Buscar

Análise de Redes Elétricas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 173 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 173 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 173 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

An�lise de Redes El�tricas
Djalma M� Falc�o
COPPE�UFRJ
Programa de Engenharia El�trica
����
Pref�cio
Estas notas de aula apresentam
i
ii
Conte�do
� Sistemas El�tricos de Pot�ncia �
��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Estrutura Funcional dos SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Sistema El�trico Brasileiro � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Planejamento e Opera��o de SEPs � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Estudos e Ferramentas Computacionais � � � � � � � � � � � � �
��	 Reestrutura��o dos SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
��	�� Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro � � � � � � �
� Modelos de Componentes ��
��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Linhas de Transmiss�o em CA � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Elos CC � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Transformadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	
����� Transformadores com rela��o de transforma��o vari�
vel sob carga � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Transformadores trif
sicos � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Transformadores com tr�s enrolamentos � � � � � � � � ��
��	 Geradores e Compensadores S�ncronos � � � � � � � � � � � � � ��
��� Bancos de Capacitores e Indutores � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
 Compensadores Est
ticos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Cargas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Modelo Composto � ZIP � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Modelo Exponencial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Fluxo de Pot�ncia ��
��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	
��� Formula��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Modelo da Rede � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Tipos de Barras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Conjunto B
sico de Equa��es � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Solu��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� M�todos de Solu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
iii
����� Crit�rio de Precis�o da Solu��o � � � � � � � � � � � � � ��
����� M�todo de Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � �	
����� M�todo de Newton�Raphson � � � � � � � � � � � � � � � �
����� M�todo Desacoplado R
pido � � � � � � � � � � � � � � ��
��	 Controles e Limites na Solu��o do Fluxo de Pot�ncia � � � � � ��
��	�� M�todos de Implementa��o � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� C
lculo de Perdas e Fluxos de Pot�ncia Ativa e Reativa � � � �
� Fluxo de Pot�ncia Linearizado ��
��� Equa��es B
sicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 	�
��� Formula��o Matricial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 	�
��� Inclus�o de Perdas no Modelo Linearizado � � � � � � � � � � � 	�
��� Rela��o de Sensibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 	
��	 An
lise de Altera��es no Modelo Linearizado � � � � � � � � � 	�
��	�� Altera��es na condi��o de carga�gera��o � � � � � � � � 	�
��	�� Altera��es na rede � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� M�todo dos Fatores de Distribui��o � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Fator de Distribui��o para Deslocamento de Gera��o � ��
����� Fator de Distribui��o para Desligamento de Ramo � � ��
����� Fator de Distribui��o Combinado de Deslocamento de
Gera��o e Desligamento de Ramo � � � � � � � � � � � � ��
����� Fator de Distribui��o Combinado de Desligamento de
Dois Ramos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	
����	 Fator de Distribui��o para Transfer�ncia de Pot�ncia � �	
� Fluxo de Pot�ncia �timo �	
	�� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	���� Formula��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	���� Aplica��es � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	���� M�todos de Solu��o� Hist�rico � � � � � � � � � � � � � 
�
	�� Natureza do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	�� Formula��o Matem
tica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	���� Vari
veis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	���� Restri��es de Igualdade � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	���� Restri��es de Desigualdade � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	���� Fun��o Objetivo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
	�� M�todo de Dommel � Tinney � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
	
	���� FPO sem Restri��es de Desigualdade � � � � � � � � � � 
	
	���� Restri��es de desigualdade nas vari
veis de controle � 
	���� Restri��es de desigualdade funcionais e nas vari
veis
de estado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
	�	 M�todo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	�	�� Formula��o B
sica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	�	�� Sele��o do Conjunto de Restri��es Ativas � � � � � � � ��
iv
	�� M�todo dos Pontos Interiores � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Avalia
�o Est�tica da Estabilidade de Tens�o 
�
��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Caracter�sticas P�V e P�Q � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� An
lise de Sensibilidade Q�V e P�V � � � � � � � � � � � � � � � �	
��� An
lise Modal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��	 M�todo de Continua��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��	�� Reformula��o das Equa��es do Fluxo de Pot�ncia � � � ��
��	�� Etapa de Previs�o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��	�� Etapa de Corre��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A Sistemas de Equa
�es Alg�bricas Lineares ���
A�� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��	
A�� M�todos de Solu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A�� M�todos Diretos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
A���� Elimina��o de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
A���� Fatora��o LU � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A�� Ordena��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A���� Ordena��o para Preservar a Esparsidade � � � � � � � � ���
A���� Representa��o da Estrutura de Matrizes por Grafos � � ���
A���� Esquemas de Ordena��o � � � � � � � � � � � � � � � � � ��	
A�	 Armazenamento de Matrizes Esparsas � � � � � � � � � � � � � ��
A�� M�todos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A���� M�todo de Jacobi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A���� M�todo de Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A���� M�todo de Sobrerelaxa��o sucessiva �SOR� � � � � � � ���
A���� Converg�ncia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A���	 M�todo do Gradiente Conjugado � � � � � � � � � � � � ���
A���� M�todo do Gradiente Conjugado Pr��condicionado � � ��
A���
 M�todo do Gradiente Bi�Conjugado Estabilizado � � � ���
B Programa
�o N�o�Linear ���
B�� Enunciado Geral � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B���� Casos Particulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B�� Representa��o Gr
�ca � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B�� Condi��es de Otimalidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B���� PPNL sem Restri��es � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B���� PPNL com Restri��es de Igualdade � � � � � � � � � � � ���
B���� PPNL com Restri��es de Igualdade e Desigualdade � � ���
B�� M�todos de Solu��o do PPNL sem Restri��es � � � � � � � � � ���
B���� Minimiza��o Unidirecional � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B���� M�todo do Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B���� M�todo deNewton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��	
v
B�	 M�todos de Solu��o do PPNL com Restri��es � � � � � � � � � ���
B�	�� M�todo das Penalidades � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
C Programa
�o Linear ��	
C�� O Problema de Programa��o Linear � � � � � � � � � � � � � � ���
C�� Caracteriza��o Alg�brica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	�
C�� O M�todo Simplex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	�
C�� Forma Matricial do M�todo Simplex � � � � � � � � � � � � � � �	
C�	 Dualidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	�
C�� An
lise de Sensibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
vi
Cap�tulo �
Sistemas El�tricos de Pot�ncia
��� Introdu��o
Este cap�tulo apresenta uma vis�o geral do estudo de Sistemas El�tricos de
Pot�ncia �SEP� dos pontos de vista de sua estrutura funcional� planejamento
e opera��o� estudos e ferramentas computacionais� � tamb�m apresentada
uma introdu��o ao processo de reestrutura��o do setor el�trico atualmente
em andamento�
��� Estrutura Funcional dos SEPs
De um ponto de vista funcional� os SEPs apresentam uma estrutura como
mostrada na Figura ���� Seus principais componentes s�o os subsistemas de�
� Gera��o� composto pelas usinas ou centrais geradoras� Essas centrais
podem ser do tipo hidrel�trica� t�rmica �carv�o� �leo� gas natural� etc��
ou nuclear� As centrais hidrel�tricas� em geral� s�o localizadas em pon�
tos distantes dos centros de consumo� exigindo sistemas de transmiss�o
complexos e em tens�o elevada�
� Transmiss�o� constitu�do pelas linhas de transmiss�o e equipamentos
auxiliares necess
rios para transmitir a pot�ncia produzida nas cen�
trais geradoras at� os centros de consumo� Os sistemas de transmiss�o
Gera��o
Transmiss�o
Distribui��o
� � �
�
Energia
Prim�ria
Consumidores
Figura ���� Estrutura funcional de um SEP
�
� An�lise de Redes El�tricas
podem ser em corrente alternada �CA� ou em corrente cont�nua �CC��
sendo os �ltimos utilizados apenas no caso de transmiss�o de grandes
blocos de pot�ncia a longas dist�ncias�
� Distribui��o� constitu�do pelas subesta��es e alimentadores respons
�
veis pela distribui��o da energia el�trica aos consumidores industriais�
comerciais e residenciais� Em geral� incluem tamb�m uma parte local
do sistema de transmiss�o� em tens�o mais baixa� o qual recebe a
denomina��o de subtransmiss�o�
Na �gura ��� � apresentado o diagrama uni�lar de um SEP onde s�o
ilustrados os subsistemas acima referidos� Nesse sistema hipot�tico� existem
duas grandes centrais geradoras hidrel�tricas localizadas a grande dist�ncia
do centro de consumo� Uma delas � conectada ao sistema atrav�s de uma
linha de transmiss�o em CC �� ��� kV� e a outra atrav�s de uma linha de
transmiss�o em CA �
	� kV�� Parte da energia dessas centrais � utilizada por
um sistema de distribui��o� constitu�do por linhas de subtransmiss�o ����
kV� e por v
rias subesta��es de distribui��o �apenas uma delas � mostrada na
�gura�� Um grande consumidor industrial � alimentado diretamente do sis�
tema de subtransmiss�o� Tamb�m existe nesse sistema uma central t�rmica
de m�dio porte� A partir da subesta��o de distribui��o� partem alimenta�
dores na tens�o de ���� kV� os quais alimentam consumidores industriais
nesse n�vel de tens�o e consumidores comerciais e residenciais atrav�s de
uma rede secund
ria de distribui��o em ������
 V� Conectada diretamente
� rede de distribui��o existe uma pequena central geradora de propriedade
de um consumidor industrial a qual fornece energia ao sistema quando seu
propriet
rio pode dispor da mesma�
����� Sistema El�trico Brasileiro
O sistema el�trico brasileiro tem uma capacidade instalada de aproximada�
mente 	����� MW� predominantemente de origem hidrel�trica ��	��� e pos�
sue um sistema de transmiss�o constitu�do por aproximadamente �	����� km
de linhas de transmiss�o com n�veis de tens�o variando de ��� kV a 
�	 kV� A
energia produzida anualmente nesse sistema � da ordem de ��� TWh� sendo
�
� de origem hidrel�trica� Existem cerca de �� milh�es de consumidores
conectados ao sistema dos quais ���	 milh�es s�o consumidores residenciais�
Para esses consumidores� o consumo de energia per capita � de ��� kWh�ano�
Existem presentemente dois subsistemas fracamente acoplados no Brasil�
o sistema Sul�Sudeste�Centro�Oeste �S�SE�CO� e o sistema Norte�Nordeste
�N�NE�� Esses sistemas foram interligados recentemenente atrav�s de um lin�
ha de transmiss�o em 	�� kV ligando a subesta��o de Imperatriz �Maranh�o�
com a usina de Serra da Mesa �Goi
s�� Esta interconex�o tem como objeti�
vo explorar a diversidade hidrol�gica entre os dois sistemas� permitindo um
ganho energ�tico da ordem de ��� MW�ano�
COPPE�UFRJ �
��
��
ii ii
��
��
ii
ii
ii
ii
�
i
i
ii
��
��
��
��
ii
i
i
i
i
�
���� �
Transmiss�o
Subtransmiss�o
Distribui��o
� ��� kV DC
��� kV
��	 kV
��
	 kV
������� V
��� kV
Q
Q
Figura ���� Diagrama uni�lar de um SEP t�pico
� An�lise de Redes El�tricas
O sistema S�SE�CO tem uma capacidade instalada de ���
�� MW� con�
siderando somente 	�� ������ MW� da capacidade instalada na usina de
Itaipu� possui ��
 usinas hidrel�tricas ������� MW � ������ e �	 usinas ter�
mel�tricas ������ MW � ������ Neste sistema est
 localizada a maior central
hidrel�trica do pa�s �Itaipu� ������ MW� e tamb�m o �nico sistema de trans�
miss�o em CC �Itaipu�Ibi�na� bipolo � ��� kV�� O sistema N�NE tem uma
capacidade instalada de ����
� MW� possui �� usinas hidrel�tricas �����
�
MW � �
���� e � usinas termel�tricas ���� MW � ������ Esse sistema englo�
ba parte da regi�o amaz nica� Al�m desses dois sistemas principais� existem
pequenos sistemas isolados� particularmente na Amaz nia� A Figura ���
apresenta a representa��o geogr
�ca da malha principal de trasmiss�o do
sistema brasileiro�
��� Planejamento e Opera��o de SEPs
As atividades da engenharia de SEPs podem ser classi�cadas em tr�s catego�
rias principais baseando�se nos horizontes de tomada de decis�o considerados
e as a��es permitidas no mesmo� Essas categorias s�o�
� Planejamento da Expans�o� tem como objetivo determinar� dentro de
um horizonte de longo prazo �at� �� anos�� os novos equipamentos a
serem instalados no sistema visando atender um aumento previsto da
demanda de energia el�trica� Geralmente� o planejamento � realizado
de forma mais ou menos independente nos diversos blocos funcionais
do sistema� No caso da gera��o e transmiss�o� existe uma integra��o
mais forte do processo de planejamento�
� Planejamento da Opera��o� tem como objetivo estabelecer uma es�
trat�gia de opera��o� incluindo planos de emerg�ncia� para um hori�
zonte de m�dio prazo �por exemplo� at� 	 anos para sistemas hidro�
t�rmicos com regula��o plurianual como � o caso do Brasil�� Nor�
malmente � subdividido em um planejamento da opera��o energ�tica�
no qual se analisa a melhor estrat�gia para utiliza��o dos recurso en�
erg�ticos �
gua dispon�vel e prevista para a!uir aos reservat�rios� em
contraposi��o ao uso de combust�vel nas usinas t�rmicas� e um plane�
jamento da opera��o el�trica� no qual s�o analisados os impactos das
decis�es energ�ticas� do progrma de manuten��o� etc�� no desempen�
ho do sistema de transmiss�o� visando garantir um n�vel adequado de
con�abilidade�
� Opera��o em Tempo�Real� tem como objetivo atender � demanda ins�
tant�nea do sistema� segundo as diretivas do planejamento da oper�
a��o� com desvios m�nimos em rela��o �s tens�es e frequ�ncia nomi�
nais e minimizando as interrup��es no fornecimento de energia� At�
ualmente � realizado a partir dos Centros de Opera��o de SistemasCOPPE�UFRJ 	
Figura ���� Malha principal do sistema interligado brasileiro
� An�lise de Redes El�tricas
os quais posuem facilidades para aquisi��o remota de dados e teleco�
mando �SCADA� e sistemas computacionais capazes de fornecer aos
operadores condi��es mais adequada de tomadas de decis�es e a��es
de controle�
��� Estudos e Ferramentas Computacionais
Para executar as tarefas relacionadas ao planejamento e opera��o de SEPs
descritas no item anterior� os engenheiros de SEP necessitam de ferramentas
computacionais para an
lise� simula��o e controle� Essas ferramentas per�
mitem aos engenheiros a tomada de decis�es com rela��o ao planejamento de
expans�o� � melhor estrat�gia de opera��o e ao efetivo controle do sistema�
A seguir s�o listadas algumas ferramentas e tipos de estudos utilizados nos
v
rios est
gios da engenharia de SEPs�
� Ferramentas B
sicas de An
lise e Simula��o�
� C
lculo de Fluxo de Pot�ncia"
� C
lculo de Curto�Circuito"
� Simula��o da Din�mica Eletromec�nica"
� An
lise Modal"
� Simula��o de Transit�rios Eletromagn�ticos�
� Ferramentas de Otimiza��o e Avalia��o Probabil�stica�
� Fluxo de Pot�ncia #timo"
� Fluxo de Pot�ncia Probabil�stico"
� Avalia��o da Con�abilidade de Sistemas de Gera��o� Transmiss�o
e Distribui��o"
� Avalia��o da Con�abilidade Composta de Sistemas de Gera��o�
Transmiss�o�
� Estudos�Ferramentas de Planejamento da Expans�o�
� Previs�o de Carga a Longo Prazo"
� Expans�o do Sistema de Gera��o"
� Expans�o do Sistema de Transmiss�o"
� Expans�o do Sistema de Distribui��o�
� Estudos�Ferramentas de Planejamento da Opera��o�
� Previs�o de Carga a M�dio Prazo"
� Programa��o Hidrot�rmica"
COPPE�UFRJ 
� Programa��o da Manuten��o"
� Esquemas de Emerg�ncia"
� Determina��o da Reserva Operativa�
� Ferramentas da Opera��o em Tempo�Real�
� Sistema de Aquisi��o de Dados e Supervis�o �SCADA�"
� Estima��o de Estado e Con�gura��o da Rede"
� Previs�o de Carga a Curto�Prazo"
� Avalia��o Est
tica e Din�mica da Seguran�a�
��� Reestrutura��o dos SEPs
As empresas de energia el�trica em quase todos os pa�ses do mundo est�o
passando por um processo de reestrutura��o� Essas mudan�as iniciaram�se
na d�cada de �� no Reino Unido �Inglaterra� Esc�cia e Pa�s de Gales� e em
alguns pa�ses da Am�rica Latina �Chile� Bol�via� etc��� e foram estendidas
a outros pa�ses na d�cada de ��� As motiva��es principais para o proce�
so de reestrutura��o do setor el�trico n�o s�o necess
riamente as mesmas
em todos os pa�ses� Em alguns casos� como no Reino Unido e pa�ses da
Am�rica Latina� a reestrutura��o acompanhou o processo de privatiza��o do
setor el�trico� direcionado para atrair capitais privados e liberar o governo
dos pesados investimentos necess
rios � expans�o do setor� Nos pa�ses do
Leste Europeu� o processo segue uma tend�ncia generalizada de privatiza��o
e descentraliza��o administrativa� Nos Estados Unidos e em outros pa�ses�
onde as empresas de energia el�trica em sua maior parte j
 eram empre�
sas privadas� a reestrutura��o tem como objetivo aumentar a competi��o e
desregulamenta��o� visando diminuir o custo da energia para o consumidor
�nal e conduzir a uma utiliza��o mais e�ciente dos recursos energ�ticos e
melhor preserva��o do ambiente�
No modelo antigo� as empresas de energia el�trica t�m uma estrutura ver�
tical� englobando� na maioria dos casos� os segmentos de gera��o� transmiss�o
e distribui��o� Essas empresas recebem uma concess�o para o fornecimen�
to de energia para uma determinada regi�o do pa�s e atendem a demanda
nessa regi�o usando a energia gerada no seu pr�prio sistema� ou adquirida
de empresas vizinhas� mediante contratos de longo ou curto prazos� Em
alguns sistemas� contratos de fornecimento de energia entre empresas n�o
diretamente conectadas eletricamente podem existir� exigindo a transfer�n�
cia de energia atrav�s do sistema de transmiss�o de uma terceira empresa
�wheeling�� O modelo � fortemente regulado e n�o existe a possibilidade de
uma empresa comercializar energia diretamente a consumidores fora de sua
rea de concess�o� Do ponto de vista econ mico� o sistema opera como um
� An�lise de Redes El�tricas
D
T
��
��
G
T
��
��
G
D
T
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
a
a
a
�
�
�
�
� � �
Coordenador
Figura ���� Opera��o do SEP como monop�lio regulado
monop�lio regulado� Em geral existe algum mecanismo coordenador da op�
era��o do sistema interligado o qual orienta as diversas empresas com com
rela��o ao melhor aproveitamento dos recurso energ�ticos e con�abilidade do
sistema el�trico� Este modelo � ilustrado na �gura ����
Uma grande variedade de modelos de reestrutura��o do setor el�trico t�m
sido propostos� Na maioria desses modelos� o desmembramento �unbundling�
dos segmentos de gera��o� transmiss�o e distribui��o em diferentes empresas�
est
 presente� A transmiss�o e a distribui��o s�o consideradas monop�lios
naturais e� em geral� continuam reguladas de maneira a permitir um am�
biente competitivo para empresas de gera��o e comercializa��o� As empre�
sas de transmiss�o e distribui��o s�o obrigadas a permitir o acesso ao seu
sistema� mediante a cobran�a de um servi�o de transmiss�o �ped
gio�� pos�
sibilitando as transa��es de energia entre quaisquer empresas de gera��o e
comercializa��o� desde que as restri��es operativas do sistema assim o per�
mitam�
Em v
rios pa�ses� a opera��o do sistema � delegada a um ou mais Op�
eradores Independentes do Sistema � OIS �Independent Systems Operators �
ISO�� sem nenhum interesse �nanceiro no mercado de energia el�trica� O es�
copo da atua��o do OIS� suas atribui��es e responsabilidades� variam de um
pa�s para outro ou mesmo entre OISs de um mesmo pa�s� No m�nimo� o OIS
ter
 um papel semelhante ao coordenador de opera��es do modelo antigo�
No outro extremo da escala� o OIS pode ser respons
vel pelo planejamento
da expans�o da transmiss�o� planejamento da opera��o el�trica e energ�ti�
ca� e opera��o em tempo�real� O OIS poder
 ou n�o ser o propriet
rio dos
sistemas de transmiss�o sob sua responsabilidade� Da mesma forma� o OIS
poder
 ou n�o operar o mercado de energia el�trica� Em alguns casos� a
opera��o do mercado � delegada a uma outra entidade denominada de Bolsa
de Energia �Power Exchange � PX�� Em muitos casos� o OIS � respons
v�
COPPE�UFRJ �
T T T
�
�
�
b
b
� � �
�
	
�
G GG G
Agregadores
D D D
� � �
� � �
�
�
�
�
L
L
L
L
AOS
�
�
�
�
Servi�os
Ancilares
�
�
�
�
Agente
Regulador
��
��
��
��
��
��
��
��
�
�
�
J
J
J
J
J
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Bolsa de
Energia
Figura ��	� Opera��o do SEP em um ambiente competitivo
el por oferecer os chamados Servi�os Ancilares �Ancillary Services� os quais
incluem o controle autom
tico de gera��o� suporte de reativos� reserva opera�
tiva� etc� Em outros casos� o OIS coordena um mercado de Servi�os Ancilares
providos por outras empresas� Finalmente� o novo modelo geralmente inclue
uma ag�ncia governamental �Agente Regulador� respons
vel pelo controle e
supervis�o do funcionamento do mercado de energia e o cumprimento dos
direitos dos consumidores� Uma tentativa de ilustrar o novo modelo dos
SEPs � mostrado na Figura ��	�
����� Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro
O setor el�trico brasileiro vem passando por um processo de privatiza��o e
reestrutura��o com caracteristicas similares �quelas descritas na se��o ante�
rior�
V
rias empresas distribuidoras de energia el�trica e� pelo menos uma
das empresas federaisde gera��o� j
 foram privatizadas� V
rios projetos
de constru��o de novas usinas est�o em andamento com a participa��o da
iniciativa privada�
Dentro do processo de reestrutura��o� v
rias institui��es foram criadas
entre as quais pode�se destacar�
ANEEL� Ag�ncia Nacional de Energia El�trica� #rg�o governamental res�
pons
vel pela regulamenta��o e �scaliza��o do setor el�trico�
ONS� Operador Nacional do Sistema El�trico� Empresa privada respos
vel
pela opera��o do sistema interligado�
ASMAE� Mercado Atacadista de Energia� Entidade privada respons
vel
pelo mercado de compra e venda de energia�
�� An�lise de Redes El�tricas
Informa��es detalhadas sobre o Projeto de Reestrutura��o do Setor El�trico
Brasileiro pode ser encontrada na Home Page do Minist�rio das Minas e
Energia no endere�o abaixo�
http���www�mme�gov�br�
Cap�tulo �
Modelos de Componentes
��� Introdu��o
Este cap�tulo apresenta uma revis�o de modelos de componentes de SEP uti�
lizados em estudos de regime permanente� particulamente no caso do c
lculo
de !uxo de pot�ncia e estudos neste baseado� Na obten��o desses modelos�
assume�se que os dispositivos s�o equilibrados e operados em regime perma�
nente senoidal � freq$�ncia industrial �	�Hz ou ��Hz�� Maiores detalhes com
rela��o aos modelos apresentados neste cap�tulo podem ser encontrados em
%�&� %�
&� %�& e %��&�
Os modelos dos seguintes elementos s�o apresentados a seguir�
� Linhas de transmiss�o em CA"
� Elos CC"
� Transformadores"
� Geradores e Compensadores S�ncronos"
� Bancos de Capacitores e Indutores"
� Compensadores Est
ticos"
� Cargas�
��� Linhas de Transmiss�o em CA
Nas aplica��es abordadas neste trabalho� as linhas de transmiss�o em CA
s�o modeladas como um circuito ��equivalente %�& como mostrado na Figura
��� cujos par�metros s�o dados por�
z
km
� r
km
� jx
km
� z
c
senh��l� �����
y
s
km
� g
s
km
� jb
s
km
�
�
z
c
tanh��l��� �����
��
�� An�lise de Redes El�tricas
k m
z
km
� r
km
�jx
km
y
s
km
�� y
s
km
��
Figura ���� Circuito equivalente de linha de transmiss�o
Tabela ���� Valores t�picos dos par�metros de linhas de transmiss�o
Par�� Linhas A�reas Cabos
metros ��� kV 	�� kV ��� kV 	�� kV
R ���km� ���	� ����� ����� �����
x
L
� �L ���km� ����� ����	 ����� ����	
b
c
� �C ���
��
�km� ���
� 	���� ��	�� ���	
onde
l � comprimento da linha �km�"
z
c
�
p
z�y � imped�ncia caracter�stica ���"
� �
p
yz � constante de propaga��o"
z � R� j�L � imped�ncia s�rie ���km�"
y � G� j�C � admit�ncia shunt ��
��
�km��
R�G�L e C nas express�es acima representam� respectivamente� a re�
sist�ncia� a condut�ncia� a reat�ncia e a capacit�ncia por km da linha� O
procedimento para c
lculo desses par�metros pode ser encontrado em v
rios
livros textos� por exemplo na refer�ncia %�
&� Na tabela ��� s�o apresentados
par�metros t�picos de linhas a�reas e cabos subterr�neos em CA para v
rios
n�veis de tens�o %��&�
��� Elos CC
Um sistema de transmiss�o em corrente cont�nua �CC�� ou simplesmente um
elo CC� � basicamente constitu�do por�
� Sistema em corrente alternada �AC� supridor"
� Terminal conversor de corrente alternada em cont�nua �reti�cador�"
COPPE�UFRJ ��
� Transformadores com comuta��o autom
tica sob carga dos conver�
sores"
� Linha de transmis�o em corrente cont�nua"
� Sistema de aterramento
� Terminal conversor de corrente cont�nua em alternada �inversor�"
� Sistema em corrente alternada �AC� receptor�
Os elos CC podem ser con�gurados de formas distintas sendo as seguintes
as mais utilizadas na pr
tica %��&�
� Elo Monopolar� a linha CC utiliza um �nico condutor� normalmente
de polaridade negativa� com retorno pelo solo ou pela 
gua"
� Elo Bipolar� a linha CC possui dois condutores� um positivo e outro
negativo" cada terminal tem dois conversores id�nticos conectados em
s�rie e cuja jun��o � aterrada"
� Elo Homopolar� a linha CC possui dois ou mais condutores� todos
de mesma polaridade� geralmente negativa� e opera sempre utilizando
retorno pelo solo ou pela 
gua�
A Figura ��� representa de forma esquem
tica um elo monopolar e ser
utilizada como base para a apresenta��o do modelo de elos CC� Nessa �gura
o Sistema AC� � o supridor de pot�ncia e o sistema AC� � o receptor�
Figura ���� Representa��o esquem
tica de um elo CC �monopolar�
O desenvolvimento de modelos de elos CC exige a representa��o detalha�
da do funcionamento dos conversores e componentes auxiliares� Para efeito
de estudos em regime permanente� � su�ciente utilizar um modelo do tipo
circuito equivalente� como aquele desenvolvido em %�&� o qual � mostrado na
Figura ���
O modo de opera��o mais comum de um elo CC � obtido con�gurando�
se o reti�cador para manter a corrente na linha CC constante e o inversor
�� An�lise de Redes El�tricas
Figura ���� Circuito equivalente da linha CC
operando com �ngulo de extin��o m�nimo� Nesta forma de opera��o� as re�
la��es entre as vari
veis do circuito equivalente do elo s�o as seguintes %��&�
Equa��es do Inversor
V
di
� K
i
E
i
cos�
min
�R
ci
I
d
�����
K
i
�
�
p
�
�
b
i
t
i
�����
R
ci
�
�
�
X
ci
b
i
���	�
�
i
� cos
��
�V
di
�K
i
E
i
� �����
P
i
� V
di
I
d
���
�
Q
i
� P
i
tan�
i
�����
Equa��es do Reti�cador
V
dr
� V
di
�R
L
I
d
�����
� � cos
��
�
V
dr
K
r
E
r
�
X
cr
I
d
p
�E
r
t
r
�
������
K
r
�
�
p
�
�
b
r
t
r
������
R
cr
�
�
�
X
cr
b
r
������
�
r
� cos
��
�V
dr
�K
r
E
r
� ������
P
r
� V
dr
I
d
������
Q
r
� P
r
tan�
r
����	�
onde
V
di
e V
dr
� tens�es na linha CC nos terminais do inversor e do reti�cador"
COPPE�UFRJ �	
E
i
e E
r
� valores rms das tens�es CA nos terminais do inversor e do reti��
cador"
I
d
� corrente na linha CC"
R
L
� resist�ncia da linha CC"
�
min
� valor m�nimo do �ngulo de extin��o do inversor"
b
i
e b
r
� n�mero de pontes de conversores em s�rie no inversor e no reti��
cador"
t
i
e t
r
� posi��es dos taps dos transformadores do inversor e do reti�cador"
X
ci
e X
cr
� reat�ncias de comuta��o� por ponte e por fase� do inversor e do
reti�cador"
P
i
e P
r
� pot�ncia ativa retirada do inversor e injetada no reti�cador"
Q
i
e Q
r
� pot�ncia reativa demandada pelo conversor e reti�cador�
Equa��es similares �s mostradas acima podem ser desenvolvidas para
outros modos de opera��o do elo CC e podem ser encontradas na refer�ncia%��&�
A solu��o conjunta dos sistemas CA e do elo CC � relizada de forma
iterativa� processando�se alternadamente as equa��es do modelo AC e do
modelo CC� considerando�se constantes as vari
veis externas do modelos CC
e CA� respectivamente� Nos sistemas CA� as vari
veis externas consideradas
s�o as tens�es E
i
e E
r
enquanto que no elo CC essas vari
veis s�o P
i
� P
r
� Q
i
e Q
r
�
��� Transformadores
Na representa��o de transformadores em estudos de regime permanente �
usual desprezar�se as resist�ncias dos enrolamentos� as perdas no n�cleo e a
in!u�ncia da corrente de magnetiza��o� Desta forma� o transformador � rep�
resentado simplesmente por um transformador ideal� com rela��o de transfor�
ma��o dada por N
p
�N
s
� em s�rie com sua reat�ncia de dispers�oequivalente
x
t
� como mostrado na Figura ����� Esta reat�ncia � obtida atrav�s de ensaios
de curto�circuito nos terminais do transformador�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
��
��
��
��
�
k m
x
t
N
p
N
s
Figura ���� Circuito equivalente de transformador
�� An�lise de Redes El�tricas
Na representa��o em pu� caso as bases de tens�o no prim
rio e secund
rio
do transformador sejam escolhidas com rela��o igual a N
p
�N
s
� o transfor�
mador ideal desaparece do circuito equivalente o qual apresenta o aspecto
mostrado na Figura ��	�
k m
x
t
�pu�
Figura ��	� Circuito equivalente de transformador em por unidade �pu�
����� Transformadores com rela��o de transforma��o vari�
	vel sob carga
Suponha uma rela��o de transforma��o gen�rica dada por�
t � N
p
�N
s
� a e
j�
������
Dependendo dos valores assumidos por a e � em ������� teremos a seguinte
correspond�ncia com o componente a ser representado�
� � � e a �� � � Transformador com varia��o
automatica de tap sob carga �LTC
�
�"
a � � e � �� � � Transformador defasador
�
�
Do circuito equivalente do transformador mostrado na Figura ���� onde a
reat�ncia x
T
foi substituida por uma admit�ncia gen�rica y� temos�
V
p
I
�
p
� E
s
��I
�
s
� ����
�
V
p
E
s
� �
I
�
s
I
�
p
� t ������
�
Load Tap Changer� s�o utilizados como elementos de controle de tens�o ou de �uxo
de reativos�
�
Os transformadores defasadores s�o usados para controlar of �uxo de pot�ncia ativa
em um circuito�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
��
��
��
��
�
y
�
��
�
�
��
��
�
�
�
u
u
u
u u
� �
�
u
� �
V
p
E
s
V
s
I
s
I
p
t��
Figura ���� Circuito equivalente do transformador
COPPE�UFRJ �
k m
y
a
��a
a
�
y
a��
a
y
Figura ��
� Circuito equivalente de transformador com varia��o autom
tica
de tap sob carga
I
s
� �y�E
s
� V
s
� � �y�
V
p
t
� V
s
� ������
I
p
�
y
t
�
�E
s
� V
s
� �
y
t
�
�
V
p
t
� V
s
� ������
as quais podemos reunir na forma matricial
�
I
p
I
s
�
� y
�
��tt
�
���t
�
���t �
� �
V
p
V
s
�
������
No caso dos LTC's �� � �� t � a�� temos
�
I
p
I
s
�
� y
�
��a
�
���a
���a �
� �
V
p
V
s
�
������
e no caso dos transformadores defasadores �a � �� t � e
j�
�� temos
�
I
p
I
s
�
� y
�
� �e
j�
�e
�j�
�
� �
V
p
V
s
�
������
No caso dos LTC's� a partir da equa��o ������ � poss�vel sintetizar o
modelo ��equivalente mostrado na Figura ��
� O mesmo n�o � poss�vel
para o caso dos transformadores defasadores devido � assimetria da matriz
presente na equa��o �������
����� Transformadores trif	sicos
Os transformadores trif
sicos� no caso de opera��o em condi��es equili�
bradas� utilizam uma representa��o do modelo de sequ�ncia positiva id�ntico
�quela mostrada nos itens anteriores�
�� An�lise de Redes El�tricas
r
k m
n
x
p
x
s
x
t
f
Figura ���� Circuito equivalente de transformador com tr�s enrolamentos
����
 Transformadores com tr�s enrolamentos
Transformadores com tr�s enrolamentos s�o� normalmete� representados por
circuitos em estrela como mostrado na Figura ���� Essa representa��o in�
troduz um n� �ct�cio na rede �n� f� o qual n�o existe �sicamente no trans�
formador� Os par�metros do circuito equivalente da Figura ��� s�o obtidos
a partir dos valores das reat�ncias de dispers�o entre os enrolamentos �x
ps
�
x
pt
e x
st
� as quais s�o obtidas atrav�s de ensaios de curto�circuito em pares
de enrolamentos com o terceiro enrolamento aberto�
Os valores de x
p
� x
s
e x
t
s�o obtidas resolvendo�se o seguinte sistema de
equa��es
x
p
� x
s
� x
ps
������
x
p
� x
t
� x
pt
����	�
x
s
� x
t
� x
st
������
����
�
de onde resulta
x
p
�
�
�
�x
ps
� x
pt
� x
st
� ������
x
s
�
�
�
�x
ps
� x
st
� x
pt
� ������
x
t
�
�
�
�x
pt
� x
st
� x
ps
� ������
Deve�se notar que� de acordo com ������� ������ e ������� � poss�vel que
existam reat�ncias negativas na representa��o da Figura ����
��� Geradores e Compensadores S�ncronos
O circuito equivalente normalmente usado para representar uma m
quina
s�ncrona em an
lise de regime permanente � uma fonte de tens�o constante
em s�rie com uma imped�ncia como mostrado na Figura ����a�� A Figura
����b� apresenta o mesmo circuito equivalente usando uma fonte de corrente
COPPE�UFRJ ��
i
�
i
�
�
�
�
�
�a� �b� �c�
E
k
I
k
S
k
z
g
y
g
V
k
V
k
V
k
k k
k
Figura ���� Modelo de gerador ou compensador s�ncrono
em paralelo com uma admit�ncia� A Figura ����c� apresenta o modelo de
gerador ou compensador s�ncrono normalmente utilizado em estudos de !uxo
de pot�ncia o qual � derivado do circuito equivalente da m
quina s�ncrona
atrav�s da rela��o�
S
k
� V
k
I
�
k
� P
k
� jQ
k
������
Usando o modelo da Figura ����c� e equa��o ������� o gerador pode ser
modelado como uma fonte de pot�ncia ativa e reativa constantes �P
k
e Q
k
especi�cados� ou como uma fonte de pot�ncia ativa constante e controlador
ideal de tens�o �P
k
e V
k
especi�cados�� Em ambas as situa��es� as vari
veis
n�o�especi�cadas do modelo� V
k
no primeiro caso e Q
k
no segundo� somente
podem assumir valores em um intervalo �limites operativos�� No caso do
compensador s�ncrono� adota�se a segunda formula��o com P
k
� ��
��	 Bancos de Capacitores e Indutores
Os bancos de capacitores e indutores s�o representados por valores �xos de
reat�ncias indutivas ou capacitivas conectadas entre as barras e a refer�ncia
como mostrado na Figura �����
� �
�
�
�
�
�
��
�
k k
jb
l
k
jb
c
k
�a� �b�
Figura ����� Circuito equivalente de bancos de capacitores e indutores
��
 Compensadores Est�ticos
Os compensadores est
ticos s�o bancos de capacitores e�ou indutores chavea�
dos eletronicamente� A denomina��o est
tico vem do fato de� contrariamente
�� An�lise de Redes El�tricas
� �
�
�
�
�
�
��
�
C
	
	
	
	
k
L
�
�
V
c
I
c
�
�
I
c
V
c
V
�
�a� �b�
Indutor
Capacitor
Figura ����� Compensador est
tico ideal
ao que acontece com os compensadores s�ncronos� estes dispositivos n�o pos�
suirem partes m�veis� Exemplos de compensadores est
ticos s�o�
� Reator controlado por tiristores �TCR�"
� Capacitor chaveado por tiristores �TSC�"
� Reator chaveado por tiristores �TSR��
A combina��o de compensadores est
ticos com bancos de capacitores e in�
dutores chaveados mecanicamente produz os chamados sistemas de compen�
sa��o est
tica�
O desempenho de um compensador est
tico ideal � mostrado na Figura
����� As Figuras ���� e ���� mostram as caracter�sticas de funcionamento
de um sistema de compensa��o est
tica formado por um reator controlado e
um capacitor �xo�
Em estudos de !uxo de pot�ncia� os compensadores est
ticos s�o mode�
lados da seguinte maneira %�	&�
� Opera��o entre limites� fonte de tens�o �V
�
� em s�rie com reat�ncia
representando a inclina��o da curva caracter�stica �Figura �����c��
� Opera��ofora dos limites� reator�capacitor �xo�
� �
�
�
�
�
�
��
�
C
	
	
k
L
�
I
s
�c�
� �
C
k
�
I
c
�b�
�
�
�
�
�
��
�
	
	
k
L
�
I
L
�a�
Figura ����� Compensador est
tico real composto de reator controlado e
capacitor �xo
COPPE�UFRJ ��
�
� �
� �
�
V V V
I
L
I
C
I
S
�c��b��a�
L
max
L
min
V
�
K
s
Figura ����� Caracteristica do compensador est
tico composto
��� Cargas
As cargas conectadas a um sistema de pot�ncia s�o formadas por agregados
de milhares de dispositivos tais como motores �de indu��o� na maioria dos
casos�� dispositivos de ilumin��o e aparelhos el�tricos em geral� Esses agre�
gados s�o geralmente modelados como uma carga concentrada equivalente
em uma barra do sistema de transmiss�o� Nesta carga est�o representados�
tamb�m� os efeitos do sistema de subtransmiss�o e distribui��o �linhas� ca�
bos� dispositivos de compensa��o de reativos� etc��� A pot�ncia consumida
pela carga varia com a tens�o e a frequ�ncia de maneira diferente para os
diversos componentes da mesma�
Em estudos de regime permanente� as cargas s�o geralmente represen�
tadas pelos seguintes modelos %��&�
����� Modelo Composto � ZIP
A carga pode ser� tamb�m� representada por um modelo composto com
diferentes propor��es de carga dos tipos imped�ncia� corrente e pot�ncia
constantes� Esse modelo � conhecido como modelo ZIP �Z� impded�ncia� I�
corrente e P� pot�ncia� e � de�nido por
P � P
�
�
p
�
�
V
V
�
�
�
� p
�
�
V
V
�
�
� p
�
�
������
Q � Q
�
�
q
�
�
V
V
�
�
�
� q
�
�
V
V
�
�
� q
�
�
������
������
onde p
i
� q
i
� i � �� �� � s�o pondera��es que de�nem a propor��o de cada
componente do modelo�
�� An�lise de Redes El�tricas
Tabela ���� Modelos de cargas
Expoente Tipo de Carga Modelo
� Pot�ncia Constante P � P
�
� Corrente Constante P � V
P
�
V
�
� V I
�
� Imped�ncia Constante P � V
�
P
�
V
�
�
� V
�
�Z
�
�
Tabela ���� Valores t�picos dos expoentes dos modelos de cargas
a b
Grande Motor ���	 ��	�
L�mpada Fluorescente ���� ����
L�mpada Incandescente ��		 �
����� Modelo Exponencial
O modelo expenencial para as componentes ativa e reativa da carga � dado
por�
P � P
�
�
V
V
�
�
a
����	�
Q � Q
�
�
V
V
�
�
b
������
onde P
�
� Q
�
e V
�
s�o valores nominais da carga ativa e reativa e da tens�o e
P e Q s�o os valores dessas cargas para a tens�o V �
Dependendo do valor assumido pelos expoentes em ����	� e ������ os
modelos t�m o signi�cado f�sico apresentado na Tabela ���� Os componentes
reais da carga n�o se ajustam perfeitamente a esses modelos sendo t�picos
ovalores mostrados na Tabela ����
COPPE�UFRJ ��
Exerc�cios
�� Para a linha de transmiss�o cujos dados s�o fornecidos a seguir�
�a� Estabele�a o circuito ��equivalente
�b� Calcule a tens�o no teminal receptor para valores crescentes da
carga supondo que a tens�o no terminal transmissor � �xa em ���
pu� Considere um valor inicial da carga de ��� ( j 
� MVA e
ac�scimos de �� MW mantendo constante o fator de pot�ncia�
Dados da linha�
Base de pot�ncia do sistema� ��� MVA
Comprimento� 	�� km
Tens�o nominal� ��	 kV
Resist�ncia ���km�� �����
Reat�ncia indutiva ���km�� �����
Suscept�ncia capacitiva ��
��
�km�� ��	�� ���
�	
�� Estabele�a os modelo �em pu� dos transformadores cujos dados s�o
fornecidos a seguir para utiliza��o em estudos de !uxo de pot�ncia�
Transformador �� LTC
Capacidade nominal� �	� MVA
Tens�o nominal do prim
rio� ��� kV
Tens�o nominal do secund
rio� ���� kV
Reat�ncia de dispers�o equivalente� �� �
Base de pot�ncia do sistema� ��� MVA
Varia��o de tap sob carga no enrolamento de baixa tens�o� � ���� kV
em �� passos
Transformador �� Transformador defasador
Capacidade nominal� ��� MVA
Tens�o nominal do prim
rio� ��� kV
Tens�o nominal do secund
rio� ��� kV
Reat�ncia de dispers�o equivalente� �� �
Base de pot�ncia do sistema� ��� MVA
Varia��o do defasamento angular� � ��
�
em �� passos
�� An�lise de Redes El�tricas
Cap�tulo �
Fluxo de Pot�ncia
��� Introdu��o
O estudo de !uxo de pot�ncia ou !uxo de carga consiste na solu��o de regime
permanente de uma rede el�trica de pot�ncia para uma dada condi��o de
carga e gera��o� A solu��o do !uxo de pot�ncia corresponde a uma situa��o
hipot�tica de carga constante a qual nunca acontece na opera��o do sistema�
Entretanto� esse tipo de estudo � muito importante para a representa��o
de condi��es limites na opera��o da rede tais como a opera��o em carga
m
xima� carga m�nima� etc�
A condi��o de carga e gera��o � caracterizada pela de�ni��o da carga
ativa e reativa em todos os n�s ou barras da rede e correspondentes valores
de gera��o ativa e reativa naqueles n�s onde est�o dispon�veis equipamentos
geradores com excess�o de� no m�nimo� um n� ao qual s�o alocadas as perdas
na transmiss�o� Limites na capacidade de componentes do sistema e no
valor de algumas vari
veis s�o tamb�m representados� assim como certos
dispositivos de controle dos !uxos de pot�ncia ativa e reativa do sistema�
Por se tratar de uma solu��o em regime permanente� o problema de
!uxo de pot�ncia � modelado por um conjunto de equa��es e inequa��es
alg�bricas� Essas equa��es e inequa��es s�o n�o�lineares pelo fato da gera��o
e cargas serem� em parte� modeladas como fontes de pot�ncia constante ou
por fun��es das tens�es nodais�
O estudo de !uxo de pot�ncia tem aplica��o direta no planejamento
da expans�o� no planejamento da opera��o e no controle em tempo�real do
sistema el�trico de pot�ncia� Nessas aplica��es se faz necess
ria a obten��o
de solu��es de regime permanente da rede para se avaliar o desempenho da
mesma com rela��o a n�veis de tens�es� !uxos nas linhas� etc�� tanto para
a con�gura��o normal quanto para casos de conting�ncias� O c
lculo do
!uxo da pot�ncia � tamb�m necess
rio como elemento auxiliar em estudos
de curto�circuito� estabilidade� otimiza��o� con�abilidade� etc�
�	
�� An�lise de Redes El�tricas
��� Formula��o do Problema
A formula��o do problema de !uxo de pot�ncia envolve aspectos de mode�
lagem da rede de transmiss�o ou distribui��o� das cargas e gera��o e conside�
ra��es sobre certas caracter�sticas operativas do sistema� O resultado dessa
combina��o resulta em um conjunto de equa��es e inequa��es alg�bricas
n�o�lineares�
���� Modelo da Rede
A rede el�trica �� para efeito de estudos de !uxo de pot�ncia� geralmente
considerada como sendo constitu�da por elementos trif
sicos equilibrados
�
�linhas� transformadores� etc��� O mesmo acontece com as cargas e a gera��o�
Conseq$entemente� a rede pode ser analisada usando�se uma representa��o
monof
sica com os par�metros de seq$�ncia positiva�
Os elementos constituintes da rede t�m o formato geral mostrado na Figu�
ra ��� e na Tabela ���� Atrav�s desse elemento gen�rico pode�se representar
linhas de transmiss�o� transformadores com ou sem comuta��o autom
tica
de tap� elementos shunt �reatores� capacitores� etc��� Os transformadores
defasadores� por introduzirem assimetria na representa��o da rede� n�o se
incluem nessa representa��o e devem receber um tratamento especial como
visto no Cap�tulo ��
k
m
y
km
y
k
y
m
Figura ���� Formato geral dos elementos da rede
Os elementos da Figura ��� e Tabela ��� t�m o seguinte signi�cado
	y
km
� g
km
� jb
km
� �� 	z
km
�����
	z
km
� rkm
� jx
km
�����
onde
r
km
resist�ncia da linha ou transformador"
x
km
reat�ncia da linha ou transformador"
y
s
suscept�ncia total da linha ou do elemento shunt �reator ou capacitor�"
t posi��o do tap do LTC�
�
Em algumas aplica��es espec��cas 	 importante a utiliza��o de uma modelagem trif
si�
ca da rede el	trica permitindo a representa��o de elementos desequilibrados� Um exemplo
importante 	 o caso de redes de distribui��o de energia el	trica�
COPPE�UFRJ �
Admit�ncia Linha Transformador Shunt
g
km
r
km
jz
km
j
�
r
km
jz
km
j
�
t �
b
km
�x
km
jz
km
j
�
�x
km
jz
km
j
�
t �
y
k
y
s
�
�t
�
�t�
jz
km
j
�
z
�
km
y
s
�
y
m
y
s
�
���t�
jz
km
j
�
z
�
km
y
s
�
�
O valor ser� y
s
ou zero dependendo do n� onde o elemento est� conectado
Tabela ���� Valor das imped�ncias do elemento gen�rico da rede
A rede constitu�da pelos elementos gen�ricos de�nidos acima �� ent�o�
representada pelas Equa��es Nodais
�
�
I � Y
�
V �����
onde
�
I vetor das somas das correntes injetadas nos n�s pelas fontes
de corrente"
�
V vetor das tens�es nodais"
Y matriz admit�ncia nodal
�
cujos elementos s�o� genericamente�
representados por Y
km
� G
km
� �B
km
�
A pot�ncia aparente l�quida injetada em uma barra � relacionada com as
tens�es em todas as barras da rede atrav�s de
P
k
� �Q
k
�
	
V
k
	
I
�
k
�
	
V
k
�
�
X
m�
k
	
V
�
m
	
Y
�
km
�
A
k � �� �� 			� n �����
P
k
� P
G
k
� P
L
k
���	�
Q
k
� Q
G
k
�Q
L
k
�����
onde
P
k
pot�ncia ativa l�quida injetada na barra k"
Q
k
pot�ncia reativa l�quida injetada na barra k"
P
G
k
pot�ncia ativa gerada na barra k"
Q
G
k
pot�ncia reativa gerada na barra k"
P
L
k
pot�ncia ativa consumida na barra k"
Q
L
k
pot�ncia reativa consumida na barra k"
	
V
k
tens�o da barra k"
�
k
conjunto das barras diretamente ligadas a k� incluindo k�
�
Uma deriva��o das equa��es nodais pode ser encontrada� por exemplo� em 
����
�� An�lise de Redes El�tricas
���� Tipos de Barras
De�nidas as cargas e as gera��es em cada barra do sistema �condi��o de carga
e gera��o� e o modelo da rede �matriz Y�� o problema de !uxo de pot�ncia
estaria� em princ�pio� perfeitamente de�nido� Isto n�o acontece devido ao
fato das perdas n�o serem conhecidas exatamente antes de se conhecer a
solu��o do !uxo de pot�ncia� A soma da gera��o em todas as barras do
sistema deve ser igual � carga total do sistema mais as perdas� Como estas
n�o s�o conhecidas� � necess
rio prever uma folga na gera��o de maneira
a acomodar as perdas� Isto � obtido deixando n�o especi�cada a gera��o
ativa e reativa em pelo menos uma das barras do sistema a qual recebe a
designa��o de Barra Flutuante� Swing ou Slack� Esse fato � ilustrado no
exemplo a seguir�
Exemplo ��� Considere o sistema de � barras mostrado na Figura ���� As
equa��es b�sicas do 	uxo de pot
ncia nesse sistema s�o
P
G
�
� � Q
G
�
�
	
V
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
�
P
G
�
� � Q
G
�
�
	
V
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
�
�P
L
�
� � Q
L
�
�
	
V
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
�
Nas equa��es acima� os elementos de Y e as cargas e gera��es �P
G
�
� Q
G
�
�
���
 s�o conhecidos� As tens�es nodais �
	
V
�
�
	
V
�
e
	
V
�
 s�o as inc�gnitas
do problema� Existem� ainda� duas inc�gnitas impl�citas� as perdas ativas e
reativas totais� Sem o conhecimento dessas� n�o � poss�vel �fechar� o balan�o
de pot
ncia no sistema� Isso �ca claro na equa��o abaixo correspondente ao
balan�o de pot
ncia ativa
P
G
�
� P
G
�
� P
L
�
� P
L
onde P
L
representa as perdas ativas totais do sistema� Para se conhecer os
valores das perdas� entretanto� precisamos conhecer a solu��o do 	uxo de
pot
ncia� Ou seja� para formular corretamente o problema seria necess�rio
conhecer a solu��o do problema�
J
J
J
J
�
�
�
�
��
��
��
��
�
�
�
�
Figura ���� Sistema usado no Exemplo ���
COPPE�UFRJ ��
A solu��o cl�ssica do �dilema� acima consiste na introdu��o do conceito
de �Barra Flutuante�� isto �� uma barra onde deixa�se �em aberto� os valores
da pot
ncia ativa e reativa injetadas na rede
�
� Em termos matem�ticos� isto
equivale a retirar uma das equa��es do conjunto acima� Supondo que a barra
escolhida como barra 	utuante seja a de n�mero �� ent�o o novo sistema de
equa��es ser�
P
G
�
� � Q
G
�
�
	
V
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
�
�P
L
�
� � Q
L
�
�
	
V
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
�
Nesse novo sistema de equa��es o balan�o de pot
ncia n�o precisa ser atendi�
do� A diferen�a ser� suprida por P
G
�
e Q
G
�
� Para compensar a diminui��o
de uma equa��o� deve�se �xar o valor de uma das inc�gnitas� Por raz�es de
ordem pr�tica� a tens�o escolhida � a da barra 	utuante� Nessas condi��es� o
sistema de equa��es acima pode ser resolvido para as vari�veis
	
V
�
e
	
V
�
� Em
seguida� podemos calcular as inje��es de pot
ncia ativa e reativa na barra
	utuante usando a equa��o deixada de fora� ou seja�
P
G
�
� � Q
G
�
�
	
V
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
	
Y
��
	
V
�
�
�
Como mostrado no exemplo anterior� a tens�o �em m�dulo e �ngulo de
fase� da barra !utuante deve ser especi�cada� isto �� fornecida como um dado
para o problema de !uxo de pot�ncia� Por essa raz�o� e pelo fato das perdas
totais serem alocadas � mesma� a barra !utuante deve ser uma barra na
qual est
 conectada um gerador capaz de fornecer pot�ncia � rede e regular
a tens�o em seus terminais� Como o �ngulo de fase da tens�o nessa barra
tamb�m � especi�cado� a tens�o da barra !utuante passa a exercer o papel
de refer�ncia angular do sistema� � poss�vel� por�m nem sempre necess
rio�
utilizar�se mais de uma barra !utuante na formula��o do problema de !uxo
de pot�ncia� As situa��es que justi�cam a utiliza��o de m�ltiplas barras
!utuantes ser�o abordadas em se��es seguintes destas notas de aula�
Al�m da barra !utuante� � usual introduzir�se um outro tipo especial de
barra no estudo de !uxo de pot�ncia na qual o m�dulo da tens�o � especi�
�cado� Esse tipo de barra tem por �nalidade representar a a��o de equipa�
mentos com capacidade de regula��o de tens�o �geradores� compensadores
s�ncronos e est
ticos� etc��� Esse tipo de barra recebe a denomina��o de
Barra de Tens�o Controlada� As barras de tens�o controlada tem um papel
importante na determina��o do per�l de tens�o do sistema e� como veremos
em se��es seguintes� in!uenciam de forma signi�cativa as caracter�sticas de
converg�ncia dos m�todos de solu��o do !uxo de pot�ncia�
A cada barra do sistema est�o associadas quatro vari
veis� P
k
� Q
k
� V
k
� e
k
� P
ke Q
k
s�o� respectivamente� as componentes ativa e reativa da pot�ncia
�
Nos casos pr
ticos� o balan�o de pot�ncia reativa 	 realizado de forma distribu�da pela
introdu��o das chamadas Barras de Tens�o Controlada� como veremos a seguir�
�� An�lise de Redes El�tricas
l�quida �gera��o menos carga� injetada na barra� V
k
e 
k
s�o� respectivamente
o m�dulo e �ngulo de fase da tens�o na k��sima barra do sistema� As tens�es
podem tamb�m ser representadas na forma retangular e� neste caso V
k
e 
k
seriam substitu�dos por e
k
e f
k
� respectivamente� as partes reais e imagin
rias
da tens�o�
As quatro vari
veis associadas a cada barra da rede est�o relacionadas
com as demais vari
veis do modelo atrav�s da equa��o ����� a qual de�ne um
conjunto de �n �n ) n�mero de barras� equa��es em vari
veis reais
�
� Como
existem �n vari
veis reais� para que o problema de !uxo de pot�ncia tenha
solu��o � necess
rio especi�car o valor de �n dessas vari
veis� Dependendo
da escolha dessas vari
veis� as barras do sistema� para efeito de estudo de
!uxo de pot�ncia� s�o classi�cados de acordo com a Tabela ���� Nessa tabela
tamb�m � apresentada uma denomina��o sint�tica para os diversos tipos de
barras �V 
� PV e PQ� normalmente utilizada na pr
tica e baseada nas
vari
veis especi�cadas em cada tipo de barra�
Tipo Nome Vari
veis Vari
veis Caracter�sticas
Especi�cadas Calculadas
Flutuante� Usada para o balan�o
Slack V 
 V
k
� 
k
P
k
� Q
k
de pot�ncia�
ou Swing Refer�ncia angular�
Barras de gera��o
Tens�o ou nas quais existe
Controlada PV P
k
� V
k
k
� Q
k
algum dispositivo de
controle de tens�o�
Carga PQ P
k
� Q
k
V
k
� 
k
Demais barras�
Tabela ���� Tipos de barras
���
 Conjunto B	sico de Equa�
es
A equa��o ����� pode se reescrita� separando�se as componentes reais e imag�
in
rias� como
P
k
� �
	
�
	
V
k
X
m�
k
	
V
�
m
	
Y
�
km
�
�
k � �� �� 			� n ���
�
Q
k
� �
	
�
	
V
k
X
m�
k
	
V
�
m
	
Y
�
km
�
�
k � �� �� 			� n �����
�
A formula��o expl�cita dessas equa��es ser
 apresentada na se��o seguinte
COPPE�UFRJ ��
Expressando as tens�es em sua forma polar� as equa��es ���
� e �����
podem ser representadas de forma compacta por
P
k
� g
p
k
���v� � V
k
X
m�
k
V
m
�G
km
cos 
km
�B
km
sen 
km
� �����
Q
k
� g
q
k
���v� � V
k
X
m�
k
V
m
�G
km
sen 
km
�B
km
cos 
km
� ������
onde
� vetor cujas componentes s�o os �ngulos de fase das tens�es
nodais"
V vetor cujas componentes s�o os m�dulos das tens�es
nodais"
k
�ngulo de fase da tens�o da barra k"
V
k
m�dulo da tens�o da barra k"
e
km
� 
k
� 
m
������
No caso das tens�es nodais serem espressas em sua forma retangular� as
express�es seguintes devem ser utilizadas
P
k
� g
�
p
k
�e� f� �
�
X
m�
k
e
k
�G
km
e
m
�B
km
f
m
� � f
k
�G
km
f
m
�B
km
e
m
�� ������
Q
k
� g
�
q
k
�e� f� �
�
X
m�
k
f
k
�G
km
e
m
�B
km
f
m
�� e
k
�G
km
f
m
�B
km
e
m
�� ������
onde
e vetor cujas componentes s�o a parte real das tens�es
nodais"
f vetor cujas componentes s�o parte imagin
ria das tens�es
nodais"
e
k
parte real da tens�o da barra k"
f
k
parte imagin
ria da tens�o da barra k�
Os principais m�todos de solu��o do problema de !uxo de pot�ncia usa�
dos atualmente dividem as equa��es de�nidas em ����� e ������ ou ������ e
������ em dois subconjuntos %��&�
� Subconjunto �� cont�m as equa��es relativas �s inje��es de pot�ncia
ativa e reativa nas barras de carga e as equa��es correspondentes �s
inje��es de pot�ncia ativa nas barras de tens�o controlada"
�� An�lise de Redes El�tricas
� Subconjunto �� reune as demais equa��es� ou seja� aquelas n�o inclu�das
no primeiro subconjunto�
Essa divis�o � utilizado pelo fato de que no Subconjunto � as vari
veis a
serem calculadas s�o fun��es impl�citas das vari
veis especi�cadas� Portanto�
existe a necessidade de resolver esse conjunto de equa��es utilizando algum
m�todo de solu��o de equa��es alg�bricas n�o�lineares� Isso n�o acontece
com as equa��es do Subconjunto � nas quais� ap�s a solu��o do Subcon�
junto �� as vari
veis a serem calculadas s�o fun��es expl�citas das vari
veis
conhecidas� Esse fato ser
 ilustrado atrav�s do seguinte exemplo�
Exemplo ��� Considere o sistema de cinco barras dado na Figura ��� com
as respectivas de�ni��es dos tipos de barras� Para esse exemplo� os vetores
 e v s�o de�nidos por
 � 
 
�
�
�
�
�
T
v � 
 V
�
V
�
V
�
�
T
A partir dessa de�ni��o de vari�veis� os subconjuntos de equa��es a serem
resolvidos s�o estabelecidos como a seguir�
Subconjunto �
P
�
� g
p
�
���V�
P
�
� g
p
�
���V�
Q
�
� g
q
�
���V�
P
�
� g
p
�
���V�
Q
�
� g
q
�
���V�
P
�
� g
p
�
���V�
Q
�
� g
q
�
���V�
Subconjunto �
P
�
� g
p
�
���V�
Q
�
� g
q
�
���V�
Q
�
� g
q
�
���V�
Para efeito de ilustra��o� duas das fun��es utilizadas nas equa��es acima
ser�o escritas por extenso�
g
p
�
���V� � V
�
�
G
��
� V
�
V
�
�G
��
cos 
��
�B
��
sen 
��
� � V
�
V
�
�G
��
cos 
��
� B
��
sen 
��
� � V
�
V
�
�G
��
cos 
��
�B
��
sen 
��
�
g
q
�
���V� � �V
�
�
B
��
� V
�
V
�
�G
��
sen 
��
�B
��
cos 
��
� � V
�
V
�
�G
��
sen 
��
� B
��
cos 
��
� � V
�
V
�
�G
��
sen 
��
�B
��
cos 
��
�
As fun��es acima foram simpli�cadas observando�se que 
��
� ��
��� Solu��o do Problema
A solu��o do problema de !uxo de pot�ncia consiste de duas fases�
COPPE�UFRJ ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
�
V
�
PQ
�
PQ
PQ
��
PV
Figura ���� Sistema usado no exemplo ���
� Solu��o do Subconjunto � de equa��es por um processo iterativo visan�
do o c
lculo das componentes dos vetores 
 e v"
� Substitui��o dos valores de 
 e v nas equa��es do Subconjunto � com
o objetivo de se calcular os valores das inje��es l�quidas de pot�ncia
ativa e reativa na barra !utuante e das inje��es l�quidas de pot�ncia
reativa nas barras de tens�o contolada�
Devido � necessidade de se representar os limites operativos dos componentes
do sistema e dispositivos de controle� nos casos pr
ticos existe� ainda� a
necessidade de se realizar ajustes e mudan�as de vari
veis durante o processo
de solu��o� Esses ajustes correspondem � implementa��o das inequa��es
presentes na formula��o do problema de !uxo de pot�ncia como citado no
in�cio desse cap�tulo� Esse fato ser
 descrito em se��es seguintes destas notas
de aula�
��� M
todos de Solu��o
Os m�todos de solu��o de !uxo de pot�ncia %��& podem ser classi�cados em
tr�s categorias as quais� em ordem cronol�gica de aparecimento na literatura�
s�o
�� M�todos Usando a Matriz Y
Esses m�todos s�o baseados na solu��o iterativa do sistema de equa��es
de�nido em ������ A partir dosvalores especi�cados das inje��es de
pot�ncia ativa e reativa e de uma estimativa inicial das tens�es nodais�
calcula�se o vetor de correntes injetadas� A substitui��o desse vetor em
����� produzir
 o novo valor das tens�es e assim sucessivamente� Dentre
os algoritmos que utilizam Y� o mais conhecido � o de Gauss�Seidel
que ser
 descrito na se��o seguinte� A converg�ncia desse m�todo �
�� An�lise de Redes El�tricas
bastante lenta devido � fraca intera��o entre as vari
veis �Y � esparsa�
e �s vezes bastante dif�cil em sistemas mal�condicionados�
�� M�todos Usando a Matriz Z Para contornar os problemas de converg�n�
cia dos m�todos baseados em Y foram testados� com sucesso� esquemas
iterativos utilizando sua inversa Z� Esses m�todos t�m converg�ncia
r
pida e con�
vel para a maioria dos problemas pr
ticos por�m intro�
duzem o problema de se montar e armazenar a matriz Z� Al�m disso�
o tratamento de barras de tens�o controlada � di�cil e ine�ciente do
ponto de vista computacional�
�� M�todo de Newton�Raphson
O m�todo de Newton�Raphson para solu��o de equa��es alg�bricas
n�o lineares � um m�todo cl
ssico de reconhecida e�ci�ncia no c
lculo
num�rico� Sua aplica��o na solu��o do problema de !uxo de pot�ncia
somente tornou�se pr
tica com a introdu��o dos m�todos de solu��o
de sistemas de equa��es lineares com matrizes de coe�cientes esparsas
por fatoriza��o triangular otimamamente ordenada
�
%�
� ��&� A partir
dessa id�ia b
sica� diferentes vers�es de algoritmos para o problema
de !uxo de pot�ncia� baseados no m�todo de Newton�Raphson� foram
desenvolvidos e s�o considerados atualmente os mais e�cientes para
solu��o desse problema�
���� Crit�rio de Precis�o da Solu��o
Para se interromper o processo iterativo de solu��o do !uxo de pot�ncia �
necess
rio de�nir um crit�rio ou regra de parada o qual medir
 qu�o pr�ximo
da solu��o exata se encontram os valores presentes das tens�es nodais�
O crit�rio normalmente utilizado na pr
tica � o do Res�duo de Pot�ncia
�Power Mismatches� o qual � de�nido por
P
k
� P
esp
k
� g
p
k
���V� k � �
PQ
	 �
PV
������
Q
k
� Q
esp
k
� g
q
k
���V� k � �
PQ
����	�
onde
�
PQ
conjunto das barras PQ"
�
PV
conjunto das barras PV "
P
esp
k
pot�ncia ativa l�quida especi�cada na barra k"
Q
esp
k
pot�ncia reativa l�quida especi�cada na barra k"�
�
Esses m	todos s�o apresentados no Ap�ndice A dessas notas�
COPPE�UFRJ �	
O processo iterativo deve ser terminado quando
�
k
pk
�
 �
p
������
k
qk
�
 �
q
����
�
onde
p �
h
P
�
P
�
� � �
i
T
������
q �
h
Q
�
Q
�
� � �
i
T
������
e �
p
e �
q
s�o toler�ncias tipicamente no intervalo de ���� a �� MW�MVAR�
Em alguns m�todos de solu��o� por exemplo no m�todo de Gaus�Seidel�
onde o c
lculo dos Res�duos de Pot�ncia implicaria em um aumento excessivo
de tempo por itera��o� testes baseados na varia��o do valor das tens�es s�o
utilizados�
���� M�todo de Gauss�Seidel
O m�todo de Gauss�Seidel para solu��o do !uxo de pot�ncia � um dos mais
antigos encontrados na literatura� Sua import�ncia atual � apenas hist�rica
e did
tica pois� para sistemas de grande porte� sua e�ci�ncia computacional
� muito inferior ao m�todo de Newton�Raphson�
O m�todo � formulado em termos de vari
veis complexas e n�o utiliza
a divis�o em subconjuntos descrita na se��o anterior� Suponha inicialmente
que todas as barras s�o do tipo PQ �carga� exceto� obviamente� a barra
!utuante� Neste caso o algoritmo de Gauss�Seidel � derivado diretamente de
����� e dado por
	
V
i��
k
�
�
Y
kk
�
�
P
esp
k
� jQ
esp
k
�
	
V
i
k
�
�
�
k��
X
m��
	
V
i��
m
Y
km
�
n
X
m�k��
	
V
i
m
Y
km
�
�
k � �� 			� n� k �� �utuante ������
onde i � o contador de itera��es� A veri�ca��o da converg�ncia � realizada
atrav�s do m�dulo da diferen�a entre as componentes dos vetores das tens�es
entre itera��es� isto �� o processo iterativo termina quando
k
	
V
i��
k
�
	
V
i
k
k
�
 �
v
onde �
v
� a precis�o desejada no m�dulo das tens�es�
�
A norma in�nita de um vetor 	 de�nida como
kxk
�
� max
i
jx
i
j
�
�� An�lise de Redes El�tricas
O m�todo de Gauss�Seidel pode� tamb�m� ser formulado em formato
matricial como a seguir
I�
�
V� � Y
�
V ������
onde I � um vetor cujas componentes s�o dadas por
I
k
�
�
V� �
P
k
� �Q
k
V
�
k
� k � �� 			� n ������
A equa��o matricial ������ de�ne um conjunto de equa��es quase�lineares
apesentando uma fraca n�o�linearidade diagonal representada pela depend�n�
cia dos valores das correntes injetadas nas barras da rede em rela��o � tens�o
dessas mesmas barras� Para um dado valor de �v� por exemplo� o valor da ite�
ra��o anterior� o sistema de equa��es ������ passa a ser um sistema linear o
qual pode ser resolvido por qualquer um dos m�todos descritos no Ap�ndice
A� Em particular� pode�se utilizar um m�todo de fatora��o �LU� por exem�
plo� no qual trabalha�se com a inversa impl�cita de Y� ou seja� Z� Essa � a
forma usual de se implementar um m�todo de solu��o do !uxo de pot�ncia
usando a matriz Z�
Em uma barra PV os c
lculos s�o um pouco diferentes desde que a inje��o
de pot�ncia reativa n�o � especi�cada e o m�dulo da tens�o deve ser mantido
em um valor constante V
esp
� Devido a limita��es no equipamento gerador
de reativos� a inje��o de reativos Q
k
em uma barra PV deve ser mantida
entre limites Q
min
k
e Q
max
k
�
Para simular essa situa��o� Q
esp
k
� substituido em cada itera��o por um
valor calculado por
Q
cal
k
� �
	
�
	
V
k
X
m�
k
	
V
�
m
	
Y
�
km
�
�
������
Com este valor de Q
cal
k
� a tens�o
	
V
i��
k
� calculada usando�se ������� Co�
mo o m�dulo dessa tens�o deve ser mantido igual a V
esp
k
� as partes reais e
imagin
rias de
	
V
i��
k
s�o ajustadas para satisfazer essa condi��o mantendo�
se� por�m� o �ngulo de fase calculado� Esse processo � representado pelas
equa��es
i��
k
� arctan
f
i��
k
e
i��
k
������
	
V
i��
k
� V
esp
k
cos 
i��
k
� � V
esp
k
sen 
i��
k
����	�
onde f
i��
k
e e
i��
k
s�o� respectivamente� as partes real e imagin
ria da tens�o
na barra k calculadas na itera��o i� antes do ajuste�
Para se levar em considera��o os limites na inje��o de reativos� � utiliza�
da uma estrat�gia de mudan�a de tipo de barra� sempre que a inje��o de
reativos ultrapassar um dos limites� essa inje��o � �xada em um valor igual
COPPE�UFRJ �
ao limite violado e a barra passa a ser tratada como uma barra de carga�
Essa estrat�gia � resumida a seguir
Se Q
cal
k
� Q
max
k
�� Q
cal
k
� Q
max
k
Se Q
cal
k
 Q
min
k
�� Q
cal
k
� Q
min
k
�
�
�
�
k �� fbarra PQg ������
Se nas itera��es seguintes Q
k
retornar a um valor entre os limites� ent�o a
barra k volta a ser tratada como uma barra do tipo PV�
Exemplo ��� Suponha que no sistema da Figura ��� as barras s�o dos
seguintes tipos� barra � � V 
� barra � � PV e barra � � PQ� Ent�o�
algoritmo de Gauss�Seidel �
	
V
i��
�
�
�
Y
��
�
P
esp
�
� ��Q
cal
�
�
i
�
	
V
i
�
�
�
�
	
V
�Y
��
�
	
V
i
�
Y
��
�
	
V
i��
�
�
�
Y
��
�
P
esp
�
� �Q
esp
�
�
	
V
i
�
�
�
�
	
V
�
Y
��
�
	
V
i��
�
Y
��
�
�Q
cal
�
�
i��
� �
n
	
V
i��
�
�
	
V
�
Y
��
�
	
V
i��
�
Y
��
�
	
V
i��
�
Y
��
�
�
o
onde i � o contador de itera��es e
	
V
�
� P
esp
�
� P
esp
�
� Q
esp
�
e V
esp
�
s�o dados�
���
 M�todo de Newton�Raphson
O m�todo de Newton�Raphson� para o c
lculo das ra�zes de uma equa��o
alg�brica n�o�linear� baseia�se em lineariza��es sucessivas da fun��o a partir
de uma condi��o inicial arbitr
ria� Suponha a equa��o
f�x� � � ����
�
A expans�o pela s�rie de Taylor� e posterior elimina��o dos termos de ordem
maior ou igual a dois� produz
f�x� � f�x
�
� � f
�
�x
�
�
x� x
�
� ������
de onde se obtem
x � x
�
�
f�x
�
�
f
�
�x
�
�
������
O valor de x calculado por ������ � uma aproxima��o da solu��o de ����
� a
qual pode ser melhorada promovendo�se nova lineariza��o de f�x� em torno
�� An�lise de Redes El�tricas
�
�
x
f�x�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
f�x�
x
�
x
�
x
�
x
�
�b��a�
x
�
x
�
x
�
x
�
Figura ���� Solu��o de equa��o n�o�linear pelo m�todo de Newton�Raphson
desse novo valor e assim por diante� O processo iterativo pode ser sintetizado
na express�o
x
i��
� x
i
�
f�x
i
�
f
�
�x
i
�
i � �� �� 			 ������
A �gura ��� �a� ilustra este processo gra�camente� Na �gura ��� �b� � mostra�
do que o processo pode convergir mesmo que f
�
�x
i
� seja mantida igual a
f
�
�x
�
�� Esse valor pode at� ser diferente de f
�
�x
�
� desde que conveniente�
mente escolhido�
O caso n�dimensional pode ser obtido como uma extens�o do anterior�
Suponha a equa��o
f�x� � � ������
onde
f��� �
h
f
�
��� f
�
��� � � � f
n
���
i
T
x �
h
x
�
x
�
� � � x
n
i
T
A expans�o em s�rie de Taylor dessas fun��es produz
f
�
�x� � f
�
�x
�
� �
�f
�
�x�
�x
�
�
�
x�x
�
x
�
�
� � � ��
�f
�
�x�
�x
n
�
�
x�x
�
x
�
n
� �
f
�
�x� � f
�
�x
�
� �
�f
�
�x�
�x
�
�
�
x�x
�
x
�
�
� � � ��
�f
�
�x�
�x
n
�
�
x�x
�
x
�
n
� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
f
n
�x� � f
n
�x
�
� �
�f
n
�x�
�x
�
�
�
x�x
�
x
�
�
� � � ��
�f
n
�x�
�x
n
�
�
x�x
�
x
�
n
� �
������
ou em forma compacta
f�x
�
� � J�x
�
�
x
�
� � ������
COPPE�UFRJ ��
onde J�x
�
� � a matriz Jacobiana
�
associada ao sistema ������ calculada no
ponto x
�
�
O processo iterativo no caso n�dimensional � dado� ent�o� por
x
i��
� x
i
�
x
i
������
x
i
� �
h
J�x
i
�
i
��
f�x
i
� ����	�
O processo iterativo termina quando kf�x
i
�k
�
 � onde � � um valor que
determina a toler�ncia aceit
vel no erro cometido na solu��o�
� poss�vel demonstrar que o m�todo de Newton�Raphson apresenta uma
taxa de converg�ncia quadr
tica� isto �� a norma do vetor de res�duos f�x
i
�
diminui com o quadrado do n�mero de itera��es� Isto signi�ca que o m�to�
do converge rapidamente para a solu��o� Entretanto� essa converg�ncia �
fortemente dependente das condi��es iniciais �x
�
�� Caso a condi��o inicial
n�o esteja contida em uma regi�o pr�xima da solu��o procurada �regi�o de
atra��o� o processo iterativo poder
 convergir para outra solu��o ou n�o
convergir�
Aplica
�o ao Fluxo de Pot�ncia em Coordenadas Polares
Neste caso o sistema de equa��es a ser resolvido� extra�do de ������ e ����	��
� dado por
P
k
� P
esp
k
� g
p
k
���V� � �� k � �
PQ
	�
PV
������
Q
k
� Q
esp
k
� g
q
k
���V� � �� k � �
PQ
����
�
O algoritmo iterativo � dado por
�
�
i��
V
i��
�
�
�
�
i
V
i
�
�
�
�
i
V
i
�
������
�
P
i
Q
i
�
�
�
H
i
N
i
M
i
L
i
� �
i
v
i
�
������
onde P e Q s�o os vetores dos res�duos de pot�ncia ativa e reativa� respec�
tivamente� e as submatrizes H
i
� N
i
� M
i
� e L
i
t�m o seguinte signi�cado
�
A matriz Jacobiana� ou o Jacobiano� de uma fun��o f � IR
n
� IR
n
	 de�nida como
J�x� �
�
�
�
�
�f
�
�x�
�x
�
�f
�
�x�
�x
�
� � �
�f
�
�x�
�x
n
�f
�
�x�
�x
�
�f
�
�x�
�x
�
� � �
�f
�
�x�
�x
n
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�f
n
�x�
�x
�
�f
n
�x�
�x
�
� � �
�f
n
�x�
�x
n
�
�
�
�
�� An�lise de Redes El�tricas
H
i
�
�g
p
k
�
i
�V
i
�
�
N
i
�
�g
p
k
�
i
�V
i
�
�V
M
i
�
�g
q
k
�
i
�V
i
�
�
L
i
�
�g
q
k
�
i
�V
i
�
�V
As componentes de H� N� M� e L s�o dadas por
H
km
�
�P
k
�
m
� V
k
V
m
�G
km
sen 
km
�B
km
cos 
km
�
H
kk
�
�P
k
�
k
� �V
�
k
B
kk
� V
k
X
m�
k
V
m
�G
km
sen 
km
�B
km
cos 
km
�
N
km
�
�P
k
�V
m
� V
k
�G
km
cos 
km
�B
km
sen 
km
�
N
kk
�
�P
k
�V
k
� V
k
G
kk
�
X
m�
k
V
m
�G
km
cos 
km
�B
km
sen 
km
� ������
M
km
�
�Q
k
�
m
� �V
k
V
m
�G
km
cos 
km
�B
km
sen 
km
�
M
kk
�
�Q
k
�
k
� �V
�
k
G
kk
� V
k
X
m�
k
V
m
�G
km
cos 
km
�B
km
sen 
km
�
L
km
�
�Q
k
�V
m
� V
k
�G
km
sen 
km
�B
km
cos 
km
�
L
kk
�
�Q
k
�V
k
� �V
k
B
kk
�
X
m�
k
V
m
�G
km
sen 
km
�B
km
cos 
km
�
Os elementos H
kk
� N
kk
� M
kk
e L
kk
podem� ainda� ser colocados em fun��o
das inje��es de pot�ncia ativa e reativa na barra k como a seguir
H
kk
� �Q
k
� V
�
k
B
kk
N
kk
� �P
k
� V
�
k
G
kk
��V
k
M
kk
� P
k
� V
�
k
G
kk
L
kk
� �Q
k
� V
�
k
B
kk
��V
k
������
Em geral� os elementos de 
v s�o divididos pelo valor das respectivas tens�es
COPPE�UFRJ ��
para produzir termos similares emM e L� Neste caso ������ assume a forma
�
�
P
i
Q
i
�
�
�
H
i
�N
�
�
i
M
i
�L
�
�
i
� �
�
i
V
i
�V
i
�
������
onde os elementos de N
�
e L
�
s�o iguais aos de N e L multiplicados pelo
m�dulo das respectivas tens�es�
O m�todo de Newton�Raphson em coordenadas polares pode ser

Continue navegando