Função do 2º Grau

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FUNÇÃO DO 2O GRAU
Função quadrática ou do 2o grau
Definição
Toda função do tipo 
, com 
 e 
, é chamada de função quadrática ou função do 2o grau.
Ex.:
Gráfico de uma função do 2o grau
Demonstra-se que o gráfico de uma função do tipo 
, com 
e 
, é uma parábola.
Essa parábola tem o eixo de simetria perpendicular ao eixo Ox e sua concavidade é voltada para o sentido positivo do eixo Oy, se a > 0, ou voltada para o sentido negativo do eixo Oy, se a < 0.
Ex.:
Para esboçar o gráfico da função y = x2, podemos construir a seguinte tabela:
	x
	y = x2
	-3
	9
	-2
	4
	-1
	1
	0
	0
	1
	1
	2
	4
	3
	9
Como sabemos que o gráfico de uma função do 2o grau é uma parábola, marcamos no plano cartesiano os pontos obtidos pela tabela e a seguir unimos esses pontos desenhando uma parábola.
	
Pontos notáveis da parábola
Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do 2o grau, merecem destaque. Vejamos quais são eles.
Os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox
Para obtê-los a partir de 
, basta atribuirmos o valor zero à variável y e resolver a equação:
 (I)
Para resolve-la, teremos a ajuda do produto notável do tipo quadrado da soma:
De 
 , podemos escrever;
; multiplicando por 
:
; somando 
:
; o primeiro termo é um quadrado perfeito!
; estraindo a raiz quadrada:
; e calculando o valor de x:
; onde
ou
Esta é a fórmula de Bhaskara, onde 
.
Se a equação (I) tiver 
 > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1 ( x2. Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0).
 e 
Se a equação (I) tiver 
 = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2. Assim, a parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2.
 e 
Se a equação (I) tiver 
 < 0, então não terá raízes reais. Assim, a parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox.
 e 
pois x1 e x2 não são números reais porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Resumindo esquematicamente:
	 > 0
	a > 0 
(concavidade para cima)
	a < 0
(concavidade para baixo)
	 = 0
	a > 0
	a < 0
	 < 0
	a > 0
	a < 0
Ex.:
Dada a função do 2o grau y = 2x2 – x – 1, obtemos os pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Ox, atribuindo o valor zero à variável y e resolvendo a equação 2x2 – x – 1 = 0.
Calculando inicialmente o valor de , temos:
 
Como 
, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: 
e 
, onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos:
	
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para cima:
	
Na função 
, fazendo 
, ou seja, 
, obtemos as raízes de f. 
Temos: 
.
Como 
, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. Determinando essas raízes, temos:
	
O coeficiente de x2 é negativo (a < 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para baixo:
	
Na função 
, fazendo y = 0, temos 
.
Temos: 
.
Como 
, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a parábola correspondente ao gráfico da função não tem ponto comum com o eixo Ox.
	
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para cima:
	
O ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy
Para obtê-lo a partir de 
, basta atribuirmos o valor zero à variável x:
Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, c).
Ex.:
Para esboçar o gráfico da função 
, vamos obter os pontos de intersecção com os eixos Ox e Oy.
Fazendo y = 0, temos x2 – 6x + 5 = 0.
.
Logo, 
Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (5, 0) e (1, 0).
Fazendo x = 0, temos y = 02 – 6 ( 0 + 5 ( y = 5.
Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5). 
O esboço do gráfico é:
	
Valor Máximo e Valor Mínimo
A função quadrática 
 admite um valor máximo (mínimo) 
 em 
 se, e somente se, 
 (
).
a) Se 
, a função 
 admite um valor mínimo:
 e 
 
 (Valor mínimo)
b) Se 
, a função 
 admite um valor máximo:
 e 
 
 (Valor máximo)
Exemplo:
1) Na função real 
 temos: a = 4, b = -4 e c = -8 e ( = 144.
Como 
, a função admite um valor mínimo:
= 
 
 (valor máximo)
O vértice da parábola
Outro ponto notável da parábola é o seu vértice. O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria e. 
No exemplo anterior, vimos o esboço gráfico da função y = x2 – 6x + 5. Traçando o eixo de simetria e dessa parábola, vemos que seu vértice V pertence a e, conforme abaixo:
	A abscissa de V é o ponto médio do segmento de extremos (1, 0) e (5, 0), ou seja, x = 3.
Substituindo x por 3, obtemos a ordenada do vértice:
y = 32 – 6 ( 3 + 5 ( y = -4.
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4).
	
Pensemos agora na função y = – x2 + 4x – 4, cujo gráfico é:
	
O ponto de tangência (2, 0) é o vértice da parábola.
Quando a parábola não intercepta o eixo Ox, como determinar seu vértice? Pensemos na função y = x2 + 2x + 4.
Calculando 
. Como 
 e 
, a parábola não possui ponto em comum com o eixo Ox e sua concavidade é voltada para cima, conforme gráfico abaixo. 
Como determinar o vértice dessa parábola? Tracemos pelo ponto (0, 4) uma reta paralela ao eixo Ox. Em seguida, determinemos os valores de x de modo que (x, 4) seja ponto da parábola, ou seja:
y = 4 ( x2 + 2x + 4 = 4 ( x2 + 2x = 0 ( x (x + 2) = 0 ( x = 0 ou 
	
O vértice pertence ao eixo de simetria e da parábola; logo, sua abscissa é a do ponto médio do segmento de extremos (-2, 0) e (0, 0), isto é, x = -1.
Substituindo x por –1 em y = x2 + 2x + 4, obtemos a ordenada do vértice:
y = (-1)2 + 2(-1) + 4 ( y = 3
Logo, o vértice da parábola é o ponto V(-1, 3).
Genericamente, pode-se mostrar que:
O vértice 
 da parábola de equação 
, com 
 e 
, é o ponto 
, onde 
.
Imagem
Seja a função 
, então:
a) Se 
, a imagem da função 
 é:
 
b) a) Se 
, a imagem da função 
 é:
 
Exemplo:
1) Obter a imagem da função f de R em R definida por 
.
Na função 
, temos: a = 2, b = -8 e c = 16
E portanto: 
Como 
, temos: 
Soma e produto das raízes da função do segundo grau
Como sabemos, as raízes da função do segundo grau são dadas por:
 A soma das raízes será dada por:
_ O produto das raízes será dado por:
Sabendo desse resultado, podemos calcular as raízes de uma equação do segundo grau de uma forma prática, procurando por dois números reais que têm a soma igual a 
 e o produto igual a 
.
Exemplo:
a)
, estamos interessados em dois números que somam 6 e têm o produto igual a 5.
Resposta 1 e 5
b) 
, estamos agora procurando por dois números que somam 7 e têm como produto 10.
Resposta 2 e 5
Nos casos em que a equação do segundo grau tiver raízes reais, podemos escrever esta equação na forma de produto notável, do tipo:
Exemplo:
A equação 
 tem como raízes 
 e 
, podemos então escrever 
Função do Segundo Grau na Economia
As funções podem ser aplicadas em quase tudo que fazemos em nosso dia a dia, agora veremos alguns casos de aplicações da função do segundo grau em Administração e Economia. Enfatizaremos a função custo, função receita e a função lucro que estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa.
Função Custo total
Seja q aquantidade produzida de um produto. O custo total depende de q e à relação entre eles chamamos função Custo Total (e indicamos por CT). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos Custo Fixo (e indicamos por CF). À parcela de custos que depende de q chamamos Custo Variável (e indicamos por CV). Desta forma, podemos escrever: 
Função Receita total
Suponhamos agora que q unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de q e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(q). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como: 
Função Lucro total
Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é: 
Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. 
O interesse básico é achar o lucro. Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total.
Outro problema é achar o lucro máximo.
Para polinômios de 2º grau, será suficiente determinar o vértice da parábola.
Quando a parábola tiver a concavidade voltada para baixo a abscissa do vértice será o ponto de máximo e a ordenada do vértice será o valor máximo.
Quando a parábola tiver a concavidade voltada para cima à abscissa do vértice será o ponto de mínimo e a ordenada do vértice será o valor mínimo. 
	
	
 
Para calcular os pontos de máximos ou mínimos usamos as coordenadas do vértice já estudadas anteriormente.
 Para calcular o valor da abscissa x;
 Para calcular o valor da ordenada y.
Função Lucro – L(x)
A função lucro é a diferença entre a função receita e a função custo. Caso o resultado seja positivo, houve lucro; se negativo, houve prejuízo.
L(x) = R(x) – C(x)
Exemplo 1 
Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por x reais, o fabricante venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda. Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo?
Custo: valor de produção de cada par de sapatos vezes o número de sapatos fabricados.
C(x) = 20*(80 – x)
Receita: número de sapatos vendidos no mês multiplicado pelo valor de venda x.
R(x) = (80 – x) * x
Lucro: diferença entre a receita R(x) e o custo C(x)
L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x)
L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x
L(x) = – x² +100x – 1600
O lucro dado é representado por uma função do 2º grau decrescente, isto é, seu gráfico possui concavidade voltada para cima ou valor máximo. Para determinarmos o preço de venda do sapato, no intuito de obter o lucro máximo, basta calcular o valor do vértice x da parábola, dado por Xv = – (b/2a).
L(x) = – x² +100x – 1600
a = – 1
b = 100
c = – 1600
Para que se obtenha lucro máximo, o preço de venda do par de sapatos deve ser R$ 50,00.
Exemplo 2
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo?
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = – x² + 6x – 8
O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo será determinado por Xv.
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
Exemplo 3 
O dono de uma pizzaria verificou que, quando o preço unitário de cada pizza era de R$ 14,00 o número de pizzas vendidas era 170 por semana. Verificou também quando preço passava para R$ 11,00 a quantidade vendida era de 200 unidades. Assim sendo sua função demanda é p = - 0,1q + 31. (Considere o custo de uma pizza de R$ 7,00). Determine:
A função Receita;
A função Lucro;
Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal. 
Qual o lucro máximo da pizzaria?
Qual o preço que maximiza o lucro?
 Solução:
A função Receita
A função lucro.
Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal.
Qual o lucro máximo da pizzaria?
Qual o preço que maximiza o lucro?
Função demanda 
De acordo com Morettin et al. (2004, p.65), “a demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros)”. 
A demanda de um bem é função de várias variáveis, como: preço por unidade do produto, renda do consumidor, gostos, etc. Supondo que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do próprio produto ( p ), verifica-se que o preço ( p ) relaciona-se com a quantidade demandada ( x ),e que esta relação, indicada por p f (x) , é denominada função de demanda. 
O gráfico de p em função de x é denominado curva de demanda. Será considerado aqui a função de demanda de 1º grau, portanto o gráfico é uma reta decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. 
A lei de demanda afirma que a quantidade demandada aumenta conforme o preço da mercadoria diminui ou que a quantidade demandada diminui conforme aumenta o preço. Embora a quantidade demandada seja uma função do preço, os economistas, tradicionalmente, representam graficamente a função de demanda com o preço no eixo vertical (HARSHBARGER; REYNOLDS, 2006, p. 128).
Os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por métodos estatísticos através dos modelos de regressão. 
Exemplo 2.1: A quantidade de sucos ( x ) demandada por semana numa lanchonete relaciona-se com o preço unitário ( p ) de acordo com a função de demanda p 8 0,004 x . 
Assim, se o preço por unidade for R$ 3,50, a quantidade ( x ) demandada por semana será dada por: 1.125 0,004 4,50 3,50 8 0,004 x x x ou seja, com um preço unitário de R$ 3,50 serão vendidos 1.125 sucos semanais. 
O gráfico de ( p ) em função de ( x ) é um segmento de reta (curva de demanda) localizado no primeiro quadrante, pois tanto p como x não podem ser negativos. 
Para a construção do gráfico desta função, basta atribuir dois valores para x e encontrar os respectivos valores de p , ou seja, para x =0 tem-se: p 8 0,004 (0) 8 ; para x =2.000 tem-se: p 8 0,004 (2.000) 0. 
A Figura 2.1 ilustra o gráfico da função p 8 0,004 x
Função oferta 
Segundo Morettin et al. (2004, p.66), “chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado”.
A oferta de um bem é função de várias variáveis, como: preço do bem, preços dos insumos (matéria prima, equipamentos, capital, horas de trabalho, etc.) utilizados na produção, as tecnologias utilizadas na produção do bem, etc. Supondo que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço do próprio bem ( p ), verifica-se que o preço do bem ( p ) relaciona-se com a quantidade ofertada ( x ),e que esta relação, indicada por p g(x) , é denominada função de oferta. O gráfico de p em função de x é denominado curva de oferta. Será considerada aqui a função de oferta do 1º grau, portanto o gráfico é uma reta crescente, pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada. O desejo dos consumidores em comprar determinado bem está relacionado como o preço deste bem e o desejo do fabricante em fornecer mercadorias também está relacionado com o preço destas mercadorias. A lei da oferta afirma que a quantidade ofertada para a venda aumentará conforme o preço do produto aumentar. Como no gráfico da demanda, o preço aparece no eixo vertical (HARSHBARGER; REYNOLDS, 2006, p. 128). Exemplo 2.2: Admita-se que, para quantidades que não excedam sua capacidade de produção, a função de ofertado Exemplo 2.1, seja do 1º grau. Suponha que, se o preço por suco for R$ 2,00, a quantidade ofertada será 300 por semana, e, se o preço for R$ 2,50, a quantidade ofertada será 1.500. A função de oferta será obtida por: O coeficiente angular de uma reta é obtido por:
Conhecido um ponto P(x , y ) 0 0 de uma reta e seu coeficiente angular m , a equação da reta é dada por:
Então:
Ou seja,
Colocando os pares ordenados (300,2) e (1.500,2.50) no plano cartesiano será obtido o gráfico da função oferta 
Ponto de equilíbrio ou equilíbrio de mercado 
Uma importante aplicação econômica envolvendo interseção de gráficos surge em conexão com a lei da oferta e demanda. 
Chama-se de ponto de equilíbrio a interseção entre as curvas de demanda e oferta. O preço, neste ponto, é o preço de equilíbrio e a quantidade neste ponto é a quantidade de equilíbrio. 
Exemplo 2.3: Encontrar o ponto de equilíbrio considerando as funções de demanda e de oferta dadas nos Exemplos 2.1 e 2.2 respectivamente. Tem-se que, no ponto de equilíbrio, o preço é o mesmo na curva de demanda e de oferta. Portanto:
Como x indica quantidade (ofertada ou demandada) será considerado um valor inteiro, portanto, x =1.387. Substituindo este valor numa das curvas, por exemplo, na da demanda, tem-se:
Portanto, no ponto de equilíbrio, o preço do suco será de R$ 2,45 e a quantidade semanal vendida será 1.387 unidades. 
De acordo com a lei de demanda e oferta, um bem tenderá a ser vendido no seu preço de equilíbrio. Se ele for vendido mais caro do que o preço de equilíbrio, haverá uma quantidade não vendida no mercado, e os comerciantes tenderão a diminuir seus preços, forçando-os em direção ao preço de equilíbrio. Por outro lado, se for vendido por menos do que o preço de equilíbrio, a demanda excederá a oferta, e os comerciantes tenderão a elevar seus preços em direção ao preço de equilíbrio.
Função Custo Total 
“Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , e a relação entre eles é chamada de função custo total (ou simplesmente função custo), e a indica-se por C ” (MORETTIN et al., 2004, p. 59). 
O custo é composto de duas partes: Custos Fixos e Custos Variáveis.
Custos fixos: são os custos que não dependem da quantidade produzida, ou seja, permanecem constantes, e é representado por ( CF ). 
São exemplos de custos fixos: aluguel, seguro, etc. 
Custos variáveis: são aqueles que estão diretamente relacionados com o número de unidades produzidas, e é representado por ( CV ). Assim, o custo é determinado pela equação: 
Custo = custos fixos + custos variáveis C= CF + CV 
O custo variável geralmente é igual a uma constante multiplicada pela quantidade x . Esta constante é denominada de custo variável por unidade.
Exemplo 2.4: O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 6.500,00, e o custo variável por unidade R$ 12,00. Então a função custo total é dada por: C(x) 6.500 12 x 2.5 Função receita total A receita total R está relacionada com o preço unitário e a quantidade vendida de determinado produto e sua função é dada por: R(x) p x Exemplo 2.5: Um produto é vendido a R$ 25,00 a unidade (preço constante). A função receita será: R(x) 25 x O gráfico dessa função é uma semi-reta passando pela origem pois trata-se de uma função do 1.º grau com coeficiente linear igual a zero. A Figura 2.4 ilustra o gráfico desta função.
I – Exercícios de Funções Polinomiais 
1. Construir o gráfico das funções definidas em R:
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Determinar os zeros reais das funções:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
3. Determinar os valores de m para que a função 
 tenha dois zeros reais e distintos.
4. Determinar os valores de m para que a função 
 tenha dois zeros reais e distintos.
5. Determinar os valores de m para que a equação do 2º grau 
 tenha raízes iguais.
6. Determinar os valores de m para que a função 
 tenha um zero real duplo.
7. Determinar os valores de m para que a equação 
 tenha duas raízes reais e iguais.
8. Determinar os valores de m para que a função 
 não tenha zeros reais.
9. Determinar os valores de m para que a equação 
 não tenha raízes reais.
10. Na equação do 2º grau 
 de raízes 
 e 
, Calcular:
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
11. Obter uma equação do segundo grau de raízes:
a) 2 e -3
b) 
 e 
 
12. Determinar o valor de m na função real 
 para que o valor mínimo seja 
.
13. Determinar o valor de m na função real 
 para que o valor máximo seja 2.
14. Determinar o valor de m na função real 
 para que o valor máximo seja 2.
15. Determinar o valor de m na função real 
 para que o valor mínimo seja 1.
16. Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
17. Dentre todos os números reais x e Z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
18. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.
19. Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.
20. Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta 
.
21. Determinar o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4 cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo.
22. Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determinar o retângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.
23. Determinar a imagem das funções definidas em R:
a) 
 
b) 
c) 
d) 
24. Determinar m na função 
 definida em R para que a imagem seja 
.
25. Determinar m na função 
 definida em R para que a imagem seja 
.
26. Dada a função f (x) = (5m - 20)x 2 + 6x - 8, calcule m de modo que:
a) f (x) seja função do 2º grau. 
b) f (x) seja função do 1º grau.
27. Para que valores de m a função 
y = (m2- 9)x2 + (m - 3)x + 1 representa:
a) função do 2º grau? 
b) função do 1º grau? 
c) função constante?
28. Dada a função f (x) = 3x2 - 7x + 3, determine:
a) f (0) 
b) f(-1)
c) f(
) 
d) f(
)
29. Sendo 
, calcule:
a) f(
)
b) f(
 )
c) f( 
)
30. Dada a função f (x) = 6x2 - 5x + 1, calcule x de modo que:
a) f (x) = 0 
b) f (x) = 1 
c) f(x) = 15
31. Uma empresa vende mensalmente x unidades de um determinado artigo. O custo (C), em UV (Unidades de Valor), e dado por C(x) = 2x2 - 7x + 10. Calcule o custo da produção ao em UV para 100 unidades.
III – Exercícios de Funções Polinomiais
Sejam f (x) = 8x e g (x) = –2x2 + 4. Encontre:
 f (x) + g (x);
 f (x) ( g (x);
g (x) ( f (x);
 f (x) • g (x).
Construa o gráfico da função f (x) • g (x), sendo f (x) = (x e g (x) = x ( 1. Dê seu domínio e conjunto imagem.
Construa o gráfico da função f (x) ( g (x), sendo f (x) = (x e g (x) = ( 1. Dê seu domínio e conjunto imagem.
IV – Exercícios de Funções Polinomiais
Esboçar o gráfico da função f (x) = x2 – 6x + 8, dando seu domínio e conjunto imagem.
Esboçar o gráfico da função f (x) = –x2 + 4x – 5, dando seu domínio e conjunto imagem.
O gráfico da função f (x) = ax2 + bx + c é dado abaixo. Determinar a, b e c.
Para que valores reais de m a função f (x) = 2x2 + 5x + m + 3 admite duas raízes reais e distintas ? 
Para que valores reais de m a função f (x) = x2 + mx + m – 1 admite duas raízes reais e iguais ? 
Para que valores reais de m a função f (x) = (m – 2)x2 + 2mx + m + 3 não admite raízes reais ? 
O gráfico da função f (x) = kx2 + x – 1, k ( R, é uma parábola que possui duas raízes reais e distintas. Determinar os possíveis valores de k. 
O gráfico da função f (x) = x2 + x + 2k – 3, k ( R, não interceptao eixo das abscissas. Determine os possíveis valores de k. 
Determinar o conjunto imagem da função f : [-2, 2 [ ( R, tal que f (x) = 2x2 – 2x – 3. 
Discuta a variação de sinal de cada uma das funções:
f (x) = x2 – 5x + 4
y = – x2 + x + 2
f (x) = – x2 + 6x – 9
f (x) = 3x2 – x + 1
 
Resolva as inequações do 2o grau:
x2 – 3x – 4 > 0 (c) x2 < 9
3x2 – 2x ( 0 (d) – x2 – 2x + 8 ( 0
12. Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão:
		h(t) = 3t - 3t2, onde h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?		
13. (UNIFICADO)
As figuras acima nos mostram as funções f(x) e g(x) representadas pelos seus gráficos cartesianos. A solução da inequação 
 é:
14. A temperatura de uma estufa, em graus centígrados, é regulada em função do tempo t, de acordo com a lei f dada por 
, sendo t ≥ 0. Pode-se afirmar que:
a) O valor da temperatura máxima é de 18 graus.
b) A temperatura é sempre positiva.
c) A temperatura é positiva só para 0 < t < 5.
d) A temperatura nunca atinge zero grau.
e) A temperatura mais alta é atingida para t=2.
15. Considere o gráfico da função f definhada por 
:
A expressão de f(x) é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
16. Encontre as coordenadas do vértice do gráfico da f(x) = x2 – 7x + 12. 
17. (FUVEST) Os gráficos das funções polinomiais P e Q estão representados na figura seguinte: 
 
Então, no intervalo 
, 
 para:
18. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10.
Com base nos dados acima, determine:
a) As coordenadas do ponto P.
b) O conjunto - solução da inequação 
.
19. A função que descreve a dependência temporal da posição S de um ponto material é representada pelo gráfico abaixo.
Sabendo que equação geral do movimento é do tipo 
, os valores numéricos das constantes A, B e C são, respectivamente:
a) 0, 12, 4
b) 0, 12, -4
c) 12, 4, 0
d) 12, -4, 0
20. Considere a função f(x) = x2 – 2x – 15. 
a) Encontre as raízes.
b) Exiba as coordenadas onde o gráfico intercepta o eixo Y.
c) Encontre as coordenadas do vértice.
21. Observe a figura, que representa o gráfico de y = ax2 + bx + c. 
Assinale a única afirmativa FALSA em relação a esse gráfico.
a) ac é negativo.
b) b2 - 4ac é positivo.
c) ele tem um ponto máximo.
d) c é negativo.
e) a é positivo.
22. (CEFET) Uma função quadrática tem por imagem o intervalo 
. A sua representação gráfica num plano cartesiano é uma parábola, a reta x = 2 é o eixo de simetria e a distância entre os zeros da função vale 6.
a) Quais as coordenadas do vértice da parábola ?
b) Faça o gráfico desta função, identificando os pontos de interseção com os eixos e o vértice.
c) Qual a expressão da função ?
23. (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação 
 na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3 m de altura.
Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.
24. (UFRJ) A figura abaixo é o gráfico de um trinômio do 2° grau.
 
Determine o trinômio.
25. (UNICAMP) Determine o número “m” de modo que o gráfico da função 
 seja tangente ao eixo x. Faça o gráfico da solução ( ou das soluções ) que você encontrar para o problema.
26. (UFRJ) Determine o comprimento do segmento cujas as extremidades são os pontos de interseção da reta y = x + 1 com a parábola 
.
27. (UFF) O custo, em reais, de fabricação de x peças, em determinada fábrica é 
. Sabe-se que:
(I) Se nenhuma peça for produzida, o custo fixo é de 80 reais;
(II) Se forem produzidas 30 peças, o custo é de 50 reais;
(III) Se forem produzidas 50 peças, o custo é de 130 reais.
Determine:
a) O número de peças que se devem produzir para que o custo seja o menor possível;
b) o custo mínimo.
28. (UFRJ) Dois corpos A e B deslocam-se do ponto (7, 10) para o ponto (3, 2) mantendo-se sempre, a cada instante, em uma vertical. O corpo A desloca-se sobre a parábola de equação 
; a trajetória de B é uma reta.
a) Determine a equação da trajetória B;
b) Seja f(x) a função que determina a distancia entre os corpos A e B para cada x. Encontre f(x);
c) Determine o valor de x para o qual a distância entre os dois corpos é máxima.
V – Exercícios de Funções Polinomiais
	
1. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:
a) mínimo igual a –16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6 
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240, para x = 20.
2. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é:
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79
3. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é:
a) A(x) = -x2 + 25x para x ( 0 b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25
c) A(x) = -3x2 + 50x para x ( 0 d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
4. (UFMG) Sendo f : R ( R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule:
a) 
 b) 
5. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6- (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
7. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida quando:
a) m ( 4 b) m ( 2 c) m ( -2 d) m = -2 ou +2 e) m ( ( 2
8. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, k pode ser:
a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 4
9. (F.C.CHAGAS) Uma função quadrática f, de R em R, tem raízes, nos pontos (-1,0) e (1,0) e assume o valor mínimo –1 se x = 0. Essa função é dada por:
a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = x2 + 1 c) f(x) = x2 – 2x + 1
d) f(x) = x2 – 2x – 2 e) f(x) = x2 – x + 1
10- (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades
11. (UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x2 + mx + 8 – m, seja tangente ao eixo dos X.
12. (UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:
a) f(x) = -2x2 - 2x + 4 
b) f(x) = x2 + 2x – 4 
c) f(x) = x2 + x - 2
d) f(x) = 2x2 + 2x - 4e) f(x) = 2x2 + 2x - 2
Respostas:
1) c; 2) c; 3) b; 4-a) –3/4; 4-b) 
;5) b; 6) a; 7) e; 8) e; 9) a; 10) d; 11) –8 ou 4; 12) d.
VI – Exercícios de Funções Polinomiais
	
1. (FUVEST) As funções f e g são dadas por f(x) = 
 e g(x) = 
. Sabe-se que f(0) - g(0) = 
. Determine f(3) – 3.g
.
2. Determine a lei que define a função representada no gráfico:
3. Faça o estudo dos sinais das seguintes funções:
a) f(x) = 3x +10 b) f(x) = - 5x + 15
4. (FVG) Um terreno vale hoje R$40.000,00 e estima-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo que o valor do imóvel seja função do 1º grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente: 
a) R$43.066,00 b) R$43.166,00 c) R$43.266,00 d) R$43.366,00 e) R$43.466,00
5. (PUC) Um táxi cobra R$2,60 de bandeirada e mais R$0,40 por quilômetro rodado. Ao final de um percurso de “p” quilômetros, o taxímetro marca R$8,20. Calcule o valor de “p”. 
6. Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II inicialmente com nível de 80 mm evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes.
a) 10º dia b) 14º dia c) 18º dia d) 20º dia e) 24º dia
7. (UFRA) Uma função de custo linear é da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a parte fixa desse custo total. Suponha que uma indústria ao produzir 150 unidades de um produto, gasta R$ 525,00 e quando produz 400 unidades seus gastos são de R$ 700,00, então podemos afirmar que os custos fixos dessa indústria são, em reais:
a) 175 b) 225 c) 375 d) 420 e) 475
8. (FGV) A receita mensal de vendas de uma empresa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma função do 1( grau. Quando a empresa gasta R$10.000,00 por mês de propaganda, sua receita naquele mês é de R$80.000,00; se o gasto mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal cresce 50% em relação àquela.
a) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propaganda for de R$30.000,00?
b) Obtenha a expressão de y em função de x.
9. (UEL) Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1)=190 e f(50)=2.052, então f(20) é igual a 
a) 901		b) 909		c) 912		d) 937		e) 981
10. (FAAP) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente.
Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas após o início do curso
a) R$ 62,50	 b) R$ 50,50	 c) R$ 74,50	 d) R$ 78,50	 e) R$ 87,50
11. (Unicamp) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela.
Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
Exercícios de Aplicações
Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 frequentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por dia. Admitindo que o preço (p) relaciona-se com o número de frequentadores por dia (x) através de uma função do 1º grau, obtenha essa função. Num outro parque B, a relação entre p e x é dada por 
. Qual o preço que deverá ser cobrado para maximizar a receita diária? 
Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: "Para compras entre 100 e 600 reais compre (x + 100) reais e ganhe (
)% de desconto na sua compra". Qual a maior quantia que se pagaria à mercearia nesta promoção? 
Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função 
, onde x indica o número de lugares vagos (0 ( x ( 40). Determine
Quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo; 
Qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem. 
(PUC-SP-03) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser, em reais: 
Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é 
, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 
. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:
O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de freqüentadores (x) por sessão através da relação; 
.
Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço de ingresso for R$ 60,00? 
Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão? 
(UFSM) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação 
, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t = 12 meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10( mês é: 
(UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por 
. Sabendo-se que cada produto é vendido por R$ 10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$ 44,00 é: 
Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, com 10 ( n ( 70, no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 - n) reais. Nessas condições, o dinheiro total arrecadado pela empresa varia em função do número n. Qual é a maior quantia que a empresa pode arrecadar? 
 (UFPE-02) Suponha que o consumo de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h seja dado por 
. Para qual velocidade este consumo é mínimo? 
O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: 
. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? 
O lucro de uma empresa é dado por 
 onde x é o número de unidades vendidas. Para que valor de x é obtido o lucro máximo? 
(UFPE-00) Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15 kg e caixas de maçãs de 20 kg. Pelo transporte, ele recebe R$ 2,00 por caixa de uvas e R$ 2,50 por caixa de maçãs. O caminhão utilizado tem capacidade para transportar cargas de até 2.500 kg. Se são disponíveis 80 caixas de uvas e 80 caixas de maçãs, quantas caixas de maçãs ele deve transportar de forma a receber o máximo possível pela carga transportada? 
Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo?(UERJ-02) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.
Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita. 
Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor. 
Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação: 
 (onde x e y são medidos em hectômetros). 
Determine, em metros,  a altura máxima atingida pela bala. 
Na horizontal, quantos metros a bala percorreu para atingir a altura máxima?
Calcule, em metros, o alcance do disparo. 
Uma microempresa, no seu segundo ano de funcionamento, registrou um lucro de R$ 28 mil, o que representou um acréscimo de 40% sobre o lucro obtido no seu primeiro ano de existência. No quarto ano, o lucro registrado foi 20% inferior ao do segundo ano. Considerando apenas esses três registros e representando por x o tempo de existência da empresa, em anos, pode-se modelar o lucro L(x) - em múltiplos de R$ 1.000,00 - obtido nos 12 meses anteriores à data x, por meio de uma função polinomial do segundo grau da forma 
. Os coeficientes a, b e c desse polinômio são unicamente determinados a partir das informações acima, em que L(1), L(2) = 28 e L(4) representam os lucros da empresa no primeiro, no segundo e no quarto anos, respectivamente. Uma vez encontrado esse polinômio, o modelo permite inferir se houve lucro (ou prejuízo) em datas diferentes daquelas registradas, desde que se considere x (1. Com base nas informações e no modelo polinomial acima, julgue os itens seguintes.
O lucro da empresa no quarto ano foi de R$ 24 mil. 
No plano de coordenadas xOy, o gráfico da função L é parte de uma parábola de concavidade voltada para baixo. 
O lucro obtido pela empresa no terceiro ano foi maior que o registrado no segundo ano. 
O lucro máximo (anual) alcançado pela empresa foi registrado durante o primeiro trimestre do terceiro ano
A empresa não apresentou prejuízo durante os 5 primeiros anos. 
A equação de demanda e de custo de um produto estão representadas respectivamente por 
 e 
, obtenha:
A correspondente função receita; 
A quantidade demandada que maximize a receita; 
A receita máxima; 
A correspondente função lucro; 
A quantidade demandada que maximize o lucro; 
O lucro máximo; 
Obtenha os pontos de equilíbrio entre a receita e o custo. 
O custo para a produção de x unidades é dado por 
. Calcule o valor do custo mínimo e qual a quantidade que propicia este custo mínimo. 
O dono de uma casa de espetáculos observou que o número de frequentadores estava relacionado com o preço cobrado pelo ingresso. Fazendo um estudo chegou a conclusão que a relação ficava bem representada pela expressão, 
. Sabendo-se que x é o número de clientes e p é o preço, responda:
Qual o preço que o empresário deverá cobrar para obter a máxima receita? 
A casa suporta até 600 pessoas. Para se obter a máxima receita é interessante ter a casa cheia com toda a sua capacidade? 
Se o custo total é dado por 
, calcule o número ótimo de clientes para se realizar um espetáculo nestas condições. 
Um comerciante compra secador de cabelo por R$ 15,00 e os revende a R$ 28,00. A quantidade vendida nestas condições é de 500 unidades por mês. Pretendendo aumentar suas vendas, faz uma promoção, oferecendo os secadores por R$ 23,00 a unidade. Tendo vendido 700 secadores no mês da promoção, obtenha:
A equação de demanda, supondo-a linear. 
O preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro. 
A equação de demanda de um bem é dada por 
, onde p é o preço e x a quantidade e 
 é o custo. Pede-se:
A função receita e o gráfico; 
A função lucro e gráfico; 
O valor de x que maximiza a receita; 
O valor de x que maximiza o lucro. 
Uma companhia de diligências observou que, quando o preço de um bilhete é R$ 10,00, 30 pessoas compram passagens; mas, quando o preço é R$ 24,00 são vendidas apenas 9 passagens. Considerando o custo da viagem em 
, determine:
A função receita; 
A função lucro; 
O valor de x que maximiza a receita; 
O preço que maximiza o lucro. 
O valor do lucro máximo.
Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de assinaturas, o faturamento e o custo mensal são: e . Encontre o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao custo, ou seja, o ponto de lucro zero. 
Suponha que 
 seja a função receita de uma empresa e x o número de unidades vendidas. Calcule para qual quantidade vendida a receita é máxima e qual a receita máxima. 
Referências:
Manoel Paiva, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
Edwaldo Bianchini, Herval Paccola, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
Exercícios resolvidos sobre Função do 2º Grau
01) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto para um indivíduo sadio em repouso, varia em função da temperatura ambiente T, em graus Celsius , e é dado pela função: N(T)= (0,1) T² - 4T + 90. 
a) Essa função possui máximo, ou mínimo?
b) A que temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e em repouso será 90?
c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto com refrigeração de 20ºC, qual será o número de batimentos cardíacos por minuto?
02)Um menino chutou uma bola que atingiu uma altura máximo de 12 metros e voltou ao solo em 8 segundos após o chute. Sabendo  que uma função quadrática expressa a altura y da bola em função do tempo t de percurso encontre tal função.
Construindo o gráfico da função pelos dados teremos:
03)  Um projétil é lançado verticalmente, para cima e sua trajetória é uma curva de equação  s = - 40 t2 + 200t, onde s é o espaço percorrido, em metros, em t segundos. Encontre a  altura máxima atingida por esse projétil, em metros. Represente graficamente essa trajetória.
A altura máxima será o “y” do vértice.
Assim a altura máxima atingida é 250 metros.
Para desenhar o gráfico dessa função sabemos que a concavidade dessa parábola é para baixo e que a parábola intercepta o eixo de origem pois o termo independente “c” é nulo. Portanto uma das raízes será zero. Encontremos a outra raiz colocando “t” em evidência em
Para encontrar as raízes (ou zeros da função) devemos igualar “s” a zero:
Vamos também encontrar o tempo onde o projétil atinge sua altura máxima, ou seja, o “x” do vértice:
Ou seja, dois segundos e meio após o lançamento o projétil atinge a altura máxima de 250 metros. Para termos certeza disso podemos substituir t = 2,5 segundos em  
04) Um teste que avaliou o consumo de gasolina de uma nova motocicleta revelou que, quando a velocidade está no intervalo de 50km/h, a distância “d”, em km, percorrida por litro de gasolina, em função da velocidade “v”, em km/h, é dada por d(v) = –v²/150 +16v/15. Encontre a velocidade, no intervalo considerado, onde se dá a maior economia de combustível e após construa o gráfico dessa função.
Essa função representa a distância máxima percorrida em função de uma velocidade, ou seja, haverá velocidades onde a motocicleta irá percorrer menores distâncias e em outras maiores devido à economia de combustível. Portanto coma  velocidade de 80km/h a motocicleta irá percorrer a maior distância (“y” do vértice) sendo assim a velocidade de maior economia. Vamos agora construir o gráfico da função. Encontremos as raízes da função. Como não há termo independente nessa função já sabemos que o gráfico corta a origem e a concavidade é para baixo pois o termo “a” é negativo.
O gráfico então fica:
05) O produto da idade de um casal de tartarugas é igual a 594. Uma tartaruga (fêmea) possui 15 anos a mais que seu companheiro de longa data. Calcule a idade de cada tartaruga em anos.
 
x1x2
x1
x2
x
x
x1 = x2
x
x1 = x2
x
x
x
�PAGE �
�PAGE \* MERGEFORMAT�27�
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