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ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
O comportamento físico de uma partícula sólida pode ser representado e entendido 
facilmente porque ele constitui uma entidade única de tamanho suficiente e que podemos 
visualizar também o seu comportamento. Um sólido é uma substância rígida que conserva 
sua forma contra forças deformantes externas. Extensão das mesmas observações tornam-
se mais complexas quando se trata com fluidos já que estamos, com efeito, tratando com 
uma coleção de partículas "virtuais" que não podem ser visualizadas. O termo fluido é 
usado para descrever um objeto ou substância que deve estar em movimento para resistir 
forças aplicadas externamente. Um fluido sempre escorre quando forças deformantes lhe 
são aplicadas. Note que embora a tendência é imaginar os fluidos principalmente como 
líquidos, os fluidos também descrevem o comportamento dos gases. Este capítulo 
apresenta os princípios físicos, conceitos e exemplos de um fluido em repouso (estática 
dos fluidos)e de um fluido em movimento (dinâmica dos fluidos). Estas propriedades 
aplicam-se tanto à passagem do ar através dos brônquios como à passagem do 
sangue através dos vasos sangüíneos. 
4.1 – DEFINIÇÕES DE ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
4.1.1- DENSIDADE 
A densidade  é uma propriedade física de um fluido, dada como massa por unidade de 
volume, ou 
 ......vale para qualquer corpo 
A densidade representa nos fluidos o equivalente à massa nos sólidos. Outras unidades 
usadas na prática são g/cm3 , kg/litro, etc. A sua dimensão é ML-3. 
A densidade relativa de uma dada substância é a razão da densidade da 
substância  sub pela densidade da água  água, ou 
densidade relativa = 
EXEMPLO 1 
Trinta mililitros de uma solução anestésica contida numa seringa de 5 g tem uma massa 
combinada de 80 g. Determine a densidade da solução anestésica, 
SOLUÇÃO 
A densidade da solução anestésica pode ser determinada de 
 
onde  é a densidade (g/cm3), ma é a massa (g) da solução e 
V é o volume (cm3 ou ml). A massa da solução anestésica ma é 
a massa total mT menos aquela da seringa ms, ou 
mT = ma + ms  ma = mT – ms = 80 – 5 = 75 g 
O volume V da solução anestésica contida na seringa é 
V = 30 ml = 30 cm3 
Assim, a densidade de uma solução anestésica pode ser 
determinada por 
 = 
EXEMPLO 2 
A densidade de um radiofármaco é 0,75 g cm-3. Determine a massa de 2,0 litros deste 
radiofármaco 
Nota:- 1 litro = 1000 cm3 
SOLUÇÃO 
A massa de um líquido está relacionada à densidade e volume 
por 
 
Rearranjando, e resolvendo para a massa m temos, 
m =  V = (0,75 g cm-3) (2000cm3) = 1500 g = 1,5 kg. 
EXEMPLO 3 
Determine o tamanho apropriado de um recipiente necessário para manter 0,7 g de éter 
que tem uma densidade de 0,62 g . cm-3. 
SOLUÇÃO 
O volume de um líquido está relacionado à massa e a densidade 
por 
V = m/ = (0,7 g)/(0,62 g cm-3) = 1,129 ml 
 
EXEMPLO 4 
Um cubo de alumínio sólido tem dimensões de 6 polegadas (6 in) de comprimento em 
cada lado. Dado que a densidade do alumínio é 170 lb ft-3, determine a sua massa. Dado 
: 1 pé = 1 ft = 12 in = 30,48 cm 
SOLUÇÃO 
Por definição, m =  . V. Sabemos também que 1 ft = 12 in. 
Então, O volume do cubo é: 
 V = 0,5 ft . 0,5 ft . 0,5 ft = 0,125 ft3 
Portanto a massa é 
m = (170 lb ft-3)(0,125 ft3) = 21,3 lb 
EXEMPLO 5 
O osso tem uma densidade de 1,06 g cm-3. Determine a densidade relativa do osso. 
SOLUÇÃO 
Por definição a densidade relativa é 
densidade relativa = = 
EXEMPLO 6 
Como calculado no problema prévio, a densidade relativa do osso é 1,06. Determine a 
massa de 1 cm3 de osso 
SOLUÇÃO 
A massa está relacionada à densidade relativa por 
densidade relativa = 1,06 =  m = 1,06 g 
 
 
 
4.1.2 - PRESSÃO 
A pressão P é definida como uma força F atuando perpendicularmente a uma superfície 
de área A e é dada por 
 
A pressão é uma quantidade escalar e é expressa em dimensões de ML-1T-2. 
As unidades S.I. para pressão são Nm-2. Outras unidades são muito usadas na prática, a 
atmosfera (atm) e o milímetro de mercúrio (mmHg) e a "libra" (lb/in2). 
EXEMPLO 7 
Tocando um disco, uma agulha de fonógrafo exerce 3,5 g dentro de uma área circular de 
0,30 mm de raio. Determine a pressão exercida pela agulha do fonógrafo no disco. 
SOLUÇÃO 
A pressão exercida pela agulha do fonógrafo pode ser 
determinada da definição de pressão: 
p = 
Dois tipos específicos de pressão particularmente aplicável aos fluidos inclui pressão 
atmosférica e pressão hidrostática. 
PRESSÃO ATMOSFÉRICA - representa a pressão média exercida pela atmosfera 
terrestre ao nível do mar e é definida numericamente como: 
 1 atm = 1,01 x 10 5 Nm-2 = 1,01 x 105 Pa = 760 mmHg . 
Uma relação mais completa entre as várias unidades de pressão pode ser encontrada 
na Tabela 6.1 
PRESSÃO HIDROSTÁTICA Phid - é a pressão de um fluido exercida numa profundidade 
h num fluido de densidade  e é dada por 
 Phid =  g h 
Aqui g representa a aceleração da gravidade. Na medicina a unidade mais usada é o 
mmHg. Por exemplo, um pico de pressão sangüínea (sistólica) lida como 120 mmHg 
indica que uma coluna de mercúrio desta altura tem uma pressão na sua base igual a 
pressão sangüínea sistólica do paciente. Desde que a densidade do mercúrio é 13,6 g/cm3, 
uma coluna de água tem que ser 13,6 vezes maior que uma dada coluna de mercúrio, afim 
de produzir a mesma pressão. É algumas vezes conveniente indicar diferenças de pressão 
no corpo humano em termos da altura de uma coluna de água. 
Se uma pressão externa Pext é exercida no fluido, então a pressão total P é a soma da 
pressão externa e da pressão hidrostática. 
P = Pext +  g h 
onde a pressão atmosférica, na maioria dos casos, é considerada uma pressão externa 
Desde que vivemos num mar de ar com uma pressão de 1 atm, é mais fácil medir a pressão 
relativa à pressão atmosférica do que medir a verdadeira pressão, ou pressão absoluta. 
Assim quando dizemos que a pressão do pneu da bicicleta é 60 "libras" estamos falando 
do quanto temos além da atmosfera no pneu. Esta pressão "a mais" é chamada de pressão 
manométrica. A menos que falemos em contrário, todas as pressões usadas aqui são 
pressões manométricas. 
Existem vários lugares no corpo humano onde as pressões são mais baixas do que a 
atmosférica, ou negativas. Por exemplo quando inspiramos a pressão nos pulmões deve 
ser um pouco menor que a pressão atmosférica senão o ar não fluiria para dentro do corpo. 
Quando alguém bebe um líquido através de um canudo, a pressão na boca deve ser 
negativa por uma quantidade igual a altura da sua boca acima do nível do líquido que ele 
está bebendo. Para ver outros exemplos de pressão negativa clique aqui 
EXEMPLO 8 
A pressão sangüínea sistólica normal na circulação humana é de 120 mmHg. Determine 
a altura equivalente de uma coluna de água. 
SOLUÇÃO 
Para determinar a pressão hidrostática exercida por uma 
coluna de mercúrio de 120 mm: 
P =  g h = (13,6 
Queremos agora determinar a altura de uma coluna de água 
requerida para exercer a mesma pressão que 120 mmHg: 
1,6 x 105 dina . cm-2 = (1,0 g cm-3) (980 cm s-2) (altura em 
cm) 
Resolvendo para h, temos 
h = 163 cm H2O. 
EXEMPLO 9 
Assuma que a área de um pé de uma pessoa de 80 kg é 25 cm x 6 cm. Determine a pressão 
que a pessoa exerce no chão enquanto está em pé. 
SOLUÇÃO 
A pressão é definida como a força por unidade de área, onde 
a força é o peso da pessoa W: 
W = m.g = (80 kg) (9,8 m s-2) = 784 N 
e a área é a área da seção transversal na qual esta força é 
exercida: 
Apé = área de uma elipse =  (0,25 m x 0,06m)= 0,047 m2 
Desde que a pessoa normalmente fica em pé sobre os dois pés, 
a área total é 2 Apé = 0,094 m2. Assim, a pressão exercida 
pela pessoa sobre o chão é 
 
EXEMPLO 10 
Assumindo a densidade da água como 1 g/cm3, determine a pressão no fundo de uma 
piscina de profundidade de (1) 60 cm, (2) 120 cm e (3) 180 cm 
SOLUÇÃO 
Existem dois componentes de pressão atuando no fundo de uma 
piscina: a pressão hidrostática devida a água e a pressão 
atmosférica (1,0 atm = 1,013 x 105 N . m-2), assim conduzindo 
a uma pressão líquida ou total de 
ptotal = patm + phid = patm +  . g . h 
Numa profundidade de 60 cm, a pressão total exercida no fundo 
da piscina é 
ptotal = patm +  . g . h = 
1,013 x 105 N.m-2 + (1000 kg.m-3).(9,8 m.s-2).(0,6 m) = 
1,07 x 105 N.m-2 
Numa profundidade de 120 cm, a pressão total exercida no 
fundo da piscina é 
ptotal = patm +  . g .h = 
1,013 x 105 N.m-2 + (1000 kg.m-3) . (9,8 m.s-2) . (1,2 m) = 
1,13 x 105 N.m-2 
Numa profundidade de 180 cm, a pressão total exercida no 
fundo da piscina é: 
ptotal = patm +  . g .h = 
1,013 x 105 N.m-2 + (1000 kg.m-3) . (9,8 m.s-2) . (1,8 m) = 
1,19 x 105 N.m-2 
Veja alguns outros exemplos ilustrativos 
Mais sobre a pressão no corpo humano é só clicar aqui 
Veja também os efeitos fisiológicos da pressão , os efeitos da 
pressão durante o mergulho e a terapia com oxigênio 
hiperbárico (HOT). 
4.1.3 – PRINCÍPIO DE PASCAL 
 
 
 
 
 
 
 
O princípio de Pascal estabelece "uma pressão externa aplicada a um fluido 
confinado será transmitida igualmente a todos os pontos dentro do fluido". Isto significa 
que a pressão transmitida não diminui à medida que se propaga pelo interior do fluido. 
Este resultado torna possível uma grande multiplicação de forças, como se fosse uma 
alavanca fluida. 
O próximo exemplo mostra melhor o que estamos dizendo. 
EXEMPLO 11 
Um exemplo do Princípio de Pascal é visto no macaco hidráulico, mostrado na Figura 
abaixo. Se uma força de 300 N é aplicada a um pistão de 1 cm2 de área transversal, 
determine a força de ascensão transmitida a um pistão de área transversal de 100 cm2. 
SOLUÇÃO 
De acordo com o Princípio de Pascal, a pressão p1 exercida 
na coluna da esquerda de área 1 cm2 por meio de uma força de 
300 N deve ser igual a pressão p2 que aparece coluna da 
direita de área 100 cm2. 
Fazendo substituições 
apropriadas leva 
F = 30.000 N 
 
 
4.1.4 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 
O Princípio de Arquimedes estabelece "um corpo imerso inteiramente ou 
parcialmente num fluido está sujeito a um empuxo que é igual em magnitude o peso do 
fluido deslocado pelo corpo", ou 
EMPUXO = peso do fluido deslocado 
Se o empuxo é igual ou maior que o peso do fluido deslocado, então o objeto permanece 
flutuando. Entretanto, se o empuxo é menor que o peso do fluido deslocado, então o 
objeto afunda. 
EXEMPLO 12 
Uma baleia pesa 5,4 x 105 N. Determine o empuxo requerido para suportar a baleia no 
seu "habitat" natural, o oceano, quando ela está completamente submersa. Assuma que a 
densidade da água do mar é 1030 kg m-3 e que a densidade da baleia  baleia é 
aproximadamente igual a densidade da água ( água = 1000 kg m-3) 
SOLUÇÃO 
O volume da baleia pode ser determinado por 
 
Resolvendo para V, temos 
 
A baleia desloca 55,1 m3 de água quando submersa. Portanto, 
o empuxo E, que é igual ao peso da água deslocada, é dado 
por 
E = Págua do mar =  água do mar . g . Vbaleia = (1030 kg m-3) (9,8 m 
s-2) (55,1 m3) 
= 5,6 x 105 N 
EXEMPLO 13 
Numa atração circense, pergunta-se para estimar o número de moedas submersas num 
grande reservatório de água. Suponha que um reservatório de 1 litro estava cheio de 
moedas de massas m = 0,5 kg, tal que 0,5 litro de água fora deslocada. determine o número 
de moedas no reservatório, assumindo a densidade da moeda como 8,9 g cm-3 
SOLUÇÃO 
Dado que a massa da moeda é m = 0,5 g e a densidade é  = 
8,9 g cm-3, o volume de uma única moeda é 
 
O número de moedas é assim dado por 
 
Dado que a massa da moeda é m = 0,5 g e a densidade é  = 
8,9 g cm-3, o volume de uma única moeda é 
 
O número de moedas é assim dado por 
 
4.2 – TENSÃO SUPERFICIAL 
A tensão superficial T é a tensão ou força por unidade de comprimento, criada 
por forças coesivas das moléculas na superfície de um líquido atuando para o 
interior. A tensão superficial é dada como a força por unidade de comprimento e é 
definida como a razão da força superficial F pelo comprimento d ao longo do qual a força 
atua, ou 
 
A tensão superficial é dada em unidades de mN . m-1 ou dina . cm-1. 
A tensão superficial da água é cerca de 72 dinas/cm. 
Para mais exemplos de tensão superficial click aqui 
4.3 – AÇÃO CAPILAR 
A ação capilar refere a elevação ou queda de um líquido num tubo estreito ou 
capilar, como mostrado na Figura abaixo, causando a formação de uma superfície curvada 
ou o menisco nas paredes do tubo, com a altura h dada por 
 
onde T é a tensão superficial,  é o ângulo de contato entre a parede do capilar 
e a tangente à superfície do líquido e r é o raio do tubo capilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 14 
Um tubo capilar de raio interno r = 0,30 mm está parcialmente submerso em água com 
uma tensão superficial T = 72 dina cm-1 e um ângulo de contato  = 0º. Determine a altura 
de elevação da água no tubo capilar. 
SOLUÇÃO 
A altura h de elevação da água através do tubo capilar é 
 
h = 4,89 cm 
Se você quiser ver um exemplo ilustrativo, clique aqui 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
Um agente anestésico tem uma densidade  = 1,86 g . cm-3 e está num tubo de ensaio de 
volume V = 10 ml. Determine a massa do anestésico. Resp:- 18,6 g 
Dado um volume de 5 ml de álcool etílico ( = 0,81 g cm-3), determine o volume de água 
( = 1,00 g cm-3) requerido para a massa igualar aquela do álcool etílico. Resp:- 4,05 ml 
Determine a força exercida pela água no fundo de um tanque de aquário de 0,9 x 0,5 m 
se o nível de água está a 0,85 m. Resp:- 4,95 x 104 N 
Determine a pressão hidrostática devida a uma coluna de 50 cm de (1) água ( água= 1 g 
cm-3); e 92) mercúrio ( Hg = 13,6 g cm-3). Resp:- (1) 4,9 x 104 dina cm-2; (2) 6,6 x 
105 dina cm-2 
Considere um barômetro de mercúrio ou um tubo de vidro de forma de U com uma 
extremidade ou braço lacrada e cheio de mercúrio, como mostra a Fig 4. Determine a 
altura h da coluna de mercúrio se a pressão no braço da extremidade aberta é (1) pressão 
atmosférica e (2) 100 mHg. Resp:- (1) 760 mmHg (2) 97 mmHg 
Determine a pressão hidrostática e a pressão total numa profundidade de 4,0 m numa 
piscina. Resp:- 3,92 x 104 N m-2; 1,4 x 105 N m-2 
Considere um pistão de área de secção transversal 10-
2 m2 exercendo uma força de 600 N num recipiente cheio de 
água de altura h = 0,8 m (ver Figura 5). Dada a densidade da 
água  = 1.000 kg m-3, determine a pressão exercida no fundo 
do recipiente de 10-1 m2. Resp:- 67,840 N m-2 . 
Considere um cone invertido de altura h = 0,45 m e raio r = 
0,15 m., cheio de água. Determine o peso e a força do fluido 
atuando para baixo na base do cone. Resp:- 103,8 N ; 311,6 N 
Considere um tanque de aquário com uma base de 3,5 m por 2,0 m cheio de água até uma 
profundidade de 4 m. Determine a pressão total exercida no fundo do tanque. Resp:- 2.367 
N m-2 
Determine a pressão requerida para elevar água ao topo de uma construção de 20 m de 
altura. Resp:- 1,96 x 105 N m-2 
Um aneurisma pode ser aproximado por uma esfera elástica com uma pequena abertura 
pela qual o sangue circula e exerce pressão contra a parede interna. determine a força,em 
newtons, exercida pelo sangue num aneurisma, dada uma pressão sangüínea de 150 
mmHg e área de secção transversal de 25 cm2. Resp:- 49,8 N 
Um tubo capilar de raio interno r = 0,2 mm está parcialmente submersa no álcool etílico. 
A tensão superficial e densidade do álcool etílico são 22,3 dina cm-1 e 8 x 102 kg m-3, 
respectivamente. Dado que o ângulo de contato é 0º, determine a altura da elevação do 
álcool etílico no tubo capilar. Resp:- 2,81 cm 
Referindo-se ao conjunto de pistões do macaco hidráulico da Figura 3, determine a força 
requerida por um pistão A1 = 1 cm
2 para levantar um objeto de 1.200 N sobre uma área 
superficial A2 = 10 cm
2. Resp:- 12 N 
Um tubo capilar de 1,2 mm de diâmetro interno está parcialmente submerso em água. A 
água eleva-se no capilar até uma altura de 18,5 mm. Dado que a densidade e a tensão 
superficial da água são 1,06 g cm-3 e 72,8 dina cm-1, respectivamente, determine (1) a 
força superficial e (2) o peso da água no tubo capilar. Resp:- 13,7 dina (2) 13,7 dina 
Para uma solução num tubo de ensaio, determine a pressão, a energia potencial 
gravitacional Ep e a energia total Etotal em (1) no nível da superfície da solução (2) no 
fundo do tubo de ensaio. Resp:- (1) P = Patm; Ep = 0; Etotal = Epatm (2) P = Patm +  g h; Ep 
= -  g h Etotal = Patm 
Para a sua viagem ao redor do mundo, Billy Bob usará um balão cheio de hélio com um 
volume de 2.300 m3 e um peso total de 5.500 N. Dado que a densidade do hélio é 0,176 
kg m-3, determine a carga máxima que o balão pode levantar. Resp:- 1,96 x 104 N 
 
DINÂMICA DOS FLUIDOS 
Embora os fluidos difiram dos sólidos em termos de estrutura e composição, os 
fluidos possuem inércia, definida pela sua densidade, e estão assim sujeitos às mesmas 
interações físicas que os sólidos. Por exemplo, se atuado por uma força externa, os fluidos 
acelerarão. uma vez em movimento, os fluidos possuem energia pela qual trabalho pode 
ser feito. Todas estas interações dinâmicas que os fluidos em movimento possuem serão 
discutidas neste tópico. 
Tanto na Medicina como na Biologia existem muitos fenômenos que são compreendidos 
através dos conceitos básicos e das propriedades de escoamento de fluidos 
4.6 – DEFINIÇÕES DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS IDEAIS 
De modo geral, o escoamento de um fluido não é descrito pelo movimento individual de 
cada uma de suas partículas, mas é especificado por sua densidade  e velocidade de 
escoamento v numa determinada posição e num determinado instante 
Se a velocidade v num ponto qualquer for constante em relação ao tempo, isto é, se as 
partículas ao passarem por aquele ponto tiverem a mesma velocidade, diz-se que o 
escoamento é permanente. Isto não significa que num outro ponto a velocidade não possa 
ser diferente. 
Se a velocidade v das partículas ao passarem por um determinado ponto variar com o 
tempo, o escoamento é dito variado. 
Se a densidade de um fluido em movimento variar, ele é considerado compressível; caso 
contrário, diz-se que é incompressível. 
Um fluido incompressível que não apresenta resistência ao movimento chama-se fluido 
ideal. 
A vazão Q é o volume de um fluido que passa através da seção transversal de um tubo na 
unidade de tempo. As suas dimensões são dadas por L3 T-1 e suas unidades são m3 s-1 ; 
ml s-1 ou cm3s-1. 
 
A vazão pode também ser expressa em termos da velocidade por 
Q = A . v 
onde A é a área da seção transversal do tubo e v é a velocidade do fluxo. 
EXEMPLO 15 
Gasolina flui de uma bomba de 3,0 cm de diâmetro com uma velocidade média de 10 cm 
s-1. Determine a razão de fluxo da gasolina 
SOLUÇÃO 
A vazão está relacionada à velocidade por 
Q = A.v =( r2) v = (3,14)(1,5 cm)2 (10 cm s-1) = 70,6 cm3 s-
1 = 70,6 ml s-1 
EXEMPLO 16 
Óleo está fluindo através de um tubo circular de raio r = 0,15 m. Se a razão de fluxo 
volumétrico (vazão) é medida como 0,50 m3 s-1, num certo ponto, determine: 
a velocidade do óleo neste ponto e 
o volume de óleo que passa neste ponto em 1 min. 
SOLUÇÃO 
A razão de fluxo volumétrico (ou vazão) está relacionada a 
velocidade por Q = A.v. Resolvendo para v e fazendo a 
substituição apropriada, temos 
 
O volume do fluxo V está relacionado à vazão de fluxo 
volumétrico Q por V = Q t = (0,50 m3 s-1) (60s) = 30 m3 
4.7 – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
A equação da continuidade estabelece que 
o volume total de um fluido incompressível, isto é, fluido que mantém constante a 
densidade apesar das variações na pressão e na temperatura, entrando no tubo será igual 
aquele que está saindo do tubo e 
o fluxo medido num ponto ao longo do tubo será igual ao fluxo num outro ponto ao longo 
do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente. 
Isto pode ser expresso numa equação da forma 
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante 
A equação da continuidade é uma ilustração da conservação da massa. 
EXEMPLO 17 
Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de diâmetro interno drena para outra pipa 
conectada de 22 cm de diâmetro interno. Se a velocidade da água através da pipa maior é 
5 cm s-1, determine a velocidade média na pipa menor. 
SOLUÇÃO 
Usando a equação da continuidade, temos 
A1 v1 = A2 v2 
 (12,5 cm)2 (5 cm s-1) =  (11,0 cm)2 (v2) 
Resolvendo para v2 dá v2 = 6,42 cm s-1. 
EXEMPLO 18 
Como variaria o resultado do EXEMPLO 20 se fosse usado óleo ao invés de água? 
SOLUÇÃO 
Não haveria alteração no resultado. A equação da continuidade 
é aplicável somente a fluidos que são incompressíveis, isto 
é, de densidade constante. O fator densidade está fora das 
relações entre a razão de fluxo volumétrico e velocidade de 
fluxo. 
EXEMPLO 19 
Assumindo o fluxo de um fluido incompressível, se a velocidade medida num ponto 
dentro de um vaso é 40 m s-1, qual é a velocidade num segundo ponto que tem um terço 
do raio original? 
SOLUÇÃO 
Este problema pode ser resolvido usando a equação da 
continuidade 
•  1 A1 v1 =  2 A2 v2 
onde  é a densidade do sangue, A é a área da seção 
transversal, v é a velocidade, e os subscritos 1 e 2 referem 
às localizações dentro do vaso. Desde que o fluxo sangüíneo 
é incompressível, temos 
 1 =  2 
e v1 = 40 cm s-1, A2 = A1/3 ou A1/A2 = 3. Resolvendo para 
v2 dá 
v2 = (A1 v1)/A2 = 3 v1 = 3 x 40 cm s-1 = 120 cm s-1 
Ver o EXEMPLO ILUSTRATIVO 9 
Ver o EXEMPLO ILUSTRATIVO 10 
4.8 PRINCÍPIO DE BERNOULLI 
O Princípio de Bernoulle, o equivalente nos fluidos à conservação da energia, estabelece 
que a densidade de energia de um fluxo de fluido através de um vaso rígido submetido a 
um gradiente de pressão, é igual à soma da densidade de energia de pressão, da densidade 
de energia cinética e da densidade de energia potencial gravitacional, ou 
 
• Ptotal = P + (1/2)  v2 +  g h = constante 
Uma importante aplicação do Princípio de Bernoulle envolve o fluxo de fluido através de 
um vaso com uma região de expansão ou contração. O Princípio de Bernoulle 
descrevendo o fluxo de fluido através de um vaso com súbitas variações na geometria 
pode ser expresso como 
( P + ½  v2 +  g h)1 = (P + ½  v2 +  g h)2 
onde 1 descreve a energia do fluxo de fluido na região normal do vaso e 2 descreve a 
energia do fluxo de fluido na região obstruída ou alargada. 
 
 
EXEMPLO 20 
Expressar a lei de Bernoulle como 
 
em termos da área transversal dos dois pontos dentro do vaso assumindo a energia 
potencial gravitacional igual a zero. 
SOLUÇÃO 
Baseado na equação da continuidade, temos 
A1 v1 = A2 v2 
 
Substituindo na expressão para o Princípio de Bernoulle, 
temos 
 
EXEMPLO 21 
O Princípio de Bernoulle pode ser aplicado numa seringa para descrever a dinâmica de 
uma injeção.Assumindo que 1 refere a posição dentro do corpo da seringa e 2 é a posição 
dentro do gargalo ou região anterior à entrada da agulha, derive uma expressão para a 
velocidade do fluido saindo do gargalo e entrando na agulha. 
SOLUÇÃO 
Este problema pode ser resolvido começando pelo Princípio 
de Bernoulle 
 
e resolvendo para v2, temos 
 
 
EXEMPLO 22 
Qual é a energia cinética por unidade de volume de sangue que tem uma velocidade de 
0,5 m s-1? (Nota:  sangue = 1.000 kg m-3.) 
SOLUÇÃO 
A energia cinética do sangue é dada por 
Ec = ½ m v2 = ½ ( V)v2 
Substituindo os valores dados no problema temos, 
 
Ver o exemplo ilustrativo 11 
4.9 - TEOREMA DE TORRICELLI 
O teorema de Torricelli é um caso especial do Princípio de Bernoulle e descreve a 
velocidade de um líquido fluindo de uma abertura num tanque cheio de líquido até uma 
altura h, como mostrado na Figura 5. A velocidade do lado de fora v de um líquido de 
uma abertura a uma distância h do nível da superfície do líquido é dado por 
v = 
EXEMPLO 23 
Derive as bases para o Teorema de Torricelli, isto é, 
v = 
SOLUÇÃO 
Considere um tanque cheio de água com uma abertura a uma 
distância h da superfície da água. A pressão da água na sua 
máxima altura é bastante suficiente para produzir um fluxo 
que sai exatamente igual ao que entra. Aplicações do 
Princípio de Bernoulle conduz 
 
com o ponto 1 na superfície da água a uma altura h acima do buraco e o ponto 2 no próprio 
buraco 
 
onde v é a velocidade do efluxo do buraco. Daí, resolvendo para v temos, 
v = 
EXEMPLO 24 
Como parte de sua tarefa agrícola, Jake está enchendo um cocho com água à razão de 10-
4 m s-1. Despercebido de Jake, existe um buraco circular de área transversal de 1 cm2 no 
cocho. Determine a altura máxima que a água atinge no cocho. 
SOLUÇÃO 
Este é um exemplo do Teorema de Torricelli. A velocidade de 
descarga do buraco é dada por 
v = 
No equilíbrio, v é a razão do influxo dividido pela área do 
buraco, ou 
v = (10-4 m3 s-1) / (10-4 m2) = 1,0 m s-1 
Portanto, a altura máxima da água no tanque é 
h = v2/2g = (1,0 m s-1)2 / (2 x 9,8 m s-2) = 5,1 cm 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
1. O volume de fluido fluindo 
 
4.10 ESCOAMENTO DE FLUIDOS REAIS 
O escoamento de um fluido ideal por um tubo horizontal pode ser mantido sem aplicação 
de forças externas, pois não existem forças dissipativas entre o fluido e o tubo, ou entre 
camadas adjacentes do próprio fluido. Isso, entretanto, não ocorre com fluidos reais. 
A viscosidade  de um fluido é uma propriedade inerente ao fluido que representa a 
resistência ao fluxo ou força de atrito contra o movimento do fluido ou de um objeto 
movendo-se nele em resposta a uma tensão de cisalhamento. A unidade SI para 
viscosidade é N s m-2 ou kg m-1 s-1. A viscosidade é tipicamente expressa em unidades de 
poise (P), onde 
1 poise (P) = 0,1 kg m-1 s-1. 
Colocar a Tabela 20.1 do p. 322 
Todos os líquidos se tornam mais viscosos com a diminuição da temperatura. Assim, 
quando uma pessoa entra em estado de choque devido a um acidente, por exemplo, a 
temperatura de seu corpo cai; consequentemente, aumenta a viscosidade do sangue. Isso 
pode produzir uma queda do fluxo sangüíneo. Essa é uma das razões pelas quais as 
vítimas de acidentes devem ser cobertas para evitar uma diminuição grande de suas 
temperaturas. 
4.10.1 - ESCOAMENTO LAMINAR 
Uma das conseqüências da existência da viscosidade num fluido é a variação da 
velocidade de escoamento das camadas de fluidos. Assim as 
velocidades em dois pontos distintos da mesma seção transversal será diferente. Um perfil 
dessas velocidades pode ser obtido colocando-se um corante num líquido em escoamento. 
O fluido que está em contato com a parede da tubulação está em repouso, e sua velocidade 
aumenta com a aproximação ao eixo, onde atinge o valor máximo. A diminuição da 
velocidade é produzida pela força de atrito tangencial entre duas camadas adjacentes do 
fluido que, por sua vez, é 
função do seu 
coeficiente de 
viscosidade. 
Quando a velocidade de 
fluxo através de uma 
seção é máxima no 
centro e decresce 
segundo uma parábola 
até zero na camada 
adjacente à parede do tubo, o escoamento se diz laminar. Nesse caso, o fluxo Q de um 
fluido com coeficiente de viscosidade  ao longo de um tubo cilíndrico rígido de raio R 
e comprimento L, sujeito a um gradiente de pressão externo e constante  P pode ser 
expresso como 
 
onde  é a viscosidade do fluido.Esta é a Lei de Pouseuille. 
Para mais detalhes sobre a Lei de Pouseuille clique aqui 
EXEMPLO 25 
Determine a variação na vazão para 
um decréscimo no gradiente de pressão por ½. 
um acréscimo na viscosidade por 2 
um decréscimo no tamanho do vaso por ½ 
um acréscimo no raio do vaso por 2 
SOLUÇÃO 
O efeito dos vários parâmetros no fluxo do fluido pode ser 
determinado pela análise de sua dependência qualitativa de 
acordo com a lei de Poiseuille: 
 
A vazão Q é diretamente dependente do gradiente de 
pressão  P. Assim, um decréscimo no gradiente de pressão 
por 1/2 implica  P = ( P/2). Substituindo na lei de 
Poiseuille dá 
 
Assim, um decréscimo no gradiente de pressão por 1/2 resulta 
num decréscimo na vazão por 1/2. 
A vazão Q é inversamente dependente da viscosidade do 
fluido  . Assim, um acréscimo na viscosidade do fluido por 
2 implica  = 2  
Substituindo na lei de Poiseuille, temos 
 
Assim, um aumento na viscosidade do fluido por 2 resulta num 
decréscimo na vazão por 1/2. 
A vazão Q é inversamente dependente do comprimento do vaso 
L. Assim, um decréscimo no comprimento do vaso por 1/2 
implica L = L/2 
Substituindo na lei de Poiseuille, temos 
 
Assim, um decréscimo no comprimento do vaso pela metade 
resulta num acréscimo da vazão por 2. 
A vazão Q é dependente do raio do vaso r à Quarta potência. 
assim, um acréscimo no raio do vaso por 2, implica em r = 
(2r)4 = 16 r4. 
Substituindo na lei de Poiseuille, encontramos 
 
Assim, um aumento no raio do vaso por 2 resulta num aumento 
de 16 vezes na vazão. 
EXEMPLO 26 
O sangue é bombeado do coração numa razão de 5 litros/min para o interior da aorta de 
raio 2,0 cm. Assumindo que a viscosidade e a densidade do sangue são 4 x 103 N s m-2 e 
1 x 103 kg m-3, respectivamente, determine a velocidade do sangue através da aorta. 
SOLUÇÃO 
A velocidade de fluxo sangüíneo está relacionada à razão de 
fluxo volumétrico por 
• v = (razão de fluxo)/(área de secção 
transversal) 
razão de fluxo = [(5 x 10-3 m3)/ min] . [1 min/60 s] = 8,33 
x 10-5 m3 s-1 
Área de seção transversal =  r2 = (3,14)(0,02)2 = 1,26 x 
10-3 m2 
Portanto, a velocidade do fluxo sangüíneo é 
v = 6,6 x 10-2 m s-1 ou 6,6 cm s-1. 
EXEMPLO 27 
O número de vasos sangüíneos capilares na circulação humana é 
aproximadamente 1 x 109 com diâmetro e comprimento de cada 
vaso sendo 8  m e 1 mm, respectivamente. Assumindo que a 
saída cardíaca é 5 litros min-1, determine: 
a velocidade média do fluxo sangüíneo através dos vasos 
capilares, 
o tempo que o sangue leva para atravessar um único vaso 
capilar e 
o tempo requerido para 1 ml de sangue fluir através de um 
único vaso capilar na vazão normal. 
SOLUÇÃO 
A velocidade do fluxo sangüíneo através dos vasos 
capilares pode facilmente ser determinada por 
 
O tempo que o sangue leva para atravessar um único vaso 
capilar é dado por 
 
O tempo requerido para 1 ml de sangue fluir através de um 
único vaso capilar numa vazão normal é 
t = (1,0 ml) / (1,66 ml s-1) = 0,60 s 
 
Muitas vezes é conveniente escrever a Lei de Poiseuille na seguinteforma: 
 onde 
 
é definida como a resistência de uma tubulação, de comprimento L e raio r, ao fluxo de 
viscosidade  . Essa definição continua válida mesmo para uma rede de tubos e R 
representa a resistência total da rede. 
EXEMPLO 28 
Qual será o gradiente da pressão do sangue ao longo de um capilar de raio igual a 4  m, 
se a velocidade média de escoamento for 0,33 mm/s? A viscosidade do sangue a 37 ºC é 
4 x 10-3 kg/(m.s) 
Solução 
Sabemos da Lei de Poiseuille que 
 
EXEMPLO 29 
Qual é a vazão sangüínea através da aorta de um adulto, sabendo-se que o raio da aorta é 
1 cm e a velocidade média de escoamento laminar é 0,30 m/s? 
Solução 
A lei de Poiseuille nos dá 
= 
4.10.2 - ESCOAMENTO TURBULENTO 
Em geral um fluido escoa laminarmente quando sua velocidade não é muito grande e o 
tubo é liso, sem protuberâncias. Entretanto, se a velocidade de fluxo atingir valores acima 
de certo limite (que depende de diversos fatores, como a natureza do fluido e sua 
temperatura), o fluido pode escoar de maneira irregular com formação de redemoinhos, 
resultado da mistura entre camadas adjacentes de fluido. A esse tipo de escoamento dá-
se o nome de turbulento. Osborne Reynolds mostrou que, de modo geral, um escoamento 
por um tubo regular e retilíneo de diâmetro D deixa de ser laminar quando o número de 
Reynolds, definido por: 
 
for maior que um valor crítico. Esse valor depende basicamente da natureza do fluido, do 
formato e da superfície interna do tubo de escoamento. Para um grande número de fluidos, 
seu escoamento por tubo de seção circular torna-se turbulento para  > 2.000. 
A velocidade média crítica para determinado fluido que escoe numa dada tubulação, 
acima da qual o escoamento passa a ser turbulento é 
 
EXEMPLO 30 
O diâmetro da aorta de um adulto é da ordem de 2,2 cm. A velocidade sistólica média 
vsis do sangue é cerca de 60 cm/s. Considere a densidade do sangue igual à da água e sua 
viscosidade igual a 0,004 kg/(m.s). Determine se o fluxo do sangue na aorta é laminar ou 
turbulento. 
Solução 
O número de Reynolds dá 
 
Portanto, o fluxo do sangue é turbulento na aorta.