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Apostila de Eletricidade Aplicada

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Universidade Federal do Espírito Santo 
Centro Tecnológico 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Eletricidade Aplicada 
ELE 08494 
 
 
Universidade Federal do Espírito Santo 
Centro Tecnológico 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Eletricidade Aplicada 
Elaborado por: 
José Luiz Borba 
Vitória - ES 
2012 / 1 
 
Prefácio 
“Feliz aquele que transfere o que 
sabe e aprende o que ensina.” 
Cora Coralina 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES I José Luiz Borba 
Sumário 
1 Conceitos básicos..................................................................................................... 1 
1.1 Introdução ................................................................................................................ 2 
1.2 Definições ................................................................................................................. 2 
2 Funções básicas ....................................................................................................... 5 
2.1 Introdução ................................................................................................................ 6 
2.2 Função Senoidal ....................................................................................................... 6 
2.3 Função exponencial decrescente ............................................................................. 7 
2.4 Função exponencial crescente ................................................................................. 9 
2.5 Funções Singulares ................................................................................................ 10 
2.5.1 Função Degrau Unitário .......................................................................................... 11 
2.5.2 Função rampa unitária ............................................................................................ 13 
2.5.3 Função impulso unitário .......................................................................................... 13 
3 Variáveis dos circuitos elétricos .............................................................................. 18 
3.1 Carga elétrica - q ou Q ........................................................................................... 19 
3.2 Lei de Coulomb ...................................................................................................... 19 
3.2.1 Diferença de potencial - v ou V ............................................................................... 20 
3.2.2 Corrente elétrica - i ou I .......................................................................................... 21 
3.2.3 Energia elétrica - w ou W ........................................................................................ 22 
3.2.4 Potência elétrica - p ou P ........................................................................................ 22 
4 Elementos dos circuitos elétricos ............................................................................ 25 
4.1 Introdução .............................................................................................................. 26 
4.2 A Resistência - r ou R ............................................................................................. 27 
4.2.1 Relação entre a tensão e a corrente no resistor ..................................................... 27 
4.2.2 Potência instantânea dissipada no resistor ............................................................. 28 
4.2.3 Energia dissipada no resistor .................................................................................. 29 
4.2.4 Classificação dos resistores ................................................................................... 29 
4.2.5 Código de cores para resistores ............................................................................. 32 
4.3 A Indutância - L ...................................................................................................... 33 
4.3.1 Relação entre a tensão e a corrente no indutor ...................................................... 33 
4.3.2 Potência instantânea no indutor.............................................................................. 37 
4.3.3 Energia armazenada no indutor .............................................................................. 37 
4.4 Momento elétrico no indutor ................................................................................... 38 
4.4.1 Classificação dos indutores .................................................................................... 38 
4.5 A capacitância - C................................................................................................... 39 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES II José Luiz Borba 
4.5.1 Relação entre a tensão e a corrente no capacitor ................................................... 40 
4.5.2 Potência instantânea no capacitor .......................................................................... 42 
4.5.3 Energia armazenada no capacitor .......................................................................... 42 
4.5.4 Carga armazenada no capacitor ............................................................................. 43 
4.5.5 Momento elétrico no capacitor ................................................................................ 43 
4.5.6 Classificação dos capacitores ................................................................................. 43 
4.6 Relações tensão-corrente nos elementos simples de circuito ................................. 44 
4.7 Fontes .................................................................................................................... 45 
4.7.1 Fontes ideais .......................................................................................................... 45 
4.7.1.1 Fonte de tensão ideal ............................................................................................. 45 
4.7.1.2 Fonte de corrente ideal ........................................................................................... 46 
4.7.2 Fontes reais ............................................................................................................ 47 
4.7.2.1 Fonte de tensão real ............................................................................................... 47 
4.7.2.2 Fonte de corrente real............................................................................................. 48 
4.8 Fontes controladas ................................................................................................. 48 
4.8.1 Fonte de Tensão Controlada por Tensão................................................................ 49 
4.8.2 Fonte de Tensão Controlada por Corrente .............................................................. 49 
4.8.3 Fonte de Corrente Controlada por Tensão .............................................................. 49 
4.8.4 Fonte de Corrente Controlada por Corrente ............................................................ 49 
4.9 Medidores Ideais .................................................................................................... 49 
4.9.1 Voltímetro ............................................................................................................... 50 
4.9.2 Amperímetro ........................................................................................................... 50 
4.9.3 Wattímetro .............................................................................................................. 51 
4.10 Balanço de potências.............................................................................................. 52 
5 Leis de Kirchhoff ..................................................................................................... 57 
5.1 Lei dos Nós - Lei de Kirchhoff das Correntes ( LKC ) .............................................. 58 
5.2 Lei das Malhas- Lei de Kirchhoff das Tensões ( LKV ) ........................................... 58 
5.3 Associação de elementos de circuito ...................................................................... 59 
5.3.1 Associação de elementos passivos em série .......................................................... 59 
5.3.1.1 Associação de resistências em série ...................................................................... 60 
5.3.1.2 Associação de indutâncias em série ....................................................................... 60 
5.3.1.3 Associação de capacitâncias em série ................................................................... 61 
5.3.2 Associação de fontes ideais de tensão em série..................................................... 61 
5.3.3 Associação de fontes ideais de corrente em série .................................................. 62 
5.3.4 Associação em série de fonte ideais de corrente e de tensão ................................. 62 
5.3.5 Associação de elementos passivos em paralelo ..................................................... 63 
5.3.5.1 Associação de resistências em paralelo ................................................................. 63 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES III José Luiz Borba 
5.3.5.2 Associação de indutâncias em paralelo .................................................................. 64 
5.3.5.3 Associação de capacitâncias em paralelo .............................................................. 64 
5.3.6 Associação de fontes ideais de corrente em paralelo ............................................. 65 
5.3.7 Associação de fontes ideais de tensão em paralelo ................................................ 65 
5.3.8 Associação em paralelo de fontes ideais de corrente e de tensão .......................... 66 
5.4 Divisores de tensão ................................................................................................ 66 
5.4.1 Divisores de tensão resistivos................................................................................. 66 
5.4.2 Divisores de tensão indutivos ................................................................................. 66 
5.4.3 Divisores de tensão capacitivos .............................................................................. 67 
5.5 Divisores de corrente .............................................................................................. 68 
5.5.1 Divisores de corrente resistivos .............................................................................. 68 
5.5.2 Divisores de corrente indutivos ............................................................................... 68 
5.5.3 Divisores de corrente capacitivos ........................................................................... 69 
6 Métodos de análise de circuitos elétricos ................................................................ 71 
6.1 Método das Correntes de Malha ............................................................................. 72 
6.1.1 Exemplo 1 .............................................................................................................. 72 
6.1.2 Exemplo 2 .............................................................................................................. 73 
6.1.3 Equações de vínculo ou restrição ........................................................................... 74 
6.1.3.1 Exemplo 1 .............................................................................................................. 74 
6.1.3.2 Exemplo 2 .............................................................................................................. 75 
6.2 Método das Tensões de Nó .................................................................................... 76 
6.2.1 Equações de vínculo ou restrição ........................................................................... 77 
6.2.1.1 Exemplo 1 .............................................................................................................. 77 
6.2.1.2 Exemplo 2 .............................................................................................................. 79 
6.3 Resistência Equivalente.......................................................................................... 80 
6.3.1 Circuitos contendo somente resistências ................................................................ 81 
6.3.2 Circuitos contendo resistências e fontes controladas .............................................. 82 
6.3.2.1 Exemplo 1 .............................................................................................................. 82 
6.3.2.2 Exemplo 2 .............................................................................................................. 83 
6.4 Teorema de Thèvenin ............................................................................................. 83 
6.5 Teorema de Norton ................................................................................................. 84 
6.5.1 Aplicações dos Teoremas de Thévenin e de Norton ............................................... 85 
6.5.1.1 Transformação de fonte de tensão em fonte de corrente ........................................ 85 
6.5.1.2 Transformação de fonte de corrente em fonte de tensão ........................................ 86 
6.5.1.3 Equivalentes para o divisor de tensão .................................................................... 87 
6.5.1.4 Equivalentes para circuito com diagrama desconhecido ......................................... 88 
6.6 Princípio da Linearidade ......................................................................................... 90 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES IV José Luiz Borba 
6.6.1 Teorema da Linearidade ......................................................................................... 90 
6.6.1.1 Exemplo.................................................................................................................. 91 
6.6.2 Princípio da Superposição ...................................................................................... 92 
6.6.2.1 Teorema da Superposição ...................................................................................... 92 
6.6.2.1.1 Exemplo.................................................................................................................. 93 
6.7 Teorema da Máxima Transferência de Potência ..................................................... 94 
7 Álgebra dos números complexos ............................................................................ 99 
7.1 Representação na Forma Retangular ................................................................... 100 
7.2 Representação na Forma Polar ............................................................................ 100 
7.3 Representação Geométrica Equivalente ............................................................... 100 
7.4 Complexos conjugados ......................................................................................... 100 
7.5 Fórmulas de Euler ................................................................................................ 101 
7.6 Passagem da Forma Polar para a Forma Retangular e vice-versa ....................... 101 
7.7 Propriedades do Operador “j” ............................................................................... 101 
7.8 Igualdade .............................................................................................................. 102 
7.9 Adição e Subtração .............................................................................................. 102 
7.10 Multiplicação e Divisão ......................................................................................... 103 
8 Representação de funções senoidais ................................................................... 105 
8.1 Representação no Domínio Tempo...................................................................... 106 
8.1.1 Exemplo................................................................................................................ 106 
8.2 Representação por Fasores Girantes ................................................................... 109 
8.3 Álgebra Fasorial.................................................................................................... 111 
8.3.1 Representações nas Formas Polar e Retangular .................................................. 111 
8.3.2 Passagem da Forma Polar para Retangular ......................................................... 111 
8.3.3 Passagem da Forma Retangular para Polar ......................................................... 111 
8.3.4 Adição e subtração de dois fasores ...................................................................... 112 
8.3.5 Multiplicação e divisão de dois fasores ................................................................. 112 
8.3.6 Fasor conjugado ................................................................................................... 112 
9 Domínio da frequência .......................................................................................... 113 
9.1 Conceito de Impedância e Admitância .................................................................. 114 
9.2 Lei das Malhas...................................................................................................... 116 
9.3 Lei dos Nós ........................................................................................................... 117 
9.3.1 Exemplo 1............................................................................................................. 117 
9.3.2 Exemplo 2............................................................................................................. 118 
9.4 Impedância e admitância de entrada .................................................................... 121 
9.4.1 Conceito de Reatância, Condutância e Suceptância ............................................ 122 
9.4.2 Exemplo 1............................................................................................................. 124 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES V José Luiz Borba 
9.4.3 Exemplo 2 ............................................................................................................ 125 
9.5 Teorema de Thèvenin ........................................................................................... 127 
9.5.1 Exemplo ............................................................................................................... 127 
9.6 Teorema de Norton ............................................................................................... 129 
9.6.1 Exemplo ............................................................................................................... 129 
9.7 Teorema da Superposição .................................................................................... 131 
9.7.1 Exemplo ............................................................................................................... 131 
9.8 Teorema da Linearidade ....................................................................................... 134 
9.9 Potência ............................................................................................................... 135 
9.9.1 Valor Médio .......................................................................................................... 135 
9.9.2 Valor Eficaz .......................................................................................................... 136 
9.9.3 Potência Média ..................................................................................................... 136 
9.9.4 Potência Real ou Ativa ......................................................................................... 142 
9.9.5 Potência Reativa................................................................................................... 143 
9.9.6 Potência Aparente ................................................................................................ 145 
9.9.7 Fator de Potência ................................................................................................. 145 
9.9.8 Potência Complexa ............................................................................................... 146 
9.9.9 Triângulo de Potências ......................................................................................... 147 
9.9.10 Conservação das Potências Ativa e Reativa......................................................... 148 
9.9.11 Exemplo 1 ............................................................................................................ 149 
9.9.12 Exemplo 2 ............................................................................................................ 150 
9.9.13 Exemplo 3 ............................................................................................................ 151 
9.9.14 Exemplo 4 ............................................................................................................ 152 
9.10 Máxima Transferência de Potência ....................................................................... 152 
9.10.1 Teorema ............................................................................................................... 153 
9.10.2 Exemplo 1 ............................................................................................................ 153 
9.10.3 Exemplo 2 ............................................................................................................ 154 
9.10.4 Exemplo 3 ............................................................................................................ 155 
 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES VI José Luiz Borba 
 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES VII José Luiz Borba 
Figuras 
Figura 1.1 - Sistema mecânico ........................................................................................................ 2 
Figura 1.2 - Representação simbólica de um sistema ..................................................................... 2 
Figura 1.3 - Representações de um sistema real ............................................................................ 3 
Figura 2.1 - Representação geométrica do cosseno........................................................................ 6 
Figura 2.2 - Função exponencial decrescente ................................................................................. 7 
Figura 2.3 - Representação da função exponencial decrescente com f() = 0 ................................ 8 
Figura 2.4 - Constante de tempo grande ......................................................................................... 8 
Figura 2.5 - Função exponencial crescente ..................................................................................... 9 
Figura 2.6 - Representação da função exponencial decrescente com ............................ 10 
Figura 2.7 - Degrau unitário ........................................................................................................... 12 
Figura 2.8 - Degrau de tensão com amplitude V e de corrente com amplitude I ........................... 12 
Figura 2.9 - circuitos equivalentes para tensões e correntes em degrau ....................................... 12 
Figura 2.10 - Degrau unitário deslocado ........................................................................................ 12 
Figura 2.11 - Rampa unitária ......................................................................................................... 13 
Figura 2.12 - Aproximação da função degrau unitário e sua derivada ........................................... 13 
Figura 2.13 - Impulso unitário ........................................................................................................14 
Figura 2.14 - Impulso unitário deslocado ....................................................................................... 14 
Figura 2.15 - Impulso de amplitude A deslocado ........................................................................... 15 
Figura 2.16 - Degrau de amplitude A deslocado ............................................................................ 15 
Figura 3.1 - Duas cargas elétricas separadas por uma distância r................................................. 19 
Figura 3.2 - Deslocamento de uma carga q do ponto A para o ponto B ......................................... 20 
Figura 3.3 - Movimento ordenado dos elétrons num fio de material condutor ................................ 21 
Figura 4.1 - Resistor ...................................................................................................................... 27 
Figura 4.2 - Curto circuito .............................................................................................................. 28 
Figura 4.3 - Circuito aberto ............................................................................................................ 28 
Figura 4.4 - Resistores de carbono................................................................................................ 30 
Figura 4.5 - Deposição helicoidal................................................................................................... 31 
Figura 4.6 - Resistores de filme metálico ou de óxido.................................................................... 31 
Figura 4.7 - Resistores de fio ......................................................................................................... 32 
Figura 4.8 - Resistores de lâminas metálicas ................................................................................ 32 
Figura 4.9 - Campo magnético em torno de um condutor percorrido por uma corrente ................. 33 
Figura 4.10 - Regra da mão direita aplicada a um condutor retilíneo ............................................. 34 
Figura 4.11 - Campo magnético produzido por uma espira ........................................................... 34 
Figura 4.12 - Regra da mão direita aplicada a uma espira ............................................................ 34 
Figura 4.13 - Bobina de muitas espiras ......................................................................................... 35 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES VIII José Luiz Borba 
Figura 4.14 - Campo magnético produzido por uma bobina .......................................................... 35 
Figura 4.15 - Indutor ...................................................................................................................... 35 
Figura 4.16 - Representação do indutor para um nível de corrente constante ............................... 37 
Figura 4.17 - Fluxo de cargas nas placas do capacitor .................................................................. 40 
Figura 4.18 - Capacitor .................................................................................................................. 40 
Figura 4.19 - Representação do capacitor para um nível de tensão constante .............................. 42 
Figura 4.20 - Simbologia da fonte de tensão ideal ......................................................................... 46 
Figura 4.21 - Curva característica da fonte de tensão ideal ........................................................... 46 
Figura 4.22 - Simbologia da fonte de corrente ideal....................................................................... 46 
Figura 4.23 - Curva característica da fonte de corrente ideal ......................................................... 47 
Figura 4.24 - Simbologia da fonte de tensão real .......................................................................... 47 
Figura 4.25 - Curva característica da fonte de tensão real ............................................................. 48 
Figura 4.26 - Simbologia da fonte de corrente real ........................................................................ 48 
Figura 4.27 - Curva característica da fonte de corrente real .......................................................... 48 
Figura 4.28 - Fonte de Tensão Controlada por Tensão ................................................................. 49 
Figura 4.29 - Fonte de Tensão Controlada por Corrente ............................................................... 49 
Figura 4.30 - Fonte de Corrente Controlada por Tensão ............................................................... 49 
Figura 4.31 - Fonte de Corrente Controlada por Corrente ............................................................. 49 
Figura 4.32 - Simbologia do voltímetro .......................................................................................... 50 
Figura 4.33 - Ligação de um voltímetro ......................................................................................... 50 
Figura 4.34 - Simbologia do amperímetro ...................................................................................... 50 
Figura 4.35 - Ligação do amperímetro ........................................................................................... 51 
Figura 4.36 - Simbologia do wattímetro ......................................................................................... 51 
Figura 4.37 - Ligação do wattímetro .............................................................................................. 52 
Figura 5.1 - Nó .............................................................................................................................. 58 
Figura 5.2 - Malha ......................................................................................................................... 58 
Figura 5.3 - Elementos ligados em série ........................................................................................ 59 
Figura 5.4 - Resistências em série ................................................................................................ 60 
Figura 5.5 - Indutâncias em série .................................................................................................. 60 
Figura 5.6 - Capacitâncias em série .............................................................................................. 61 
Figura 5.7 - Fontes ideais de tensão em série ............................................................................... 61 
Figura 5.8 - Fontes ideais de corrente de mesmo valor e de mesma polaridade em série ............. 62 
Figura 5.9 - Fontes ideais de corrente de mesmo valor e diferentes polaridades .......................... 62 
Figura 5.10 - Fontes ideais de corrente de mesma polaridade e diferentes valores ....................... 62 
Figura 5.11 - Fonte ideal de corrente em série com fonte ideal de tensão ..................................... 62 
Figura 5.12 - Elementos ligados em paralelo ................................................................................. 63 
Figura 5.13 - Resistências em paralelo.......................................................................................... 63 
Figura 5.14 - Indutâncias em paralelo............................................................................................ 64 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES IX José Luiz Borba 
Figura 5.15 - Capacitâncias em paralelo ....................................................................................... 64 
Figura 5.16 - Fontes ideais de corrente em paralelo ...................................................................... 65 
Figura 5.17 - Fontes ideais de tensão de mesmo valor e de mesma polaridade ............................ 65 
Figura 5.18 - Fontes ideais de tensão de mesmo valor e diferentes polaridades ........................... 65 
Figura 5.19 - Fontes ideais de tensão de mesma polaridade e diferentes valores......................... 65 
Figura 5.20 - Fonte ideal de tensão em paralelo com fonte ideal de corrente ................................ 66 
Figura 5.21 - Divisor de tensão resistivo ........................................................................................ 66 
Figura 5.22 - Divisor de tensão indutivo......................................................................................... 67 
Figura 5.23 - Divisor de tensão capacitivo ..................................................................................... 67 
Figura 5.24 - Divisor de corrente resistivo ..................................................................................... 68 
Figura 5.25 - Divisor de corrente indutivo ...................................................................................... 68 
Figura 5.26 - Divisor de corrente capacitivo ................................................................................... 69 
Figura 6.1 - Circuito linear e planar contendo uma fonte de tensão ............................................... 72 
Figura 6.2 - Correntes nas malhas ................................................................................................ 72 
Figura 6.3 - Corrente de malha e corrente de laço ........................................................................ 73 
Figura 6.4 - Circuito linear e planar contendo fonte de tensão e de corrente ................................. 74 
Figura 6.5 - Correntes nas malhas ................................................................................................ 74 
Figura 6.6 - Queda de tensão sobre a fonte de corrente ............................................................... 74 
Figura 6.7 - Corrente de malha e corrente de laço ........................................................................ 75 
Figura 6.8 - Circuito linear e planar contendo uma fonte de corrente ............................................. 76 
Figura 6.9 - Circuito linear e planar contendo fonte de tensão e de corrente ................................. 77 
Figura 6.10 - Tensões de nó.......................................................................................................... 77 
Figura 6.11 - Circuitos equivalentes .............................................................................................. 80 
Figura 6.12 - Equivalente de circuitos resistivos ............................................................................ 80 
Figura 6.13 - Equivalente das resistências em série ...................................................................... 81 
Figura 6.14 - Equivalente das resistências em paralelo ................................................................. 81 
Figura 6.15 - Aplicações sucessivas de combinações de resistências .......................................... 81 
Figura 6.16 - Resistência equivalente ............................................................................................ 82 
Figura 6.17 - Resistência e fonte controlada de corrente ............................................................... 82 
Figura 6.18 - Resistência e fonte controlada de tensão ................................................................. 83 
Figura 6.19 - Equivalente de Thèvenin .......................................................................................... 84 
Figura 6.20 - Equivalente de Norton .............................................................................................. 84 
Figura 6.21 - Transformação de fonte de tensão em fonte de corrente.......................................... 85 
Figura 6.22 - Resistência equivalente ............................................................................................ 85 
Figura 6.23 - Corrente de curto circuito ......................................................................................... 85 
Figura 6.24 - Fonte de corrente equivalente da fonte de tensão .................................................... 86 
Figura 6.25 - Transformação de fonte de corrente em fonte de tensão.......................................... 86 
Figura 6.26 - Resistência equivalente ............................................................................................ 86 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES X José Luiz Borba 
Figura 6.27 - Tensão de circuito aberto ......................................................................................... 86 
Figura 6.28 - Fonte de tensão equivalente da fonte de corrente .................................................... 87 
Figura 6.29 - Divisor de tensão ...................................................................................................... 87 
Figura 6.30 - Resistência equivalente ............................................................................................ 87 
Figura 6.31 - Tensão de circuito aberto ......................................................................................... 88 
Figura 6.32 - Corrente de curto circuito ......................................................................................... 88 
Figura 6.33 - Equivalente de Thèvenin .......................................................................................... 88 
Figura 6.34 - Equivalente de Norton .............................................................................................. 88 
Figura 6.35 - Circuito ativo com diagrama desconhecido............................................................... 89 
Figura 6.36 - Medição da tensão de circuito aberto ....................................................................... 89 
Figura 6.37 - Medição da corrente de curto circuito ....................................................................... 89 
Figura 6.38 - Equivalente de Thèvenin .......................................................................................... 90 
Figura 6.39 - Equivalente de Norton .............................................................................................. 90 
Figura 6.40 - Princípio da Linearidade ........................................................................................... 90 
Figura 6.41 - Circuito linear ........................................................................................................... 91 
Figura 6.42 - Princípio da superposição ........................................................................................ 92 
Figura 6.43 - Circuito contendo duas fontes independentes .......................................................... 93 
Figura 6.44 - Considerando a fonte de tensão em repouso ........................................................... 93 
Figura 6.45 - Circuito simplificado .................................................................................................. 93 
Figura 6.46 - Considerando a fonte de corrente em repouso ......................................................... 94 
Figura 6.47 - Circuito simplificado .................................................................................................. 94 
Figura 6.48 - Resistência de carga ................................................................................................ 94 
Figura 7.1 - Representação geométrica ....................................................................................... 100 
Figura 8.1 - Representação geométrica do cosseno .................................................................... 106 
Figura 8.2 - Circuito R, L, C com excitação senoidal ................................................................... 106 
Figura 8.3 - Representação das duas funções num plano complexo ........................................... 110 
Figura 8.4 - Representação fasorial da função senoidal .............................................................. 111 
Figura 9.1 - Elemento básico de circuito alimentado por uma tensão senoidal ............................ 114 
Figura 9.2 - Variação da impedância com a frequência............................................................... 115 
Figura 9.3 - Circuito série ............................................................................................................ 116 
Figura 9.4 - Circuito paralelo ....................................................................................................... 117 
Figura 9.5 - Circuito R, L e C série no domínio tempo ................................................................. 117 
Figura 9.6 - Circuito R, L e C série no domínio da frequência ...................................................... 118 
Figura 9.7 - Circuito no domínio tempo ........................................................................................ 119 
Figura 9.8 - Circuito no domínio da frequência ............................................................................ 119 
Figura 9.9 - Equação de malhas .................................................................................................. 120 
Figura 9.10 - Circuito contendo R, L e C e não contendo fontes independentes .......................... 122 
Figura 9.11 - Triângulo de Impedância ........................................................................................ 123 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES XI José Luiz Borba 
Figura 9.12 - Triângulo de Admitância ......................................................................................... 124 
Figura 9.13 - Circuito contendo R, L e C...................................................................................... 124 
Figura 9.14 - Circuito contendo R, L e C...................................................................................... 126 
Figura 9.15 - Circuito no domínio da frequência .......................................................................... 126 
Figura 9.16 - Circuito no domínio do tempo ................................................................................. 127 
Figura 9.17 - Circuito para o cálculo de ................................................................................ 127 
Figura 9.18 - Circuito para o cálculo de ................................................................................ 128 
Figura 9.19 - Equivalente de Thèvenin no domínio da frequência ............................................... 129 
Figura 9.20 - Equivalente de Thèvenin no domínio do tempo ...................................................... 129 
Figura 9.21 129 
Figura 9.22 130 
Figura 9.23 130 
Figura 9.24 131 
Figura 9.25 131 
Figura 9.26 132 
Figura 9.27 132 
Figura 9.28 132 
Figura 9.29 133 
Figura 9.30 134 
Figura 9.31 134 
Figura 9.32 - Circuito passivo alimentado por uma de tensão função do tempo .......................... 135 
Figura 9.33 - Potência Instantânea .............................................................................................. 137 
Figura 9.34 - Carga genérica ....................................................................................................... 139 
Figura 9.35 - Carga resistiva pura ............................................................................................... 140 
Figura 9.36 - Carga capacitiva pura ............................................................................................. 141 
Figura 9.37 - Carga indutiva pura ................................................................................................ 142 
Figura 9.38 - Potência Real ou Ativa Instantânea ........................................................................ 143 
Figura 9.39 - Potência Reativa Instantânea ................................................................................. 144 
Figura 9.40 - Triângulo de Potências para cargas indutivas ........................................................ 147 
Figura 9.41 - Triângulo de Potências para cargas indutivas ........................................................ 147 
Figura 9.42 - Ligação paralela ..................................................................................................... 148 
Figura 9.43 - Ligação série .......................................................................................................... 148 
 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES XII José Luiz Borba 
 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES XIII José Luiz Borba 
Tabelas 
Tabela 4.1 - Classificação dos resistores quanto ao valor ............................................................. 30 
Tabela 4.2 - Código de cores para resistores ................................................................................ 32 
Tabela 4.3 - Classificação dos indutores quanto ao valor .............................................................. 38 
Tabela 4.4 - Classificação dos indutores quanto ao material do núcleo ......................................... 39 
Tabela 4.5 - Classificação dos capacitores quanto ao valor .......................................................... 44 
Tabela 4.6 - Relações tensão-corrente nos elementos simples de circuito .................................... 45 
Tabela 9.1 - Impedância e Admitância nos elementos básicos de circuito ................................... 115 
 
Eletricidade Aplicada ELE 08494 
 
 
DEL - CT - UFES XIV José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Conceitos básicos 
 
 
DEL - CT - UFES 1 José Luiz Borba 
 
Eletricidade Aplicada 
1 Conceitos básicos 
José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Conceitos básicos 
 
 
DEL - CT - UFES 2 José Luiz Borba 
1.1 Introdução 
Numerosos dispositivos elétricos podem ter suas propriedades mais importantes previstas ou 
descritas por uma teoria mais simples que a Teoria Eletromagnética. 
Tal teoria é denominada Teoria dos Circuitos Elétricos. 
Essa teoria trata dos efeitos da interligação de dispositivos elétricos cujas características já são 
conhecidas e não levam em consideração as razões que motivam os comportamentos individuais 
de cada dispositivo. 
A Teoria dos Circuitos Elétricos passará a ser exposta a seguir, com base num conjunto simples 
de definições e leis fundamentais, que assumirão o aspecto de postulados. 
1.2 Definições 
Um sistema mecânico específico é mostrado na Figura 1.1, no qual o estímulo é a força aplicada e 
a resposta poderia ser a velocidade resultante da massa ou a energia potencial armazenada na 
mola. 
Massa
Força 
aplicada
Mola
Atritox x x x x x x x x
 
Figura 1.1 - Sistema mecânico 
Na Figura 1.2 temos uma representação simbólica de um sistema que é sujeito a um estímulo e 
que produz uma resposta. 
Sistema
Estímulo Resposta
t t
x (t) y (t)
 
Figura 1.2 - Representação simbólica de um sistema 
Em geral, tanto o estímulo como a resposta serão funções do tempo. 
Podemos definir: 
 Sistema 
É um conjunto de elementos interligados, funcionando como um todo. 
 Sistemas Análogos 
São sistemas que têm o mesmo tipo de funcionamento. 
Eletricidade Aplicada Conceitos básicos 
 
 
DEL - CT - UFES 3 José Luiz Borba 
 Estímulo ou Excitação (Entrada) 
Representa a energia aplicada por uma fonte externa ao sistema. 
 Resposta (Saída) 
Representa a utilização da energia aplicada, em algum outro ponto do sistema. 
 Análise 
Visa descobrir o funcionamento de um sistema conhecido quando excitado por diferentes tipos 
de estímulos. 
 Síntese 
Visa projetar um sistema que forneça uma resposta desejada a uma dada excitação conhecida. 
 Modelo 
Um sistema real pode ser representado por um modelo ou sistema idealizado, que é baseado 
na descrição matemática dos seus componentes e de sua interligação. 
Modelo Matemático
Modelo Físico
Sistema Real
 
Figura 1.3 - Representações de um sistema real 
O teste mais severo da validade deste procedimento é a verificação de se os resultados 
analíticos concordam consistentemente com as observações experimentais.Se não houver uma concordância suficientemente íntima, então deverá ser revista a descrição 
matemática dos componentes e de sua interligação. 
 Modelo Matemático 
É o conjunto de equações que descreve matematicamente o funcionamento de um sistema 
físico. 
 Modelo Físico 
É o conjunto de elementos físicos que obedecem às mesmas equações do sistema real que se 
está estudando. 
 Modelo Real 
É o modelo que descreve o comportamento real do sistema observado. 
Eletricidade Aplicada Conceitos básicos 
 
 
DEL - CT - UFES 4 José Luiz Borba 
 Modelo Ideal 
É o modelo que descreve o comportamento do sistema observado com um certo grau de 
precisão. 
 Elemento Básico Ideal 
Usamos a palavra: 
Básico  para indicar que o elemento não pode ser subdividido em outros elementos. 
Ideal  para indicar que um elemento básico não tem existência concreta, embora, os 
elementos ideais possam ser usados para construir modelos de sistemas reais. 
Em outras palavras, os elementos básicos ideais são usados para construir modelos, mas eles 
próprios não podem ser substituídos por combinações de outros elementos básicos. 
 Circuito Elétrico 
É o modelo ideal dos sistemas elétricos. 
Um circuito elétrico é constituído por um conjunto de elementos básicos ideais. 
Cada elemento básico ideal de circuito elétrico possui três atributos: 
 Possui apenas dois terminais, através dos quais pode ser conectado a outros elementos de 
um circuito; 
 Pode ser descrito matematicamente em termos de corrente e/ou tensão; 
 Não pode ser subdividido em outros elementos. 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 5 José Luiz Borba 
 
Eletricidade aplicada 
2 Funções básicas 
José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 6 José Luiz Borba 
2.1 Introdução 
Formas de onda são gráficos que mostram como as variáveis dos circuitos elétricos variam em um 
determinado período de tempo. 
 
2.2 Função Senoidal 
Usamos o termo função senoidal para representar qualquer função que possa ser expressa como 
um seno ou um cosseno. 
Para nossos trabalhos analíticos é conveniente adotarmos o cosseno como forma básica; que 
toma a forma matemática: 
 
Uma representação geométrica do cosseno está apresentada na Figura 2.1. 
f (t)
t
Fm
-Fm

T
 
Figura 2.1 - Representação geométrica do cosseno 
Da Figura 2.1 podemos afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Frequência em 
 
 
 ; 
  Amplitude de ; 
  Ângulo de fase de ; 
  Frequência angular 
 
 
 ; 
  Período . 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 7 José Luiz Borba 
2.3 Função exponencial decrescente 
A função: 
 
 
 
 
é uma exponencial decrescente, cujo valor é: 
 
 
 
 
está representada no gráfico da Figura 2.2. 
A
f (0)
f (t)
f ()
0
t
 
Figura 2.2 - Função exponencial decrescente 
Uma propriedade interessante da função exponencial mostrada na Figura 2.2 é que a tangente ao 
ponto inicial da curva intercepta a reta referente a , paralela ao eixo do tempo, em um valor 
 , onde é denominado de constante de tempo. 
Para um caso particular, podemos ter: 
 
o que resulta na função exponencial decrescente: 
 
 
 
 
que está representada na Figura 2.3. 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 8 José Luiz Borba 
A
0
t
0,368 A
0,135 A
0,050 A
   
  
t
eAtf


 
Figura 2.3 - Representação da função exponencial decrescente com f() = 0 
Como pode ser visto na Figura 2.3, a taxa em que essa função decai é determinada por . 
 
  Equivale a uma queda de 63,21% a partir de ; 
  Equivale a uma queda de 63,21% a partir de ; 
  Equivale a uma queda de 63,21% a partir de ; 
  Equivale a uma queda de 63,21% a partir de , que é menor que 2%; 
  Equivale a uma queda de 63,21% a partir de , que é menor que 1%. 
 
Isto significa que o valor de um ponto da curva correspondente ao final do intervalo de tempo 
equivalente a uma constante de tempo, é 63,2% menor do que o valor correspondente ao ponto 
inicial desse mesmo intervalo. 
De fato, podemos pegar qualquer ponto da curva, não apenas o inicial, e encontrar a constante de 
tempo achando o tempo necessário para cobrir o intervalo de 63,2%. 
Note que para todos os efeitos práticos a função atinge o valor de regime permanente, ou de 
regime estacionário, em cinco constantes de tempo, ou seja, em . 
Por fim, a diferença entre uma constante de tempo pequena, que corresponde a uma função 
rápida, e uma constante de tempo grande, que corresponde a uma função lenta, é mostrada na 
Figura 2.4. 
  
t
eAtf


A
10
t
2 3 4 5
0,8 A
0,6 A
0,4 A
0,2 A
=5 s
=0,6 s
 
Figura 2.4 - Constante de tempo grande 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 9 José Luiz Borba 
Essas curvas indicam que se a função tem uma constante de tempo pequena, ela chega 
rapidamente ao valor final em regime permanente. 
Por outro lado, se a constante de tempo é grande, um tempo maior é necessário para que a 
função atinja um regime permanente. 
O tempo gasto por uma função exponencial decrescente para atingir um valor pode ser 
determinado pela expressão: 
 
 
 
 
2.4 Função exponencial crescente 
A função: 
 
 
 
 
é uma exponencial crescente, cujo valor é: 
 
 
 
 
representada no gráfico da Figura 2.5. 
A
f ()
0
t
f (0)
f (t)
 
Figura 2.5 - Função exponencial crescente 
Também nessa função exponencial mostrada na Figura 2.5, a tangente ao ponto inicial da curva 
intercepta a reta referente a , paralela ao eixo do tempo, em um valor . 
Para um caso particular, podemos ter: 
 
o que resulta na função exponencial: 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 10 José Luiz Borba 
 
 
 
 
que está representada na Figura 2.6. A
0
t
0,632 A
0,865 A
0,950 A
   
  







t
eAtf 1
 
Figura 2.6 - Representação da função exponencial decrescente com 
Como pode ser visto na Figura 2.6, a taxa em que essa função decai é determinada por . 
 
  Equivale a uma elevação de 63,21% a partir de ; 
  Equivale a uma elevação de 63,21% a partir de ; 
  Equivale a uma elevação de 63,21% a partir de ; 
  Equivale a uma elevação de 63,21% a partir de , que é maior que 
98%; 
  Equivale a uma elevação de 63,21% a partir de , que é maior que 
99%. 
 
O tempo gasto por uma função exponencial crescente para atingir um valor também 
pode ser determinado pela expressão: 
 
 
 
 
2.5 Funções Singulares 
Uma função cujo valor muda de uma maneira descontínua ou tem uma derivada descontínua é 
chamada de função singular. 
As funções singulares são denotadas por: 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 11 José Luiz Borba 
 
onde o símbolo u é sugerido pelo adjetivo unitário. 
O padrão de formação dos índices é sugerido pelo uso comum de índices negativos para indicar 
integração: 
  
 
 
 
  
 
 
 
Todas as funções singulares são relacionadas por: 
 
 
 
  
 
 
 
Embora possam ser desenvolvidas outras funções singulares, as de maior importância são a 
rampa, o degrau e o impulso, especialmente as duas últimas. 
Apesar de que as funções degrau e impulso não aparecem realmente comosinais, em nenhum 
circuito físico, elas podem aproximar alguns sinais físicos. 
Uma razão mais importante para considerá-las, é que a resposta de qualquer circuito linear a uma 
entrada arbitrária pode ser determinada, desde que sua resposta a um degrau unitário ou a um 
impulso unitário seja conhecida. 
2.5.1 Função Degrau Unitário 
A função degrau unitário, que é denotada por: 
 
e que é definida da seguinte forma: 
 
 
 
 
não sendo definida para , pois nesse ponto ela é descontinua. 
Um gráfico da função degrau unitário é mostrado na Figura 2.7. 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 12 José Luiz Borba 
1
t
0
 tu
1
 
Figura 2.7 - Degrau unitário 
O degrau unitário é adimensional. 
Portanto, uma tensão em degrau de volts ou uma corrente em degrau de ampères, são 
escritas como e respectivamente, e definidas graficamente como: 
V
t
0
 tuV
1

 
I
t
0
 tuI
1

 
Figura 2.8 - Degrau de tensão com amplitude V e de corrente com amplitude I 
Circuitos equivalentes para tensões e correntes em degrau são mostrados na Figura 2.9. 
Circuito
+
-
V
t=0
 
CircuitoI
t=0
 
Figura 2.9 - circuitos equivalentes para tensões e correntes em degrau 
Se uma função for desenhada em função de , a substituição de t por para formar 
 deslocará a curva de unidades para a direita. 
Portanto, uma função degrau unitário possuindo sua descontinuidade em , será definida por: 
 
 
 
 
como mostrado graficamente na Figura 2.8. 
1
t
0 a
 atu 
1
 
Figura 2.10 - Degrau unitário deslocado 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 13 José Luiz Borba 
2.5.2 Função rampa unitária 
A função rampa unitária, denotada por: 
 
é obtida por: 
 
 
 
 
 
 
 
e consiste na área total sob a curva da Figura 2.11até o instante . 
1
t
0 1
 tu
2
 
Figura 2.11 - Rampa unitária 
A função rampa unitária pode ser definida por: 
 
 
 
 
2.5.3 Função impulso unitário 
A obtenção de outras funções singulares por derivação da função degrau não é tão simples como 
por integração, devido a derivada de ser nula para . 
Primeiramente vamos considerar as funções mostradas na Figura 2.12. 
1
t
0 
 tf
1
 
t
0 
1

 tf
0
 
Figura 2.12 - Aproximação da função degrau unitário e sua derivada 
A função representa uma aproximação de quando  é muito pequeno, e onde: 
 
 
 
  
 
 
 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 14 José Luiz Borba 
Devemos notar que a área sob é sempre unitária, independente do valor de . 
À medida que  se aproximar de zero, tornar-se-á , e se tornará o impulso 
unitário , que pode ser visualizado grosseiramente como um pulso de largura infinitesimal, 
altura infinita e área igual à unidade. 
Ele é representado simbolicamente na Figura 2.13, onde o número (1) ao lado da seta apontando 
para o infinito representa a área sob o impulso. 
(1)
t
0

 tu
0
 
Figura 2.13 - Impulso unitário 
Suas propriedades podem ser resumidas como segue: 
 
 
 
 
 
O degrau unitário e o impulso unitário são relacionados pelas equações: 
 
 
 
  
 
 
 
Um impulso unitário que ocorre em , como mostrado na Figura 2.14, é descrito por: 
 
 
 
 
 
 atu 
0
(1)
t
a

0 
Figura 2.14 - Impulso unitário deslocado 
Um impulso de valor em , como mostrado na Figura 2.15, é denotado por: 
 
Eletricidade Aplicada Funções básicas 
 
 
DEL - CT - UFES 15 José Luiz Borba 
 atuA 
0
(A)
t
a

0 
Figura 2.15 - Impulso de amplitude A deslocado 
A expressão de valor não se refere à altura do impulso, que é infinita, mas à sua área e ao 
tamanho do degrau cuja derivada ele representa. 
A função impulso de valor em é a derivada da função degrau: 
 
 atuA 
1
A
t
0 a 
Figura 2.16 - Degrau de amplitude A deslocado 
 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 17 José Luiz Borba 
 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 18 José Luiz Borba 
 
Eletricidade Aplicada 
3 Variáveis dos circuitos elétricos 
José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 19 José Luiz Borba 
3.1 Carga elétrica - q ou Q 
O conceito da carga elétrica é fundamental para a descrição de todos os fenômenos elétricos. 
Na linguagem corrente não se faz distinção entre carga elétrica e quantidade de eletricidade. 
A menor quantidade de eletricidade que existe na natureza é a carga de um próton ou a de um 
elétron. 
Em valor absoluto elas são iguais e constituem a carga elementar. 
A carga transportada por um elétron ou por um próton é: 
 
3.2 Lei de Coulomb 
Consideremos duas cargas puntiformes e , separadas uma da outra de uma distância , como 
mostrado na Figura 3.1. 
r
F F
q q’
 
Figura 3.1 - Duas cargas elétricas separadas por uma distância r 
A força entre as duas cargas é diretamente proporcional às cargas e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância que as separa, isto é: 
 
 
 
 
  Constante de proporcionalidade que depende das unidades usadas. 
Se expressarmos:  em Newtons 
  em metros 
 e  em Coulombs 
teremos: 
 
 
 
 
Se redefinirmos a expressão de por: 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 20 José Luiz Borba 
  Constante de permeabilidade elétrica no vácuo. 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o meio não for o vácuo, deve-se substituir por , constante de permeabilidade elétrica 
do meio em que as cargas estão. 
A constante de permeabilidade elétrica do ar é ligeiramente superior a do vácuo, e para a maioria 
dos propósitos, é tomada igual. 
Para os demais materiais, obtém-se  de: 
 
  Permeabilidade relativa ou constante dielétrica do material entre as cargas. 
A unidade de carga, o Coulomb , pode ser definida como a quantidade de carga que, colocada 
a um metro de uma carga igual e de mesmo sinal, no vácuo, repele-a com uma força de: 
 
3.2.1 Diferença de potencial - v ou V 
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B, denotada por , é definida como: 
O trabalho necessário à transferência de uma carga unitária do ponto A até o ponto B. 
-+
Vab
A B
q
 
Figura 3.2 - Deslocamento de uma carga q do ponto A para o ponto B 
Isto é: 
 
 
 
 
O Volt, denotado simplesmente por , é a unidade de diferença de potencial e corresponde a 
diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário o trabalho de 1 Joule para a 
transferência de uma carga de 1 Coulomb de um ponto para outro. 
Então: 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 21 José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
 
 
 
A diferença de potencial é, geralmente, no contexto da engenharia elétrica ou eletrônica, 
também chamada por potencial elétrico, voltagem, ou simplesmente tensão. 
3.2.2 Corrente elétrica - i ou I 
Os materiais que possuem uma grande quantidade de elétrons livres, geralmente denominados 
portadores de corrente elétrica, são classificados como condutores. 
Ao se aplicar uma diferença de potencial sobre esse material os elétrons se deslocarão do 
ponto de menor potencial para o de maior potencial. 
Movimentodos elétrons
Sentido da corrente
i
-+
V
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
A
-
-
-
 
Figura 3.3 - Movimento ordenado dos elétrons num fio de material condutor 
Denomina-se a esse movimento de elétrons, ou portadores de corrente, de corrente elétrica. 
É importante frisar que, embora tenhamos um movimento de elétrons do menor potencial para o 
maior, a corrente é considerada positiva adotando-se a convenção de que os portadores se 
deslocam do maior para o menor potencial. 
Seja a quantidade de carga passando por uma determinada seção transversal A do condutor. 
A taxa na qual a carga se move passando pela seção é definida como sendo a corrente , ou seja: 
 
 
 
 
Se a carga é transferida através da seção A na razão constante de 1 Coulomb a cada segundo, a 
corrente constante existente é de 1 Ampère, isto é: 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 22 José Luiz Borba 
 
 
 
 
3.2.3 Energia elétrica - w ou W 
Trabalho e energia é essencialmente a mesma coisa, uma vez que é o gasto de energia que torna 
possível a realização de um determinado trabalho. 
Se uma corrente elétrica estiver fluindo de um ponto de menor potencial para o ponto de maior 
potencial, as cargas que a compõem recebem energia. 
Então, se a diferença de potencial entre os dois pontos e a corrente, é função do tempo, a energia 
absorvida pelas cargas em segundos é: 
 
O Joule, denotado simplesmente por , é a unidade de energia e corresponde a energia que está 
sendo recebida pelas cargas de uma corrente elétrica de um Ampère que está fluindo entre dois 
pontos cuja diferença de potencial é de um Volt num tempo de um segundo, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia total absorvida do instante  até o instante é obtida pela integração de ambos 
os lados da expressão acima, de onde obtemos: 
 
 
 
 
 
 
3.2.4 Potência elétrica - p ou P 
Os cálculos da potência também são importantes para a análise de circuitos. 
Uma das razões para isso é que, embora a tensão e a corrente sejam variáveis úteis para a 
análise e projeto de sistemas elétricos, o produto final do sistema é muitas vezes uma grandeza 
não elétrica, e essas grandezas quase sempre são expressas em termos de potência ou energia. 
Outra razão é o fato de que todos os dispositivos reais apresentam limitações quanto à 
quantidade de potência que são capazes de dissipar e, portanto, os cálculos de tensão e corrente 
não são suficientes para garantir que um projeto é exequível. 
Quando existe uma diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de um circuito elétrico, e os 
dois pontos são ligados, há o deslocamento de elétrons e, portanto, uma corrente. 
Eletricidade Aplicada Variáveis dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 23 José Luiz Borba 
Este é um caso evidente de força provocando movimento de e, assim, produzindo trabalho. 
Sempre que uma tensão determina o movimento de elétrons, dizemos que está sendo feito um 
trabalho para deslocá-los. 
A rapidez com que o trabalho de mover os elétrons de um ponto para outro é realizado, isto é, a 
razão com que o trabalho é realizado na unidade de tempo, é chamada de potência elétrica. 
Matematicamente, potência elétrica é: 
 
 
 
 
Da expressão acima podemos escrever: 
 
donde podemos concluir que, se uma certa quantidade de potência é desenvolvida em um dado 
intervalo de tempo, o trabalho realizado é dado por: 
 
Se compararmos esta expressão de com a expressão da energia: 
 
temos que: 
 
O Watt, denotado simplesmente por , é a unidade de potência e corresponde a energia que está 
sendo recebida pelas cargas de uma corrente elétrica de um Ampère que está fluindo entre dois 
pontos cuja diferença de potencial é de um Volt. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo p(t) na expressão da energia temos: 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 25 José Luiz Borba 
 
Eletricidade Aplicada 
4 Elementos dos circuitos elétricos 
José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 26 José Luiz Borba 
4.1 Introdução 
Devemos fazer diferença entre elemento e componente ou dispositivo de circuito elétrico. 
Componente é o dispositivo real que manifesta o elemento. 
Existem duas classes de elementos que podem compor um circuito elétrico: 
 Ativos 
São aqueles que são capazes de fornecer quantidades infinitas de energia ao circuito. 
São exemplos de elementos ativos as fontes independentes de tensão e de corrente. 
Uma fonte é independente quando não depende de nenhuma variável, tensão ou corrente, 
interna ao circuito que está alimentando. 
 Passivos 
São aqueles que não são capazes de fornecer quantidades infinitas de energia ao circuito. 
São exemplos de elementos passivos as fontes dependentes de tensão ou de corrente, a 
resistência, a capacitância e a indutância. 
Fonte dependente é aquela que depende de alguma variável, tensão ou corrente, interna ao 
circuito em que está presente. 
Ao fornecermos energia a um elemento passivo de circuito, ele pode responder de uma das 
seguintes formas: 
1. Consome toda a energia que recebe, dissipando-a na forma de calor. 
Este tipo de elemento é denominado de resistência pura. 
2. Armazena toda a energia que recebe num campo magnético. 
Este tipo de elemento é denominado de indutância pura. 
3. Armazena toda a energia que recebe num campo elétrico. 
Este tipo de elemento é denominado de capacitância pura. 
No mundo físico não existem componentes puros, mas componentes em que uma dessas três 
formas de resposta à energia recebida é predominante, sendo então classificados pela sua 
característica predominante. 
Existem outros dispositivos com características especiais que permitem amplificar, comutar, 
conformar sinais ou outras aplicações. 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 27 José Luiz Borba 
4.2 A Resistência - r ou R 
A Resistência é manifestada pelo Resistor. 
4.2.1 Relação entre a tensão e a corrente no resistor 
A Lei de Ohm estabelece que a diferença de potencial entre os terminais de um resistor puro é 
diretamente proporcional à corrente que nele circula. 
R v (t)
+
-
i (t)
 
Figura 4.1 - Resistor 
A relação matemática entre a tensão e a corrente num resistor é dada pela equação: 
 
  Constante de proporcionalidade, denominada de resistência do resistor. 
 
 
 
 
  Resistividade do material do condutor 
  Comprimento do condutor 
  Área da secção transversal do condutor 
A resistividade do cobre @ 20 vale: 
 
 
 
 
A resistência é expressa em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 28 José Luiz Borba 
Na prática é necessário utilizar-se os múltiplos e submúltiplos do Ohm, que são: 
micro Ohm   
mili Ohm   
Ohm   
kilo Ohm   
mega Ohm   
A resistência de valor zero é denominada curto circuito. 
R=0 v (t)=0
+
-
i (t)
 
Figura 4.2 - Curto circuito 
A resistência de valor infinito é denominada circuito aberto. 
R= v (t)
+
-
i (t)=0
 
Figura 4.3 - Circuito aberto 
Da relação matemática da Lei de Ohm, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Denominada de condutância, que é expressa em Mho ( ou Siemens. 
4.2.2 Potência instantânea dissipada no resistor 
A potência instantânea dissipadano resistor num determinado instante de tempo é: 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 29 José Luiz Borba 
 
 
 
 
 
 
4.2.3 Energia dissipada no resistor 
Um resistor dissipa a energia que lhe é entregue na forma de calor. 
A energia dissipada no resistor pode ser expressa por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a razão segundo a qual o resistor transforma a energia elétrica em calor aumenta, sua 
temperatura cresce. 
Se a temperatura do resistor crescer muito, o material que o poderá mudar a sua composição, 
expandir-se ou queimar-se devido ao calor gerado. 
Por esta razão, todos os tipos de resistores são especificados para uma potência máxima. 
Esta especificação pode ser em Watts ou muitas vezes em tensão e corrente máximas, o que 
efetivamente dá a especificação em Watts. 
Os resistores são especificados em Watts e em Ohms da resistência. 
Resistores de mesmo valor de resistência são disponíveis em diferentes valores de potência. 
4.2.4 Classificação dos resistores 
Os resistores podem ser classificados de duas maneiras: 
 Quanto ao valor 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 30 José Luiz Borba 
Tabela 4.1 - Classificação dos resistores quanto ao valor 
Tipo Simbologia 
Resistor fixo 
 
 
Resistor variável 
 
 
Resistor ajustável 
 
 
Resistor com 
derivação 
 
 Quanto ao material construtivo 
 De carbono 
 
Figura 4.4 - Resistores de carbono 
Geralmente os resistores de carbono são usados onde as corrente são de pequena 
intensidade, e podem ser do tipo: 
 Aglomerado 
São feitos com um bastão de grafita comprimida, misturada com argila e aglutinantes. 
Variando a proporção de cada componente é possível obter-se uma ampla diversidade de 
valores de resistência. 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 31 José Luiz Borba 
Dois fios condutores (lides) são presos aos extremos do bastão, que é revestido de 
cerâmica ou plástico, de modo que apenas os lides ficam aparentes. 
 Depositado 
São obtidos com a deposição de uma película de carbono sobre um núcleo de cerâmica. 
O conjunto é revestido com cerâmica ou esmalte protetor. 
Em alguns casos, a película é depositada helicoidalmente sobre o núcleo, como quando se 
enrola um fio em torno de um tubo, a fim de aumentar o comprimento do elemento resistivo 
sem aumentar muito o comprimento do resistor, como mostrado na Figura 4.5. 
 
Figura 4.5 - Deposição helicoidal 
 De filme metálico ou de óxido 
Estes resistores apresentam alta precisão e são obtidos com a deposição de uma película 
metálica ou de óxido sobre um núcleo de cerâmica. 
Também em alguns casos, a película é depositada helicoidalmente sobre o núcleo a fim de 
aumentar o comprimento do elemento resistivo sem aumentar muito o comprimento do 
resistor. 
O conjunto é revestido com cerâmica ou esmalte protetor. 
 
Figura 4.6 - Resistores de filme metálico ou de óxido 
 De fio 
Os resistores de fio são constituídos por um enrolamento de fio ou fita para resistência sobre 
uma base de porcelana. 
Os extremos do fio são presos a terminais metálicos. 
O fio e a base recebem um revestimento para proteger o fio e dissipar o calor. 
São usados comumente para controlar grandes correntes. 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 32 José Luiz Borba 
 
Figura 4.7 - Resistores de fio 
 De lâminas metálicas 
 
Figura 4.8 - Resistores de lâminas metálicas 
Estes resistores são constituídos por lâminas de metal, retas ou onduladas. 
Devido a sua elevada capacidade de potência, normalmente necessitam de ventilação 
forçada para o seu resfriamento. 
4.2.5 Código de cores para resistores 
Tabela 4.2 - Código de cores para resistores 
Código de cores 4 faixas 5 faixas 6 faixas 
 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 33 José Luiz Borba 
Os valores dos resistores de carbono são indicados pelo código de 4 faixas. 
Os valores dos resistores de filme metálico ou de óxido são indicados pelos códigos de 5 ou 6 
faixas. 
 
 
 
 
 
 
4.3 A Indutância - L 
A Indutância é manifestada pelo Indutor. 
4.3.1 Relação entre a tensão e a corrente no indutor 
Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encontrar uma conexão entre a eletricidade e o 
magnetismo. 
Em 1820, o físico Hans Christian Oersted provou que, ao se fazer uma corrente elétrica percorrer 
um fio condutor, é produzido um campo magnético ao redor desse condutor. 
 
Figura 4.9 - Campo magnético em torno de um condutor percorrido por uma corrente 
Ele observou que o campo magnético produzido tinha a forma de círculos concêntricos. 
Logo após, o cientista Ampère provou que existia uma relação definida entre o sentido do campo 
magnético e o sentido da corrente que o produzia. 
Dessa forma, invertendo o sentido da corrente, invertemos também o sentido do campo. 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 34 José Luiz Borba 
Esta relação pode ser determinada empregando-se a regra da mão direita, a qual é mostrada 
esquematicamente na Figura 4.10. 
 
Figura 4.10 - Regra da mão direita aplicada a um condutor retilíneo 
Observe da Figura 4.10 que o polegar da mão direita indica o sentido convencional da corrente 
elétrica que percorre o fio condutor, enquanto que os outros dedos, ao envolverem o condutor por 
onde passa a corrente, dão o sentido das linhas de campo magnético. 
Se um fio condutor for enrolado de modo a formar uma espira, quando uma corrente circular por 
ele, produzirá um campo magnético em que todas as linhas de força entrarão no mesmo lado e, 
consequentemente, sairão todas do lado oposto. 
- +
i
ii
i
B
 
Figura 4.11 - Campo magnético produzido por uma espira 
O sentido do campo magnético produzido pode ser determinado empregando-se a regra da mão 
direita, conforme mostrado na Figura 4.12. 
 
Figura 4.12 - Regra da mão direita aplicada a uma espira 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 35 José Luiz Borba 
Observe da Figura 4.12 que o polegar da mão direita indica o sentido das linhas do campo 
magnético, enquanto que os outros dedos, ao envolverem a espira indicam o sentido 
convencional da corrente elétrica que percorre a espira. 
Para obter-se um campo magnético mais intenso, basta formar mais espiras com o condutor, de 
modo que se obtenha um indutor, que é uma bobina de muitas espiras, conforme mostrado na 
Figura 4.13. 
 
Figura 4.13 - Bobina de muitas espiras 
Assim, os campos individuais de cada espira estarão em série e produzirão um campo magnético 
intenso no interior e na parte externa da bobina, como mostrado na Figura 4.14. 
- +
ii
B
 
Figura 4.14 - Campo magnético produzido por uma bobina 
Quase que simultaneamente, os cientistas Faraday e Henry descobriram que um campo 
magnético variável podia produzir uma tensão elétrica nos terminais de uma bobina próxima, e 
que essa tensão era proporcional à variação de corrente que produzia o campo magnético. 
v (t)
+
-
L
i (t)
 
Figura 4.15 - Indutor 
A diferença de potencial produzida pelo campo magnético variável, gerado por uma corrente 
elétrica variável que circula entre os terminais de um indutor puro, é diretamente proporcional à 
variação da corrente . 
Eletricidade Aplicada Elementos dos circuitos elétricos 
 
 
DEL - CT - UFES 36 José Luiz Borba 
 
 
 
 
  Constante de proporcionalidade, denominada de autoindutância ou indutância do indutor 
 
 
 
 
  Permeabilidade magnética do material que está dentro da hélice (núcleo) 
  Número de espiras 
  Área da secção transversal da bobina 
  Comprimento da hélice 
A permeabilidade magnética do ar vale:

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