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An�lise de Redes El�tricas Djalma M� Falc�o COPPE�UFRJ Programa de Engenharia El�trica ���� Pref�cio Estas notas de aula apresentam i ii Conte�do � Sistemas El�tricos de Pot�ncia � ��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Estrutura Funcional dos SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Sistema El�trico Brasileiro � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Planejamento e Opera��o de SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Estudos e Ferramentas Computacionais � � � � � � � � � � � � � �� Reestrutura��o dos SEPs � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro � � � � � � � � Modelos de Componentes �� ��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Linhas de Transmiss�o em CA � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Elos CC � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Transformadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Transformadores com rela��o de transforma��o vari� vel sob carga � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Transformadores trif sicos � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Transformadores com tr�s enrolamentos � � � � � � � � �� �� Geradores e Compensadores S�ncronos � � � � � � � � � � � � � �� ��� Bancos de Capacitores e Indutores � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Compensadores Est ticos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Cargas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Modelo Composto � ZIP � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Modelo Exponencial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � Fluxo de Pot�ncia �� ��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Formula��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Modelo da Rede � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Tipos de Barras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Conjunto B sico de Equa��es � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Solu��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� M�todos de Solu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� iii ����� Crit�rio de Precis�o da Solu��o � � � � � � � � � � � � � �� ����� M�todo de Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� M�todo de Newton�Raphson � � � � � � � � � � � � � � � � ����� M�todo Desacoplado R pido � � � � � � � � � � � � � � �� �� Controles e Limites na Solu��o do Fluxo de Pot�ncia � � � � � �� �� �� M�todos de Implementa��o � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� C lculo de Perdas e Fluxos de Pot�ncia Ativa e Reativa � � � � � Fluxo de Pot�ncia Linearizado �� ��� Equa��es B sicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Formula��o Matricial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Inclus�o de Perdas no Modelo Linearizado � � � � � � � � � � � � ��� Rela��o de Sensibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� An lise de Altera��es no Modelo Linearizado � � � � � � � � � � �� �� Altera��es na condi��o de carga�gera��o � � � � � � � � � �� �� Altera��es na rede � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� M�todo dos Fatores de Distribui��o � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Fator de Distribui��o para Deslocamento de Gera��o � �� ����� Fator de Distribui��o para Desligamento de Ramo � � �� ����� Fator de Distribui��o Combinado de Deslocamento de Gera��o e Desligamento de Ramo � � � � � � � � � � � � �� ����� Fator de Distribui��o Combinado de Desligamento de Dois Ramos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Fator de Distribui��o para Transfer�ncia de Pot�ncia � � � Fluxo de Pot�ncia �timo � �� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Formula��o do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Aplica��es � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� M�todos de Solu��o� Hist�rico � � � � � � � � � � � � � � �� Natureza do Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Formula��o Matem tica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Vari veis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Restri��es de Igualdade � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Restri��es de Desigualdade � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Fun��o Objetivo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� M�todo de Dommel � Tinney � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� FPO sem Restri��es de Desigualdade � � � � � � � � � � ���� Restri��es de desigualdade nas vari veis de controle � ���� Restri��es de desigualdade funcionais e nas vari veis de estado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M�todo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� Formula��o B sica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� Sele��o do Conjunto de Restri��es Ativas � � � � � � � �� iv �� M�todo dos Pontos Interiores � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � Avalia �o Est�tica da Estabilidade de Tens�o � ��� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Caracter�sticas P�V e P�Q � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� An lise de Sensibilidade Q�V e P�V � � � � � � � � � � � � � � � � ��� An lise Modal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� M�todo de Continua��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� Reformula��o das Equa��es do Fluxo de Pot�ncia � � � �� �� �� Etapa de Previs�o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� �� Etapa de Corre��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A Sistemas de Equa �es Alg�bricas Lineares ��� A�� Introdu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� A�� M�todos de Solu��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A�� M�todos Diretos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� A���� Elimina��o de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� A���� Fatora��o LU � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A�� Ordena��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A���� Ordena��o para Preservar a Esparsidade � � � � � � � � ��� A���� Representa��o da Estrutura de Matrizes por Grafos � � ��� A���� Esquemas de Ordena��o � � � � � � � � � � � � � � � � � �� A� Armazenamento de Matrizes Esparsas � � � � � � � � � � � � � �� A�� M�todos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A���� M�todo de Jacobi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A���� M�todo de Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A���� M�todo de Sobrerelaxa��o sucessiva �SOR� � � � � � � ��� A���� Converg�ncia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� A��� M�todo do Gradiente Conjugado � � � � � � � � � � � � ��� A���� M�todo do Gradiente Conjugado Pr��condicionado � � �� A��� M�todo do Gradiente Bi�Conjugado Estabilizado � � � ��� B Programa �o N�o�Linear ��� B�� Enunciado Geral � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B���� Casos Particulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B�� Representa��o Gr �ca � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B�� Condi��es de Otimalidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B���� PPNL sem Restri��es � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B���� PPNL com Restri��es de Igualdade � � � � � � � � � � � ��� B���� PPNL com Restri��es de Igualdade e Desigualdade � � ��� B�� M�todos de Solu��o do PPNL sem Restri��es � � � � � � � � � ��� B���� Minimiza��o Unidirecional � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B���� M�todo do Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� B���� M�todo deNewton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� v B� M�todos de Solu��o do PPNL com Restri��es � � � � � � � � � ��� B� �� M�todo das Penalidades � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� C Programa �o Linear �� C�� O Problema de Programa��o Linear � � � � � � � � � � � � � � ��� C�� Caracteriza��o Alg�brica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C�� O M�todo Simplex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C�� Forma Matricial do M�todo Simplex � � � � � � � � � � � � � � � C� Dualidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C�� An lise de Sensibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� vi Cap�tulo � Sistemas El�tricos de Pot�ncia ��� Introdu��o Este cap�tulo apresenta uma vis�o geral do estudo de Sistemas El�tricos de Pot�ncia �SEP� dos pontos de vista de sua estrutura funcional� planejamento e opera��o� estudos e ferramentas computacionais� � tamb�m apresentada uma introdu��o ao processo de reestrutura��o do setor el�trico atualmente em andamento� ��� Estrutura Funcional dos SEPs De um ponto de vista funcional� os SEPs apresentam uma estrutura como mostrada na Figura ���� Seus principais componentes s�o os subsistemas de� � Gera��o� composto pelas usinas ou centrais geradoras� Essas centrais podem ser do tipo hidrel�trica� t�rmica �carv�o� �leo� gas natural� etc�� ou nuclear� As centrais hidrel�tricas� em geral� s�o localizadas em pon� tos distantes dos centros de consumo� exigindo sistemas de transmiss�o complexos e em tens�o elevada� � Transmiss�o� constitu�do pelas linhas de transmiss�o e equipamentos auxiliares necess rios para transmitir a pot�ncia produzida nas cen� trais geradoras at� os centros de consumo� Os sistemas de transmiss�o Gera��o Transmiss�o Distribui��o � � � � Energia Prim�ria Consumidores Figura ���� Estrutura funcional de um SEP � � An�lise de Redes El�tricas podem ser em corrente alternada �CA� ou em corrente cont�nua �CC�� sendo os �ltimos utilizados apenas no caso de transmiss�o de grandes blocos de pot�ncia a longas dist�ncias� � Distribui��o� constitu�do pelas subesta��es e alimentadores respons � veis pela distribui��o da energia el�trica aos consumidores industriais� comerciais e residenciais� Em geral� incluem tamb�m uma parte local do sistema de transmiss�o� em tens�o mais baixa� o qual recebe a denomina��o de subtransmiss�o� Na �gura ��� � apresentado o diagrama uni�lar de um SEP onde s�o ilustrados os subsistemas acima referidos� Nesse sistema hipot�tico� existem duas grandes centrais geradoras hidrel�tricas localizadas a grande dist�ncia do centro de consumo� Uma delas � conectada ao sistema atrav�s de uma linha de transmiss�o em CC �� ��� kV� e a outra atrav�s de uma linha de transmiss�o em CA � � kV�� Parte da energia dessas centrais � utilizada por um sistema de distribui��o� constitu�do por linhas de subtransmiss�o ���� kV� e por v rias subesta��es de distribui��o �apenas uma delas � mostrada na �gura�� Um grande consumidor industrial � alimentado diretamente do sis� tema de subtransmiss�o� Tamb�m existe nesse sistema uma central t�rmica de m�dio porte� A partir da subesta��o de distribui��o� partem alimenta� dores na tens�o de ���� kV� os quais alimentam consumidores industriais nesse n�vel de tens�o e consumidores comerciais e residenciais atrav�s de uma rede secund ria de distribui��o em ������ V� Conectada diretamente � rede de distribui��o existe uma pequena central geradora de propriedade de um consumidor industrial a qual fornece energia ao sistema quando seu propriet rio pode dispor da mesma� ����� Sistema El�trico Brasileiro O sistema el�trico brasileiro tem uma capacidade instalada de aproximada� mente ����� MW� predominantemente de origem hidrel�trica �� ��� e pos� sue um sistema de transmiss�o constitu�do por aproximadamente � ����� km de linhas de transmiss�o com n�veis de tens�o variando de ��� kV a � kV� A energia produzida anualmente nesse sistema � da ordem de ��� TWh� sendo � � de origem hidrel�trica� Existem cerca de �� milh�es de consumidores conectados ao sistema dos quais ��� milh�es s�o consumidores residenciais� Para esses consumidores� o consumo de energia per capita � de ��� kWh�ano� Existem presentemente dois subsistemas fracamente acoplados no Brasil� o sistema Sul�Sudeste�Centro�Oeste �S�SE�CO� e o sistema Norte�Nordeste �N�NE�� Esses sistemas foram interligados recentemenente atrav�s de um lin� ha de transmiss�o em �� kV ligando a subesta��o de Imperatriz �Maranh�o� com a usina de Serra da Mesa �Goi s�� Esta interconex�o tem como objeti� vo explorar a diversidade hidrol�gica entre os dois sistemas� permitindo um ganho energ�tico da ordem de ��� MW�ano� COPPE�UFRJ � �� �� ii ii �� �� ii ii ii ii � i i ii �� �� �� �� ii i i i i � ���� � Transmiss�o Subtransmiss�o Distribui��o � ��� kV DC ��� kV �� kV �� kV ������� V ��� kV Q Q Figura ���� Diagrama uni�lar de um SEP t�pico � An�lise de Redes El�tricas O sistema S�SE�CO tem uma capacidade instalada de ��� �� MW� con� siderando somente �� ������ MW� da capacidade instalada na usina de Itaipu� possui �� usinas hidrel�tricas ������� MW � ������ e � usinas ter� mel�tricas ������ MW � ������ Neste sistema est localizada a maior central hidrel�trica do pa�s �Itaipu� ������ MW� e tamb�m o �nico sistema de trans� miss�o em CC �Itaipu�Ibi�na� bipolo � ��� kV�� O sistema N�NE tem uma capacidade instalada de ���� � MW� possui �� usinas hidrel�tricas ����� � MW � � ���� e � usinas termel�tricas ���� MW � ������ Esse sistema englo� ba parte da regi�o amaz nica� Al�m desses dois sistemas principais� existem pequenos sistemas isolados� particularmente na Amaz nia� A Figura ��� apresenta a representa��o geogr �ca da malha principal de trasmiss�o do sistema brasileiro� ��� Planejamento e Opera��o de SEPs As atividades da engenharia de SEPs podem ser classi�cadas em tr�s catego� rias principais baseando�se nos horizontes de tomada de decis�o considerados e as a��es permitidas no mesmo� Essas categorias s�o� � Planejamento da Expans�o� tem como objetivo determinar� dentro de um horizonte de longo prazo �at� �� anos�� os novos equipamentos a serem instalados no sistema visando atender um aumento previsto da demanda de energia el�trica� Geralmente� o planejamento � realizado de forma mais ou menos independente nos diversos blocos funcionais do sistema� No caso da gera��o e transmiss�o� existe uma integra��o mais forte do processo de planejamento� � Planejamento da Opera��o� tem como objetivo estabelecer uma es� trat�gia de opera��o� incluindo planos de emerg�ncia� para um hori� zonte de m�dio prazo �por exemplo� at� anos para sistemas hidro� t�rmicos com regula��o plurianual como � o caso do Brasil�� Nor� malmente � subdividido em um planejamento da opera��o energ�tica� no qual se analisa a melhor estrat�gia para utiliza��o dos recurso en� erg�ticos � gua dispon�vel e prevista para a!uir aos reservat�rios� em contraposi��o ao uso de combust�vel nas usinas t�rmicas� e um plane� jamento da opera��o el�trica� no qual s�o analisados os impactos das decis�es energ�ticas� do progrma de manuten��o� etc�� no desempen� ho do sistema de transmiss�o� visando garantir um n�vel adequado de con�abilidade� � Opera��o em Tempo�Real� tem como objetivo atender � demanda ins� tant�nea do sistema� segundo as diretivas do planejamento da oper� a��o� com desvios m�nimos em rela��o �s tens�es e frequ�ncia nomi� nais e minimizando as interrup��es no fornecimento de energia� At� ualmente � realizado a partir dos Centros de Opera��o de SistemasCOPPE�UFRJ Figura ���� Malha principal do sistema interligado brasileiro � An�lise de Redes El�tricas os quais posuem facilidades para aquisi��o remota de dados e teleco� mando �SCADA� e sistemas computacionais capazes de fornecer aos operadores condi��es mais adequada de tomadas de decis�es e a��es de controle� ��� Estudos e Ferramentas Computacionais Para executar as tarefas relacionadas ao planejamento e opera��o de SEPs descritas no item anterior� os engenheiros de SEP necessitam de ferramentas computacionais para an lise� simula��o e controle� Essas ferramentas per� mitem aos engenheiros a tomada de decis�es com rela��o ao planejamento de expans�o� � melhor estrat�gia de opera��o e ao efetivo controle do sistema� A seguir s�o listadas algumas ferramentas e tipos de estudos utilizados nos v rios est gios da engenharia de SEPs� � Ferramentas B sicas de An lise e Simula��o� � C lculo de Fluxo de Pot�ncia" � C lculo de Curto�Circuito" � Simula��o da Din�mica Eletromec�nica" � An lise Modal" � Simula��o de Transit�rios Eletromagn�ticos� � Ferramentas de Otimiza��o e Avalia��o Probabil�stica� � Fluxo de Pot�ncia #timo" � Fluxo de Pot�ncia Probabil�stico" � Avalia��o da Con�abilidade de Sistemas de Gera��o� Transmiss�o e Distribui��o" � Avalia��o da Con�abilidade Composta de Sistemas de Gera��o� Transmiss�o� � Estudos�Ferramentas de Planejamento da Expans�o� � Previs�o de Carga a Longo Prazo" � Expans�o do Sistema de Gera��o" � Expans�o do Sistema de Transmiss�o" � Expans�o do Sistema de Distribui��o� � Estudos�Ferramentas de Planejamento da Opera��o� � Previs�o de Carga a M�dio Prazo" � Programa��o Hidrot�rmica" COPPE�UFRJ � Programa��o da Manuten��o" � Esquemas de Emerg�ncia" � Determina��o da Reserva Operativa� � Ferramentas da Opera��o em Tempo�Real� � Sistema de Aquisi��o de Dados e Supervis�o �SCADA�" � Estima��o de Estado e Con�gura��o da Rede" � Previs�o de Carga a Curto�Prazo" � Avalia��o Est tica e Din�mica da Seguran�a� ��� Reestrutura��o dos SEPs As empresas de energia el�trica em quase todos os pa�ses do mundo est�o passando por um processo de reestrutura��o� Essas mudan�as iniciaram�se na d�cada de �� no Reino Unido �Inglaterra� Esc�cia e Pa�s de Gales� e em alguns pa�ses da Am�rica Latina �Chile� Bol�via� etc��� e foram estendidas a outros pa�ses na d�cada de ��� As motiva��es principais para o proce� so de reestrutura��o do setor el�trico n�o s�o necess riamente as mesmas em todos os pa�ses� Em alguns casos� como no Reino Unido e pa�ses da Am�rica Latina� a reestrutura��o acompanhou o processo de privatiza��o do setor el�trico� direcionado para atrair capitais privados e liberar o governo dos pesados investimentos necess rios � expans�o do setor� Nos pa�ses do Leste Europeu� o processo segue uma tend�ncia generalizada de privatiza��o e descentraliza��o administrativa� Nos Estados Unidos e em outros pa�ses� onde as empresas de energia el�trica em sua maior parte j eram empre� sas privadas� a reestrutura��o tem como objetivo aumentar a competi��o e desregulamenta��o� visando diminuir o custo da energia para o consumidor �nal e conduzir a uma utiliza��o mais e�ciente dos recursos energ�ticos e melhor preserva��o do ambiente� No modelo antigo� as empresas de energia el�trica t�m uma estrutura ver� tical� englobando� na maioria dos casos� os segmentos de gera��o� transmiss�o e distribui��o� Essas empresas recebem uma concess�o para o fornecimen� to de energia para uma determinada regi�o do pa�s e atendem a demanda nessa regi�o usando a energia gerada no seu pr�prio sistema� ou adquirida de empresas vizinhas� mediante contratos de longo ou curto prazos� Em alguns sistemas� contratos de fornecimento de energia entre empresas n�o diretamente conectadas eletricamente podem existir� exigindo a transfer�n� cia de energia atrav�s do sistema de transmiss�o de uma terceira empresa �wheeling�� O modelo � fortemente regulado e n�o existe a possibilidade de uma empresa comercializar energia diretamente a consumidores fora de sua rea de concess�o� Do ponto de vista econ mico� o sistema opera como um � An�lise de Redes El�tricas D T �� �� G T �� �� G D T � � � � � � � � � � a a a a � � � � � � � Coordenador Figura ���� Opera��o do SEP como monop�lio regulado monop�lio regulado� Em geral existe algum mecanismo coordenador da op� era��o do sistema interligado o qual orienta as diversas empresas com com rela��o ao melhor aproveitamento dos recurso energ�ticos e con�abilidade do sistema el�trico� Este modelo � ilustrado na �gura ���� Uma grande variedade de modelos de reestrutura��o do setor el�trico t�m sido propostos� Na maioria desses modelos� o desmembramento �unbundling� dos segmentos de gera��o� transmiss�o e distribui��o em diferentes empresas� est presente� A transmiss�o e a distribui��o s�o consideradas monop�lios naturais e� em geral� continuam reguladas de maneira a permitir um am� biente competitivo para empresas de gera��o e comercializa��o� As empre� sas de transmiss�o e distribui��o s�o obrigadas a permitir o acesso ao seu sistema� mediante a cobran�a de um servi�o de transmiss�o �ped gio�� pos� sibilitando as transa��es de energia entre quaisquer empresas de gera��o e comercializa��o� desde que as restri��es operativas do sistema assim o per� mitam� Em v rios pa�ses� a opera��o do sistema � delegada a um ou mais Op� eradores Independentes do Sistema � OIS �Independent Systems Operators � ISO�� sem nenhum interesse �nanceiro no mercado de energia el�trica� O es� copo da atua��o do OIS� suas atribui��es e responsabilidades� variam de um pa�s para outro ou mesmo entre OISs de um mesmo pa�s� No m�nimo� o OIS ter um papel semelhante ao coordenador de opera��es do modelo antigo� No outro extremo da escala� o OIS pode ser respons vel pelo planejamento da expans�o da transmiss�o� planejamento da opera��o el�trica e energ�ti� ca� e opera��o em tempo�real� O OIS poder ou n�o ser o propriet rio dos sistemas de transmiss�o sob sua responsabilidade� Da mesma forma� o OIS poder ou n�o operar o mercado de energia el�trica� Em alguns casos� a opera��o do mercado � delegada a uma outra entidade denominada de Bolsa de Energia �Power Exchange � PX�� Em muitos casos� o OIS � respons v� COPPE�UFRJ � T T T � � � b b � � � � � G GG G Agregadores D D D � � � � � � � � � � L L L L AOS � � � � Servi�os Ancilares � � � � Agente Regulador �� �� �� �� �� �� �� �� � � � J J J J J � � � � � � � � � � � � � � Bolsa de Energia Figura �� � Opera��o do SEP em um ambiente competitivo el por oferecer os chamados Servi�os Ancilares �Ancillary Services� os quais incluem o controle autom tico de gera��o� suporte de reativos� reserva opera� tiva� etc� Em outros casos� o OIS coordena um mercado de Servi�os Ancilares providos por outras empresas� Finalmente� o novo modelo geralmente inclue uma ag�ncia governamental �Agente Regulador� respons vel pelo controle e supervis�o do funcionamento do mercado de energia e o cumprimento dos direitos dos consumidores� Uma tentativa de ilustrar o novo modelo dos SEPs � mostrado na Figura �� � ����� Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro O setor el�trico brasileiro vem passando por um processo de privatiza��o e reestrutura��o com caracteristicas similares �quelas descritas na se��o ante� rior� V rias empresas distribuidoras de energia el�trica e� pelo menos uma das empresas federaisde gera��o� j foram privatizadas� V rios projetos de constru��o de novas usinas est�o em andamento com a participa��o da iniciativa privada� Dentro do processo de reestrutura��o� v rias institui��es foram criadas entre as quais pode�se destacar� ANEEL� Ag�ncia Nacional de Energia El�trica� #rg�o governamental res� pons vel pela regulamenta��o e �scaliza��o do setor el�trico� ONS� Operador Nacional do Sistema El�trico� Empresa privada respos vel pela opera��o do sistema interligado� ASMAE� Mercado Atacadista de Energia� Entidade privada respons vel pelo mercado de compra e venda de energia� �� An�lise de Redes El�tricas Informa��es detalhadas sobre o Projeto de Reestrutura��o do Setor El�trico Brasileiro pode ser encontrada na Home Page do Minist�rio das Minas e Energia no endere�o abaixo� http���www�mme�gov�br� Cap�tulo � Modelos de Componentes ��� Introdu��o Este cap�tulo apresenta uma revis�o de modelos de componentes de SEP uti� lizados em estudos de regime permanente� particulamente no caso do c lculo de !uxo de pot�ncia e estudos neste baseado� Na obten��o desses modelos� assume�se que os dispositivos s�o equilibrados e operados em regime perma� nente senoidal � freq$�ncia industrial � �Hz ou ��Hz�� Maiores detalhes com rela��o aos modelos apresentados neste cap�tulo podem ser encontrados em %�&� %� &� %�& e %��&� Os modelos dos seguintes elementos s�o apresentados a seguir� � Linhas de transmiss�o em CA" � Elos CC" � Transformadores" � Geradores e Compensadores S�ncronos" � Bancos de Capacitores e Indutores" � Compensadores Est ticos" � Cargas� ��� Linhas de Transmiss�o em CA Nas aplica��es abordadas neste trabalho� as linhas de transmiss�o em CA s�o modeladas como um circuito ��equivalente %�& como mostrado na Figura ��� cujos par�metros s�o dados por� z km � r km � jx km � z c senh��l� ����� y s km � g s km � jb s km � � z c tanh��l��� ����� �� �� An�lise de Redes El�tricas k m z km � r km �jx km y s km �� y s km �� Figura ���� Circuito equivalente de linha de transmiss�o Tabela ���� Valores t�picos dos par�metros de linhas de transmiss�o Par�� Linhas A�reas Cabos metros ��� kV �� kV ��� kV �� kV R ���km� ��� � ����� ����� ����� x L � �L ���km� ����� ���� ����� ���� b c � �C ��� �� �km� ��� � ���� �� �� ��� onde l � comprimento da linha �km�" z c � p z�y � imped�ncia caracter�stica ���" � � p yz � constante de propaga��o" z � R� j�L � imped�ncia s�rie ���km�" y � G� j�C � admit�ncia shunt �� �� �km�� R�G�L e C nas express�es acima representam� respectivamente� a re� sist�ncia� a condut�ncia� a reat�ncia e a capacit�ncia por km da linha� O procedimento para c lculo desses par�metros pode ser encontrado em v rios livros textos� por exemplo na refer�ncia %� &� Na tabela ��� s�o apresentados par�metros t�picos de linhas a�reas e cabos subterr�neos em CA para v rios n�veis de tens�o %��&� ��� Elos CC Um sistema de transmiss�o em corrente cont�nua �CC�� ou simplesmente um elo CC� � basicamente constitu�do por� � Sistema em corrente alternada �AC� supridor" � Terminal conversor de corrente alternada em cont�nua �reti�cador�" COPPE�UFRJ �� � Transformadores com comuta��o autom tica sob carga dos conver� sores" � Linha de transmis�o em corrente cont�nua" � Sistema de aterramento � Terminal conversor de corrente cont�nua em alternada �inversor�" � Sistema em corrente alternada �AC� receptor� Os elos CC podem ser con�gurados de formas distintas sendo as seguintes as mais utilizadas na pr tica %��&� � Elo Monopolar� a linha CC utiliza um �nico condutor� normalmente de polaridade negativa� com retorno pelo solo ou pela gua" � Elo Bipolar� a linha CC possui dois condutores� um positivo e outro negativo" cada terminal tem dois conversores id�nticos conectados em s�rie e cuja jun��o � aterrada" � Elo Homopolar� a linha CC possui dois ou mais condutores� todos de mesma polaridade� geralmente negativa� e opera sempre utilizando retorno pelo solo ou pela gua� A Figura ��� representa de forma esquem tica um elo monopolar e ser utilizada como base para a apresenta��o do modelo de elos CC� Nessa �gura o Sistema AC� � o supridor de pot�ncia e o sistema AC� � o receptor� Figura ���� Representa��o esquem tica de um elo CC �monopolar� O desenvolvimento de modelos de elos CC exige a representa��o detalha� da do funcionamento dos conversores e componentes auxiliares� Para efeito de estudos em regime permanente� � su�ciente utilizar um modelo do tipo circuito equivalente� como aquele desenvolvido em %�&� o qual � mostrado na Figura ��� O modo de opera��o mais comum de um elo CC � obtido con�gurando� se o reti�cador para manter a corrente na linha CC constante e o inversor �� An�lise de Redes El�tricas Figura ���� Circuito equivalente da linha CC operando com �ngulo de extin��o m�nimo� Nesta forma de opera��o� as re� la��es entre as vari veis do circuito equivalente do elo s�o as seguintes %��&� Equa��es do Inversor V di � K i E i cos� min �R ci I d ����� K i � � p � � b i t i ����� R ci � � � X ci b i ��� � � i � cos �� �V di �K i E i � ����� P i � V di I d ��� � Q i � P i tan� i ����� Equa��es do Reti�cador V dr � V di �R L I d ����� � � cos �� � V dr K r E r � X cr I d p �E r t r � ������ K r � � p � � b r t r ������ R cr � � � X cr b r ������ � r � cos �� �V dr �K r E r � ������ P r � V dr I d ������ Q r � P r tan� r ���� � onde V di e V dr � tens�es na linha CC nos terminais do inversor e do reti�cador" COPPE�UFRJ � E i e E r � valores rms das tens�es CA nos terminais do inversor e do reti�� cador" I d � corrente na linha CC" R L � resist�ncia da linha CC" � min � valor m�nimo do �ngulo de extin��o do inversor" b i e b r � n�mero de pontes de conversores em s�rie no inversor e no reti�� cador" t i e t r � posi��es dos taps dos transformadores do inversor e do reti�cador" X ci e X cr � reat�ncias de comuta��o� por ponte e por fase� do inversor e do reti�cador" P i e P r � pot�ncia ativa retirada do inversor e injetada no reti�cador" Q i e Q r � pot�ncia reativa demandada pelo conversor e reti�cador� Equa��es similares �s mostradas acima podem ser desenvolvidas para outros modos de opera��o do elo CC e podem ser encontradas na refer�ncia%��&� A solu��o conjunta dos sistemas CA e do elo CC � relizada de forma iterativa� processando�se alternadamente as equa��es do modelo AC e do modelo CC� considerando�se constantes as vari veis externas do modelos CC e CA� respectivamente� Nos sistemas CA� as vari veis externas consideradas s�o as tens�es E i e E r enquanto que no elo CC essas vari veis s�o P i � P r � Q i e Q r � ��� Transformadores Na representa��o de transformadores em estudos de regime permanente � usual desprezar�se as resist�ncias dos enrolamentos� as perdas no n�cleo e a in!u�ncia da corrente de magnetiza��o� Desta forma� o transformador � rep� resentado simplesmente por um transformador ideal� com rela��o de transfor� ma��o dada por N p �N s � em s�rie com sua reat�ncia de dispers�oequivalente x t � como mostrado na Figura ����� Esta reat�ncia � obtida atrav�s de ensaios de curto�circuito nos terminais do transformador� � � � �� �� � � � � �� �� �� �� � k m x t N p N s Figura ���� Circuito equivalente de transformador �� An�lise de Redes El�tricas Na representa��o em pu� caso as bases de tens�o no prim rio e secund rio do transformador sejam escolhidas com rela��o igual a N p �N s � o transfor� mador ideal desaparece do circuito equivalente o qual apresenta o aspecto mostrado na Figura �� � k m x t �pu� Figura �� � Circuito equivalente de transformador em por unidade �pu� ����� Transformadores com rela��o de transforma��o vari� vel sob carga Suponha uma rela��o de transforma��o gen�rica dada por� t � N p �N s � a e j� ������ Dependendo dos valores assumidos por a e � em ������� teremos a seguinte correspond�ncia com o componente a ser representado� � � � e a �� � � Transformador com varia��o automatica de tap sob carga �LTC � �" a � � e � �� � � Transformador defasador � � Do circuito equivalente do transformador mostrado na Figura ���� onde a reat�ncia x T foi substituida por uma admit�ncia gen�rica y� temos� V p I � p � E s ��I � s � ���� � V p E s � � I � s I � p � t ������ � Load Tap Changer� s�o utilizados como elementos de controle de tens�o ou de �uxo de reativos� � Os transformadores defasadores s�o usados para controlar of �uxo de pot�ncia ativa em um circuito� � � � �� �� � � � � �� �� �� �� � y � �� � � �� �� � � � u u u u u � � � u � � V p E s V s I s I p t�� Figura ���� Circuito equivalente do transformador COPPE�UFRJ � k m y a ��a a � y a�� a y Figura �� � Circuito equivalente de transformador com varia��o autom tica de tap sob carga I s � �y�E s � V s � � �y� V p t � V s � ������ I p � y t � �E s � V s � � y t � � V p t � V s � ������ as quais podemos reunir na forma matricial � I p I s � � y � ��tt � ���t � ���t � � � V p V s � ������ No caso dos LTC's �� � �� t � a�� temos � I p I s � � y � ��a � ���a ���a � � � V p V s � ������ e no caso dos transformadores defasadores �a � �� t � e j� �� temos � I p I s � � y � � �e j� �e �j� � � � V p V s � ������ No caso dos LTC's� a partir da equa��o ������ � poss�vel sintetizar o modelo ��equivalente mostrado na Figura �� � O mesmo n�o � poss�vel para o caso dos transformadores defasadores devido � assimetria da matriz presente na equa��o ������� ����� Transformadores trif sicos Os transformadores trif sicos� no caso de opera��o em condi��es equili� bradas� utilizam uma representa��o do modelo de sequ�ncia positiva id�ntico �quela mostrada nos itens anteriores� �� An�lise de Redes El�tricas r k m n x p x s x t f Figura ���� Circuito equivalente de transformador com tr�s enrolamentos ���� Transformadores com tr�s enrolamentos Transformadores com tr�s enrolamentos s�o� normalmete� representados por circuitos em estrela como mostrado na Figura ���� Essa representa��o in� troduz um n� �ct�cio na rede �n� f� o qual n�o existe �sicamente no trans� formador� Os par�metros do circuito equivalente da Figura ��� s�o obtidos a partir dos valores das reat�ncias de dispers�o entre os enrolamentos �x ps � x pt e x st � as quais s�o obtidas atrav�s de ensaios de curto�circuito em pares de enrolamentos com o terceiro enrolamento aberto� Os valores de x p � x s e x t s�o obtidas resolvendo�se o seguinte sistema de equa��es x p � x s � x ps ������ x p � x t � x pt ���� � x s � x t � x st ������ ���� � de onde resulta x p � � � �x ps � x pt � x st � ������ x s � � � �x ps � x st � x pt � ������ x t � � � �x pt � x st � x ps � ������ Deve�se notar que� de acordo com ������� ������ e ������� � poss�vel que existam reat�ncias negativas na representa��o da Figura ���� ��� Geradores e Compensadores S�ncronos O circuito equivalente normalmente usado para representar uma m quina s�ncrona em an lise de regime permanente � uma fonte de tens�o constante em s�rie com uma imped�ncia como mostrado na Figura ����a�� A Figura ����b� apresenta o mesmo circuito equivalente usando uma fonte de corrente COPPE�UFRJ �� i � i � � � � � �a� �b� �c� E k I k S k z g y g V k V k V k k k k Figura ���� Modelo de gerador ou compensador s�ncrono em paralelo com uma admit�ncia� A Figura ����c� apresenta o modelo de gerador ou compensador s�ncrono normalmente utilizado em estudos de !uxo de pot�ncia o qual � derivado do circuito equivalente da m quina s�ncrona atrav�s da rela��o� S k � V k I � k � P k � jQ k ������ Usando o modelo da Figura ����c� e equa��o ������� o gerador pode ser modelado como uma fonte de pot�ncia ativa e reativa constantes �P k e Q k especi�cados� ou como uma fonte de pot�ncia ativa constante e controlador ideal de tens�o �P k e V k especi�cados�� Em ambas as situa��es� as vari veis n�o�especi�cadas do modelo� V k no primeiro caso e Q k no segundo� somente podem assumir valores em um intervalo �limites operativos�� No caso do compensador s�ncrono� adota�se a segunda formula��o com P k � �� �� Bancos de Capacitores e Indutores Os bancos de capacitores e indutores s�o representados por valores �xos de reat�ncias indutivas ou capacitivas conectadas entre as barras e a refer�ncia como mostrado na Figura ����� � � � � � � � �� � k k jb l k jb c k �a� �b� Figura ����� Circuito equivalente de bancos de capacitores e indutores �� Compensadores Est�ticos Os compensadores est ticos s�o bancos de capacitores e�ou indutores chavea� dos eletronicamente� A denomina��o est tico vem do fato de� contrariamente �� An�lise de Redes El�tricas � � � � � � � �� � C k L � � V c I c � � I c V c V � �a� �b� Indutor Capacitor Figura ����� Compensador est tico ideal ao que acontece com os compensadores s�ncronos� estes dispositivos n�o pos� suirem partes m�veis� Exemplos de compensadores est ticos s�o� � Reator controlado por tiristores �TCR�" � Capacitor chaveado por tiristores �TSC�" � Reator chaveado por tiristores �TSR�� A combina��o de compensadores est ticos com bancos de capacitores e in� dutores chaveados mecanicamente produz os chamados sistemas de compen� sa��o est tica� O desempenho de um compensador est tico ideal � mostrado na Figura ����� As Figuras ���� e ���� mostram as caracter�sticas de funcionamento de um sistema de compensa��o est tica formado por um reator controlado e um capacitor �xo� Em estudos de !uxo de pot�ncia� os compensadores est ticos s�o mode� lados da seguinte maneira %� &� � Opera��o entre limites� fonte de tens�o �V � � em s�rie com reat�ncia representando a inclina��o da curva caracter�stica �Figura �����c�� � Opera��ofora dos limites� reator�capacitor �xo� � � � � � � � �� � C k L � I s �c� � � C k � I c �b� � � � � � �� � k L � I L �a� Figura ����� Compensador est tico real composto de reator controlado e capacitor �xo COPPE�UFRJ �� � � � � � � V V V I L I C I S �c��b��a� L max L min V � K s Figura ����� Caracteristica do compensador est tico composto ��� Cargas As cargas conectadas a um sistema de pot�ncia s�o formadas por agregados de milhares de dispositivos tais como motores �de indu��o� na maioria dos casos�� dispositivos de ilumin��o e aparelhos el�tricos em geral� Esses agre� gados s�o geralmente modelados como uma carga concentrada equivalente em uma barra do sistema de transmiss�o� Nesta carga est�o representados� tamb�m� os efeitos do sistema de subtransmiss�o e distribui��o �linhas� ca� bos� dispositivos de compensa��o de reativos� etc��� A pot�ncia consumida pela carga varia com a tens�o e a frequ�ncia de maneira diferente para os diversos componentes da mesma� Em estudos de regime permanente� as cargas s�o geralmente represen� tadas pelos seguintes modelos %��&� ����� Modelo Composto � ZIP A carga pode ser� tamb�m� representada por um modelo composto com diferentes propor��es de carga dos tipos imped�ncia� corrente e pot�ncia constantes� Esse modelo � conhecido como modelo ZIP �Z� impded�ncia� I� corrente e P� pot�ncia� e � de�nido por P � P � � p � � V V � � � � p � � V V � � � p � � ������ Q � Q � � q � � V V � � � � q � � V V � � � q � � ������ ������ onde p i � q i � i � �� �� � s�o pondera��es que de�nem a propor��o de cada componente do modelo� �� An�lise de Redes El�tricas Tabela ���� Modelos de cargas Expoente Tipo de Carga Modelo � Pot�ncia Constante P � P � � Corrente Constante P � V P � V � � V I � � Imped�ncia Constante P � V � P � V � � � V � �Z � � Tabela ���� Valores t�picos dos expoentes dos modelos de cargas a b Grande Motor ��� �� � L�mpada Fluorescente ���� ���� L�mpada Incandescente �� � ����� Modelo Exponencial O modelo expenencial para as componentes ativa e reativa da carga � dado por� P � P � � V V � � a ���� � Q � Q � � V V � � b ������ onde P � � Q � e V � s�o valores nominais da carga ativa e reativa e da tens�o e P e Q s�o os valores dessas cargas para a tens�o V � Dependendo do valor assumido pelos expoentes em ���� � e ������ os modelos t�m o signi�cado f�sico apresentado na Tabela ���� Os componentes reais da carga n�o se ajustam perfeitamente a esses modelos sendo t�picos ovalores mostrados na Tabela ���� COPPE�UFRJ �� Exerc�cios �� Para a linha de transmiss�o cujos dados s�o fornecidos a seguir� �a� Estabele�a o circuito ��equivalente �b� Calcule a tens�o no teminal receptor para valores crescentes da carga supondo que a tens�o no terminal transmissor � �xa em ��� pu� Considere um valor inicial da carga de ��� ( j � MVA e ac�scimos de �� MW mantendo constante o fator de pot�ncia� Dados da linha� Base de pot�ncia do sistema� ��� MVA Comprimento� �� km Tens�o nominal� �� kV Resist�ncia ���km�� ����� Reat�ncia indutiva ���km�� ����� Suscept�ncia capacitiva �� �� �km�� �� �� ��� � �� Estabele�a os modelo �em pu� dos transformadores cujos dados s�o fornecidos a seguir para utiliza��o em estudos de !uxo de pot�ncia� Transformador �� LTC Capacidade nominal� � � MVA Tens�o nominal do prim rio� ��� kV Tens�o nominal do secund rio� ���� kV Reat�ncia de dispers�o equivalente� �� � Base de pot�ncia do sistema� ��� MVA Varia��o de tap sob carga no enrolamento de baixa tens�o� � ���� kV em �� passos Transformador �� Transformador defasador Capacidade nominal� ��� MVA Tens�o nominal do prim rio� ��� kV Tens�o nominal do secund rio� ��� kV Reat�ncia de dispers�o equivalente� �� � Base de pot�ncia do sistema� ��� MVA Varia��o do defasamento angular� � �� � em �� passos �� An�lise de Redes El�tricas Cap�tulo � Fluxo de Pot�ncia ��� Introdu��o O estudo de !uxo de pot�ncia ou !uxo de carga consiste na solu��o de regime permanente de uma rede el�trica de pot�ncia para uma dada condi��o de carga e gera��o� A solu��o do !uxo de pot�ncia corresponde a uma situa��o hipot�tica de carga constante a qual nunca acontece na opera��o do sistema� Entretanto� esse tipo de estudo � muito importante para a representa��o de condi��es limites na opera��o da rede tais como a opera��o em carga m xima� carga m�nima� etc� A condi��o de carga e gera��o � caracterizada pela de�ni��o da carga ativa e reativa em todos os n�s ou barras da rede e correspondentes valores de gera��o ativa e reativa naqueles n�s onde est�o dispon�veis equipamentos geradores com excess�o de� no m�nimo� um n� ao qual s�o alocadas as perdas na transmiss�o� Limites na capacidade de componentes do sistema e no valor de algumas vari veis s�o tamb�m representados� assim como certos dispositivos de controle dos !uxos de pot�ncia ativa e reativa do sistema� Por se tratar de uma solu��o em regime permanente� o problema de !uxo de pot�ncia � modelado por um conjunto de equa��es e inequa��es alg�bricas� Essas equa��es e inequa��es s�o n�o�lineares pelo fato da gera��o e cargas serem� em parte� modeladas como fontes de pot�ncia constante ou por fun��es das tens�es nodais� O estudo de !uxo de pot�ncia tem aplica��o direta no planejamento da expans�o� no planejamento da opera��o e no controle em tempo�real do sistema el�trico de pot�ncia� Nessas aplica��es se faz necess ria a obten��o de solu��es de regime permanente da rede para se avaliar o desempenho da mesma com rela��o a n�veis de tens�es� !uxos nas linhas� etc�� tanto para a con�gura��o normal quanto para casos de conting�ncias� O c lculo do !uxo da pot�ncia � tamb�m necess rio como elemento auxiliar em estudos de curto�circuito� estabilidade� otimiza��o� con�abilidade� etc� � �� An�lise de Redes El�tricas ��� Formula��o do Problema A formula��o do problema de !uxo de pot�ncia envolve aspectos de mode� lagem da rede de transmiss�o ou distribui��o� das cargas e gera��o e conside� ra��es sobre certas caracter�sticas operativas do sistema� O resultado dessa combina��o resulta em um conjunto de equa��es e inequa��es alg�bricas n�o�lineares� ���� Modelo da Rede A rede el�trica �� para efeito de estudos de !uxo de pot�ncia� geralmente considerada como sendo constitu�da por elementos trif sicos equilibrados � �linhas� transformadores� etc��� O mesmo acontece com as cargas e a gera��o� Conseq$entemente� a rede pode ser analisada usando�se uma representa��o monof sica com os par�metros de seq$�ncia positiva� Os elementos constituintes da rede t�m o formato geral mostrado na Figu� ra ��� e na Tabela ���� Atrav�s desse elemento gen�rico pode�se representar linhas de transmiss�o� transformadores com ou sem comuta��o autom tica de tap� elementos shunt �reatores� capacitores� etc��� Os transformadores defasadores� por introduzirem assimetria na representa��o da rede� n�o se incluem nessa representa��o e devem receber um tratamento especial como visto no Cap�tulo �� k m y km y k y m Figura ���� Formato geral dos elementos da rede Os elementos da Figura ��� e Tabela ��� t�m o seguinte signi�cado y km � g km � jb km � �� z km ����� z km � rkm � jx km ����� onde r km resist�ncia da linha ou transformador" x km reat�ncia da linha ou transformador" y s suscept�ncia total da linha ou do elemento shunt �reator ou capacitor�" t posi��o do tap do LTC� � Em algumas aplica��es espec��cas importante a utiliza��o de uma modelagem trif si� ca da rede el trica permitindo a representa��o de elementos desequilibrados� Um exemplo importante o caso de redes de distribui��o de energia el trica� COPPE�UFRJ � Admit�ncia Linha Transformador Shunt g km r km jz km j � r km jz km j � t � b km �x km jz km j � �x km jz km j � t � y k y s � �t � �t� jz km j � z � km y s � y m y s � ���t� jz km j � z � km y s � � O valor ser� y s ou zero dependendo do n� onde o elemento est� conectado Tabela ���� Valor das imped�ncias do elemento gen�rico da rede A rede constitu�da pelos elementos gen�ricos de�nidos acima �� ent�o� representada pelas Equa��es Nodais � � I � Y � V ����� onde � I vetor das somas das correntes injetadas nos n�s pelas fontes de corrente" � V vetor das tens�es nodais" Y matriz admit�ncia nodal � cujos elementos s�o� genericamente� representados por Y km � G km � �B km � A pot�ncia aparente l�quida injetada em uma barra � relacionada com as tens�es em todas as barras da rede atrav�s de P k � �Q k � V k I � k � V k � � X m� k V � m Y � km � A k � �� �� � n ����� P k � P G k � P L k ��� � Q k � Q G k �Q L k ����� onde P k pot�ncia ativa l�quida injetada na barra k" Q k pot�ncia reativa l�quida injetada na barra k" P G k pot�ncia ativa gerada na barra k" Q G k pot�ncia reativa gerada na barra k" P L k pot�ncia ativa consumida na barra k" Q L k pot�ncia reativa consumida na barra k" V k tens�o da barra k" � k conjunto das barras diretamente ligadas a k� incluindo k� � Uma deriva��o das equa��es nodais pode ser encontrada� por exemplo� em ���� �� An�lise de Redes El�tricas ���� Tipos de Barras De�nidas as cargas e as gera��es em cada barra do sistema �condi��o de carga e gera��o� e o modelo da rede �matriz Y�� o problema de !uxo de pot�ncia estaria� em princ�pio� perfeitamente de�nido� Isto n�o acontece devido ao fato das perdas n�o serem conhecidas exatamente antes de se conhecer a solu��o do !uxo de pot�ncia� A soma da gera��o em todas as barras do sistema deve ser igual � carga total do sistema mais as perdas� Como estas n�o s�o conhecidas� � necess rio prever uma folga na gera��o de maneira a acomodar as perdas� Isto � obtido deixando n�o especi�cada a gera��o ativa e reativa em pelo menos uma das barras do sistema a qual recebe a designa��o de Barra Flutuante� Swing ou Slack� Esse fato � ilustrado no exemplo a seguir� Exemplo ��� Considere o sistema de � barras mostrado na Figura ���� As equa��es b�sicas do uxo de pot ncia nesse sistema s�o P G � � � Q G � � V � Y �� V � � Y �� V � � Y �� V � � � P G � � � Q G � � V � Y �� V � � Y �� V � � Y �� V � � � �P L � � � Q L � � V � Y �� V � � Y �� V � � Y �� V � � � Nas equa��es acima� os elementos de Y e as cargas e gera��es �P G � � Q G � � ��� s�o conhecidos� As tens�es nodais � V � � V � e V � s�o as inc�gnitas do problema� Existem� ainda� duas inc�gnitas impl�citas� as perdas ativas e reativas totais� Sem o conhecimento dessas� n�o � poss�vel �fechar� o balan�o de pot ncia no sistema� Isso �ca claro na equa��o abaixo correspondente ao balan�o de pot ncia ativa P G � � P G � � P L � � P L onde P L representa as perdas ativas totais do sistema� Para se conhecer os valores das perdas� entretanto� precisamos conhecer a solu��o do uxo de pot ncia� Ou seja� para formular corretamente o problema seria necess�rio conhecer a solu��o do problema� J J J J � � � � �� �� �� �� � � � � Figura ���� Sistema usado no Exemplo ��� COPPE�UFRJ �� A solu��o cl�ssica do �dilema� acima consiste na introdu��o do conceito de �Barra Flutuante�� isto �� uma barra onde deixa�se �em aberto� os valores da pot ncia ativa e reativa injetadas na rede � � Em termos matem�ticos� isto equivale a retirar uma das equa��es do conjunto acima� Supondo que a barra escolhida como barra utuante seja a de n�mero �� ent�o o novo sistema de equa��es ser� P G � � � Q G � � V � Y �� V � � Y �� V � � Y �� V � � � �P L � � � Q L � � V � Y �� V � � Y �� V � � Y �� V � � � Nesse novo sistema de equa��es o balan�o de pot ncia n�o precisa ser atendi� do� A diferen�a ser� suprida por P G � e Q G � � Para compensar a diminui��o de uma equa��o� deve�se �xar o valor de uma das inc�gnitas� Por raz�es de ordem pr�tica� a tens�o escolhida � a da barra utuante� Nessas condi��es� o sistema de equa��es acima pode ser resolvido para as vari�veis V � e V � � Em seguida� podemos calcular as inje��es de pot ncia ativa e reativa na barra utuante usando a equa��o deixada de fora� ou seja� P G � � � Q G � � V � Y �� V � � Y �� V � � Y �� V � � � Como mostrado no exemplo anterior� a tens�o �em m�dulo e �ngulo de fase� da barra !utuante deve ser especi�cada� isto �� fornecida como um dado para o problema de !uxo de pot�ncia� Por essa raz�o� e pelo fato das perdas totais serem alocadas � mesma� a barra !utuante deve ser uma barra na qual est conectada um gerador capaz de fornecer pot�ncia � rede e regular a tens�o em seus terminais� Como o �ngulo de fase da tens�o nessa barra tamb�m � especi�cado� a tens�o da barra !utuante passa a exercer o papel de refer�ncia angular do sistema� � poss�vel� por�m nem sempre necess rio� utilizar�se mais de uma barra !utuante na formula��o do problema de !uxo de pot�ncia� As situa��es que justi�cam a utiliza��o de m�ltiplas barras !utuantes ser�o abordadas em se��es seguintes destas notas de aula� Al�m da barra !utuante� � usual introduzir�se um outro tipo especial de barra no estudo de !uxo de pot�ncia na qual o m�dulo da tens�o � especi� �cado� Esse tipo de barra tem por �nalidade representar a a��o de equipa� mentos com capacidade de regula��o de tens�o �geradores� compensadores s�ncronos e est ticos� etc��� Esse tipo de barra recebe a denomina��o de Barra de Tens�o Controlada� As barras de tens�o controlada tem um papel importante na determina��o do per�l de tens�o do sistema e� como veremos em se��es seguintes� in!uenciam de forma signi�cativa as caracter�sticas de converg�ncia dos m�todos de solu��o do !uxo de pot�ncia� A cada barra do sistema est�o associadas quatro vari veis� P k � Q k � V k � e k � P ke Q k s�o� respectivamente� as componentes ativa e reativa da pot�ncia � Nos casos pr ticos� o balan�o de pot�ncia reativa realizado de forma distribu�da pela introdu��o das chamadas Barras de Tens�o Controlada� como veremos a seguir� �� An�lise de Redes El�tricas l�quida �gera��o menos carga� injetada na barra� V k e k s�o� respectivamente o m�dulo e �ngulo de fase da tens�o na k��sima barra do sistema� As tens�es podem tamb�m ser representadas na forma retangular e� neste caso V k e k seriam substitu�dos por e k e f k � respectivamente� as partes reais e imagin rias da tens�o� As quatro vari veis associadas a cada barra da rede est�o relacionadas com as demais vari veis do modelo atrav�s da equa��o ����� a qual de�ne um conjunto de �n �n ) n�mero de barras� equa��es em vari veis reais � � Como existem �n vari veis reais� para que o problema de !uxo de pot�ncia tenha solu��o � necess rio especi�car o valor de �n dessas vari veis� Dependendo da escolha dessas vari veis� as barras do sistema� para efeito de estudo de !uxo de pot�ncia� s�o classi�cados de acordo com a Tabela ���� Nessa tabela tamb�m � apresentada uma denomina��o sint�tica para os diversos tipos de barras �V � PV e PQ� normalmente utilizada na pr tica e baseada nas vari veis especi�cadas em cada tipo de barra� Tipo Nome Vari veis Vari veis Caracter�sticas Especi�cadas Calculadas Flutuante� Usada para o balan�o Slack V V k � k P k � Q k de pot�ncia� ou Swing Refer�ncia angular� Barras de gera��o Tens�o ou nas quais existe Controlada PV P k � V k k � Q k algum dispositivo de controle de tens�o� Carga PQ P k � Q k V k � k Demais barras� Tabela ���� Tipos de barras ��� Conjunto B sico de Equa� es A equa��o ����� pode se reescrita� separando�se as componentes reais e imag� in rias� como P k � � � V k X m� k V � m Y � km � � k � �� �� � n ��� � Q k � � � V k X m� k V � m Y � km � � k � �� �� � n ����� � A formula��o expl�cita dessas equa��es ser apresentada na se��o seguinte COPPE�UFRJ �� Expressando as tens�es em sua forma polar� as equa��es ��� � e ����� podem ser representadas de forma compacta por P k � g p k ���v� � V k X m� k V m �G km cos km �B km sen km � ����� Q k � g q k ���v� � V k X m� k V m �G km sen km �B km cos km � ������ onde � vetor cujas componentes s�o os �ngulos de fase das tens�es nodais" V vetor cujas componentes s�o os m�dulos das tens�es nodais" k �ngulo de fase da tens�o da barra k" V k m�dulo da tens�o da barra k" e km � k � m ������ No caso das tens�es nodais serem espressas em sua forma retangular� as express�es seguintes devem ser utilizadas P k � g � p k �e� f� � � X m� k e k �G km e m �B km f m � � f k �G km f m �B km e m �� ������ Q k � g � q k �e� f� � � X m� k f k �G km e m �B km f m �� e k �G km f m �B km e m �� ������ onde e vetor cujas componentes s�o a parte real das tens�es nodais" f vetor cujas componentes s�o parte imagin ria das tens�es nodais" e k parte real da tens�o da barra k" f k parte imagin ria da tens�o da barra k� Os principais m�todos de solu��o do problema de !uxo de pot�ncia usa� dos atualmente dividem as equa��es de�nidas em ����� e ������ ou ������ e ������ em dois subconjuntos %��&� � Subconjunto �� cont�m as equa��es relativas �s inje��es de pot�ncia ativa e reativa nas barras de carga e as equa��es correspondentes �s inje��es de pot�ncia ativa nas barras de tens�o controlada" �� An�lise de Redes El�tricas � Subconjunto �� reune as demais equa��es� ou seja� aquelas n�o inclu�das no primeiro subconjunto� Essa divis�o � utilizado pelo fato de que no Subconjunto � as vari veis a serem calculadas s�o fun��es impl�citas das vari veis especi�cadas� Portanto� existe a necessidade de resolver esse conjunto de equa��es utilizando algum m�todo de solu��o de equa��es alg�bricas n�o�lineares� Isso n�o acontece com as equa��es do Subconjunto � nas quais� ap�s a solu��o do Subcon� junto �� as vari veis a serem calculadas s�o fun��es expl�citas das vari veis conhecidas� Esse fato ser ilustrado atrav�s do seguinte exemplo� Exemplo ��� Considere o sistema de cinco barras dado na Figura ��� com as respectivas de�ni��es dos tipos de barras� Para esse exemplo� os vetores e v s�o de�nidos por � � � � � � T v � V � V � V � � T A partir dessa de�ni��o de vari�veis� os subconjuntos de equa��es a serem resolvidos s�o estabelecidos como a seguir� Subconjunto � P � � g p � ���V� P � � g p � ���V� Q � � g q � ���V� P � � g p � ���V� Q � � g q � ���V� P � � g p � ���V� Q � � g q � ���V� Subconjunto � P � � g p � ���V� Q � � g q � ���V� Q � � g q � ���V� Para efeito de ilustra��o� duas das fun��es utilizadas nas equa��es acima ser�o escritas por extenso� g p � ���V� � V � � G �� � V � V � �G �� cos �� �B �� sen �� � � V � V � �G �� cos �� � B �� sen �� � � V � V � �G �� cos �� �B �� sen �� � g q � ���V� � �V � � B �� � V � V � �G �� sen �� �B �� cos �� � � V � V � �G �� sen �� � B �� cos �� � � V � V � �G �� sen �� �B �� cos �� � As fun��es acima foram simpli�cadas observando�se que �� � �� ��� Solu��o do Problema A solu��o do problema de !uxo de pot�ncia consiste de duas fases� COPPE�UFRJ �� � � � � � � � � � � � � �� �� �� �� � V � PQ � PQ PQ �� PV Figura ���� Sistema usado no exemplo ��� � Solu��o do Subconjunto � de equa��es por um processo iterativo visan� do o c lculo das componentes dos vetores e v" � Substitui��o dos valores de e v nas equa��es do Subconjunto � com o objetivo de se calcular os valores das inje��es l�quidas de pot�ncia ativa e reativa na barra !utuante e das inje��es l�quidas de pot�ncia reativa nas barras de tens�o contolada� Devido � necessidade de se representar os limites operativos dos componentes do sistema e dispositivos de controle� nos casos pr ticos existe� ainda� a necessidade de se realizar ajustes e mudan�as de vari veis durante o processo de solu��o� Esses ajustes correspondem � implementa��o das inequa��es presentes na formula��o do problema de !uxo de pot�ncia como citado no in�cio desse cap�tulo� Esse fato ser descrito em se��es seguintes destas notas de aula� ��� M todos de Solu��o Os m�todos de solu��o de !uxo de pot�ncia %��& podem ser classi�cados em tr�s categorias as quais� em ordem cronol�gica de aparecimento na literatura� s�o �� M�todos Usando a Matriz Y Esses m�todos s�o baseados na solu��o iterativa do sistema de equa��es de�nido em ������ A partir dosvalores especi�cados das inje��es de pot�ncia ativa e reativa e de uma estimativa inicial das tens�es nodais� calcula�se o vetor de correntes injetadas� A substitui��o desse vetor em ����� produzir o novo valor das tens�es e assim sucessivamente� Dentre os algoritmos que utilizam Y� o mais conhecido � o de Gauss�Seidel que ser descrito na se��o seguinte� A converg�ncia desse m�todo � �� An�lise de Redes El�tricas bastante lenta devido � fraca intera��o entre as vari veis �Y � esparsa� e �s vezes bastante dif�cil em sistemas mal�condicionados� �� M�todos Usando a Matriz Z Para contornar os problemas de converg�n� cia dos m�todos baseados em Y foram testados� com sucesso� esquemas iterativos utilizando sua inversa Z� Esses m�todos t�m converg�ncia r pida e con� vel para a maioria dos problemas pr ticos por�m intro� duzem o problema de se montar e armazenar a matriz Z� Al�m disso� o tratamento de barras de tens�o controlada � di�cil e ine�ciente do ponto de vista computacional� �� M�todo de Newton�Raphson O m�todo de Newton�Raphson para solu��o de equa��es alg�bricas n�o lineares � um m�todo cl ssico de reconhecida e�ci�ncia no c lculo num�rico� Sua aplica��o na solu��o do problema de !uxo de pot�ncia somente tornou�se pr tica com a introdu��o dos m�todos de solu��o de sistemas de equa��es lineares com matrizes de coe�cientes esparsas por fatoriza��o triangular otimamamente ordenada � %� � ��&� A partir dessa id�ia b sica� diferentes vers�es de algoritmos para o problema de !uxo de pot�ncia� baseados no m�todo de Newton�Raphson� foram desenvolvidos e s�o considerados atualmente os mais e�cientes para solu��o desse problema� ���� Crit�rio de Precis�o da Solu��o Para se interromper o processo iterativo de solu��o do !uxo de pot�ncia � necess rio de�nir um crit�rio ou regra de parada o qual medir qu�o pr�ximo da solu��o exata se encontram os valores presentes das tens�es nodais� O crit�rio normalmente utilizado na pr tica � o do Res�duo de Pot�ncia �Power Mismatches� o qual � de�nido por P k � P esp k � g p k ���V� k � � PQ � PV ������ Q k � Q esp k � g q k ���V� k � � PQ ���� � onde � PQ conjunto das barras PQ" � PV conjunto das barras PV " P esp k pot�ncia ativa l�quida especi�cada na barra k" Q esp k pot�ncia reativa l�quida especi�cada na barra k"� � Esses m todos s�o apresentados no Ap�ndice A dessas notas� COPPE�UFRJ � O processo iterativo deve ser terminado quando � k pk � � p ������ k qk � � q ���� � onde p � h P � P � � � � i T ������ q � h Q � Q � � � � i T ������ e � p e � q s�o toler�ncias tipicamente no intervalo de ���� a �� MW�MVAR� Em alguns m�todos de solu��o� por exemplo no m�todo de Gaus�Seidel� onde o c lculo dos Res�duos de Pot�ncia implicaria em um aumento excessivo de tempo por itera��o� testes baseados na varia��o do valor das tens�es s�o utilizados� ���� M�todo de Gauss�Seidel O m�todo de Gauss�Seidel para solu��o do !uxo de pot�ncia � um dos mais antigos encontrados na literatura� Sua import�ncia atual � apenas hist�rica e did tica pois� para sistemas de grande porte� sua e�ci�ncia computacional � muito inferior ao m�todo de Newton�Raphson� O m�todo � formulado em termos de vari veis complexas e n�o utiliza a divis�o em subconjuntos descrita na se��o anterior� Suponha inicialmente que todas as barras s�o do tipo PQ �carga� exceto� obviamente� a barra !utuante� Neste caso o algoritmo de Gauss�Seidel � derivado diretamente de ����� e dado por V i�� k � � Y kk � � P esp k � jQ esp k � V i k � � � k�� X m�� V i�� m Y km � n X m�k�� V i m Y km � � k � �� � n� k �� �utuante ������ onde i � o contador de itera��es� A veri�ca��o da converg�ncia � realizada atrav�s do m�dulo da diferen�a entre as componentes dos vetores das tens�es entre itera��es� isto �� o processo iterativo termina quando k V i�� k � V i k k � � v onde � v � a precis�o desejada no m�dulo das tens�es� � A norma in�nita de um vetor de�nida como kxk � � max i jx i j � �� An�lise de Redes El�tricas O m�todo de Gauss�Seidel pode� tamb�m� ser formulado em formato matricial como a seguir I� � V� � Y � V ������ onde I � um vetor cujas componentes s�o dadas por I k � � V� � P k � �Q k V � k � k � �� � n ������ A equa��o matricial ������ de�ne um conjunto de equa��es quase�lineares apesentando uma fraca n�o�linearidade diagonal representada pela depend�n� cia dos valores das correntes injetadas nas barras da rede em rela��o � tens�o dessas mesmas barras� Para um dado valor de �v� por exemplo� o valor da ite� ra��o anterior� o sistema de equa��es ������ passa a ser um sistema linear o qual pode ser resolvido por qualquer um dos m�todos descritos no Ap�ndice A� Em particular� pode�se utilizar um m�todo de fatora��o �LU� por exem� plo� no qual trabalha�se com a inversa impl�cita de Y� ou seja� Z� Essa � a forma usual de se implementar um m�todo de solu��o do !uxo de pot�ncia usando a matriz Z� Em uma barra PV os c lculos s�o um pouco diferentes desde que a inje��o de pot�ncia reativa n�o � especi�cada e o m�dulo da tens�o deve ser mantido em um valor constante V esp � Devido a limita��es no equipamento gerador de reativos� a inje��o de reativos Q k em uma barra PV deve ser mantida entre limites Q min k e Q max k � Para simular essa situa��o� Q esp k � substituido em cada itera��o por um valor calculado por Q cal k � � � V k X m� k V � m Y � km � � ������ Com este valor de Q cal k � a tens�o V i�� k � calculada usando�se ������� Co� mo o m�dulo dessa tens�o deve ser mantido igual a V esp k � as partes reais e imagin rias de V i�� k s�o ajustadas para satisfazer essa condi��o mantendo� se� por�m� o �ngulo de fase calculado� Esse processo � representado pelas equa��es i�� k � arctan f i�� k e i�� k ������ V i�� k � V esp k cos i�� k � � V esp k sen i�� k ���� � onde f i�� k e e i�� k s�o� respectivamente� as partes real e imagin ria da tens�o na barra k calculadas na itera��o i� antes do ajuste� Para se levar em considera��o os limites na inje��o de reativos� � utiliza� da uma estrat�gia de mudan�a de tipo de barra� sempre que a inje��o de reativos ultrapassar um dos limites� essa inje��o � �xada em um valor igual COPPE�UFRJ � ao limite violado e a barra passa a ser tratada como uma barra de carga� Essa estrat�gia � resumida a seguir Se Q cal k � Q max k �� Q cal k � Q max k Se Q cal k Q min k �� Q cal k � Q min k � � � � k �� fbarra PQg ������ Se nas itera��es seguintes Q k retornar a um valor entre os limites� ent�o a barra k volta a ser tratada como uma barra do tipo PV� Exemplo ��� Suponha que no sistema da Figura ��� as barras s�o dos seguintes tipos� barra � � V � barra � � PV e barra � � PQ� Ent�o� algoritmo de Gauss�Seidel � V i�� � � � Y �� � P esp � � ��Q cal � � i � V i � � � � V �Y �� � V i � Y �� � V i�� � � � Y �� � P esp � � �Q esp � � V i � � � � V � Y �� � V i�� � Y �� � �Q cal � � i�� � � n V i�� � � V � Y �� � V i�� � Y �� � V i�� � Y �� � � o onde i � o contador de itera��es e V � � P esp � � P esp � � Q esp � e V esp � s�o dados� ��� M�todo de Newton�Raphson O m�todo de Newton�Raphson� para o c lculo das ra�zes de uma equa��o alg�brica n�o�linear� baseia�se em lineariza��es sucessivas da fun��o a partir de uma condi��o inicial arbitr ria� Suponha a equa��o f�x� � � ���� � A expans�o pela s�rie de Taylor� e posterior elimina��o dos termos de ordem maior ou igual a dois� produz f�x� � f�x � � � f � �x � � x� x � � ������ de onde se obtem x � x � � f�x � � f � �x � � ������ O valor de x calculado por ������ � uma aproxima��o da solu��o de ���� � a qual pode ser melhorada promovendo�se nova lineariza��o de f�x� em torno �� An�lise de Redes El�tricas � � x f�x� � � � � � � � � � x f�x� x � x � x � x � �b��a� x � x � x � x � Figura ���� Solu��o de equa��o n�o�linear pelo m�todo de Newton�Raphson desse novo valor e assim por diante� O processo iterativo pode ser sintetizado na express�o x i�� � x i � f�x i � f � �x i � i � �� �� ������ A �gura ��� �a� ilustra este processo gra�camente� Na �gura ��� �b� � mostra� do que o processo pode convergir mesmo que f � �x i � seja mantida igual a f � �x � �� Esse valor pode at� ser diferente de f � �x � � desde que conveniente� mente escolhido� O caso n�dimensional pode ser obtido como uma extens�o do anterior� Suponha a equa��o f�x� � � ������ onde f��� � h f � ��� f � ��� � � � f n ��� i T x � h x � x � � � � x n i T A expans�o em s�rie de Taylor dessas fun��es produz f � �x� � f � �x � � � �f � �x� �x � � � x�x � x � � � � � �� �f � �x� �x n � � x�x � x � n � � f � �x� � f � �x � � � �f � �x� �x � � � x�x � x � � � � � �� �f � �x� �x n � � x�x � x � n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � f n �x� � f n �x � � � �f n �x� �x � � � x�x � x � � � � � �� �f n �x� �x n � � x�x � x � n � � ������ ou em forma compacta f�x � � � J�x � � x � � � ������ COPPE�UFRJ �� onde J�x � � � a matriz Jacobiana � associada ao sistema ������ calculada no ponto x � � O processo iterativo no caso n�dimensional � dado� ent�o� por x i�� � x i � x i ������ x i � � h J�x i � i �� f�x i � ���� � O processo iterativo termina quando kf�x i �k � � onde � � um valor que determina a toler�ncia aceit vel no erro cometido na solu��o� � poss�vel demonstrar que o m�todo de Newton�Raphson apresenta uma taxa de converg�ncia quadr tica� isto �� a norma do vetor de res�duos f�x i � diminui com o quadrado do n�mero de itera��es� Isto signi�ca que o m�to� do converge rapidamente para a solu��o� Entretanto� essa converg�ncia � fortemente dependente das condi��es iniciais �x � �� Caso a condi��o inicial n�o esteja contida em uma regi�o pr�xima da solu��o procurada �regi�o de atra��o� o processo iterativo poder convergir para outra solu��o ou n�o convergir� Aplica �o ao Fluxo de Pot�ncia em Coordenadas Polares Neste caso o sistema de equa��es a ser resolvido� extra�do de ������ e ���� �� � dado por P k � P esp k � g p k ���V� � �� k � � PQ � PV ������ Q k � Q esp k � g q k ���V� � �� k � � PQ ���� � O algoritmo iterativo � dado por � � i�� V i�� � � � � i V i � � � � i V i � ������ � P i Q i � � � H i N i M i L i � � i v i � ������ onde P e Q s�o os vetores dos res�duos de pot�ncia ativa e reativa� respec� tivamente� e as submatrizes H i � N i � M i � e L i t�m o seguinte signi�cado � A matriz Jacobiana� ou o Jacobiano� de uma fun��o f � IR n � IR n de�nida como J�x� � � � � � �f � �x� �x � �f � �x� �x � � � � �f � �x� �x n �f � �x� �x � �f � �x� �x � � � � �f � �x� �x n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �f n �x� �x � �f n �x� �x � � � � �f n �x� �x n � � � � �� An�lise de Redes El�tricas H i � �g p k � i �V i � � N i � �g p k � i �V i � �V M i � �g q k � i �V i � � L i � �g q k � i �V i � �V As componentes de H� N� M� e L s�o dadas por H km � �P k � m � V k V m �G km sen km �B km cos km � H kk � �P k � k � �V � k B kk � V k X m� k V m �G km sen km �B km cos km � N km � �P k �V m � V k �G km cos km �B km sen km � N kk � �P k �V k � V k G kk � X m� k V m �G km cos km �B km sen km � ������ M km � �Q k � m � �V k V m �G km cos km �B km sen km � M kk � �Q k � k � �V � k G kk � V k X m� k V m �G km cos km �B km sen km � L km � �Q k �V m � V k �G km sen km �B km cos km � L kk � �Q k �V k � �V k B kk � X m� k V m �G km sen km �B km cos km � Os elementos H kk � N kk � M kk e L kk podem� ainda� ser colocados em fun��o das inje��es de pot�ncia ativa e reativa na barra k como a seguir H kk � �Q k � V � k B kk N kk � �P k � V � k G kk ��V k M kk � P k � V � k G kk L kk � �Q k � V � k B kk ��V k ������ Em geral� os elementos de v s�o divididos pelo valor das respectivas tens�es COPPE�UFRJ �� para produzir termos similares emM e L� Neste caso ������ assume a forma � � P i Q i � � � H i �N � � i M i �L � � i � � � i V i �V i � ������ onde os elementos de N � e L � s�o iguais aos de N e L multiplicados pelo m�dulo das respectivas tens�es� O m�todo de Newton�Raphson em coordenadas polares pode ser
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