DESENHO TÉCNICO CAP 2

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Marcelo Murga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento do Núcleo de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 Área Engenharias 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desenho Técnico e correlacionadas Nível Tecnólogos e 
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DESENHO TÉCNICO 
CAPÍTULO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Geometria Plana 
Construções geométricas 
Mediatriz 
Polígonos 
Triângulos 
Circunferência 
 
 
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CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS: 
 
Neste capítulo será visto as relações geométricas existentes e como elas podem 
ajudar na construção do desenho, através basicamente do uso de compasso e 
esquadros. 
 
- CONCEITOS BÁSICOS: 
 
Todas as construções geométricas partem de princípios básicos, estudados desde a 
antiguidade. Quando ainda não existia sistemas matemáticos bem definidos, todo o 
estudo de geometria era feito através dos desenhos. Tais conceitos são válidos até 
hoje, mesmo com os recursos disponíveis atualmente. 
 
- LOCAIS GEOMÉTRICOS: 
 
Um local geométrico define uma condição, uma propriedade, ou uma restrição em 
um desenho, que inclusive pode ser expressa matematicamente. Um exemplo 
simples é a circunferência: todos os pontos no traço da circunferência estão a 
mesma distância do centro. 
 
Retas paralelas são outro exemplo de local geométrico: são dois conjuntos de 
pontos que nunca se cruzam, e que estão à uma distância fixa. 
 
Em suma, todas as formas no desenho são locais geométricos, e através de suas 
propriedades é que iremos relacioná-los. Um exemplo prático: 
 
- Tem-se dois pontos no espaço, denominados “A” e “B”, conforme a Figura 1, e 
deseja-se encontrar um terceiro ponto “C” que esteja à mesma distância “x” de 
ambos os pontos. 
 
- Sabemos que a circunferência define um conjunto de pontos que se encontra com 
a mesma distância do centro. Com o compasso, pegamos na régua o tamanho “x” e 
traçamos duas circunferências, uma com centro em “A” e outra com centro em “B”. 
Veja a Figura 2. 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
A interseção das duas circunferências é a nossa solução. Vemos inclusive que 
existem dois pontos válidos, marcados como “C1” e “C2” – figura 4, o que é 
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perfeitamente plausível. Caso o problema tivesse maiores restrições (por exemplo, 
escolher o ponto mais alto) somente um dos pontos seria a solução correta. 
 
 
 Figura 3 Figura 4 
 
Se escolhermos distâncias “x” maiores ou menores, teremos outras soluções. 
 
Veremos inclusive que podemos ter distâncias cujas respostas é somente um ponto, 
ou distâncias em que as circunferências não se cruzam, não havendo solução. 
 
O conjuntos de soluções, conforme nós variamos a distância “x”, pode ser definida 
por uma reta. Esta reta é outro local geométrico, neste caso definindo um conjunto 
de pontos que são equidistantes de “A” e “B”, contendo inclusive “C1” e “C2”. 
 
 
 Figura 5 Figura 6 
 
Com a prática veremos que não é necessário traçar circunferências inteiras para 
encontrar os pontos, figura 6. Usa-se somente um traço onde provavelmente estará 
o ponto. 
 
 
 
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MEDIATRIZ DE UMA RETA: 
 
A mediatriz m de um segmento AB é a reta 
perpendicular ao segmento passando por seu ponto 
médio M. 
 
Um ponto P qualquer pertence à mediatriz m de AB se 
e somente se triângulos PMA e PMB são congruentes. 
Assim os ângulos PMA e PMB são retos, já que são 
ângulos congruentes com soma medindo 180 graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO: 
 
Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) 
congruentes. Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB. 
 
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o 
divide em dois outros ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
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Utilizando o compasso na construção da bissetriz 
de um ângulo 
 
 Determinação da bissetriz do ângulo AÔB. 
 
 Centramos o compasso em O e com uma 
abertura determinamos os pontos C e D 
sobre as semi-retas, respectivamente. 
 
 Centramos o compasso em C e D e com 
uma abertura superior à metade da distância 
de C a D traçamos arcos que se cruzam em 
E. 
 
 Traçamos, determinando assim a bissetriz de 
AÔB. 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONO REGULAR: 
 
É todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. 
 
 
NOMENCLATURA 
 
O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados. 
 
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POLÍGONO REGULAR INSCRITO 
 
 Todo polígono regular é inscritível, isto é, pode 
 ser inscrito em uma circunferência. 
 O polígono e a circunferência possuem o mesmo centro O e o mesmo raio R. 
 O raio R do polígono regular vai do centro a um de seus vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULOS - POLÍGONOS DE TRÊS LADOS: 
 
Quanto aos lados: 
 
 Equilátero - todos os lados iguais: 
 
 Isósceles - dois lados iguais: 
 
 Escaleno - todos os lados diferentes: 
 
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Quanto aos ângulos: 
 
 Acutângulo - Três ângulos agudos, ou seja, menores do que 90° 
 
 
 Obtusângulo - Um ângulo obtuso, ou seja, um ângulo com mais de 90° 
 
 
 Retângulo – Um ângulo de 90° graus, também chamado ângulo reto 
 
 
TRIÂNGULO -MEDIANA - BISSETRIZ - ALTURA 
 
MEDIANA: 
 
Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. 
Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos 
vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. 
 
 
BISSETRIZ: 
 
Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do 
triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela 
divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice. 
 
 
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MEDIATRIZ: 
 
Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto 
médio. 
 
 
ALTURA 
 
Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta 
com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado 
oposto. 
 
ALTURA NO TRIÂNGULO ACUTÂNGULO 
 
O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH 
é a altura do ΔABC. 
 
 
ALTURA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
O segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG. 
 
 
ALTURA NO TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO 
 
PX é a altura do ΔPQR. 
 
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BARICENTRO DO TRIÂNGULO: 
 
As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (baricentro) que 
divide cada mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice é o 
dobro da outra. 
 
 
 
INCENTRO DO TRIÂNGULO: 
 
Chama-se incentro de um triângulo, ao ponto de encontro das suas bissetrizes. 
 
Este ponto situa-se sempre no interior do triângulo e tem especial importância, por 
ser eqüidistante aos três lados do triângulo. 
 
 
 
 
CIRCUNCENTRO DO TRIÂNGULO: 
 
 A mediatriz do lado de um triângulo é uma 
reta perpendicular ao lado no seu ponto 
Médio. 
 Se traçarmos as mediatrizes dos três lados 
de um triângulo, elas intersectam-se num 
ponto O, chamado circuncentro. 
 Este ponto está eqüidistante (à mesma 
distância) dos três vértices do triângulo e é 
o centro duma circunferência circunscrita 
ao mesmo. 
 
 
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ORTOCENTRO DO TRIÂNGULO: 
 
A altura de um triângulo é o segmento perpendicular compreendido entre o vértice e 
o lado oposto. 
 
Um triângulo admite três alturas. 
 
As alturas (Ha, Hb e Hc) de um triângulo intersectam-se num ponto H, 
chamado ortocentro. 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA: 
 
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA 
 
Tangência: qualidade de tangente, ligando pontos, linhas, arcos e circunferências. 
Concordância: ato de concordar, acordo, harmonia. 
 
Os fundamentos gerais de tangência são: 
1. Tangenciar um ponto significa contê-lo; 
2. O ponto de tangência entre uma reta e uma circunferência é sempre perpendicular 
ao raio da mesma; 
3. O ponto de tangência entre duas circunferências (ou arcos) pode ser obtido 
unindo-se os centros das mesmas. 
 
Exemplos: 
 
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20. Dividir uma circunferência em 3 partes iguais: 
 
 
 
21. Dividir uma circunferência em 4 partes iguais: 
 
 
 
 
 
 
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22. Dividir uma circunferência em 5 partes iguais: 
 
 
 
23. Dividir uma circunferência em 7 partes iguais: 
 
 
 
 
 
 
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24. Dividir uma circunferência em 9 partes iguais (1º Processo): 
 
 
 
25. Dividir uma circunferência em 9 partes iguais (2º Processo): 
 
 
 
 
 
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26. Dividir uma circunferência em 9 partes iguais pelo método de 
Bion ou Rinaldini: 
 
 
 
27. Dividir uma circunferência em 10 partes iguais (1º Processo): 
 
 
 
 
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28. Dividir uma circunferência em 10 partes iguais (2º Processo): 
 
 
 
 
29. Dividir uma circunferência em 11 partes iguais (1º Processo): 
 
 
 
 
 
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30. Dividir uma circunferência em 11 partes iguais (1º Processo): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
1. Desenhe um segmento de reta e trace com auxílio de compasso a mediatriz a 
esta reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Desenhe duas semi-retas com a mesma origem e trace a bissetriz do ângulo 
formado, com auxílio de compasso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Desenhe um triângulo escaleno e o Incentro do mesmo, com auxílio do 
compasso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Desenhe um triângulo e a circunferência que tangencia os três vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Desenheum triângulo e determine o baricentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Desenhe um triângulo e determine o ortocentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Reconstrua os desenhos a seguir em formato A4 padronizado utilizando as 
técnicas de construção geométrica, é obrigatório uso do compasso e régua: 
 
 
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