teoria de erros slides

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02/03/2015
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Tratamento de Dados 
Experimentais à Luz da 
Teoria de Erros
Tanto os instrumentos quanto os métodos
empregados na medida de grandezas
físicas são, em geral, imperfeitos, de
modo que não nos permitem obter o valor
exato dessas grandezas; todas as
medidas são afetadas de um certo grau
de imprecisão.
Por isso, poucas são as grandezas cujo
valor real pode ser exatamente
conhecido.
INTRODUÇÃO
Na prática, ao efetuarmos uma medida,
existe sempre a possibilidade de se
cometer erros, que fazem com que o
valor experimental da grandeza não seja
exatamente igual ao seu valor verdadeiro
ou teórico.
Estes erros são, na maioria dos casos,
devidos à natureza da própria grandeza,
ao tipo de instrumento utilizado, à
habilidade do operador, ao método
empregado, a agentes externos etc.
É, no entanto, razoável admitir que
o valor exato existe e embora ele não
seja conhecido, podemos estimar os
limites do intervalo em que ele se
encontra.
O cálculo da incerteza associada a uma
medição permite avaliar o grau de
confiança nos resultados obtidos.
PRECISÃO E EXATIDÃO
Chamamos de erro à diferença entre um
valor experimental e o valor real, ou
correto, de determinada grandeza.
Os erros podem ser classificados em
sistemáticos e aleatórios.
ERRO
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São erros causados por defeitos nos
equipamentos (instrumentos) utilizados nas
medidas ou, simplesmente, no modelo
utilizado. Se identificados podem, a
princípio, ser eliminados ou compensados.
Este tipo de erro afeta a exatidão da medida.
Exemplos: erros pessoais (hábitos);
condições experimentais inadequadas;
técnicas não apropriadas; medidas de tempo
utilizando um relógio que atrasa etc.
ERROS SISTEMÁTICOS
(OU INSTRUMENTAIS)
São erros causados por variações
(flutuações) nas condições em que as
medidas foram realizadas. Este tipo de erro
afeta a precisão da medida. Podem ser
tratados quantitativamente por métodos
estatísticos.
Exemplos: temperatura; pressão; umidade;
erros de leitura por parte do observador;
flutuações ambientais provocando
mudanças na voltagem da linha, correntes
de ar, vibrações etc.
ERROS ALEATÓRIOS
(OU ACIDENTAIS)
Como na maioria dos casos o valor real
ou correto da grandeza é desconhecido,
costuma-se trabalhar com desvios e não
com erros.
Desvio é a diferença entre um valor
experimental e o valor mais provável de
determinada grandeza.
DESVIOS
É o valor que mais se aproxima do valor
real da grandeza.
É a média aritmética das n medidas M i
efetuadas de uma determinada grandeza,
ou seja:
VALOR MAIS PROVÁVEL
É a medida de quanto o valor
experimental difere (ou desvia) do valor
mais provável.
Também denominado desvio aparente ou
resíduo.
DESVIO ABSOLUTO
Também chamado de desvio médio.
É a média aritmética dos desvios
absolutos de cada medida.
DESVIO ABSOLUTO MÉDIO
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É a relação entre o desvio absoluto e o
valor mais provável da grandeza.
Expressando em porcentagem, teremos:
É comumente denominado desvio relativo
percentual ou erro relativo percentual.
DESVIO RELATIVO
Ao realizar certa experiência, um
operador encontrou os seguintes
resultados para a massa de um corpo:
M1 = 13,574 g M2 = 13,572 g 
M3 = 13,570 g M4 = 13,571 g 
M5 = 13,572 g
Vamos calcular o valor mais provável, os
desvios e o intervalo de incerteza
referentes a essa experiência.
EXEMPLO
Após os devidos cálculos, chegamos aos
resultados a seguir:
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
No resultado anterior vimos que a
incerteza da medida incide sobre o
algarismo 2, o que significa que todos os
algarismos à esquerda deste são
confiáveis, isto é, eles são algarismos
corretos, enquanto que o algarismo 2 é
um algarismo avaliado e, por isso,
denominado algarismo incerto ou
duvidoso.
0 1 2 3 4 5 6
cm
0 1 2 3 4 5 6
cm
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Algarismos significativos são, portanto, todos
os algarismos corretos e o primeiro algarismo
duvidoso de uma medida.
Ao contarmos os algarismos significativos de
uma medida, devemos observar que o
algarismo zero só é significativo se estiver
situado à direita de um algarismo significativo.
Veja os exemplos:
0,00017 - dois algarismos significativos.
30.400 - cinco algarismos significativos.
0,0032004 - cinco algarismos significativos.
1,00036 - seis algarismos significativos.
1,360 - quatro algarismos significativos.
Consiste em representar um número N da
seguinte forma:
onde N é o número a ser representado, n é um
número que, em geral, varia desde 1,0 até
9,999 e p é um número inteiro positivo ou
negativo.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
pnN 10x
Exemplos:
0,00000014 = 1,4 x 10-7
2.600.000.000 = 2,6 x 109
783 = 7,83 x 102
0,104 = 1,04 x 10-1
0,000248 = 2,48 x 10- 4
Adição e subtração
2807,5 
0,0648
83,645 + 
525,35 .
3416,5598 
Os resultados corretos serão: 3416,5 e 7,9.
Conclusão: Na adição ou subtração, o
algarismo duvidoso do resultado estará na
mesma casa decimal do algarismo duvidoso da
parcela menos precisa, neste caso, da parcela
cujo algarismo duvidoso está mais à esquerda.
OPERAÇÕES COM ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
15,4 _
7,48
7,92
Multiplicação e divisão
5,1 x 4,31 x 5,785  127,160
O resultado correto será 1,3 x 102.
7,44 .
2,3
O resultado correto será 3,2.
Conclusão: O número de algarismos
significativos do produto ou do quociente é
igual ao número de algarismos significativos da
medida menos precisa, isto é, da medida que
tem menos algarismos significativos.
= 3,2347826...
Nas medidas indiretas (volume, aceleração,
velocidade etc) o valor final da grandeza
dependerá da expressão matemática das
grandezas que a compõem, possuindo cada
uma sua própria incerteza, propagando o erro.
Suponha que o resultado y da medição da
grandeza seja dado por
Onde x1  u(x1), x2  u(x2), ..., xN  u(xN) são os
resultados medidos de cada grandeza
constituinte de y.
PROPAGAÇÃO DE ERROS
),...,,( 21 Nxxxfy 
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A incerteza da medição de uma grandeza
obtida dessa forma, ou seja, por meio de uma
medição indireta, é chamada de incerteza
padrão combinada, uc, e é determinada por
meio da seguinte equação:
Esta equação é válida apenas quando todas as
grandezas de entrada (xi) são independentes
umas das outras.
)(
1
2
2
2 










N
i
i
i
c xu
x
f
u
Exemplo:
Deseja-se determinar a potência elétrica, P, dissipada por
um resistor ligado à rede elétrica.
Dados: R = (2,5  0,3)  ; V = (127  1) V.
A incerteza será: 
; ; u(V) = 1 V ; u(R) = 0,3 
Portanto: P = (6,4  0,8) x 103 W
W6,6451
5,2
12722

R
V
P
)()()( 2
2
2
2
Ru
R
P
Vu
V
P
Puc 
















R
V
V
P 2



2
2
R
V
R
P



W781)3,0(
5,2
127
)1(
5,2
1272
)( 2
2
2
2
2
2
x












Puc
A maior parte das análises de dados consiste
em se determinar uma expressão analítica ou
um modelo matemático que melhor descreva
um conjunto de resultados experimentais.
AJUSTE DE UMA CURVA AOS 
DADOS EXPERIMENTAIS
iε
Objetiva obter estimativas para a e b de modo
a minimizar a soma quadrática dos erros, isto é:
;
Condição para mínimo:
CRITÉRIO DOS MÍNIMOS QUADRADOS



n
i
iS
1
2 iiiii axbyxyy  )(



n
i
ii axbyS
1
2)(
0))((.2
1





n
i
iii xaxby
a
S
0)1)((.2
1





n
i
ii axby
b
S
Reagrupando as equações anteriores, obtemos
o sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas:
Cuja solução é:
;
A equação da reta será:
  
  

n
i
n
i
n
i
iiii xyxbxa
1 1 1
2
 
 

n
i
n
i
ii ynbxa
1 1
a
n
x
n
y
b
n
i
i
n
i
i 

  11







n
i
i
n
i
ii
xx
xxy
a
1
2
1
)(
)(

bxay


A incerteza será dada por:
 




22
22
)()2(
)]([
)(
ii
iii
xxn
x
n
xfy
au
 




22
2
)(
1
)2(
)]([
)(
ii
ii
xxnn
xfy
bu
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Exercício:
A diferença de potencial V nos terminais de um
resistor foi medida em função da corrente
elétrica i, obtendo-se os valores abaixo:
a) Plote estes dados em um gráfico.
b) Encontre a equação da reta dos mínimos 
quadrados.
i (A) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
V(V) 7,1 9,6 16,9 21,0 25,4 28,1 35,7 39,0
Alguns cuidados antes de realizar um
experimento podem diminuir a possibilidade de
ocorrência de resultados imprecisos. Citamos
alguns, abaixo:
a) Verificar o tipo e a natureza da grandeza 
investigada.
b) Selecionar os métodos e instrumentos mais 
adequados.
c) Observar a qualidade dos instrumentos e a 
melhor configuração experimental.
d) Calibrar os aparelhos para evitar os erros em 
decorrência da falta de calibração.
PRECAUÇÕES EXPERIMENTAIS
e) Ter a máxima atenção quanto às possíveis 
influências externas prejudiciais.
f) Procurar meios de evitar os erros grosseiros.
g) Procurar desenvolver, tanto as experiências, 
quanto as análises dos dados, no melhor 
clima, sem precipitações, principalmente nos 
cálculos.
h) Evitar que opiniões pessoais induzam a 
resultados equivocados.
PRECAUÇÕES EXPERIMENTAIS