Apostila de Eletricidade aplicada

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ELETRICIDADE APLICADA 
 
 
 
 
Professor Eduardo Rezende de Araújo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Agosto/2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A formação do engenheiro que vai viver 
e trabalhar no século XXI obrigatoriamente 
deve atentar para custos, prazos, qualidade, 
segurança, cuidados com as repercussões 
sociais e ambientais dos projetos e soluções. 
Isto quer dizer que o profissional não pode 
mais encontrar soluções puramente técnicas. O 
problema em foco faz parte de uma sociedade 
e o que vai acontecer nessa sociedade, em 
consequência da solução, tem que fazer parte 
das suas preocupações.” 
 
 
 SUMÁRIO 
1. LEI DE OHM E POTÊNCIA.........................................................................................06 
 
1.1 O CIRCUITO ELÉTRICO....................................................................................06 
 
1.2 RESISTÊNCIA ELÉTRICA..................................................................................07 
 
1.3 RESISTORES........................................................................................................07 
 
1.4 LEI DE OHM.........................................................................................................08 
 
1.5 POTÊNCIA ELÉTRICA.......................................................................................09 
 
1.6 ENERGIA ELÉTRICA..........................................................................................11 
 
2. CIRCUITOS SÉRIES DE CORRENTE CONTÍNUA.................................................12 
 
2.1 TENSÃO, CORRENTE E RESISTÊNCIA EM CIRCUITOS SÉRIE................12 
 
2.2 POLARIDADES E QUEDAS DE TENSÃO........................................................14 
 
2.3 CONDUTORES.....................................................................................................15 
 
2.3.1 Circular Mils......................................................................................................16 
2.3.2 Resistividade ( ρ ).............................................................................................16 
2.3.3 Coeficiente de Temperatura (α)........................................................................18 
 
2.4 POTÊNCIA TOTAL NUM CIRCUITO SÉRIE...................................................18 
 
2.5 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO (QUEDA DE TENSÃO POR PARTES 
PROPORCIONAIS)..............................................................................................20 
 
3. CIRCUITOS PARALELOS DE CORRENTE CONTÍNUA......................................21 
 
3.1 TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO PARALELO..................................21 
 
3.2 RESISTÊNCIAS EM PARALELO......................................................................22 
 
3.3 CIRCUITO ABERTO E CURTO-CIRCUITO.....................................................23 
 
3.4 CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE...............................................................24 
 
3.5 POTÊNCIA EM CIRCUITOS PARALELOS.......................................................25 
 
 
 
 
 
 
4. LEIS DE KIRCHHOFF..................................................................................................27 
 
4.1 1ª LEI DE KIRCHHOFF, LEI DOS NÓS OU LEI DE KIRCHHOFF PARA 
CORRENTES (LKC).............................................................................................27 
 
4.2 2ª LEI DE KIRCHHOFF, LEI DAS MALHAS OU LEI DE KIRCHHOFF PARA 
TENSÕES (LKT)...................................................................................................28 
 
5. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 
(CA)...................................................................................................................................30 
 
5.1 NÚMEROS COMPLEXOS...................................................................................30 
 
5.2 PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA...................................................32 
 
5.2.1 Representação de Funções Senoidais no tempo.......................................33 
 
5.3 VALOR MÁXIMO, MÉDIO E EFICAZ............................................................. 34 
 
5.3.1 Valor Máximo...........................................................................................34 
 
5.3.2 Valor Médio..............................................................................................34 
 
5.3.3 Valor Eficaz..............................................................................................35 
 
5.4 RESISTÊNCIA, REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA.............................................. 36 
 
5.5 TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIAS......................................................................38 
 
5.6 POTÊNCIA ATIVA, REATIVA E APARENTE.................................................40 
 
5.7 FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO....................................................43 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................49 
 
 
 
6 
 
1. LEI DE OHM E POTÊNCIA 
 
1.1 O CIRCUITO ELÉTRICO 
Pode ser dividido em quatro grupos: Fonte, condutor, carga e instrumentos de 
controle: 
a) Fontes: Baterias ou rede elétrica; 
 
b) Condutor: fios e cabos (baixa resistência) que conduzem a corrente elétrica; 
 
 
c) Carga: é a resistência do circuito (lâmpada, campainha, torradeira, chuveiro, 
motor); 
 
d) Dispositivo de controle: chaves, fusíveis, relés, disjuntores etc. 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: O circuito pode ser fechado ou aberto. 
 
 O símbolo do “terra” pode ser utilizado para representar pontos comuns de um 
circuitos, conforme figura a seguir: 
condutor 
carga 
chave 
fonte 
7 
 
 
 
 
1.2 RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
É medida em Ohm (Ω) e representada por “R”. 
Ohm – É a quantidade de resistência que limita a corrente num condutor a 1 Ampère, 
quando a tensão for de 1 Volt. 
 
Observação: Analogia (Sistema Hidráulico X Sistema Elétrico) 
 
 Sistema Hidráulico Sistema Elétrico 
 
 
 
 
 
1.3 RESISTORES 
 
a) Fixos – possuem um único valor (constante para condições normais). Podem ser de 
carbono ou fio enrolado: 
i. Carbono (grafite) – baixo custo; 
dpg 
i 
8 
 
ii. De fio enrolado – níquel-cromo em espiral sobre uma haste de cerâmica. 
Normalmente este conjunto é coberto por material cerâmico ou esmalte. 
A resistência real de um resistor pode variar (Tolerância) – ±5%, ±10%, ±20% etc. 
A especificação da potência é dada pela quantidade de calor que um resistor pode 
dissipar, antes de ficar danificado. É medida em Watts. 
 
b) Variáveis – usados para modificar a resistência de um circuito. Podem ser: 
i. Potenciômetros – Carbono, para baixas correntes; 
ii. Reostato – fio enrolado, para altas correntes. 
iii. Dependentes – elementos resistivos que variam de acordo com a luz, 
temperatura etc. Ex: LDR, PTC e NTC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B C 
 
 
1.4 LEI DE OHM 
Define arelação entre corrente, tensão e resistência. 
 
V = R x I; I = V/R e R = V/I 
 
Braço 
deslizante 
Elemento 
Resistivo 
C 
B 
A 
9 
 
Exercício 1.1: Calcule I quando V = 120 V e R = 30 Ω. 
 Resposta: I = 4 A 
 
 
 
Exercício 1.2: Calcule R quando V = 220 V e I = 11 A. 
 Resposta: R = 20 Ω 
 
 
 
Exercício 1.3: Calcule V quando I = 3,5 A e R = 20 Ω. 
 Resposta: V = 70 V 
 
 
 
Exercício 1.4: Uma lâmpada elétrica consome 1 A operando num circuito de 120 V. 
Qual a resistência do filamento da lâmpada? 
 Resposta: 120 Ω 
 
 
 
 
1.5 POTÊNCIA ELÉTRICA 
A potência elétrica dissipada por um resistor é definida como a quantidade de energia 
térmica que passa por ele durante uma quantidade de tempo. 
 
 
 
10 
 
A unidade utilizada para energia é o watt (W), que designa joule por segundo (J/s) 
 
 P = V x I 
 
Como V = R x I 
P = V x I = (R x I) x I ====== P = R x I
2
 
 
E como I = V/R 
P = V x I = V x (V/R) ====== P = V
2
/R 
 
 
Exercício 1.5: A corrente através de um resistor de 100 Ω a ser usado num circuito é 
de 0,2 A. Qual a potência deste resistor? 
Resposta: P = 4 W 
 
 
 
Exercício 1.6: Quantos quilowatts de potência são liberados a um circuito por um 
gerador de 240 V que fornece 20 A ao circuito? 
Resposta: P = 4,8 kW 
 
 
 Exercício 1.7: Se a tensão num resistor de 25.000 Ω é de 500 V, qual a potência 
dissipada neste resistor? 
Resposta: P = 10 W 
 
 
 
11 
 
Observação: A potência nos resistores também podem ser medidas em HP ou CV, através 
das seguintes relações: 
 
 1 HP = 746 W 
 1 CV = 736 W 
 
 
 
1.6 ENERGIA ELÉTRICA 
 A energia elétrica consumida por um resistor é dada pelo produto da potência pelo 
tempo durante o qual esta potência foi utilizada: 
 
 J = W x s 
 E = P x t 
 kWh = kW x h 
 
 Exercício 1.8: Que quantidade de energia é liberada em 2 horas por um gerador que 
fornece 10 kW? 
Resposta: E = 20 kWh 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
2. CIRCUITOS SÉRIE DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
2.1 TENSÃO, CORRENTE E RESISTÊNCIA EM CIRCUITOS SÉRIE 
O Circuito Série é aquele que permite somente um percurso para a passagem da 
corrente elétrica. 
 
 RT = R1 + R2 + R3 
 
 
Exercício 2.1: Qual a resistência total no circuito abaixo? 
 
Resposta: 225 Ω 
 
 A tensão total será a soma das tensões em cada elemento. 
 
 VT = V1 + V2 + V3 
I 
VT 
13 
 
Exercício 2.2: Qual o valor da tensão da fonte do circuito abaixo? 
 
Resposta: VT = 90 V 
 
 
 
 
 
A tensão total (VT) também pode ser dada por: VT = RT x I 
 
Exercício 2.3: Um resistor de 45Ω e uma campainha de 60Ω estão ligados em série 
conforme abaixo. Qual o valor da tensão para produzir uma corrente de 0,3 A? 
 
Resposta: VT = 31,5 V 
 
 
 
 
14 
 
Exercício 2.4: Uma bateria de 95 V está ligada em série com três resistores de 20Ω, 
50Ω e 120 Ω, conforme circuito abaixo. Calcule a tensão nos terminais de cada resistência. 
 
 
Resposta: V(20 Ω) = 10 V 
V(50 Ω) = 25 V 
V(120 Ω) = 60 V 
 
 
 
Observe que a regra VT = V1 + V2 + V3 é verdadeira: 
VT = 10 + 25 + 60 = 95V 
 
2.2 POLARIDADES E QUEDAS DE TENSÃO 
Tensões e correntes são grandezas vetoriais. Isto significa que para trabalharmos com 
tais grandezas devemos considerar seus valores nominais e seus sentidos. 
 
Observação: Sempre que uma corrente atravessa um resistor num determinado 
sentido, ocorre uma queda de tensão em sentido oposto. 
I 
A B 
D C 
95V 85V 
60V 0V 
15 
 
No circuito anterior: VT = RT x I 
I = VT/RT = 95/190 = 0,5 A 
Assim, a queda de tensão em cada resistência do circuito é dada por: 
Vn = Rn x I, então: 
V1 = 20 x 0,5 = 10V 
V2 = 50 x 0,5 = 25V 
V3 = 120 x 0,5 = 60V 
 
A corrente sai da fonte pelo maior potencial (95V) passando pelos pontos A, B, C e 
D e retornando ao menor potencial da fonte (0V). Consequentemente, esta corrente 
atravessa as resistências do circuito causando queda de tensão em cada uma destas 
resistências. 
Do ponto A (95V), a corrente segue para o resistor de 20Ω onde ocorre uma queda 
de 10V. Assim, o ponto B passa a ter um potencial de 85V. De B para C ocorre uma queda 
de 25V, tornando o ponto C com o potencial de 60V (85 – 25 = 60). Do ponto C para o 
ponto D ocorre outra queda de 60V, tornando o ponto D com 0V de potencial, isto é, o 
mesmo potencial do negativo da fonte, como não poderia deixar de ser. 
 
2.3 CONDUTORES 
Condutância Elétrica é capacidade que cada material tem de conduzir a corrente 
elétrica. Nestes termos, os materiais podem ser divididos em três tipos: 
a) Condutores === são matérias de baixa resistividade que permitem facilmente a 
passagem da corrente elétrica. Ex: todos os metais; 
 
b) Isolantes === são aqueles materiais de alta resistividade que dificultam fortemente 
a passagem da corrente elétrica. Ex: Borracha, cerâmica, ar, água etc.; 
 
c) Maus condutores ou maus isolantes === são aqueles que não se classificam em 
nenhum dos tipos anteriores. Ex: álcool, madeira etc. 
 
Alguns gases, sob certas condições, também podem ser usados como condutores: neon, 
vapor de mercúrio, vapor de sódio etc. 
 
 
16 
 
2.3.1. Circular mils 
É uma unidade de medida de área em fios circulares. 
1 mil = 0,001 polegadas 
Cmil = CM = d
2
 (mil) 
 
 
 Exercício 2.5: Calcule a área em CM de um fio com diâmetro de 0,004 polegadas. 
Resposta: 16 CM 
 
 
 
 
2.3.2. Resistividade ( ρ ) 
A resistência (R) de um determinado fio depende de seu comprimento ( ℓ ), da área 
de sua secção reta (A) e da resistividade do material ( ρ ) do qual ele é composto. 
R = ρ x ℓ / A 
 ℓ 
 
 
 
onde: 
R = resistência do condutor em ohms; 
ℓ = comprimento do fio em metros; 
A = área da secção reta do fio em CM; 
ρ = resistividade do material em CM x Ω / m 
A 
17 
 
TABELA PARA FIOS DE COBRE 
 
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS CONDUTORES 
 
18 
 
Exercício 2.6: Qual a resistência de 152,5 m de fio de cobre n° 20 ? 
Resposta: 5,09 Ω 
 
 
 
2.3.3. Coeficiente de Temperatura ( α ) 
Indica a variação da resistência com a variação da temperatura. 
RT = R0 + R0 ( α x ∆T ) 
Onde: 
RT = resistência à dada temperatura (Ω); 
R0 = resistência à 20 °C (Ω); 
α = coeficiente de temperatura do material ( Ω / °C ); 
∆T = variação da temperatura ( °C ) 
 
Exercício 2.7: Um fio de tungstênio tem resistência de 10 Ω à 20 °C. Calcule sua 
resistência à 120 °C. 
Resposta: 15 Ω 
 
 
 
 
2.4 POTÊNCIA TOTAL NUM CIRCUITO SÉRIE 
 
A fórmula para a potência também pode ser aplicada para valores totais: 
 
PT = I x VT 
19 
 
Também pode ser aplicada para valores individuais em cada parte do circuito: 
 
PT = P1 + P2 + P3 + ... + Pn 
 
Exercício 2.8: No circuito abaixo calcule a potência totaldissipada por R1 e R2. 
 
Resposta: PT = 240 W 
 
 
Exercício 2.9: Calcule a potencia dissipada por cada um dos resistores do exemplo 
anterior e verifique que o somatório delas é igual a potencia total (PT). 
Resposta: PR1 = 80 W 
PR2 = 160 W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
20 
 
2.5 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO (QUEDA DE TENSÃO POR PARTES 
PROPORCIONAIS) 
 
V1 = R1 x I = R1 x (VT / RT) 
 
V1 = VT x R1 / (R1 + R2) 
 
Consequentemente: 
 
V2 = VT x R2 / (R1 + R2) 
 
Exercício 2.10: Calcule a tensão em cada resistor do circuito abaixo pelo método das 
partes proporcionais. 
 
Resposta: V(R1) = 20 V 
V(R2) = 30 V 
V(R3) = 50 V 
V1 
V2 I 
R1 
R2 
R3 
R2 
21 
 
3. CIRCUITOS PARALELOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
3.1 TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO PARALELO 
Circuito paralelo é aquele onde dois ou mais elementos estão ligados à mesma fonte. 
Estes elementos estão submetidos à mesma tensão. 
 
 
VT = V1 = V2 = V3, isto é, a tensão nos resistores é igual à tensão na fonte; 
 
IT = I1 + I2 + I3 ,isto é, a corrente total é a soma das correntes nos resistores. 
 
Cada corrente é dada por: 
I1 = V1 / R1 = VT / R1 
I2 = V2 / R2 = VT / R2 
I3 = V3 / R3 = VT / R3 
 
Exercício 3.1: Duas lâmpadas que retiram do circuito 2 A cada, mais uma terceira 
lâmpada que retira 1 A, estão ligadas em paralelo a uma fonte de 110 V. Calcule a corrente 
total do circuito. 
Resposta: 5 A 
 
 
 
I3 I2 I1 
IT 
V3 V2 V1 R3 R2 R1 
22 
 
Exercício 3.2: Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica, um 
torrador de pão e uma panela de frituras ligadas à tomada de 120 V. Sabendo-se que as 
resistências dos aparelhos são, respectivamente, 15Ω, 15Ω e 12Ω, qual a corrente de cada 
aparelho? 
Resposta: 8 A, 8 A e 10 A respectivamente. 
 
 
 
 
3.2 RESISTÊNCIAS EM PARALELO 
 
 
 
RT = VT / IT 
 
1 / RT = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / Rn 
 
 
 
Obs: Para dois resistores === RT = (R1 x R2) / (R1 + R2) 
 
 
IT 
I3 I2 I1 
R3 R2 R1 
23 
 
Exercício 3.3: Que resistência deve ser acrescentada em paralelo a um resistor de 4 
Ω para produzir uma resistência equivalente de 3 Ω ? 
 
Resposta: 12 Ω 
 
 
 
 
3.3 CIRCUITO ABERTO E CURTO-CIRCUITO 
 
CIRCUITO ABERTO – equivalente a uma resistência extremamente alta. Não há 
corrente circulando, mas pode haver tensão em seus terminais. 
 
 
 
 
CURTO-CIRCUITO – equivalente a uma resistência extremamente baixa. Não há tensão 
entre os terminais, mas pode haver corrente circulando. 
 
 
 
 
 
Req=3Ω 
I=0 
V=? 
I=? 
V=0 
24 
 
Visualização no circuito: 
 
 
 
 
 
3.4 CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE 
 
 
 
 
I1 = VT / R1 = IT x RT / R1 = IT x ( R1 x R2 / R1 + R2 ) 
 R1 
 
 
I1 = (IT x R2) / R1 + R2 
 
 
Circuito 
aberto 
Curto-
circuito 
IT 
I2 I1 
25 
 
Analogamente: 
 
I2 = (IT x R1) / R1 + R2 
 
 Exercício 3.4: Calcule o valor das correntes nos resistores do circuito abaixo: 
 
 
Resposta: I1 = 12 A 
I2 = 6 A 
 
 
 
3.5 POTÊNCIA EM CIRCUITOS PARALELOS 
A Potência Total de um circuito paralelo pode ser dada pelo somatório das potências 
individuais em cada resistor. 
 
PT = P1 + P2 + P3 + ... 
 
Esta Potência Total também pode ser dada pelo produto da tensão total pela corrente 
total do circuito, isto é: 
 
PT = VT x IT = (VT)
2
 / RT = RT x (IT)
2
 
 
 
 
IT=18A 
I2 I1 
26 
 
 Exercício 3.5: Calcule a potência dissipada em cada ramo e a potência total do 
circuito. 
 
 
Resposta: P1 = 40 W 
P2 = 80 W 
PT = 120 W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I2 I1 
27 
 
4. LEIS DE KIRCHHOFF 
 
4.1 1ª LEI DE KIRCHHOFF, LEI DOS NÓS OU LEI DE KIRCHHOFF PARA 
CORRENTES (LKC) 
Definição: 
Nó – junção de dois ou mais elementos em um ponto elétrico. 
 
 
“A soma algébrica de todas as correntes de um nó qualquer é igual à zero.” 
Por simples convenção: 
 
 
 
Exercício 4.1: Calcule o valor da corrente I1 no trecho de circuito abaixo: 
 
 
Resposta: I1 = 5 A 
- + 
I1 
I3=3A 
I2=2A 
A 
28 
 
Exercício 4.2: Calcule o valor da corrente I1 no trecho de circuito abaixo: 
 
 
Resposta: I1 = - 5 A 
 
 
 
 
Obs: O valor negativo encontrado para I1 indica que o sentido real desta corrente é o 
oposto daquele arbitrado no circuito. 
 
 
4.2 2ª LEI DE KIRCHHOFF, LEI DAS MALHAS OU LEI DE KIRCHHOFF 
PARA TENSÕES (LKT) 
Definição: 
 Malha – é um caminho fechado de circulação de grandeza. 
 
 
“A soma algébrica das tensões em uma malha qualquer é igual à zero.” 
 
 
I1 
I2=2A 
I3=3A 
A 
29 
 
Por simples convenção: 
 
 
 
 
 
Exercício 4.3: Calcule o valor da tensão e1 no circuito abaixo: 
 
 
Resposta: e1 = 7 Volts 
 
 
Exercício 4.4: Calcule o valor da tensão e1 no circuito abaixo: 
 
 
Resposta: e1 = - 20 Volts 
 
 
Obs: O valor negativo encontrado para e1 indica que o sentido real desta tensão é o 
oposto daquele arbitrado no circuito. 
+ - 
 5 V 
e1 
 2 V 3 V 
e1 
5 V 
10 V 
V 
30 
 
5. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 
(CA) 
 
5.1 NÚMEROS COMPLEXOS 
São grandezas que possuem duas dimensões, denominadas de parte real e parte 
imaginária, e tem representação em um par de eixos cartesianos denominado de Plano de 
Argand-Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os Números Complexos podem ser representados através das seguintes formas: 
 
Cartesiana ou retangular: Z = a + jb 
 
Polar: Z = Z Ɵ° 
 
Trigonométrica: Z = Z cos Ɵ° + j Z sen Ɵ° 
 
Exponencial: Z = Z e 
j Ɵ
 
 
Obs: O Complexo Conjugado de um Número Complexo é aquele que possui o mesmo 
módulo e ângulo com o sinal oposto, ou, é aquele que possui a mesma parte real e parte 
imaginária com o sinal oposto. 
Ex: Z1 = 10 30° Z1
*
 = 10 -30° 
 
Re 
Z 
Imag. 
b 
a 
Ɵ° 
31 
 
Z2 = 2 + j5 Z2
*
 = 2 – j5 
 
 
Regras Práticas: 
a) Para somar ou subtrair dois números complexos, eles devem estar na forma 
cartesiana: 
 
Z1 – a + jb e Z2 = c + jd 
 
Z1 + Z2 = (a+c) + j (b+d) 
 
Z1 - Z2 = (a-c) + j (b-d) 
 
b) Para multiplicar ou dividir dois números complexos, eles devem estar na forma 
polar: 
 
Z1 = A Ɵ° e Z2 = B Ɣ° 
 
Z1 x Z2 = A.B Ɵ° + Ɣ° 
 
Z1 / Z2 = A/B Ɵ° - Ɣ° 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
a) 3 25° + (2 +3j) = 4,72 + 4,27j 
32 
 
 
b) 2 142° + 3 22° = 1,2 + 2,35j 
 
 
c) 4 112° + 4 68° = 7,42j 
 
d) 2 204° + 224° = 0 
 
 
e) 3 298° + 2 307° = 2,61 – 4,25j 
 
f) (2 + 3j) x (-3 + 4j) = 18 183,17° 
 
g) (-2 – 3j) / (3 – 5j) = 0,6 295,35° 
 
 
5.2 PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA 
 
 
 
33 
 
 
 
 
5.2.1 Representação de Funções Senoidais no tempo 
 
 i(t) 
 
 T 
 
 I Máx 
 
 
 
 t 
 Ɵ 
 
 
 
i (t) = I Máx cos (wt + Ɵ°) 
onde: 
w = 2 Π f = frequência angular (rad/seg) 
Ɵ = defasagem inicial 
I Máx = valor máximo da corrente i(t) 
T = período da senoide 
34 
 
 
5.3 VALOR MÁXIMO, MÉDIO E EFICAZ 
 
5.3.1 Valor Máximo 
 É o maior valor que uma onda senoidal pode atingir. É o valor de pico desta onda. 
 
5.3.2 Valor Médio 
 
 i(t) 
 
 e(t) 
 
 
P(t) = e(t) . i(t) 
P(t) = W / ∆ t 
 
 Em um intervalo de tempo ∆ t (t2 – t1), temos: 
 t2 
W(t2) – W(t1) = 1 / (t2 – t1) ∫ P(t) dt 
 t1 
 
 
 P(t) 
 
 P Méd 
 
 
 
 
 CIRCUITO 
35 
 
 Numa onda periódica: 
 
 T 
P Méd = 1 / T ∫ P(t) dt 
 0 
 
 
5.3.3 Valor Eficaz (RMS) 
 Valor Eficaz é um valor constante de corrente (CC) que produz a mesma potência 
média que i (t). 
 Supondo que a corrente i(t) é senoidal e periódica de período T, temos: 
 t2 
P Méd = 1 / T ∫ R.i2(t) dt 
 t1 
Pela definição anterior: 
P Méd = R x I
2
 RMS 
 
Igualando as duas equações, temos: 
 
 T 
R x I
2
 RMS = 1 / T ∫ R.i2(t) dt 
 0 
 
 T 
 I
2
 RMS = 1 / T ∫ i2(t) dt 
 0 
 
 T 
 I RMS = 1 / T ∫ i2(t) dt 
 0 
 
Sendo i(t) = I Máx cos (wt + Ɵ) e fazendo as manipulações algébricas necessárias: 
36 
 
I RMS = I Máx / 2 = / 2 ) I Máx 
 
 
 I RMS = 0,707 I Máx 
 
 
 
 
 
 I Máx 
 
 I RMS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 RESISTÊNCIA, REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA 
 
R – Resistência – Componente Ativo. Faz oposição real à passagem de corrente elétrica. 
Medida em ohms (Ω). 
 
 
 R 
 
 
 
37 
 
L – Indutância – Componente reativo. . É medida em Henry (H). 
 
 
L 
 
 
A oposição que a indutância faz à passagem de corrente elétrica como consequência da 
criação de um campo magnético é chamada de Reatância Indutiva (XL). Será sempre 
positiva. 
 
 
 
XL = j w L = j 2 Π f L (ohms) 
 
 
 
 
 
 
C – Capacitância – Componente reativo. É medida e Farad (F). 
 
F 
 
 
A oposição que a capacitância faz à passagem de corrente elétrica como consequência da 
criação de um campo elétrico é chamada de Reatância Capacitiva (XC). Será sempre 
negativa. 
 
XC = 1 / j w c = 1 / j 2 Π f C 
 
 
 
 
 XC = - j / 2 Π f C (ohms) 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1. A Impedância (Z) de um circuito é um número complexo e é dada por 
Z = R + j X. Assim como R e X, a Impedância também é medida em ohms; 
2. Se a Reatância Indutiva for maior que a Reatância Capacitiva, Z = R + j XL; 
3. Se a Reatância Capacitiva for maior que a Reatância Indutiva, Z = R – j XC; 
4. Se as Reatâncias Indutiva e Capacitiva forem iguais, o circuito estará em 
Ressonância e possuirá um comportamento puramente resistivo, pois XL e XC se 
anularão. 
 
 
 
 
5.5 TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIAS 
 
 Se um determinado circuito for predominantemente indutivo, teremos a seguinte 
configuração: 
 
 
XC 
XL 
Im 
R 
Re 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, o Triângulo de Impedâncias Indutivo será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se um determinado circuito for predominantemente capacitivo, teremos a seguinte 
configuração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XL 
Im 
 R Re 
XL 
 Z 
R 
Ɵ° 
Ɵ° 
XC 
Im 
R 
Re Ɵ° 
 Z 
 Z 
40 
 
 Assim, o Triângulo de Impedâncias Capacitivo será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6 POTÊNCIA ATIVA, REATIVA E APARENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z = R + j X = ǀ Z ǀ Ɵ° 
 
 
XC 
R 
Ɵ° 
 Z 
I(t) 
e(t) 
CARGA 
J X 
Im 
 R Re 
Ɵ° 
 Z 
41 
 
Onde: R = ǀ Z ǀ cos Ɵ° 
 X = ǀ Z ǀ sen Ɵ° 
 E = Z I 
 
 
 
 A Potência Ativa consumida por uma carga pode ser definida como: 
 
ERMS IRMS cos Ɵ° (Efeito Resistivo) P 
 
P = ERMS IRMS cos Ɵ° = ǀ Z ǀ IRMS IRMS cos Ɵ° = R I
2
RMS 
 
Sua unidade é o Watt. 
 
 
 Em termos de Potência Industrial, é importante ressaltar a Potência Reativa: 
 
ERMS IRMS sen Ɵ° (Efeito Reativo) Q 
 
Q = ERMS IRMS sen Ɵ° = ǀ Z ǀ IRMS IRMS sen Ɵ° = X I
2
RMS 
 
Sua unidade é o VAR. 
 
 
Existe uma relação entre a Potência Ativa, a Reativa e outra chamada de Potência 
Aparente (ou Complexa). 
Um triângulo de Impedância pode ser assim representado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J X 
 Z 
R 
Ɵ° 
42 
 
 Se multiplicarmos cada lado do triângulo pelo quadrado da corrente eficaz (I
2
RMS), 
obteremos um triângulo semelhante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As grandezas acima representam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = P
2
 + Q
2
 
 
 
 
S = E
2
RMS I
2
RMS cos
2
 Ɵ° + E2RMS I
2
RMS sen
2
 Ɵ° 
 
 
S = E
2
RMS I
2
RMS (cos
2
 Ɵ° + sen2 Ɵ°) 
 
 
S = E
2
RMS I
2
RMS 
 
 
S = ERMS IRMS 
 
 
É chamada de Potência Aparente porque não expressa a potência real consumida (P) nem a 
reativa gerada (Q). É medida em VA. 
J X I2RMSZ I2RMS 
R I2RMS 
Ɵ° 
J Q (VAR) 
 S (VA) 
P (W) 
Ɵ° 
43 
 
5.7 FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO 
 
 No consumo de uma grande quantidade de potência é desejável um grande Fator de 
Potência (FP). Isso porque a corrente necessária para fornecer uma dada quantidade de 
potência a uma carga é inversamente proporcional ao Fator de Potência da carga. 
 
 
P = E I cos Ɵ° 
 
I = P / E cos Ɵ° FP = cos Ɵ° 
 
 
I = P / E (FP) 
 
 
 
 
 Portanto, para uma dada potência “P” consumida e uma tensão “E” aplicada, quanto 
menor o FP maior será a corrente “I” na carga. Correntes maiores que o necessário são 
indesejáveis, devido a queda de tensão (RI) e as perdas de potência (RI
2
), resultantes nas 
linhas de transmissão e outros equipamentos de distribuição de energia. 
 
 
Observações: 
 
1. De um modo geral, as cargas são indutivas (motores, transformadores etc.), 
causando a necessidade da correção do FP através de banco de capacitores; 
 
2. As concessionárias aceitam o FP de uma instalação de no mínimo 0,92, isto é, 0,92 
≤ cos Ɵ° ≤ 1,00 
 
3. Representação: 
 
 FP atrasado – Carga Indutiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q (VAR) 
 S (VA) 
P (W) 
Ɵ° 
44 
 
 FP adiantado – Carga Capacitiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Entre as quatro grandezas que envolvem um triângulo de potência (P, Q, S e FP), 
bastam que duas estejam definidas para se conhecer todas as grandezas através das 
regras trigonométricas. 
 
 
Exercícios 5.1 Calcular o FP da instalação a seguir e corrigi-lo para 0,92 caso necessário. 
 
 
 
 
 e(t) 
 
 
 
 
 
Carga A = 24 kW; FP = 0,6 atrasado 
 
Carga B = 8 kW ; FP = 0,8 adiantado 
 
 
 
 Potência P(kW) Q(kVAR) S(kVA) cos Ɵ° 
 Carga 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
Ɵ° 
P (W) 
 Q (VAR) 
 S (VA) 
 
 A 
 
 B 
 A 
 B 
 Total 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Exercício 5.2 Calcular o FP da instalação a seguir e corrigi-lo para 0,96 caso 
necessário. 
 
 
 
 
 
 e(t) 
 
 
 
 
 
 
Carga A = 15 kW; 26 kVA (FP atrasado) 
 
Carga B = 11 kW ; FP = 0,61 atrasado 
 
Carga C = 8 kVA; cos Ɵ ° = 0,96 adiantado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 
 B 
 
 C 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
REFERÊNCIAS 
 
AIUB, Jose Eduardo; FILONI, Ênio. Eletrônica Eletricidade- Corrente Contínua. São 
Paulo: Érica, 2009. 
ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. São 
Paulo: Érica, 2009. 
BARTKOWIAK, Robert A. Circuitos Elétricos. São Paulo: Makron Books, 2008. 
CIPELLI, Marco; MARKUS, Otávio. Eletricidade: Circuitos em Corrente Contínua. 
São Paulo: Érica, 2012. 
GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. São Paulo: Bookman, 2014. 
LOURENÇO, Antônio Carlos; CRUZ, Eduardo Cesar Alves; CHOUERI JUNIOR, 
Salomão. Eletricidade, Circuitos em Corrente Contínua: Estude e Use. São Paulo: 
Érica, 1996. 
MARKUS, Otávio. Circuitos Elétricos: Corrente continua e alternada. São Paulo: 
Érica , 2013. 
PAIXÃO, Renato Rodrigues; HONDA, Renato. 850 Exercícios de Eletrônica: 
Resolvidos e propostos. São Paulo: Érica, 1991.