Senóides e Fasores Slides (PUC PR) Alessandro L. Koerich Circuitos Elétricos

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Circuitos Elétricos
Senoides e Fasores
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução
• Corrente contínua x corrente alternada.
– VerWar of Currentes
• Análise de circuitos onde a fonte de tensão ou corrente
varia no tempo.
• Em particular, nosso interesse é em fontes variantes no 
tempo de forma senoidal.
• Uma senoide é um sinal que tem a forma de uma função
seno ou coseno.
Introdução
• Uma corrente senoidal é normalmente chamda de 
corrente alternada (ca) (alternating current – ac).
• A corrente é revertida em intervalos de tempo regulares
e tem, alternadamente, valores positivos e negativos.
Senóides
• Considere a tensão senoidal
ݒ ݐ = ௠ܸݏ݁݊߱ݐ
onde
– Vm = amplitude da senóide
– ω = frequência angular em radianos/s
– ωt = argumento da senóide
– A senóide se repete a cada T segundos, logo T é chamado de
período da senóide.
– Temos a relação:
ܶ = 2ߨ߱
Senóides
• Como v(t) se repete a cada T segundos:
• Uma função periódica é aquele que satisfaz 
para todo t e para todos inteiros n.
• Vamos considerar agora uma expressão mais geral para 
a senoide:
௠
onde é o argumento e é a fase.
Senóides
• Considerando duas senóides:
1 ௠ 2 ௠
2 ocorre primeiro tempo. Portanto 2 está na frente de
1 por ϕ ou 1 está atrasada de 2 por ϕ.
Senóides
• Se ߮ ≠ 0, ݒ1	e ݒ2	estão fora de fase.
• Se ߮ = 0, ݒ1	e ݒ2	estão em fase.
• Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno e 
cosseno. Podemos usar as seguintes identidades
trigonométricas:
ݏ݁݊ ܣ ± ܤ = ݏ݁݊	ܣ cos ܤ ± cos ܣ	ݏ݁݊	ܤ
ܿ݋ݏ ܣ ± ܤ = cos ܣ cos ܤ ∓ senܣ	ݏ݁݊ܤ
• Com estas identidades…
 ݏ݁݊ ߱ݐ ± 180݋ = −ݏ݁݊߱ݐ
 ܿ݋ݏ ߱ݐ ± 180݋ = −ܿ݋ݏ߱ݐ
 ݏ݁݊ ߱ݐ ± 90݋ 			= 	±ܿ݋ݏ߱ݐ
 ܿ݋ݏ ߱ݐ ± 90݋ 				= ∓ݏ݁݊߱ݐ
Senóides
• Para adicionar duas senoides de mesma frequência:
onde
2 2 ିଵ
Fasores
• Senoides podem ser expressar em termos de fasores, 
que são convenientes para trabalhar com funções seno
e cosseno.
• Fasor é um número complexo que representa a 
amplitude e fase de uma senoide.
• Um número complexo z pode ser escrito na forma 
retangular como:
onde ; x é a parte real de z; y é a parte 
imaginária de z.
Fasores
• O número complexo z pode ser escrito na forma polar como:
ݖ = ݎ ߮ =⁄ ݎ݆݁߮
onde r é a magnitude de z e ϕ é a fase de z. z pode ser
representado em três formas:
retangular: ݖ = ݔ + ݆ݕ
polar: ݖ = ݎ ߮⁄
exponencial: ݖ = ݎ݆݁߮
• Se conhecemos x e y, a relação entre a forma polar e 
retangular é:
ݎ = ݔ2 + ݕ2
߮ = ݐܽ݊ିଵ ݕݔ
Fasores
• Se conhecemos r e ϕ, podemos obter x e y:
• Então, z pode ser escrito como:
Fasores
• Operações:
• OBS: notar que ଵ௝ = −݆
Fasores
• A idéia da representação por fasores é baseada na
identidade de Euler:
±௝ఝ
• O que mostra que podemos tratar e como as 
partes real e imaginária de ௝ఝ. Podemos escrever:
௝ఝ
௝ఝ
• Dada uma senoide ݉ , podemos
expressá-la por:
݉ ௠ ௝ ఠ௧ାఝ
Fasores
ou
ݒ ݐ = Re( ௠ܸ݁௝ఝ݁௝ఠ௧)
então
ݒ ݐ = Re(܄݁௝ఠ௧)
onde
܄ = ௠ܸ݁௝ఝ = ܸ݉ ߮⁄
• V é portanto a representação fasorial da senoide v(t).
Fasores
• Suprimindo o fator tempo, transformamos a senoide do 
dominio do tempo para o dominio do fasor:
௠ ݉
• Note que fator ௝ఠ௧ foi suprimido
e a frequencia não aparece no
fasor, pois é constante, porém a
resposta depende dela, por isso,
o domínio fasor é também
conhecido como domínio da
frequencia. 
Fasores
Fasores
• Das equações anteriores temos:
ݒ ݐ = Re ܄݁௝ఠ௧ = ܸ݉ܿ݋ݏ ߱ݐ + ߮
então:
݀ݒ
݀ݐ = −ܸ߱݉ݏ݁݊ ߱ݐ + ߮ = ܸ߱݉ܿ݋ݏ ߱ݐ + ߮ + 90
݋
= Re ωܸ݉݁௝ఠ௧݁௝ఝ݁௝ଽ଴௢ = Re	 ݆߱܄݁௝ఠ௧
• Isso mostra que:
݀ݒ
݀ݐ 			⟺ 		݆߱܄
• Do mesmo modo:
නݒ݀ݐ 			⟺		 ܄݆߱
Fasores
• As equações anteriores são úteis para encontrar a 
solução em regime permanente, sem precisar conhecer
as condições iniciais das variáveis envolvidas.
• As diferenças entre v(t) e V são:
1. v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, 
enquanto V é a representação fasor ou no domínio da 
frequencia.
2. v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é.
3. v(t) é sempre real sem termo complexo, enquanto V é 
geralmente complexo.
• Atenção! A análise de fasores somente se aplica
quando a frequência é constante e é a mesma para dois
ou mais sinais senoidais.
Fasores e Elementos de Circuitos
• Transformar a relação tensão-corrente do domínio do 
tempo para o domínio da frequência.
• Novamente, assumimos a convenção de sinais para os
elementos passivos.
• Para o resistor, assumindo que a corrente através dele é 
௠ , a tensão sobre ele será:
ݒ = ܴ݅ = ܴܫ௠ܿ݋ݏ	 ߱ݐ + ߮ = ܴܫ௠ ߮⁄
• Mas a representação fasor da corrente é ۷ = ܫ௠ ߮⁄ , então:
܄ = ܴ۷
Fasores e Elementos de Circuitos
• Relação tensão-corrente para o RESISTOR no domínio do tempo e 
da frequência.
• Diagrama de fasores para o RESISTOR:
Fasores e Elementos de Circuitos
• Para o indutor, assumindo que a corrente através dele é 
௠ , a tensão sobre ele será:
ݒ = ܮ ݀݅݀ݐ = −߱ܮܫ௠ݏ݅݊	 ߱ݐ + ߮ = ߱ܮܫ௠ܿ݋ݏ	 ߱ݐ + ߮ + 90
o
• Sendo a representação fasor:
܄ = ߱ܮܫ௠݁௝(ఝାଽ଴୭) = ߱ܮܫ௠݁௝ఝ݁௝ଽ଴୭ = ߱ܮܫ௠ ߮ + 90o⁄
• Mas a representação fasor da corrente é ۷ = ܫ௠ ߮⁄ e ݁௝ଽ଴୭ = ݆ ,
então:
܄ = ݆߱ܮ۷
Fasores e Elementos de Circuitos
• Relação tensão-corrente para o INDUTOR no domínio do tempo e 
da frequência.
• Diagrama de fasores para o INDUTOR:
Fasores e Elementos de Circuitos
• Para o capacitor, assumindo que a tensão sobre ele é 
௠ , a corrente sobre ele será:
݅ = ܥ ݀ݒ݀ݐ
• Seguindo os mesmos passos anteriores, temos a representação
fasor:
۷ = ݆߱ܥ܄									 ⟹ 												܄ = ۷݆߱ܥ				
Fasores e Elementos de Circuitos
• Relação tensão-corrente para o CAPACITOR no domínio do tempo 
e da frequência.
• Diagrama de fasores para o CAPACITOR:
Fasores e Elementos de Circuitos
• Resumo das relações tensão-corrente:
Impedância e Admitância
• A partir da relação tensão-corrente para os três elementos passivos:
܄ = ܴ۷										܄ = ݆߱ܮ۷													܄ = ۷௝ఠ஼
temos:
܄
۷ = ܴ															
܄
۷ = ݆߱ܮ																	
܄
۷ =
ଵ
௝ఠ஼
• Podemos então obter a lei de Ohm na forma fasor para qualquer tipo de 
elemento, como:
܈ = ܄۷ 													ou												܄ = ܈۷
onde Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida como
impedância, medida em ohms (Ω).
Impedância e Admitância
• A impedância Z de um circuito é a relação entre a tensão fasor V e 
a corrente fasor I, medida em ohms (Ω).
• Da tabela, temos que para ߱ = 0 (܈௅ = 0, ܈஼ → ∞) e para ߱ →
∞(܈௅ → ∞, ܈஼ = 0), assim:
Impedância e Admitância
• Sendo uma quantidade complexa, a impedância pode ser expressa na
forma retangular:
܈ = ܴ + ݆ܺ
onde ܴ = Re(܈) é a resistência e ܺ = Im(܈)	é a reatância.
• Observe que a reatância ܺ pode ser positiva (reatância indutiva) ou
negativa (reatância capacitiva), pois:
܈஼ =
−݆
߱ܥ
então:
܈ = ܴ + ݆ܺ (reatância indutiva – corrente atrasada em relação a tensão)
܈ = ܴ − ݆ܺ (reatância capacitiva – corrente adiantada em relação a tensão)
• A impedância Z pode também ser escrita na forma polar:
܈ = ܈ ߠ⁄
Impedância e Admitância
onde:
܈ = ܴ + ݆ܺ = ܈ ߠ⁄
e:
܈ = ܴଶ + ܺଶ																		ߠ = ݐܽ݊ିଵ ܴܺ
ܴ = ܈ ܿ݋ݏߠ												ܺ = ܈ ݏ݁݊ߠ
• As vezes é conveniente utilizar o reciproco da impedância, chamada
de admitância.
Impedância e Admitância
• A admitância Y é reciproca à impedância, medida em siemens (S).
܇ = 1܈ =
۷
܄
• e pode ser escrita:
܇ = ܩ + ݆ܤ
onde ܩ = Re(܇) é a condutância e ܤ = Im(܇)	é a susceptância.
• Relacionando Y e Z:
ܩ + ݆ܤ = 1ܴ + ݆ܺ
temos os termos real e imaginário:
ܩ = ܴܴଶ + ܺଶ 															ܤ = −
ܺ
ܴଶ + ܺଶ
Leis de Kirchhoff no Domínio da 
Frequência
• Para analisar circuitos no domínio da frequênciadevemos expressar as 
Leis de Kirchhoff no domínio da frequência:
ݒଵ + ݒଶ + ⋯+ ݒ௡ = 0
• No regime permanente senoidal:
௠ܸଵcos	(߱ݐ + ߠଵ) + ௠ܸଶcos	(߱ݐ + ߠଶ) + ⋯+ ௠ܸ௡cos	(߱ݐ + ߠ௡) = 0
Re( ௠ܸଵ݁௝ఏଵ݁௝ఠ௧) + Re( ௠ܸଶ݁௝ఏଶ݁௝ఠ௧)+…+Re( ௠ܸ௡݁௝ఏ௡݁௝ఠ௧) = 0
Re[( ௠ܸଵ݁௝ఏଵ + ௠ܸଶ݁௝ఏଶ + …+ ௠ܸ௡ ݁௝ఏ௡)݁௝ఠ௧] = 0
• Se ௞ܸ = 	 ௠ܸ௞݁௝ఏ௞, então:
Re[(܄ଵ + ܄ଶ + …+ ܄௡ )݁௝ఠ௧] = 0
• Como ݁௝ఠ௧ ≠ 0, então:
܄ଵ + ܄ଶ + …+ ܄௡ = 0
uu seja, a LTK se mantém para fasores.
Leis de Kirchhoff no Domínio da 
Frequência
• Podemos adotar um procedimento similar para mostrar que a LCK 
se mantém para fasores:
݅ଵ + ݅ଶ + ⋯+ ݅௡ = 0
• Se I1, I2, …, In são a forma fasor das senoides i1, i2, …, in, então:
۷ଵ + ۷ଶ + …+ ۷௡ = 0
que é a LCK no domínio da frequência.
Combinação de Impedâncias
• Em série:
܈܍ܙ = ܈ଵ + ܈ଶ + …+ ܈ே = 0
• Em paralelo:
૚
܈܍ܙ =
1
܈ଵ +
1
܈ଶ + ⋯+
1
܈ே
܇܍ܙ = ܇ଵ + ܇ଶ + …+ ܇ே = 0
Combinação de Impedâncias
• Transformações Delta-Y e Y-Delta: