Aula 5 - Mecânica I - Luciana Rios - UVA

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ESTA´TICA DO CORPO RI´GIDO
1. Equilı´brio de um corpo rı´gido.
• Vimos que as forc¸as externas que atuam sobre um corpo rı´gido po-
dem ser reduzidas a um sistema forc¸a-bina´rio com refereˆncia em al-
gum ponto arbitra´rio O.
• Quando a forc¸a e o bina´rio sa˜o ambos iguais a zero, as forc¸as externas
formam um sistema equivalente a zero, e diz-se que o corpo rı´gido
esta´ em equilı´brio. Portanto, as condic¸o˜es necessa´rias e suficientes
para o equilı´brio de um corpo rı´gido sa˜o
~R =
∑
~F = 0, (1)
e
~MRO =
∑(
~r × ~F
)
= 0. (2)
1
• As duas equac¸o˜es vetoriais acima se transformam em seis equac¸o˜es
escalares: ∑
Fx = 0,
∑
Fy = 0,
∑
Fz = 0, (3)∑
Mx = 0,
∑
My = 0,
∑
Mz = 0. (4)
• As equac¸o˜es acima nos dizem que, para um corpo rı´gido em equilı´brio,
o sistema de forc¸as externas na˜o impo˜e qualquer movimento transla-
cional ou rotacional ao corpo considerado.
• As equac¸o˜es acima podem ser utilizadas para determinar forc¸as de-
sconhecidas aplicadas ao corpo rı´gido, bem como reac¸o˜es desco-
nhecidas aplicadas ao corpo por suportes.
• Para que as equac¸o˜es de equilı´brio de um corpo rı´gido sejam expres-
sas corretamente, primeiramente devemos identificar todas as forc¸as
que atuam sobre o corpo e assim desenhar o diagrama de corpo-livre.
2. Equilı´brio em duas dimenso˜es - reac¸o˜es nos apoios e conexo˜es.
• Vamos agora considerar o equilı´brio de estruturas bidimensionais. A
estrutura analisada e as forc¸as a ela aplicadas esta˜o contidas no
mesmo plano.
• Ale´m das forc¸as aplicadas a` estrutura, as reac¸o˜es exercidas sobre ela
por apoios e conexo˜es sera˜o considerados.
• Uma reac¸a˜o especı´fica esta´ associada a cada tipo de suporte.
• Para solucionarmos um problema relacionado ao equilı´brio de um
corpo rı´gido, devemos primeiramente desenhar um diagrama de corpo
livre considerando todas as forc¸as que atuam sobre o corpo. Alguns
pontos importantes sobre o diagrama de corpo livre seguem abaixo:
– Todas as forc¸as externas que atuam sobre o corpo devem ser con-
sideradas. Forc¸as externas sa˜o as forc¸as de interac¸a˜o do corpo
com a sua vizinhanc¸a, incluindo seu peso.
– Os pontos de aplicac¸a˜o de cada forc¸a devem ser considerados,
i.e., as forc¸as devem ser aplicadas em cada ponto de contato do
corpo com o solo ou em pontos onde o corpo estiver conectado a
outros corpos/estruturas.
– O peso esta´ sempre aplicado ao centro de gravidade do corpo.
– Quando o corpo rı´gido e´ formado por va´rias partes, as forc¸as e-
xercidas pelas va´rias partes sobre as outras na˜o devem ser con-
sideradas forc¸as externas, e sim forc¸as internas ao corpo. Por
essa raza˜o, tais forc¸as na˜o devem ser consideradas no diagrama
de corpo livre.
– Algumas forc¸as externas que atuam sobre o corpo sa˜o conheci-
das, e devem ser indicadas no diagrama com sua orientac¸a˜o cor-
reta.
– As forc¸as externas desconhecidas tambe´m devem ser indicadas.
Estas geralmente consistem em reac¸o˜es que o solo e outros cor-
pos exercem sobre o corpo rı´gido com o intuito de evitar um pos-
sı´vel movimento do corpo. Tais forc¸as muitas vezes sa˜o chamadas
de reac¸o˜es nos vı´nculos.
– Os diagramas de corpo livre tambe´m devem incluir as dimenso˜es
dadas.
• As reac¸o˜es exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser
divididas em treˆs grupos, que correspondem a treˆs tipos de apoios,
ou conexo˜es:
– Reac¸o˜es equivalentes a uma forc¸a com linha de ac¸a˜o conhecida:
apoios e conexo˜es que causam reac¸o˜es desse tipo podem impedir
o movimento em uma direc¸a˜o apenas; tais reac¸o˜es envolvem ape-
nas uma inco´gnita, a saber, a intensidade da reac¸a˜o.
– Reac¸o˜es equivalentes a uma forc¸a de direc¸a˜o, sentido e inten-
sidade desconhecidos: apoios e conexo˜es que causam reac¸o˜es
desse tipo podem impedir a translac¸a˜o do corpo rı´gido em todas
as direc¸o˜es, mas na˜o podem impedir o corpo de girar em torno da
conexa˜o; as reac¸o˜es desse grupo envolvem duas inco´gnitas, as
quais sa˜o geralmente representadas pelas componentes x e y da
reac¸a˜o.
– Reac¸o˜es equivalentes a uma forc¸a e um bina´rio: essas reac¸o˜es
impedem qualquer movimento do corpo e, portanto, o imobilizam
totalmente. Esse tipo de reac¸a˜o pode ser reduzida a uma forc¸a
e um bina´rio e envolve treˆs inco´gnitas, que geralmente consistem
nos dois componentes da forc¸a e no momento do bina´rio.
• Em relac¸a˜o a`s reac¸o˜es, quando o sentido de uma forc¸a ou de um
bina´rio na˜o for conhecido de imediato, nenhuma tentativa de deter-
mina´-lo deve ser feita. Neste caso, o sentido da forc¸a ou do bina´rio
deve ser arbitrariamente assumido, e o sinal da resposta obtida dira´
se a hipo´tese inicial esta´ correta ou na˜o.
• Para o caso de uma estrutura bidimensional em equilı´brio (escolhendo
os eixos x e y no plano da estrutura), teremos
Fz = 0, Mx =My = 0, Mz =MO, (5)
para cada uma das forc¸as aplicadas a` estrutura. Portanto, as seis
equac¸o˜es de equilı´brio apresentadas anteriormente se reduzem a∑
Fx = 0,
∑
Fy = 0,
∑
MO = 0, (6)
onde
∑
MO = 0 deve ser satisfeita independentemente da escolha
da origem O (O pode ser substituı´do por um ponto qualquer no plano
da estrutura). As treˆs equac¸o˜es obtidas podem ser resolvidas para no
ma´ximo treˆs inco´gnitas.
• Assim, as equac¸o˜es acima podem ser utilizadas para determinar as
reac¸o˜es em um ou mais vı´nculos, dependendo dos tipos de suporte
e/ou conexo˜es utilizados.
• Na figura abaixo, a trelic¸a mostrada esta´ sujeita a`s forc¸as ~P , ~Q e ~S.
A trelic¸a e´ mantida no lugar por um pino em A e um rolete em B, o
qual impede a rotac¸a˜o da trelic¸a em torno de A. Tambe´m e´ mostrado
o diagrama de corpo livre da trelic¸a.
• Os tipos de apoio usados no exemplo acima sa˜o tais que o corpo
rı´gido na˜o pode se mover sob o efeito das cargas dadas ou sob quais-
quer outras condic¸o˜es de carregamento; neste caso diz-se que o
corpo rı´gido esta´ completamente vinculado. As reac¸o˜es correspon-
dentes a esses apoios envolvem treˆs inco´gnitas e podem ser determi-
nadas resolvendo-se as treˆs equac¸o˜es de equilı´brio. Diz-se enta˜o que
as reac¸o˜es sa˜o estaticamente determinadas.
• Um corpo rı´gido esta´ impropriamente vinculado sempre que os su-
portes, mesmo que fornec¸am um nu´mero suficiente de reac¸o˜es, es-
tiverem dispostos de tal modo que as reac¸o˜es sejam concorrentes em
um mesmo ponto ou paralelas (u´ltimo exemplo a seguir).
Exemplo 1: Um guindaste fixo tem uma massa de 1000 kg e e´ usado
para suspender um caixote de 2400 kg. O guindaste e´ mantido na
posic¸a˜o indicada na figura por um pino em A e um suporte basculante
em B. O centro de gravidade do guindaste esta´ localizado em G.
Determine os componentes das reac¸o˜es em A e B.
O primeiro passo e´ trac¸ar o diagrama de corpo livre do guindaste:
Multiplicando as massas do guindaste e do caixote por 9,81 m/s2,
obtemos os pesos correspondentes, isto e´, 9,81 kN e 23,5 kN. A
reac¸a˜o no pino A e´ uma forc¸a de orientac¸a˜o desconhecida, mas que
pode ser representada pelos seus componentes ~Ax e ~Ay. Escolhendo
A como ponto de refereˆncia, teremos: ~MRA =
∑ ~MA = 0 → ~MRA =
0 = (−1,5j) × (Bi) − (2)(9,81)k − (6)(23,5)k = (1,5B −
19,62− 141)k→ 1,5B − 160,62 = 0→ ~B = (107,1 kN)i.
Vamos tomar agora a soma das componentes horizontais: Ax+B =
0→ Ax = −B = −107,1→ ~Ax = (−107,1 kN)i.
A soma das componentes verticais tambe´m deve ser nula: Ay −
9,81− 23,5 = 0→ Ay = 33,31→ ~Ay = (33,31 kN)j.
Para verificarmos se as respostas esta˜o corretas relembramos que
a soma dos momentos de todas as forc¸as externas em relac¸a˜o a
qualquer ponto deve ser nula, portanto consideramos o ponto B e
calculamos: ~MRB =
∑ ~MB = (1,5)(107,1)k − (2)(9,81)k −
(6)(23,5)k = (160,6− 160,6) = 0.
Exemplo 2: A estrutura mostrada sustenta parte do telhado de um
pequeno pre´dio.Sabendo que a tensa˜o no cabo e´ 150 kN, determine
a reac¸a˜o no ponto fixo E.
O diagrama de corpo livre da estrutura e do cabo BDF e´ mostrado
abaixo.
A reac¸a˜o na terminac¸a˜o fixa E e´ representada pelas componentes
da forc¸a ~Ex e ~Ey, e tambe´m pelo bina´rio ~ME. As outras forc¸as que
atuam sobre o corpo sa˜o o carregamento formado pelas quatro forc¸as
de 20 kN e a tensa˜o de 150 kN no cabo, que pode ser considerada
como atuando no ponto F . Considerando primeiro o somato´rio das
forc¸as em x, temos
∑
Fx = 0→ Ex+ Tx = 0,
onde Tx e´ a componente da tensa˜o na corda ao longo de x. O com-
primento do segmento DF e´
√
(6)2+ (4,5)2 = 7,5 m, logo
Tx = (150)
(4,5)
(7,5)
= 90 kN.
Assim,
Ex = −Tx = −90→ ~Ex = −90i kN.
Para o somato´rio das forc¸as em y,
∑
Fy → Ey − 4(20)− Ty = 0,
onde Ty = (150) (6)(7,5) = 120 e´ a componente da tensa˜o na corda
ao longo de y. Logo,
Ey − 80− 120 = Ey − 200 = 0→ Ey = 200→ ~Ey = 200j kN.
Considerando agora a soma dos momentos em relac¸a˜o a E,
ME+(20)(1,8)+(20)(3,6)+(20)(5,4)+(20)(7,2)−Ty(4,5),
logo
MRE =ME +360− 4,5(120) =ME − 180,
e
MRE = 0→ME − 180 = 0→ME = 180→ ~ME = 180k kN.m.
3. Equilı´brio de um corpo sujeito a` ac¸a˜o de duas e treˆs forc¸as
• Se um corpo sujeito a` ac¸a˜o de duas forc¸as esta´ em equilı´brio, as duas
forc¸as devem ter igual intensidade, igual linha de ac¸a˜o, e sentidos
opostos.
• Um corpo sujeito a` ac¸a˜o de duas forc¸as pode ser definido, de modo
mais geral, como um corpo rı´gido sujeito a` ac¸a˜o de forc¸as que atuam
apenas em dois pontos. Neste caso as resultantes em cada ponto
tambe´m devem ter igual intensidade, igual linha de ac¸a˜o, e sentidos
opostos.
• Quando um corpo rı´gido sujeito a` ac¸a˜o de treˆs forc¸as (ou de modo
mais geral, quando um corpo rı´gido sujeito a` ac¸a˜o de forc¸as aplicadas
somente em treˆs pontos) esta´ em equilı´brio, as linhas de ac¸a˜o das treˆs
forc¸as (ou das treˆs resultantes) devem ser concorrentes ou paralelas.
Equilı´brio sob a ac¸a˜o de 2 ou 3 forc¸as
Exemplo 3: A trac¸a˜o necessa´ria no caboAB e´ 800 N. Determine (a) a
forc¸a vertical ~P que deve ser aplicada ao pedal e (b) a correspondente
reac¸a˜o em C.
Temos 3 forc¸as atuando sobre o corpo: ~P , a trac¸a˜o ~TAB (na horizon-
tal, dirigida para a esquerda), e a reac¸a˜o em C, ~RC , que imaginamos
ter a direc¸a˜o mostrada na figura, uma vez que as treˆs forc¸as devem
possuir linhas de ac¸a˜o concorrentes, ja´ que o corpo esta´ em equilı´brio.
Tomando C como refereˆncia, as seguintes equac¸o˜es devem ser obe-
decidas:
~R = ~P + ~TAB + ~RC = 0,
~MRC =
~MPC +
~MTC = 0.
As componentes de ~RC sera˜o:
sinα =
RCy
RC
→ RCy = RC sinα,
cosα =
RCx
RC
→ RCx = RC cosα.
Portanto as componentes da resultante sera˜o, para o eixo x,
−TAB −RCx = 0→ RCx = RC cosα = −TAB = −800, (7)
e para o eixo y,
−P −RCy = 0→ RCy = RC sinα = −P. (8)
Usando agora a equac¸a˜o do momento:
P (0,4)− TABd = 0,4P − 800d = 0→ P =
800d
0,4
. (9)
Pela figura verificamos que: sin 60◦ = 0,87 = d/0,18 → d =
(0,18)(0,87) = 0,156 m. Logo (a),
P =
(800)(0,156)
0,4
=
124,8
0,4
= 312.
Portanto a forc¸a ~P esta´ direcionada para baixo e tem mo´dulo 312 N.
Retomando agora as equac¸o˜es (7) e (8) teremos:
RC cosα = −800,
e
RC sinα = −312,
logo (b),
RC sinα
RC cosα
=
312
800
→ sinα
cosα
= tanα = 0,39→ α = 21,3◦.
E enta˜o:
RC cosα = RC cos(21,3
◦) = −800→ RC =
−800
0,932
= −858,65.
Logo a reac¸a˜o ~RC tem mo´dulo de≈ 859 N e esta´ direcionada no sen-
tido contra´rio ao mostrado na figura, formando um aˆngulo de 21,3◦
com o eixo x positivo.
Figuras:
• http://pt.slideshare.net/thiagotoscanoferrari/4-equilibrio-de-corpos-rigidos
Refereˆncias:
• Beer, F. P., Johnston, E. R., Mazurek, D.F., Cornwell, P.J e Eisenberg, E.R. Mecaˆnica Vetorial para
Engenheiros: esta´tica e dinaˆmica. 9. ed. McGrawHill, 2010.