Dedução da Equação da Continuidade e de Bernoulli

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Regime Acadêmico Emergencial por Modalidades e Fases 
HIDRÁULICA I 
Acadêmico: Alexandre Gimenez Monge Atividade 2 
 
1. Dedução da equação da continuidade. 
O princípio da conservação da massa diz que a massa de um fluido dentro de um volume 
de controle é conservada (ÇENGEL e CIMBALA, 2015). Assim, pela Figura 1 pode-se 
afirmar que a quantidade de massa (vazão em massa) que entra no volume de controle 
é a mesma que sai. 
Figura 1 – Tubulação com variação de diâmetros, destaca-se o volume de controle. 
 
Fonte: Adaptado de Brunetti (2008). 
Se a massa específica do fluido permanece constante, 𝜌1 = 𝜌2, condição válida para 
fluidos incompressíveis, afirma-se que: 
∑ �̇�
entra
= ∑ �̇�
sai
 
1.1 
O símbolo �̇� corresponde a vazão em massa. O escoamento é unidimensional, isto é, 
ocorre em apenas uma direção e sentido, elimina-se os somatórios da Equação 1.1 e 
tem-se que: 
�̇�entra = �̇�sai 1.2 
A fórmula da vazão em massa pode ser escrita como �̇� = 𝜌 ⋅ Vmed ⋅ A. Na qual, 𝜌 é a 
massa específica do fluido, Vmed a velocidade média e A a área da seção do tubo. 
Portanto, a equação 1.2, pode ser escrita como: 
𝜌1 ⋅ Vmed1 ⋅ 𝐴1 = 𝜌2 ⋅ Vmed2 ⋅ 𝐴2 1.3 
Se 𝜌1 = 𝜌2, a Equação 1.3 resulta em: 
Vmed1 ⋅ 𝐴1 = Vmed2 ⋅ 𝐴2 1.4 
Por conseguinte, a equação da continuidade relaciona a velocidade escoamento de um 
fluido com a área disponível para tal escoamento. 
2. Dedução da equação de Bernoulli. 
A equação de Bernoulli é relacionada com a conservação da energia. Ela representa uma 
relação aproximada entre a pressão, velocidade e a cota de elevação, é válida em regiões 
de escoamento incompressível e em regime permanente, onde as forças de atrito 
resultantes são desprezíveis (ÇENGEL e CIMBALA, 2015). Para deduzir a equação de 
Bernoulli, leva-se em consideração a Figura 2. 
Figura 2 – Escoamento de regime permanente ao longo de uma linha de corrente 
 
Fonte: Adaptado de Çengel e Cimbala (2015). 
Aplica-se a Segunda Lei de Newton: 
𝛴𝐹𝑠 = 𝑚 ⋅ 𝑎𝑠 2.1 
𝐹𝑠 é a força que atua na direção s, m é a massa e a𝑠 é a aceleração na direção s. As duas 
forças significativas, por causa das condições adotadas, são as de pressão (𝑃 ⋅ ⅆ𝐴 −
(𝑝 + dP) ⋅ ⅆ𝐴) e a componente de força peso na direção da linha de corrente (−W ⋅
sen 𝜃). Faz-se o somatório das forças do lado esquerdo da Equação 2.1 e a aplicação da 
regra da cadeia do lado direito: 
𝑃 ⋅ ⅆ𝐴 − (P + dP) ⋅ ⅆ𝐴 − W ⋅ sen 𝜃 = m ⋅ V ⋅
dV
d𝑠
 
2.2 
P é a pressão, dP é a variação de pressão, dA é uma área infinitesimal, W.senӨ é o peso 
da partícula, m é a massa, V é a velocidade infinitesimal e 
dV
d𝑠
 representa a aceleração do 
volume de controle, em relação a regra da cadeia. É sabido que m = ρV– = ρd.A.ds e 
que o peso da partícula é W = mg = ρ.g.dA.ds e senθ = 
dz
d𝑠
. Lembrando também que a 
velocidade 
ds
dt
 = V. A Equação 2.2 pode ser expressa como: 
−dP ⋅ ⅆ𝐴 − 𝜌 ⋅ g ⋅ 𝐴 ⋅ ⅆs ⋅
ⅆ𝑧
d𝑠
= 𝜌 ⋅ ⅆ𝐴 ⋅ ⅆs ⋅ 𝑉 ⋅
ⅆV
ⅆ𝑠
 
2.3 
Simplicando os temos de dA e os de ds, tem-se: 
−dP − 𝜌 ⋅ g ⋅ 𝐴 ⋅ ⅆz = 𝜌 ⋅ 𝑉 ⋅ dV 2.4 
Divide-se cada termo da Equação 2.4 por 𝜌 e g e adota-se V ⋅ ⅆV =
1
2
ⅆ(V2): 
ⅆ𝑝
𝜌 ⋅ g
+
1
2g
d(V2) + ⅆ𝑧 = 0 
2.5 
Integra-se a Equação 2.5, com 𝜌 sendo constante devido as considerações iniciais: 
𝑃
𝜌 ⋅ g
+
V2
2 ⋅ g
+ 𝑧 = 𝑐onstante (ao longo de uma linha de corrente) 
2.6 
Cada termo da Equação 2.6 está associado a um tipo de energia do escoamento: 
𝑃
𝜌⋅g
 a 
uma carga de pressão, 
V2
2⋅g
 a uma carga cinética e z a uma carga de energia potencial 
gravitacional. Entre dois pontos quaisquer (1 e 2) de uma linha de corrente, a energia 
total é a mesma, assim escreve-se a Equação 2.6 como: 
𝑧1 +
V1
2
2 ⋅ g
+
𝑃1
2
𝜌 ⋅ g
= 𝑧2 +
V2
2
2 ⋅ g
+
𝑃2
2
𝜌 ⋅ g
 
2.7 
Onde 𝜌 é a massa específica do fluido, g é a gravidade, 𝑧1 e 𝑧2 são as cotas de elevação, 
V1 e V2 as velocidades e P1 e P2 as pressões, em cada ponto. Ainda é valido escrever a 
Equação 2.7 mais simplificada, considerando cada lado da Equação 2.7 como cargas 
(H) de energia. 
H1 = H2 2.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Referências 
 
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. 2ª ed. São Paulo, SP: Pearson, 2008. 
 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 
3ª ed. São Paulo, SP: McGraw-Hill, 2015.