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Análise Matricial Prof. M.Sc. Antonio de Faria Novembro/2012 Métodos de Análise Estrutural Modelo Discretizado e Modelo Estrutural Perspectiva esquemática de uma estrutura de concreto com laje maciça, viga, pilares blocos e estacas. Partes que a compõem e esquema estrutural dos diversos elementos em que as estrutura pode ser discretizada Modelo Discretizado e Modelo Estrutural Estruturas constituídas por barras prismáticas P8P7P5 P6 viga VIGA TRELIÇA PLANA Estruturas constituídas por barras prismáticas PÓRTICO PLANO GRELHA Estruturas constituídas por barras prismáticas PÓRTICO ESPACIAL TRELIÇA ESPACIAL Características das estruturas prismáticas Estrutura Barras Esforços solicitantes Deslocamentos nodais Viga Todas em um plano e alinhadas Cortante e Momento fletor Uma rotação e um deslocamento (vertical). Treliça Plana Contidas todas em um plano(com extremidades rotuladas) Normal Deslocamentos lineares em duas direções (x e y) Pórtico plano Contidas todas em um plano Nomal, Cortante e Momento Fletor Deslocamento lineares em duas direções e uma rotação Grelha Contidas todas em um plano (perpendicular ao plano do carregamento) Cortante, momento fletor e momento torçor Duas rotações e um deslocamento linear Treliça espacial Barras não contidas em um só plano com extremidades rotuladas Normal Três deslocamentos lineares Pórtico Espacial Barras não contidas em um só plano. Nornal, Cortante e Cortante Transversal, Momento Torçor, momento Fletor e Momento fletor transversal Três deslocamentos lineares e três rotações 3.2 – Fundamentos Teóricos Eixos: Denomina-se eixo de um elemento o segmento originado a partir da união dos centros de massa das seções transversais que o compõem. Elementos curvos podem ser discretizados por segmentos lineares de corda dos trechos curvos. Nós: Os eixos dos elementos se interceptam nos chamados pontos nodais ou nós da estrutura. Quando da análise estrutural, também são considerados nós os pontos de apoio e extremidades livres da estrutura ou qualquer outro ponto interno pertencente ao eixo de um elemento, assim como os pontosinterno pertencente ao eixo de um elemento, assim como os pontos intermediários cujos deslocamentos e esforços internos devem ser conhecidos. Os nós de apoio ou pontos de apoio podem ser engastes, que impedem deslocamentos verticais, horizontais e rotações; articulações, que impedem deslocamentos verticais e horizontais, mas permitem as rotações; e os apoios móveis, que impedem apenas o deslocamento vertical ou o deslocamento horizontal, ou seja, qualquer elemento que impeça total ou parcialmente um deslocamento, a priori possível, do referido nó. Nós de apoio: 3.2 Fundamentos Teóricos Ações: Serão consideradas ações em uma estrutura as forças concentradas, cargas distribuídas, ou binários que estarão submetendo a estrutura a um estado de deformação. Em um primeiro momento para o desenvolvimento do programa, considera-se apenas a atuação de cargas concentradas ou momentos concentrados nos nós. Deslocamentos: Entende-se por deslocamento uma rotação ou translação em algum ponto do eixo da estrutura. A translação está relacionada à distância percorrida por tal ponto, enquanto a rotação significa o ângulo de rotação da tangente à curva ponto, enquanto a rotação significa o ângulo de rotação da tangente à curva elástica neste mesmo ponto. Deformação: Por deformação, entende-se a pequena mudança ocorrida na forma às quais os elementos constituintes da estrutura são submetidos ao serem solicitados pelo carregamento, já definido anteriormente. Ressalta-se que a deformação de um determinado elemento da estrutura é originada a partir da combinação dos deslocamentos verificados para os diversos pontos pertencentes ao eixo do elemento. Neste trabalho, a deformação da estrutura é considerada em função dos deslocamentos de seus nós, também já definido anteriormente. Fundamentos Teóricos Elementos estruturais: Entende-se por elementos estruturais as peças que compõem uma estrutura, que é a parte da construção que resiste às diversas ações e garante o equilíbrio das edificações. Estas peças geralmente apresentam uma ou duas dimensões preponderantes sobre as demais (vigas, lajes e pilares). Para o desenvolvimento deste trabalho, foram considerados os elementos lineares prismáticos, ou seja, aqueles que apresentam seção transversal lineares prismáticos, ou seja, aqueles que apresentam seção transversal constante ao longo do seu comprimento, o qual consiste da dimensão preponderante sobre as demais. Sistema de Coordenadas locais e globais Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 431 2 Esquema da estrutura com eixos globais y x 1 2 3 43 1 2 Coordenadas Globais (da estrutura) 3 4 5 6 7 8 Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 43 Coordenadas locais (dos elementos) 1 2 Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais y x 1 32 y x 2 43 3 y x 2 Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 1 2 Coordenadas locais (dos elementos) 1 32 2 43 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ND = 2.n com ND – número de deslocamentos nodais possíveis; n – número de nós x y z 1 2 3 1 2 6 5 12 8 9 7 Sistema de Coordenadas locais e globais 1 4 5 11 10 12 Representação de um elemento de barra de um pórtico tri-dimensional com nós 1 e 2, seus eixos locais e coordenadas locais Resolução de Estruturas Prismáticas utilizando técnicas computacionais flexibilidade Fij de um elemento em uma direção i o deslocamento nesta direção i causado por uma força unitária na direção j. A B 1 a) A R1=1 B f11 por uma força unitária na direção j. Este deslocamento deve estar referenciado a um sistema de coordenadas. rigidez Kij de um elemento a ação mecânica provocada por um deslocamento unitário. Similarmente à flexibilidade,a rigidez deve estar referenciada a um sistema de coordenadas. B r1 = 1 b) A K11 B r1 = 1 b) c) Método da Rigidez Incógnitas αααα1, αααα2 ...... 1 3 5 2 4 6 Nós e barras Para se proceder o método da rigidez, introduz-se inicialmente na estrutura vínculos fictícios nos nós de maneira que todos os deslocamentos (translações e rotações) estejam impedidos . a)Estrutura básica Dado uma estrutura com um sistema de coordenadas (do tipo viga) 1 3 5 2 4 6 31 41 61 51 21 11 =11 K K K K K K Obtem-se os coeficientes com término em 1 (Coluna 1) 61 51 41 31 21 11 K K K K K K Obtem-se os coeficientes com término em 1 (Coluna 1) 6665646362 5655545352 4645444342 3635343332 2625242322 1615141312 KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK E o restante de maneira similar Obtendo-se a matriz de RIGIDEZ DA ESTRUTURA Matriz de rigidez da estrutura A matriz de rigidez da estrutura pode ser montada através da matriz do elemento 1 (em azul) e do elemento 2 (em rosa) como pode ser visto de forma esquemática na figura 3.9 onde é indicada através de quadrados as posições dos elementos na matriz a. A matriz de rigidez de um elemento é aquela em que se obtém a partir das coordenadas locais. Determinação da matriz de rigidez de um elemento 1 3 2 4 1 Imaginando a viga (um elemento de viga) da figura 3.10 e com as coordenadasImaginando a viga (um elemento de viga) da figura 3.10 e com as coordenadas Globais indicadas. Considerando um deslocamento unitário na direção 1, surgem os valores de reaçõesK11, K12, K13 e K14. Pode-se escrever então o momento fletor em uma seção S distante x do apoio à esquerda a equação do momento fletor: 2111 KxKM s −⋅= EI M dx yd =2 2 ( )21112 2 KxK dx ydEI −⋅=⋅ +⋅− ⋅ =⋅ 121 2 11 2 CxKxK dx dyEI Determinação da matriz de rigidez de um elemento Cabe lembrar que para x=0 dy/dx (rotação)=0 e aplicando na equação anterior, resulta em C1=0; Outra condição da estrutura é que para x=L (comprimento da barra) dy/dx (rotação)=0, aplicando esta condição na mesma equação, chega-se a: 21 11 2 KLK =⋅ + ⋅ − ⋅ =⋅ 2 2 21 3 11 26 CxKxKyEIIntegrando a equação, chega-se a EIC =2 + ⋅ − ⋅ =⋅ EIxKxKyEI 26 2 21 3 11 + ⋅ − ⋅ = EI LKLK 46 0 3 11 3 11 311 12 L EIK = Impondo a condição de contorno para x=0 y=1 e portanto a expressão 3.6 fica Para x=L (comprimento da barra) sabe-se que y=0 aplicando esta condição, chega-se a: Matriz de rigidez de um elemento de viga − L EI L EI L EI L EI 612612 2323 2 1 4 3 [ ] − −−− − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI LLLL K 4626 612612 2646 22 2323 22 2323 Matrizes de Rigidezes Elementares Matrizes de Rigidezes Elementares Método da rigidez OS COEFICIENTES DE RIGIDEZ SÃO CONHECIDOS Imaginando agora conhecido os diversos Di D1, D2, ....Dn 1 3 5 2 4 6 K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1 K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2 1 2 n Kij são os coeficientes de rigidez; Di são os deslocamentos nodais; P -i são os carregamentos nodais Ocorrendo D1 surge em 1 um esforço de K11D1 Mas surge tambem em 1 um esforço de K12D2 devido a D2 Obtendo-se o sistema Método da Rigidez K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1 K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2 {P} = {K}{D} {P} = vetor dos carregamentos nodais equivalentes; {K} = matriz de rigidez da estrutura; {D} = vetor dos deslocamentos nodais. S31 41S S61 51S 21S 11S =11 O vetor {P} dos carregamentos {D} = vetor dos deslocamentos nodais. O vetor {P} dos carregamentos nodais equivalentes pode ser dividido em vetor {AD} das ações na viga original correspondentes aos deslocamentos de nó desconhecidos D, e vetor {ADL} das ações na estrutura restringida Assim: {P} = {AD} – {ADL} K11 K12 K13 ... K1n K21 K22 K23 ... K2n . . Kn1 Kn2 Kn3 ... Knn D1 D2 Dn p1 p2 pn = Método da Rigidez K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1 K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2 {K}{D}= {P} S31 41S S61 51S 21S 11S =11 {D}= {K’}{P} K’11 K’12 K’13 ... K’1n K’21 K’22 K’23 ... K’2n . . Kn1 Kn2 Kn3 ... Knn D1 D2 Dn p1 p2 pn = Método da Rigidez 2 4 6 Para resolver uma viga pode-se usar o sistema de coordenadas indicados 1 3 5 As incógnitas do problema passam a ser os deslocamentos δδδδ1111, δ, δ, δ, δ2222, δ, δ, δ, δ3333, δ, δ, δ, δ4444, δ, δ, δ, δ5555 ε δε δε δε δ6666 Método da Rigidez Para resolver a estrutura com o método dos deslocamentos Deve-se descobrir Método da Rigidez Toda estrutura pode ter além do sistema de coordenadas globais, as coordenadas locais 642 531 Coordenadas Globais 531 1 3 2 4 1 2 4 3 1 2 Coordenadas Locais A matriz de rigidez da estrutura pode ser montada através da matriz do elemento 1 (em azul) e do elemento 2 (em rosa) 642 531 2 4 2 4 1 3 2 4 1 2 4 3 1 2 azul rosa Fluxograma Leitura dos Dados da Estrutura I = 1 ... nelementos Rigidez do Vetor de Cargas Condições de Com os valores de D, calcula-se u Calcula-se 1 2 Rigidez do Elemento Rigidez da Estrutura Condições de Contorno Solução do Sistema de Equações Calcula-se {M, Q} = [k].[u] Calcula-se as Reações de Apoio 1 2 Exemplo AD1 = ADL1 + K11D1 + K12D2 AD2 = ADL2 + K21D1 + K22D2 Exprimindo-se em forma matricial, obtemos: BA C S11 21S 1 1 C 22S BA S12L/2 P1 P3P1 L/2 L/2 L/2 AR2 M R1A R3A R4A A B C 1D 2D Exprimindo-se em forma matricial, obtemos: {AD} = {ADL} + [K]{D} {AD} é o vetor que representa as ações na estrutura original, sem as restrições, correspondentes aos deslocamentos dos nós desconhecidos; {ADL} é o vetor que representa as ações na estrutura restringida correspondentes aos deslocamentos dos nós desconhecidos e causadas pelas cargas atuantes na viga; [K] é a matriz de rigidez da estrutura; {D} é o vetor que representa os deslocamentos desconhecidos. D = kD = k--11(AD (AD -- ADL)ADL)SOLUÇÃOSOLUÇÃO Coordenadas Locais e Globais 431 2 Esquema da estrutura com eixos globais y x 1 2 3 43 1 2 Coordenadas Globais (da estrutura) 3 4 5 6 7 8 1 2 Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais y x 1 32 y x 2 43 3 y x Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 1 2 Coordenadas locais (dos elementos) 1 32 2 43 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Exemplo numérico: Determinar os esforços na viga abaixo, com inércia constante I e com valor do módulo de elasticidade E, sendo os vãos iguais a L Y Estrutura eixos globais esquema dos elementos da estrutura y yY X Z Estrutura eixos globais 31 2 Coordenadas globais da estrutura 1 2 2 3 5 4 61 Z Z 1 2 y x 1 32 y x 2 1 2 Coordenadas locais dos elementos 1 2 2 3 41 1 2 1 2 3 4 Resolução Matriz de Rigidez do Elemento [ ] − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI 2646 612612 22 2323 [ ] − −−− − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI LLLLK 4626 612612 22 2323 22 Resolução Pode-se após a numeração, montar a matriz de rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada elemento. O esquema da figura 3.9 ajuda neste cálculo. Este esquema reproduzido novamente na figura 3.16 mostra que os coeficientes K15, K16, K25 e K26 (e os simétricos) são nulos. Exceto os termos K33, K34, K44 e K43 os demais termos não nulos decorrem dos valores de cada barra isolada. Resolução 333 2 11 1 3333 241212 L EI L EI L EIKKK =+=+= Assim Com: K33 – coeficiente de rigidez da estrutura na direção 3 com deslocamento unitário em 3; K133 – coeficiente de rigidez do elemento 1 na direção 3 com L EI L EI L EIKKK 844222 1 4444 =+=+= 066 22 2 12 1 344334 =+−=+== L EI L EIKKKK K 33 – coeficiente de rigidez do elemento 1 na direção 3 com deslocamento unitário em 3; K211 – coeficiente de rigidez do elemento 2 na direção 1 (do elemento) com deslocamento unitário em 1 (do elemento e 3 na estrutura); Analogamente: Resolução [ ] − −−− −++− −+−+−− − − = L 4EI L 6EI L 2EI L 6EI00 L 6EI L 12EI L 6EI L 12EI00 L 2EI L 6EI L EI4 L 4EI L EI6 L 6EI L 2EI L 6EI L 6EI L 12EI L EI6 L 6EI L EI12 L 12EI L 6EI L 12EI 00 L 2EI L 6EI L 4EI L 6EI 00 L 6EI L 12EIL 6EI L 12EI K 22 2323 2222 23223323 22 2323 Assim, a matriz de rigidez da estrutura fica com a forma final − −−− − −−− − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI K 462600 61261200 268026 612024612 002646 00612612 22 2323 22 23322 33 2323 LLLL 22 Resolução Vetor dos deslocamentos = 0 0 4 2 D D D Vetor de ações − = 3 1 0 2 P P P 0 0 4D 6 5 0 P P Como os valores de P1, P3, P5, P6 são as reações dos vínculos indeterminados no início da resolução do problema, basta usar a expressão abaixo para resolver o problema: {D}= [K’].{P} Resolução Assim, as equações da estrutura são: K11D1 + K12D2 + K13D3 + K14D4+ K15D5 +K16D6 = P1 K21D1 + K22D2 + K23D3 + K24D4+ K25D5 + K26D6 = P2 K31D1 + K32D2 + K33D3 + K34D4+ K35D5 + K36D6 = P3 K41D1 + K42D2 + K43D3 + K44D4+ K45D5 + K46D6 = P4 K51D1 + K52D2 + K53D3 + K54D4+ K55D5 + K56D6 = P5 K61D1 + K62D2 + K63D3 + K56D4+ K65D5 + K66D6 = P6 Lembrando que há diversos valores nulos do deslocamento, assim o sistema fica: K11.0 + K12D2 + K13.0 + K14D4+ K15.0 + K16.0 = P1 K21.0 + K22D2 + K23.0 + K24D4+ K25.0 + K26.0 = -2 K31.0 + K32D2 + K33.0 + K34D4+ K35.0 + K36.0 = P3 K41.0 + K42D2 + K43.0 + K44D4+ K45.0 + K46.0 = 0 K51.0 + K52D2 + K53.0 + K54D4+ K55.0 + K56.0 = P5 K61.0 + K62D2 + K63.0 + K56D4+ K65.0 + K66.0 = P6 Resolução Finalmente, separando a segunda e a quarta equação, tem-se: K22D2 + K24D4 = -2 K42D2 + K44D4 = 0 Que substituindo os valores dos coeficientes de rigidez: (4EI/L). D + (2EI/L). D =-2(4EI/L). D2 + (2EI/L). D4=-2 (2EI/L). D2 + (8EI/L). D4= 0 Logo: EI LD ⋅= 7 1 4 EI LD ⋅−= 7 4 242 4 DD ⋅−= Matriz de rigidez do elemento Vetor deslocamento nodal paraCoordenadas locais do elemento 1 − = 1L 0 EI7 L4 0 D Resolução [ ] −−− − − = EIEIEIEI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI K 4626 612612 2646 612612 2323 22 2323 7EI 1L Vetor de esforços solicitantes − − = 571,0 7 18 2 7 18 L L P − L EI L EI L EI L EI LLLL 4626 22 = − −−− − − = 0,5714- 7L 18 2- 7L 18 - 7EI 1L 0 7EI 4L - 0 x L 4EI L 6EI L 2EI L 6EI L 6EI L 12EI L 6EI L 12EI L 2EI L 6EI L 4EI L 6EI L 6EI L 12EI L 6EI L 12EI 22 2323 22 2323 K Resolução Aplicando-se analogamente para o segundo elemento, chega-se à: − = − −−− − − = 0,2857 7L 6 0,5714 7L 6 0 0 7EI 1L 0 x 4626 612612 2646 612612 22 2323 22 2323 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI K As reações de apoio podem ser obtidas por meio da soma das forças nodais devidas aos diversos elementos ou por meio das equações 1,3,5 e 6 com os deslocamentos conhecidos, resultando em: kN.m 2,0- P kN 0,6421- P 2 1 = = = Resolução kN 0,2857 P kN 0,2142- P 0 P kN 0,8571 P 6 5 4 3 = = = = = −− − − 3 1 1 23332 33 2323 P 2- P 0 D 0 x 612024612 002646 00612612 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI Resolução = − −− − 6 5 3 22 2323 232 P P 0 0 0 D x 462600 61261200 268026 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI LLLLL Resolução Resultados obtidos com o programa FTOOL (Martha-2008), mostram a linha deformada, o diagrama de momento fletor, o diagrama de esforço cortante e também as reações de apoio com os resultados concordando com os obtidos com a análise realizada. Considerou-se: L = 4,0 m; E = 21000 MPa, I = 4,5x10-4 m4. Resolução
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