CISALHAMENTO EM VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO
� MODELO I
• METODOLOGIA ADOTADA PELA NBR 6118:2014. CONSISTE EM DEDUZIR A FORÇA
CORTANTE DA CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO.
• PARCELA DE CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO:
1�2 = 
, 
3 ∗ ��4
�
-5 ∗ �� ∗ � 6 → ��4 7� "�9:", �� 7 � 7� "��")
• PARA NÃO HAVER RUPTURA NAS DIAGONAIS:
1�� = 1;�� ⇒ 1;�� = 
, �= � −
��4
��
∗ ��� ∗ �� ∗ �
• LOGO:
17 = 1�� − 1�2
• PODEMOS CALCULAR A ARMADURA POR:
���
�
=
17
, 3 ∗ � ∗ ���
 (
���
�
)
• ARMADURA MÍNIMA: EM CASOS ONDE O CORTANTE É MUITO BAIXO
���
�
= > ∗ �� ∗
��4
�
-5
��4
 (
���
�
)
62
CISALHAMENTO EM VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO
• Fck e fcd�MPa
• bw e d �mm
• Vsd� CORTANTE DE CÁLCULO
• S � ESPAÇAMENTO
• Ve� KN
• d �m
• Fyd� KN/cm²
EXERCÍCIO
63
CONCRETO ARMADO
FUNDAMENTOS DO CONCRETO 
ARMADO
AULA XII
Prof. MSc. MACEL WALLACE QUEIROZ FERNANDES
64