01 Introdução

Prévia do material em texto

SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 1 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
 
 
 
1. – Introdução 
 
1.1 – Conceitos Iniciais 
 
Para a compreensão dos conceitos e fenômenos de interesse do campo da 
mecânica dos sólidos, torna-se necessária a introdução de algumas definições iniciais, as 
quais serão utilizadas com frequência ao longo deste curso. Inicialmente, pode-se 
definir a Mecânica dos Sólidos como o ramo da mecânica dos corpos deformáveis que 
visa à determinação de níveis de tensões e deformações de forma a selecionar materiais 
e estabelecer dimensões para os elementos de uma estrutura ou máquina, a fim de 
capacitá-la a cumprir suas funções com segurança, confiabilidade, durabilidade e em 
condições econômicas. 
No contexto da Mecânica dos Sólidos, os corpos em análise são denominados 
estrutura. Assim, define-se Elemento Estrutural como a parte menor que compõe a 
estrutura. A Estrutura é o conjunto de elementos estruturais adequadamente dispostos 
para resistir às ações mecânicas. Os elementos estruturais transmitem e resistem a 
forças, momentos, binários, ações térmicas, entre outros. (por exemplo, cada 
componente de uma cadeira é um elemento estrutural). 
A Resistência de um elemento estrutural, ou de uma estrutura, pode ser 
brevemente definida como sendo sua capacidade de suportar carregamentos sem a 
observação de falha. Nesse contexto, Falha está relacionada ao colapso do elemento 
estrutural, deformações ou deslocamentos excessivos, perda de estabilidade ou ações 
que comprometam sua durabilidade. 
A capacidade de reação de um elemento estrutural às deformações é chamada 
Rigidez. A rigidez é proporcional ao inverso da deformação, ou seja, 
1Rigidez deformação . Por exemplo, o aço é mais rígido que uma espuma. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 2 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
Em diversas situações, o elemento estrutural pode atender aos critérios de 
resistência e rigidez quando exposto a carregamentos externos. Apesar disso, observa-
se, especialmente em elementos comprimidos, que o estado de equilíbrio pode ser 
violado por meio da perda de Estabilidade, como no caso da régua flexível comprimida 
mostrada na Fig. (1.1). 
 
 Figura 1.1 Perda de estabilidade em uma régua comprimida. 
 
Em mecânica dos sólidos, empregam-se modelos matemáticos simplificados 
para a descrição de fenômenos físicos, que são muitas vezes complexos. Devido a essas 
simplificações, correções posteriores, como coeficientes de segurança, devem ser 
aplicadas. A modelagem dos fenômenos associados aos corpos deformáveis segue, 
geralmente, o fluxograma apresentado na Fig. (1.2). 
 
 Figura 1.2 Simplificações para modelagem de problemas de corpos deformáveis. 
Problema 
Físico
Modelo 
Matemático
Simplificações 
(impõem 
restrições)
Facilidade de 
solução
Resultados 
aproximados
Coeficientes 
de segurança
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 3 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
1.2 – Hipóteses Simplificadoras Admitidas 
 
No domínio da mecânica dos corpos deformáveis, modelos matemáticos, 
baseados em hipóteses simplificadoras, são utilizados na modelagem de problemas 
físicos. De forma a propor modelos matemáticos que não sejam extremamente 
complexos para a utilização corrente em engenharia, e que ao mesmo tempo não sejam 
excessivamente simplificados perdendo, assim, a representação do problema físico, as 
seguintes hipóteses serão consideradas. 
 
1.2.1 – Materiais 
 
Os materiais devem ser contínuos, homogêneos, isótropos e de comportamento 
mecânico elástico linear. 
 
1.2.2 – Elemento Estrutural 
 
As estruturas devem ser entendidas como disposições racionais e adequadas de 
diversos elementos estruturais. Classificam-se como elementos estruturais os corpos 
deformáveis com capacidade de receber e transmitir solicitações em geral. Em função 
de suas dimensões, esses elementos podem ser divididos nas seguintes categorias: 
 
I. Tridimensionais, 3D ou Bloco. Nessa categoria a b c  
 
São elementos comumente utilizados em fundações de edificações como sapatas 
e blocos de fundação. Possuem as três dimensões com mesma ordem de grandeza e 
estados de tensão complexos. Podem ser simplificadamente analisados utilizando 
teorias de bielas e tirantes. Na Fig.(1.3) apresentam-se dois exemplos de estruturas de 
blocos. 
 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 4 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
 Figura 1.3 Estruturas tridimensionais. 
 
II. Bidimensionais, 2D, Chapa, Placa ou Casca. Nessa categoria 
,e a e b  
 
As estruturas bidimensionais ou de superfície ou também laminares, ficam 
definidas quando se conhecem a sua superfície média e a lei de variação de sua 
espessura. Essas estruturas possuem duas de suas dimensões muito maiores que a 
terceira. Destacam-se nesse grupo as placas, as cascas e as chapas, como apresentado na 
Fig. (1.4). 
Placas – São estruturas planas sujeitas a esforços perpendiculares ao seu plano 
médio. As placas são solicitadas por esforço cortante, momentos fletores e momentos 
volventes. As lajes de edifícios são exemplos comuns de estruturas de placas. 
Cascas – Placas onde atuam também forças de tração ou de compressão 
paralelas ao seu plano médio são denominadas cascas. As cascas podem apresentar 
geometrias curvas como em coberturas e domos de igrejas. 
Essas duas estruturas são modeladas e estudadas na teoria de placas e cascas que 
resultam de simplificações adequadas da teoria da elasticidade. 
Chapas – São estruturas planas que suportam carregamentos orientados apenas 
ao longo das direções paralelas a seu plano médio. As chapas são muito utilizadas na 
modelagem de problemas enquadrados como estado plano de tensão e estado plano de 
deformação. As paredes são exemplos de estruturas de chapa. 
Membrana – Trata-se de uma estrutura de casca, onde os momentos fletores e 
volventes são nulos. Nessa estrutura atuam somente esforços paralelos ao seu plano 
médio. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 5 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
 Figura 1.4 Chapas, cascas e placas. 
 
III. Unidimensionais, 1D, Barra simples, Barra geral ou Arcos. Nessa 
categoria ,L a L b  
 
Os elementos estruturais unidimensionais, correntemente denominados barras, 
são caracterizados por possuírem duas de suas dimensões muito menores que a terceira. 
Nesses elementos, as dimensões da seção transversal do elemento são muito menores 
quando comparados a seu comprimento. As estruturas formadas por uma ou mais barras 
são denominadas estruturas lineares. São de grande importância no estudo de corpos 
deformáveis, apresentando larga aplicação na análise de estruturas de edifícios, 
manufaturas, pontes, máquinas e equipamentos, entre outros. Essas estruturas são 
analisadas segundo hipóteses estabelecidas na mecânica dos corpos deformáveis e na 
estática das estruturas, observando-se, naturalmente, os aspectos peculiares de cada 
uma. A seguir, apresentam-se algumas definições de interesse: 
 Eixo de uma barra: É a trajetóriaformada pelo centro de gravidade da figura 
geradora (seção transversal) de uma barra. 
 Seção transversal de uma barra: É o resultado da intersecção entre o eixo da 
barra e um plano normal a este. 
 Barra reta e barra curva: São barras cujos eixos são retilíneo e curvilíneo, 
respectivamente. 
 Barra prismática: Barra reta de seção transversal constante. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 6 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
As barras podem ser classificadas segundo os esforços que a solicitam e os 
deslocamentos permitidos ao longo de seu domínio (comprimento). Assim, pode-se 
efetuar a seguinte classificação dos elementos de barra, os quais estão ilustrados na Fig. 
(1.5). 
 
 Figura 1.5 Barras e arcos. 
 
Vigas – São elementos lineares que possuem dois graus de liberdade, v 
(deslocamento perpendicular ao seu eixo) e  (rotação da seção transversal). As vigas 
diferem-se segundo suas condições de vinculação podendo ser: viga em balanço, viga 
simplesmente apoiada, viga bi engastada, viga Gerber (viga articulada e isostática sobre 
mais de dois apoios), viga contínua (viga hiperestática sobre mais de dois apoios), entre 
outros. São solicitadas por esforço cortante e momento fletor. 
Treliças – As treliças são estruturas lineares constituídas por barras retas, 
dispostas, em geral, formando painéis triangulares. As treliças são solicitadas 
predominantemente por esforços de tração e compressão. As barras que compõem este 
tipo de estrutura podem ser divididas em banzos inferior e superior, montante e diagonal 
conforme indicado na Fig.(1.6). Esse tipo de elemento estrutural é caracterizado por 
permitir apenas os deslocamentos dos pontos que formam as barras, as rotações não são 
consideradas. As treliças podem ser planas, quando suas barras estão contidas em um 
único plano, ou espaciais no caso contrário. 
Pilares – São barras, geralmente retas e com eixo disposto verticalmente, em 
que os esforços solicitantes são: esforço normal (compressão), esforço cortante e 
momento fletor. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 7 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
 Figura 1.6 Treliça plana. 
 
Pórticos – Os pórticos planos, Fig. (1.7), são estruturas lineares planas com 
solicitações coplanares à sua geometria que, sendo constituídas unicamente por barras 
de eixo retilíneo, não recaem na categoria de viga, treliça ou pilar, nem na categoria de 
arco. São elementos retos solicitados por esforço normal, esforço cortante e momento 
fletor e que possuem dois deslocamentos no plano e a rotação da seção. Existem 
também os pórticos tridimensionais, onde o pórtico plano é generalizado. Nesse caso, 
cada ponto que compõe a estrutura apresenta três deslocamentos e três rotações, além de 
ser solicitado a esforços normal e cortantes e a momentos fletores e torçor. 
 
 Figura 1.7 Pórticos plano e tridimensional. 
 
Grelhas – As grelhas são constituídas por elementos lineares, situados em um 
mesmo plano, formando uma malha (conjunto de barras contínuas limitando uma região 
fechada do plano) como mostra a Fig. (1.8). Nesse tipo de estrutura, os carregamentos 
externos são aplicados perpendicularmente ao plano de disposição das barras. Em cada 
ponto da grelha são permitidos duas rotações e o deslocamento perpendicular ao seu 
plano. Além disso, a grelha é solicitada por momentos fletor e torçor e esforço cortante. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 8 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
 Figura 1.8 Grelhas. 
 
1.2.3 – Carregamentos 
 
As ações externas que atuam sobre os elementos estruturais podem ser 
idealizados segundo sua dimensão, distribuição, intensidade e localização. Para os casos 
considerados na mecânica dos sólidos, idealizam-se os carregamentos como: 
 
I. Forças Distribuídas 
 
 Forças de Volume: São ações gravitacionais, inerciais ou forças de origem 
eletromagnéticas. São distribuídas no espaço tridimensional, como mostrado na 
Fig.(1.9). 
 
Figura 1.9 Forças volumétricas. 
 
 Forças de Área: Comumente encontradas nas análises de placas e cascas e em 
pressão de fluidos, como ilustrado na Fig. (1.10). Essas ações são distribuídas ao longo 
de uma determinada região (área) da estrutura. São mensuradas através de uma unidade 
de força dividida por uma unidade de área. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 9 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
Figura 1.10 Forças de área. 
 
 Forças de Linha: São ações, distribuídas unidimensionalmente, atuantes ao 
longo de elementos de vigas e pórticos, como mostrado na Fig. (1.11). São mensuradas 
através de uma unidade de força dividida por unidade de comprimento. 
 
Figura 1.11 Forças de linha. 
 
II. Ações Concentradas ou Pontuais 
 
São ações localizadas em áreas de pequenas dimensões, portanto, pontuais. As 
ações concentradas podem ser forças ou momentos como ilustrado na Fig. (1.12). 
 
 
Figura 1.12 Carregamento pontual. 
 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 10 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
1.2.4 – Condições de Vinculação 
 
As condições de vinculação são impostas à estrutura por meio de dispositivos 
mecânicos que impedem sua movimentação. Estes dispositivos são, por vezes, 
denominados de dispositivos de fixação chapa/terra. Para a análise de problemas 
bidimensionais estes dispositivos podem ser divididos em: 
 
I. Apoio Móvel 
 
Este tipo de apoio impede o deslocamento do ponto vinculado apenas ao longo 
de uma direção pré-determinada. Como consequência, nesse tipo de apoio surge uma 
única reação, a qual impede o deslocamento desejado. Na Fig. (1.13) está apresentado o 
mecanismo de funcionamento do apoio móvel. A presença do apoio móvel no sistema 
estrutural é representada por meio dos símbolos apresentados na Fig. (1.14). 
 
 Figura 1.13 Apoio móvel 
 
 
Figura 1.14 Representação do apoio móvel. 
 
II. Apoio Fixo 
 
Este tipo de apoio impede o deslocamento dos pontos vinculados ao longo das 
duas direções do plano. Nos apoios do tipo fixo surgem duas forças reativas, como 
consequência da restrição aos dois deslocamentos pontuais. O apoio fixo pode ser 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 11 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
realizado por meio dos mecanismos ilustrados na Fig. (1.15). Para a representação deste 
tipo de apoio no sistema estrutural utiliza-se o símbolo apresentado na Fig. (1.16). 
 
Figura 1.15 Apoio fixo. 
 
 
Figura 1.16 Representação apoio fixo 
 
III. Engastamento Perfeito 
 
O apoio do tipo engastamento perfeito impede os deslocamentos no plano e 
também a rotação do ponto vinculado. Surgem, no engaste, duas forças reativas 
decorrentes do impedimento dos deslocamentos no plano e um momento fletor que é o 
resultado do impedimento à rotação do ponto. Na Fig. (1.17) estão apresentados os 
mecanismos que podem ser utilizados para a realização de um engaste. 
 
Figura 1.17 Engastamento perfeito. 
 
SET 0183 – Mecânica dosSólidos I 12 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
Quando um engastamento perfeito está presente em um dado sistema estrutural, 
este é representado por meio do símbolo mostrado na Fig. (1.18). 
 
Figura 1.18 Representação do engastamento perfeito. 
 
IV. Engastamento Móvel 
 
O engastamento móvel é um tipo especial de vinculação não encontrada com 
frequência em aplicações práticas de engenharia, embora seja empregada em diversas 
aplicações teóricas. Nesse tipo de apoio, o deslocamento ao longo de uma direção pré-
determinada e a rotação do ponto considerado são impedidos. Consequentemente, 
surgem nesse apoio duas ações reativas, sendo uma força (ao longo da direção 
restringida) e um momento fletor. Na Fig. (1.19) ilustram-se os mecanismos para a 
realização de um engastamento móvel. A simbologia para representação deste tipo de 
apoio é apresentada na Fig. (1.20). 
 
Figura 1.19 Engastamento móvel. 
 
 
Figura 1.20 Representação do engastamento móvel. 
 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 13 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
Embora as condições de vinculação discutidas anteriormente sejam aplicadas 
apenas para casos bidimensionais, deve-se enfatizar que problemas tridimensionais 
podem ser analisados considerando a extensão dessas condições. 
1.3 – Princípio de Saint Venant 
 
Este princípio estabelece que em pontos suficientemente afastados das regiões 
de aplicação dos carregamentos externos, os efeitos internos se manifestam 
independentemente da forma da distribuição daqueles carregamentos. Em outras 
palavras, pode-se dizer que: 
" As tensões que podem ser produzidas em um corpo pela aplicação, em uma 
pequena parte da sua superfície, de um sistema de forças equivalente estaticamente a 
força zero e conjugado zero, são de magnitude desprezível a distâncias que são maiores 
se comparadas com as dimensões lineares do corpo." 
Este princípio é de grande importância na análise de corpos deformáveis. À 
medida que nos afastamos da região de aplicação das ações externas, o gradiente das 
tensões e deformações tende a zero. A diferença relativamente à solução exata é apenas 
significativa na região vizinha a de aplicação dessas ações. Este princípio estabelece que 
se um corpo estiver sujeito à ação de um conjunto de forças, aplicadas numa zona 
limitada da sua superfície, as tensões e deformações provocadas por essas forças a uma 
“distância suficientemente grande” do seu ponto de aplicação depende apenas de sua 
resultante e não da forma como estas são aplicadas. 
Assume-se que as tensões e deformações tornam-se uniformes a partir de uma 
distância igual à maior dimensão da superfície onde estão aplicadas as ações externas. 
Este princípio é sustentado por observações experimentais. Na Fig. (1.21) apresenta-se a 
aplicação do princípio de Saint Venant. Destaca-se, nessa figura, a zona de 
concentração de tensões e deformações, além da zona onde essas grandezas são 
constantes. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 14 
Capítulo 1 – Introdução ___________________________________________________ 
 
Figura 1.21 Princípio de Saint Venant. 
 
1.4 – Princípio da Superposição dos Efeitos 
 
O princípio da superposição dos efeitos prevê que os efeitos de um sistema 
composto por várias ações agindo em um corpo serão iguais à soma dos efeitos parciais 
produzidos neste corpo quando cada ação é aplicada isoladamente, independente da 
origem da aplicação. Esse princípio é válido desde que as seguintes condições sejam 
atendidas. 
I. Regime de pequenos deslocamentos. 
II. Material em regime elástico linear. 
O princípio da superposição dos efeitos é de grande utilidade na análise de 
tensões e deslocamentos em corpos deformáveis. Este princípio será utilizado em 
diversas oportunidades durante este curso. 
 
Figura 1.22 Princípio da superposição dos efeitos.