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Média Geométrica e Aplicações
Média Geométrica e Aplicações
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico.
Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será calculada aplicando-se a fórmula
^X,.X2...Xn
Clique na seta para avançar.
Média Geométrica e Aplicações Exemplo:
Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos valores de X é igual a
mg - 1)3.5.7.16 ■ V1680 ■ 6,40.
*
Algumas Consirações Sobre a Média Geométrica
Como a média geométrica é sempre menor ou igual que a média aritmética, muitos a utilizam como uma forma de medida mais conservadora de análise central para um conjunto de dados.
Para certos tipos de problema ela será a única medida que refletirá a resposta correta.
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razoões de crescimentos de dados em problemas dos tipos populacionais e financeiros.
*
Por exemplo,
A tabela abaixo reflete as vendas anuais e a razão de crescimento anual das vendas de uma determinada empresa:
Vendas
100000
140000
210000
273000
273000
1.4
	 1,3
1
A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é medida com base na média geométrica entre as razões anuais, a saber:
MG
= \j 1,4.1,5.1,3.1 = \j 2,7.3 = 1,28540
Com base na razão média poderiamos estimar, por exemplo, as vendas em 2009 a partir de 2005. Como existe um intervalo de quatro anos, a venda estimada para 2009 seria em torno de
Vendas Estimadas = 100000. (1, 28540)4=272230
Pela tabela observamos que o valor estimado para as vendas se aproxima do valor real (273000).
Desafio!!!
Suponha que nos últimos quatro anos a inflação tenha sido respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. Qual a inflação média anual?
apagar gabarito
Gabarito: A inflação média anual será de 26,83%.
Sugestão:
No cálculo de variações médias percentuais ou taxas de juros devemos adotar o seguinte esquema para o cálculo da Média Geométrica
MG = (1 + ímg) =
(1+/l)(1+é)...(1+/n)
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Medidas de Posição Relativa
Clique na impressora para \
Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de relativas. Dentre elas destacamos os:
QUARTIS, DECIS e PERCENTIS.
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo.
Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes iguais.
Medidas de Posição Relativa
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes iguais sendo que após a ordenação dos dados: O primeiro quartil (Qi) é o valor que deixa a quarta parte ou 25% das observações dos dados abaixo dele.
O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do conjunto.
O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos 93/40 ou 75% das observações dos dados abaixo dele.
*
Casol: Dados Não Agrupados
Para determinarmos os quartis para um conjunto com n dados devemos adotar os seguintes passos:
Ordenar o conjunto.
0 quartil Q1 será o valor da variável que o cupar a posição (n/4); Q2 o valor da variável que ocupar a posição (2n/4) e o Q3 o valor da variável que ocupa a posição (3n/4)
Para a determinação dos quartis devemos adotar a seguinte convenção:
Se a divisão indicada no item for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil será a variável encontrado nesta posição.
Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética da variável que ocupar a posição encontrada com o valor da variável que ocupar a posição seguinte.
Casol: Dados Não Agrupados
Exemplo: Suponha que você queira fazer uma análise sobre o tempo que utiliza para se aprontar pela manhã de modo a minimizar atrasos excessivos ou chegar com muita antecedência aos seus compromissos. Para tal você coletou, durante dez dias consecutivos, os tempos mostrados a seguir desde a hora que levantou da cama até sair de casa?
Dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (minutos)
31
35
52
44
44
40
29
39
39
43
Para tirar conclusões você resolveu calcular os quartis da série obtida.
Vamos inicialmente ordenar, do menor para o maior, os tempos gastos para se aprontar nos dez dias consecutivos:
Série ordenada de tempos gastos
Tempo (minutos) 29	31	35	39	39	40	43	44	44	52
Casol: Dados Não Agrupados
Posição de Qi
Observe que -y- =05 ♦ Como 2,5 é um número fracionário devemos inicialmente arredondar 2,5 para 3. Pelas regras estabelecidas, a posição do quartil Q1 será definida pelo terceiro elemento da série ordenada de tempos gastos. Ou ainda, o tempo de 35 minutos.
Podemos então concluir que:
Em 25% dos dias você levou um tempo menor ou igual a 35 minutos para se aprontar e em 75% dos dias você levou um tempo maior ou igual que 35 minutos para se aprontar.
Casol: Dados Não Agrupados
Posição de Q2 ou da Mediana 2n
Observe que ~^= 5 Como 5 é um número inteiro, pelas regras estabelecidas, o Quartil Dois ou Mediana será dado pela média aritmética dos tempos situados nas posições cinco e seis da série ordenada. Ou ainda,
Q2 = Md = (39 + 40)/2 = 39, 5
Podemos então concluir que:
Para a metade dos dias você levou um tempo menor ou igual a 39, 5 minutos para ficar pronto e para a outra metade dos dias um tempo maior ou igual a 39, 5 minutos.
Casol: Dados Não Agrupados
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Clique na pasta para ver.
Posição de Q2 ou da Mediana
3n	,
Observe que ~r= 7,5 Como 7,5 e um numero fracionário devemos inicialmente arredondar 7,5 para 8. Pelas regras estabelecidas, a posição do quartil Q3 será definida pelo oitavo elemento da série ordenada de tempos gastos. Ou ainda, o tempo de 44 minutos.
Podemos então concluir que:
Em 75% dos dias você levou um tempo menor ou igual a 44 minutos para ficar pronto e em 25% dos dias você levou um tempo maior ou igual a 44 minutos para ficar pronto.
Casol: Dados Não Agrupados
Para determinarmos os percentis para um conjunto com n dados devemos adotar os seguintes passos:
Se a divisão indicada no item for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do percentil será a variável encontrado nesta posição.
Se a divisão for um número inteiro, o percentil será a média aritmética da variável que ocupar a posição encontrada com a variável que ocupar a posição seguinte.
Casol: Dados Não Agrupados
Vamos calcular o percentil P3o no exemplo da série ordenada dos tempos gastos para se aprontar a seguir
Série ordenada de tempos gastos
Tempo (minutos) | 29 | 31 | 35 | 39 | 39 | 40 | 43 | 44 | 44 | 52
Observe que	=3 C°mo 3 é um número inteiro, a posição do percentil P30 será definida
pela média aritmética dos terceiro e quarto elementos da série ordenada de tempos gastos. Ou ainda,
n 35 + 39	74
r 30 = —2— =	= 37 mln utos
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MEDIDAS DE DISPERSÃO:
Nem sempre o calculo da média, da moda e da mediana nos permite uma analise clara do comportamento de dados de uma amostra. Observe, por exemplo, os três grupos de notas de um teste:
Apesar de todos terem as mesmas médias e medianas (Verifique!), torna-se evidente que o comportamento das notas dos três grupos não é o mesmo.
Desta forma é sempre necessário uma análise conjunta entre as medidas de posição já estudadas e as medidas de dispersão que definiremos a seguir.
Amplitude Interquartil
Mede a dispersão nos dados que estão entre as 50% observações centrais. Sendo assim, não é influenciada pelos valores extremos da amostra de dados.
Amplitude Interquartil = Quartil 3 - Quartil 1
Para a série ordenada de tempos gastos no exemplo já visto. Série ordenada de tempos gastos
Tempo (minutos)
29
I 31 |
35
I 39
39
I 40
I 43 |
44
_Ql
Qi
A amplitude Interquartil é de (44 - 35) = 9 minutos.
Variância
Denotada por (s2), é a medida de dispersão que mede a variação média dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. Pode ser calculada pela fórmula
s = 7 (Xj- x)2
n ZJ
Em que: Xi é o valor de cada observação; X é a média aritmética das observações e no tamanho da amostra (número de dados).
Desvio Padrão
Denotado por s, é uma medida conhecida pela sua utilidade e aplicação prática. É calculada extraindo-se a raiz quadrada da variância (s2) .
voltar [44
Coeficiente de variação
Denotado por (CV), é uma medida de dispersão relativa, elimina o efeito da magnitude dos dados, exprime na forma percentual a dispersão dos dados em relação à média. É dado pela fórmula a seguir
cv=-L.ioo%
x
em que: s é o desvio padrão e é a média aritmética da amostra.
Vamos a seguir calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação para o problema da série ordenada de tempos gastos para se aprontar.
Dia	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Tempo (minutos)	31	35	52	44	44	40	29	39	39	43
jV' Clique na seta para ver.
A média aritmética X = 39,6 (Verifique!)
Coeficiente de variação
Tempo (X)
Pí-x)
(VxJ5
31
-6,70
73,96
35
-4,60
21,16
52
12,40
153,76
44
4,40
19,36
44
4,40
19,36
40
0,40
0,16
29
-10,60
112,36
39
-0,60
0,36
39
-0,60
0,36
43
3,40
11,56
Soma =412,40
Use o esquema facilitador montado na tabela
para a determinação das medidas de dispersão:
412,40
10
41,24;s = -J4\2Ã= 6,42 e CV = &—
'39,6
100%=16,21%
Resolva agora as medidas de dispersão para o exemplo dos três grupos de notas de testes.
Observe o resultado obtido:
Grupo
Intervala Interquartil
Variaric ia
De*viu Padrão
Coeficiente de variação
1
6 5-3.5 = 3
2
1.4
28%
2
8-2=6
8
2.8
56%
3
5-5=0
0
0
0%
Para o caso de Dados Agrupados as frequências simples das variáveis devem ser consideradas ao fazermos o cálculo das medidas de dispersão. Neste caso, a fórmula do desvio padrão resultará em:
jí" Clique na lâmpada para ver.
IZf,x,2 (Zf-x,)a
n n2
No exemplo a seguir vamos considerar uma distribuição de frequências em que os dados estão agrupados sem intervalos de classes pela tabela:
Xi	1	2	3	4	5	6
fi	2	5	8	6	3	1
0 desvio padrão da amostra poderá ser obtido organizando- se o seguinte esquema facilitador de cálculos:
No caso de dados agrupados com intervalos de classes, o cálculo de s é feito utilizando-se a mesma fórmula do exemplo anterior. O valor da variável x, fica determinado pelo ponto médio do intervalo da classe i.
Veja, por exemplo, o cálculo do desvio padrão para a distribuição de frequências a seguir:
Üasses
f,
X; (ponto médio)
| X,
f, X2
1,501—1,60
4
1,55
6,20
9,619,61
1,601-1,70
8
1,65
13,20
21,78
1,701-1,80
12
1,75
21,00
36,75
1,801-1,90
15
1,85
27,75
51,34
1,901-2,00
12
1,95
23,40
45,63
2,001-2,10
0
2,05
16,40
33,62
2,10 | - 2,20
4
2,15
8,60
18,49
Soma = 63
Scma= 116,55
Soma = 217,22
217,22	116,55	/	/
		—		 = a/3,45	- 3,42	= V 0,03	=0,173
63	63
Resolva agora as medidas de dispersão para o exemplo dos três grupos de notas de testes.
Observe o resultado obtido:
Grupo
Intervala Interquartil
Variaric ia
De*viu Padrão
Coeficiente de variação
1
6 5-3.5 = 3
2
1.4
28%
2
8-2=6
8
2.8
56%
3
5-5=0
0
0
0%
Para o caso de Dados Agrupados as frequências simples das variáveis devem ser consideradas ao fazermos o cálculo das medidas de dispersão. Neste caso, a fórmula do desvio padrão resultará em:
jí" Clique na lâmpada para ver.
IZf,x,2 (Zf-x,)a
n n2