Estática dos fluidos

Prévia do material em texto

Mecânica dos fluidos 
Professor: Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira 
 prof.ricardooliveira@uninga.edu.br 
Estática dos fluidos 
1. Pressão 
 A pressão é definida como uma força normal 
exercida por um fluido por unidade de área. 
 
 
 
 A pressão real em determinada posição é 
denominada de pressão absoluta, e é medida com relação 
ao vácuo absoluto (pressão absoluta zero). No entanto, os 
instrumentos de medição de pressão são calibrados para 
ler o zero na atmosfera. Essa diferença de pressão é 
denominada pressão manométrica. 
 
 
 As pressões abaixo da pressão atmosférica são 
denominadas de pressão de vácuo e são medidas por 
medidores de vácuo como a diferença entre a pressão 
atmosférica e a pressão absoluta. 
𝐏 =
𝐅
𝐀
 
𝐏𝐦𝐚𝐧 = 𝐏𝐚𝐛𝐬 − 𝐏𝐚𝐭𝐦 
𝐏𝐯á𝐜 = 𝐏𝐚𝐭𝐦 − 𝐏𝐚𝐛𝐬 
1. Pressão 
2. A variação de pressão com a profundidade (Teorema 
de Stevin) 
A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em 
repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela 
diferença de cotas dos dois pontos. 
Demonstração: Considere um recipiente que contém um fluido e dois pontos 
genéricos M e N. Por esses pontos, considere um cilindro, cuja área da base é dA, 
em torno do eixo MN. 
Oriente o eixo de MN de N para M, e considere 𝛼 o ângulo formado com a 
horizontal. Sejam 𝑧𝑁 𝑒 𝑧𝑀 as cotas dos pontos N e M, respectivamente. Assim, 
ℎ = 𝑧𝑀 − 𝑧𝑁 = 𝑙 sen(𝛼) 
Por hipótese o fluido está em repouso, logo a resultante das forças 
que atuam no cilindro em qualquer direção deve ser nula (2º Lei de 
Newton). As forças que agem são: 
 𝑑𝐹𝑁 = 𝑃𝑁𝑑𝐴 no ponto N; 
 𝑑𝐹𝑀 = 𝑃𝑀𝑑𝐴 no ponto M; 
 𝐹 = 𝐹 𝑑𝐴 na superfície lateral; 
 𝑑𝐺 = Peso do fluido contido no cilindro = Volume de fluido ×
Peso específico = 𝑙 × 𝑑𝐴 × 𝛾; 
Vamos projetar todas as forças na direção do eixo NM. As forças 
que agem na superfície lateral terão componentes nulas sobre o 
eixo NM. 
 F = 0 (fluido em repouso) 
PNdA − PMdA − dG sen α = 0 
PNdA − PMdA − γ l dA sen α = 0 
PN − PM − γ l sen α dA = 0 
PN − PM − γ l sen α = 0 
PN − PM = γ l sen α 
𝐏𝐍 − 𝐏𝐌 = 𝛄. 𝐡 = 𝛄. 𝐡𝐦 − 𝐡𝐧 
É importante destacar que: 
 
(i) Na diferença de pressão entre dois pontos não 
interessa a distância entre eles, mas a diferença de 
cotas; 
 
(ii) A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível 
horizontal é a mesma; 
 
(iii) O formato do recipiente não é importante para o 
cálculo da pressão em algum ponto (Princípio dos 
vasos comunicantes) 
(iv) Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num 
recipiente for nula, a pressão num ponto à profundidade h dentro 
do líquido será dada por: 
P = γ h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(v) Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença 
de cota entre dois pontos não é muito grande, pode-se desprezar 
a diferença de pressão entre eles. 
Exemplo 1: Um reservatório aberto em sua superfície possui 8 m 
de profundidade e contém água, determine a pressão hidrostática 
no fundo do mesmo. 
Exemplo 2: As estruturas apresentadas abaixo estão cheias de 
água. As áreas das seções transversais indicadas (metade da 
altura) são 2 m2, 10 m2 e 12 m2, para as estruturas I, II e III, 
respectivamente. Sabendo-se que a pressão relativa no ponto MI 
é 2000 Pa, determine as pressões relativas, em Pa, nos pontos 
MII e MIII. 
Exemplo 3: A pressão medida em um ponto no fundo do 
oceano foi de 100 atm. Sabe-se que: 
(1) a pressão atmosférica local equivale a 1 atm = 105 Pa; 
(2) a massa específica da água vale 1,05 x 103 kg/m3 
(3) a aceleração da gravidade local é de 10 m/s2. 
 A profundidade, em relação ao nível do mar, onde foi 
feita a medição da pressão equivalente, em metros, é 
(A) 9,9 x 10 
(B) 1,05 x 102 
(C) 9,4 x 102 
(D) 9,9 x 102 
(E) 1,05 x 103 
 
3. Lei de Pascal 
 A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso 
transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido. 
 Em (a), o fluido apresenta uma superfície livre à 
atmosfera e supõe-se que as pressões nos pontos indicados 
sejam: P1 = 1 N/cm
2 , P2 = 2 N/cm
2 , P3 = 3 N/cm
2 e P4 =
4 N/cm2. 
 Ao aplicar a força de 100N, por meio do êmbolo, tem-se 
um acréscimo de pressão de 20 N/cm2 e passamos a ter os 
seguintes valores: 
 P1 = 21 N/cm
2 
P2 = 22 N/cm
2 
P3 = 23 N/cm
2 
P4 = 24 N/cm
2. 
Exemplo 4: Um carro encontra-se suspenso por meio de 
uma prensa hidráulica, conforme mostrado na figura acima. 
O diâmetro, d1, do êmbolo maior que sustenta o carro é 
igual a 40 cm. O diâmetro, d2, do êmbolo menor, é igual a 5 
cm. Considere o fluido interno na prensa ideal e as massas 
dos êmbolos desprezíveis. Se a massa do carro é de 1.600 
kg, qual é o valor da massa do contrapeso, em kg, para 
manter o carro suspenso e em equilíbrio? 
Exemplo 5: A figura mostra, esquematicamente, uma prensa 
hidráulica. Os dois êmbolos têm, respectivamente, as áreas de 
𝐴1 = 10 𝑐𝑚
2e 𝐴2 = 100 𝑐𝑚
2. Se for aplicada uma força de 200 N 
no êmbolo (1), qual será a força transmitida em (2)? 
4. Carga de pressão 
 Segue do Teorema de Stevin que a altura e a 
pressão mantêm uma relação constante para um mesmo 
fluido: 
𝑃
𝛾
= ℎ 
 Essa altura, que, multiplicada pelo peso específico 
do fluido, reproduz a pressão num certo ponto e é chamada 
de “carga de pressão”. 
Segue, para o recipiente acima, que: 
 𝑃𝐴 = 𝛾. ℎ𝐴 
 𝑃𝐵 = 𝛾. ℎ𝐵 
 No caso de um conduto fechado, como 
apresentado abaixo: 
 Abrindo-se um orifício no contudo, verifica-se que, se a 
pressão interna for maior que a externa, um jato de líquido será 
lançada para cima. 
 
 Se esse jato for canalizado por meio de um tubo de vidro, 
verifica-se que o mesmo subirá até uma altura h. Essa coluna de 
líquido deverá equilibrar exatamente a pressão P do conduto. 
Assim, 
𝐏𝐜𝐨𝐧𝐝𝐮𝐭𝐨 = 𝛄𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐨 × 𝐡𝐜𝐨𝐥𝐮𝐧𝐚 
5. Escalas de pressão 
 Pressão absoluta: medida em relação ao vácuo ou 
zero absoluto; 
 
 Pressão efetiva: medida adotando-se a pressão 
atmosférica como referência; 
Pabs = Patm + Pef 
6. O barômetro 
 A pressão atmosférica é medida pelo barômetro. Se 
um tubo cheio de líquido, fechado na extremidade inferior e 
aberto na superior, for virado dentro de uma vasilha do 
mesmo líquido, ele descerá até certa posição e nela 
permanecerá em equilíbrio. 
Como as pressões no ponto A e no ponto 0 são iguais, 
segue que: 
𝐏𝟎 = 𝐏𝐚 = 𝐏𝐚𝐭𝐦 
Experimento de Torricelli 
7. Fluidos incompressíveis e imiscíveis superpostos 
 Em situação de equilíbrio estável, o fluido mais 
denso irá para o fundo do recipiente. Assim, o cálculo da 
pressão no interior de um desses fluidos deve levar em 
conta a presença dos outros existentes sobre ele. 
𝐏𝐄 = 𝐏𝟎 + 𝛄𝟏𝐡𝟏 + 𝛄𝟐(𝐡𝟐+𝐡𝟑) + 𝛄𝟑𝐡𝟒 
Exemplo 7: Um tanque fechado contém três líquidos 
imiscíveis, de densidades relativas como apresentados na 
figura abaixo. Desprezando o peso específico do ar, 
determine a pressão na superfície livre (A), sabendo que no 
fundo (D) a pressão é 10 kgf/cm2. Considere os líquidos 
incompressíveis. 
Exemplo 8: Considere que a Lagoa Rodrigo de Freitas, no 
Rio de Janeiro, tenha uma profundidade máxima de 20 m e 
esteja submetida a uma pressão atmosférica média de 90 
kPa. Nessa situação, e assumindoque o peso específico da 
água igual seja 10.000 N/m3 e que 105Pa = 1 bar, o valor da 
pressão absoluta em kPa na profundidade máxima é igual a: 
(A) 250 
(B) 270 
(C) 280 
(D) 290 
(E)300 
Exemplo 9: A figura abaixo ilustra um recipiente cilíndrico 
totalmente fechado, contendo gás e óleo. A, B e C são 
pontos no interior do recipiente, estando A no seu tampo, C 
na sua base e B na interface gás-óleo. As massas 
específicas do óleo e do gás valem, respectivamente, 0,8 
g/cm3 e 0,01 g/cm3. Sabendo-se que a pressão no ponto A 
vale 6 kPa e que a gravidade local vale 10 m/s2, conclui-se 
que a pressão no ponto C, em kPa, vale 
(A) 4,0 
(B) 6,0 
(C) 6,4 
(D) 10,0 
(E) 10,4 
Exemplo 10: Calcular, em N/m2, a pressão que exerce uma 
determinada quantidade de petróleo sobre o fundo de um 
poço, se a altura do petróleo no poço for igual a 10m e a 
sua massa específica é 800 kg/m3. 
Exemplo 11: No tubo em U da figura abaixo, tem-se água e 
óleo em equilíbrio. Sendo hA = 10cm a altura da água, 
determine a altura hB do óleo, sendo dados: dágua = 1 e dóleo = 
0,8. 
8. Manômetros 
 Manômetros são instrumentos que usam colunas de 
líquido para medir pressão. As figuras abaixo apresentam 
manômetros em U. 
 
 
 
 
 
 
 
 O fluido manométrico empregado, em geral, é o mercúrio, 
por apresentar alto peso específico. Os manômetros em U ligados 
a dois reservatórios, ao invés de abertos a atmosfera, são 
denominados manômetros diferenciais. 
 A equação manométrica é uma expressão 
matemática na qual determina a pressão em um reservatório 
ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. 
(i) Pressão no fundo do ramo esquerdo 
Pfundo esquerdo = PA + γA h1 − h2 + h2γM 
(ii) Pressão no fundo do ramo direito 
Pfundo direito = PB + γB h4 − h3 + h3γM 
 Do Teorema de Stevin a pressão no plano horizontal do 
fundo é a mesma e, ainda, temos o sistema está em equilíbrio. 
Logo, 
𝑃fundo esquerdo = 𝑃fundo direito 
PA + γA h1 − h2 + h2γM = PB + γB h4 − h3 + h3γM 
PB = PA + γA h1 − h2 − γB h4 − h3 − (h3 −ℎ2)γM 
De um modo geral 
Resolução de problemas envolvendo manômetros 
 
1) Começar numa extremidade e escrever a pressão do local 
numa escala apropriada, ou indicá-la por um símbolo apropriado 
se a mesma for uma incógnita. 
2) Somar à mesma a variação de pressão, na mesma unidade, 
de um menisco até o próximo. 
3) Continuar desta forma até alcançar a outra extremidade do 
manômetro e igualar a expressão à pressão neste ponto, seja a 
mesma conhecida ou incógnita. 
 
Menisco acima  pressão diminui 
Menisco abaixo  pressão aumenta 
Exemplo 12: (CESGRANRIO) 
A figura acima ilustra um manômetro com tubo em U, muito 
utilizado para medir diferenças de pressão. Considerando que os 
pesos específicos dos três fluidos envolvidos estão indicados na 
figura por γ1, γ2, e γ3, a diferença de pressão 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵corresponde a 
Exemplo 13: (CESGRANRIO) Considerando que no 
manômetro diferencial, ilustrado na figura, o fluido 1 possui 
peso específico de 10.000 N/m3, o fluido 2, de 136.000 N/m3, 
e o fluido 3, de 7.000 N/m3, o módulo da diferença de 
pressão, Pa − Pb, em kPa, é 
(A) 5,6 
(B) 17,0 
(C) 98,6 
(D) 133,4 
(E) 153,0 
Exemplo 14: Na figura abaixo, todos os fluidos estão a 
20ºC. Determine a diferença de pressão entre os pontos A e 
B. Dados: 𝛾𝑎𝑟 = 16,3 𝑁𝑚
−3 e g = 10 𝑚. 𝑠−2. 
Exemplo 15: No manômetro da figura abaixo, o fluido A é 
água é o fluido B, mercúrio. Determine a pressão efetiva no 
ponto 1. 
Exemplo 16: Considere o esquema a seguir. Considerando 
que a densidade do óleo é 0,85, determine a pressão efetiva 
do ar. 
Exemplo 17: Considere o esquema do exemplo 16 
determine a pressão efetiva no ponto M. 
Exemplo 18: Considere o esquema apresentado na figura 
abaixo. 
 Para ele determine: 
a) A pressão lida no manômetro metálico. 
b) A força que age sobre o topo do reservatório. 
Exemplo 19: O sistema da figura abaixo está aberto a 1 atm 
no lado direito. 
(a)Se L= 120 cm, qual é a pressão do ar no recipiente A? 
(b)PA = 135 kPa, qual é o comprimento L? 
Exemplo 20: A medição da massa específica, 𝜌𝑜 , de 
determinado óleo pode ser feita por meio da utilização de 
um tubo vertical em U, com uma quantidade de água cuja 
massa específica, 𝜌𝑎, é conhecida. Quantidades diferentes 
do óleo são depositadas nos dois braços do tubo em U, e as 
alturas das colunas de óleo e água podem ser utilizadas 
para se determinar 𝜌𝑜. Uma ilustração desse equipamento é 
mostrada na figura a seguir. 
Considerando-se a figura e as 
informações do texto acima, e os 
princípios da estática dos fluidos, 
determine 
𝜌𝑜
𝜌á𝑔𝑢𝑎
.