Lista de exercícios

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Universidade Federal de Uberlaˆndia
Faculdade de Matema´tica
Disciplina : Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear - GBC013
Assunto: Vetores e aplicac¸o˜es; Equac¸o˜es de reta e plano; Curvas Coˆnicas
Professor: Sato
1a Lista de exerc´ıcios.
1 Vetores: operac¸o˜es e aplicac¸o˜es geome´tricas
1. Para os vetores −→u , −→v e −→w da figura, construir geometricamente o vetor −→x = 2−→u − 3−→v + 1
2
−→w .
w
v
u
2. O paralelogramo �ABCD e´ determinado pelos vetores
−−→
AB e
−−→
AD. Sendo M e N os pontos me´dios dos
lados DC e AB, complete convenientemente.
a)
−−→
AD +
−−→
AB = b)
−−→
BA+
−−→
DA =
c)
−→
AC −−−→BC = d) −−→AN +−−→BC =
e)
−−→
MD +
−−→
MB = f)
−−→
BM − 1
2
−−→
DC =
3. Na figura, tem-se um paralelep´ıpedo ABCDEFGH . Se −→u = −−→AB, −→v = −−→AD e −→w = −→AE, exprima em
func¸a˜o dos vetores −→u , −→v e −→w os seguintes vetores: −→AG, −−→HB, −−→EC e −−→DF .
A B
C
D
E F
GH
4. Mostre que se α, β e γ sa˜o na˜o-nulos, enta˜o os vetores do espac¸o −→u = a−→i + b−→j + c−→k = (a, b, c) e
−→v = α−→i + β−→j + γ−→k = (α, β, γ) sa˜o paralelos se, e somente se, a
α
= b
β
= c
γ
. Vale um resultado ana´logo
para vetores do plano.
5. Dados os ve´rtices A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) de uma placa triangular homogeˆnea, determinar
o seu centro de gravidade. Sugesta˜o: O centro de gravidade de um triaˆngulo se encontra no ponto de
intersec¸a˜o das medianas. Vale um resultado ana´logo para vetores do plano
6. Calcular as coordenadas do centro de gravidade do tetraedro de ve´rtices A(3, 5, 8), B(5, 3, 4), C(−2, 4,−3)
e D(6, 0,−1).
7. Calcule a e b de modo que os pontos A(3, 1,−2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7) sejam colineares.
8. Mostre, vetorialmente, que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o-paralelos de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das bases..
9. Mostre que: a) Dados os vetores linearmente independentes −→u , −→v e −→w se α−→u + β−→v + δ−→w = −→∅ =
α′−→u + β′−→v + δ′−→w , enta˜o α = α′, β = β′ e δ = δ′.
b) Dados os vetores linearmente dependentes −→u , −→v e −→w se α−→u + β−→v + δ−→w = −→∅ = α′−→u + β′−→v + δ′−→w ,
enta˜o na˜o necessariamente ocorre as igualdades α = α′, β = β′ e δ = δ′.
1
10. Sejam −→u e −→v vetores quaisquer. Mostre que
i) ‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 + 2−→u · −→v ;
ii) ‖−→u −−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 − 2−→u · −→v ;
iii) −→u · −→v = 1
4
[
‖−→u +−→v ‖2 − ‖−→u − −→v ‖2
]
.
11. Mostre que −→u +−→v e´ ortogonal a −→u −−→v se e somente se ‖−→u ‖ = ‖−→v ‖. Interprete geometricamente.
12. Calcule as normas dos vetores −→u +−→v e −→u −−→v , sabendo-se que ‖−→u ‖ = 4, ‖−→v ‖ = 3 e que o aˆngulo entre
os vetores −→u e −→v e´ de 60◦.
13. Mostre que os pontos A(1, 0, 1), B(−1, 0, 2) e C(1, 1, 1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
14. Encontre um vetor unita´rio paralelo a` bissetriz do aˆngulo determinado pelos vetores −→u e −→v nos seguintes
casos:
i) −→u = (1, 2,−2) e −→v = (2,−1, 2) ii) −→u = (1, 2,−2) e −→v = (3, 4, 0).
15. Encontre a medida da projec¸a˜o ortogonal do vetor −→u = −→i +−→j −−→k na direc¸a˜o do vetor −→v = −→i +2−→j +2−→k .
16. Encontre a componente do vetor −→u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (2, 1,−2).
17. Use os conceitos de projec¸a˜o e norma de vetores para determinar a distaˆncia do ponto P a` reta r que
passa pelos pontos A e B nos casos:
(a) P (−2, 0, 1), A(1,−2, 0) e B(4, 0, 1);
(b) P (1, 0, 1), A (0, 0, 0) e B (6, 3, 2).
18. Refac¸a o exerc´ıcio anterior usando, agora, a interpretac¸a˜o geome´trica da norma do produto vetorial.
19. Sejam A, B e C treˆs pontos na˜o colineares, ve´rtices de um triaˆngulo △ABC.
A B
C
D
E
F
Use a figura acima e a interpretac¸a˜o da norma do produto vetorial de vetores na˜o-nulos para mostrar que
a a´rea do triaˆngulo △ABC satisfaz:
a´rea (△ABC) = 1
2
∥∥∥−−→AB ×−→AC∥∥∥ = 1
2
∥∥∥−−→BA×−−→BC∥∥∥ = 1
2
∥∥∥−→CA×−−→CB∥∥∥ .
20. Mostre que o centro de gravidade G de um triaˆngulo △ABC o divide em treˆs triaˆngulos △ABG, △BCG
e △CAG de mesma a´rea.
21. Calcule a a´rea do paralelogramo que tem um ve´rtice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades
B(1, 1,−1) e D(0, 1, 2).
22. Calcule a distaˆncia do ponto P ao plano pi determinado pelos pontos A, B e C nos seguintes casos:
(a) P (0, 0,−6), A (0, 0,−3), B (0,−3, 0) e C (6, 0, 0);
(b) P = (1, 1, 1), A (0, 0, 2), B (0, 4, 0) e C (2, 0, 0).
23. Calcule o volume do tetraedro �ABCD, se A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(−1, 2, 0).
24. Mostre que os pontos A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(−1, 4, 1) e D(1, 2, 1) sa˜o coplanares, mas na˜o colineares.
25. Mostre que os pontos cujas coordenadas sa˜o (4, 0, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 5) e (5, 1, 3) sa˜o ve´rtices de um para-
lelogramo.
2
2 Equac¸o˜es de reta e plano
1. Determine os pontos em que a reta r :
{
2x+ y − z − 3 = 0
x+ y + z − 1 = 0 intercepta os planos coordenados.
2. Considere o triaˆngulo de ve´rtices A(3,−1,−1), B(1, 2,−7) e C(−5,−14,−3). Determine a equac¸a˜o da:
(a) reta que conte´m a mediana relativa ao lado AB.
(b) reta que conte´m a bissetriz do aˆngulo com ve´rtice no ponto B.
(c) reta que conte´m a altura relativa ao lado AC.
(d) mediatriz do lado AC.
3. Mostre que:
(a) r =
x− 1
2
=
y + 2
−3 =
z − 5
4
e s :


x = t+ 1
y = 2t− 9
z = −t− 12
sa˜o retas reversas.
(b) r :


x = 3t+ 7
y = 2t+ 2
z = −2t+ 1
e s :
x− 1
−2 =
y + 2
−3 =
z − 5
4
sa˜o retas coplanares.
4. Mostre que as retas r :
{
x+ 2y + 3z − 6 = 0
y − 2z + 1 = 0 e s :


x = −7t
y = −2t− 1
z = −t+ 5
sa˜o paralelas e calcule a distaˆncia
entre elas.
5. Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m A(1, 0,−1) e a reta intersec¸a˜o dos planos α : x + y − z = 0 e
β : 2x− y + 3z + 1 = 0, por dois processos distintos.
6. Seja r a reta intersec¸a˜o dos planos α : 2x − y + z = 0 e β : x + 2y − z = 1. Encontre a equac¸a˜o da reta
que passa pelo ponto A(1, 0, 1) e intersecta r ortogonalmente.
7. Encontre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta intersec¸a˜o dos planos α : 3x − y + 2z + 9 = 0 e
β : x+ z − 3 = 0 e que:
(a) conte´m a origem.
(b) conte´m o ponto A(1, 1, 1).
(c) e´ perpendicular ao plano xy.
(d) e´ paralelo ao eixo z.
(e) e´ paralelo ao eixo y.
(f) e´ perpendicular ao plano yz.
(g) e´ perpendicular ao plano pi : x+ y − 2z − 6 = 0.
8. Sejam pi : 2x+ y− z = 3 e r e reta que conte´m os pontos A (1, 0, 0) e B (0,−1,−1). Obtenha uma equac¸a˜o
vetorial da reta sime´trica de r em relac¸a˜o ao plano pi.
9. Obtenha equac¸o˜es da reta perpendicular comum a`s retas r : P = (2, 0,−1)+λ(1, 1, 1) e s : x+y−2 = z = 0.
10. Dadas as retas r :
x− 1
1
=
y − 2
−1 =
z + 3
2
e s :
x− 1
4
=
y − 2
2
=
z + 3
1
, obter:
(a) a reta perpendicular comum a ambas.
(b) o plano que conte´m r e s.
11. Obtenha a equac¸a˜o do plano que conte´m a reta r :
x− 1
2
=
y + 2
−3 =
z − 2
2
e e´ perpendicular ao plano
pi : 3x+ 2y − z − 5 = 0.
3
12. Esboce o poliedro cujas faces esta˜o contidas nos planos x = 0, y = 0, z = 0, x+ y = 1 e 2x+ y+ z− 4 = 0.
13. Mostre que os planos α : 2x + y − z = 1, β : 3x− y − z + 2 = 0 e γ : 4x− 2y + z − 3 = 0 concorrem em
um u´nico ponto e determine-o.
14. Obtenha um plano pi, paralelo ao plano pi1 : x− y + 3z − 20 = 0, que satisfaz a condic¸a˜o especificada em
cada caso
(a) pi intersecta o eixo Oz em um ponto que dista
√
6 do ponto (−2, 1, 0).
(b) pi intersecta os eixos coordenados nos ve´rtices de um triaˆngulo de a´rea
√
11
6
.
15. Determine o ponto do eixo dos Oz que e´ equidistante de M(1,−2, 0) e pi : 3x− 2y + 6z − 9 = 0.
16. Duas faces de um cubo esta˜o sobre α : 2x+ 2y+ z − 1 = 0 e β : 2x+ 2y+ z + 5 = 0. Calcule seu volume.
17. Uma esfera e´ tangenciada pelos planos α : 2x+ 2y + z − 1 = 0 e β :4x+ 4y + 2z − 1 = 0. Determine seu
volume.
18. Encontre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta intersec¸a˜o de α : 3x−y+2z+9 = 0 e β : x+z−3 = 0
e que dista 2 unidades da origem.
19. O ve´rtice de uma piraˆmide regular e´ P
(√
2, 2, 0
)
e sua base e´ um quadrado ABCD contido no plano
pi : x− z = 0. Sendo A (0, 2, 0), determine os outros treˆs ve´rtices.
20. No prisma da abaixo, A (0,−1, 1) e E (0,−3, 0). Sabendo que C e D pertencem a` reta s : x−1 = y = y−z,
determine B, C, D, F e o volume do prisma.
A
B
C
D
F
E
3 Curvas Coˆnicas
1. Obtenha, em cada caso, uma equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice V = (0, 0), utilizando as informac¸o˜es
dadas:
(a) A diretriz tem equac¸a˜o d : y = 2.
(b) O eixo x e´ o eixo de simetria e ponto (5, 10) pertence a` para´bola.
(c) O ponto (4, 7) pertence a` diretriz e o eixo x e´ o eixo de simetria.
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal e´ 8.
2. Reduzir cada uma das seguintes equac¸o˜es de para´bola a` forma reduzida e determinar: as coordenadas
do ve´rtice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mı´nima e a equac¸a˜o da diretriz. Fac¸a
alguns esboc¸os a ma˜o livre.
(a) y2 − 4y + 6x− 8 = 0.
(b) 3x2 − 9x− 5y − 2 = 0.
4
3. Um raio luminoso partido do foco da para´bola y2 = 12x, faz um aˆngulo agudo α com o eixo Ox. Sabe-se
que tg α = 3
4
. Ao atingir a para´bola, o raio e´ refletido por ela. Formar a equac¸a˜o da reta que da´ a
trajeto´ria do raio refletido.
4. Para cada uma das elipses dadas determinar: o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do semi-
eixo menor as coordenadas dos focos e a excentricidade. Fac¸a alguns esboc¸os a ma˜o livre.
(a)
x2
169
+
y2
144
= 1.
(b) 225x2 + 289y2 = 65025.
(c) 9x2 + 16y2 − 36x+ 96y + 36 = 0.;
5. Cada uma das elipses consideradas abaixo esta´ numa posic¸a˜o caracter´ıstica e tem centro na origem.
Determinar a equac¸a˜o da curva para as condic¸o˜es dadas em cada caso.
(a) Comprimento da corda principal 5; ve´rtices A1(−10, 0) e A210, 0).
(b) Focos F1(0,−6) e F20, 6); semi-eixo maior a = 8.
6. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajeto´ria da Terra e´ el´ıptica e o Sol ocupa a posic¸a˜o de um de seus focos.
Calcule o perie´lio e o afe´lio da Terra ( que sa˜o, respectivamente, a menor e a maior distaˆncia da Terra
ao Sol), adotado os valores aproximados: distaˆncia focal da trajeto´ria da Terra, 0, 5× 107 km; medida do
eixo maior 30, 0× 107 km.
7. Dadas as coordenadas dos ve´rtices A1(−1,−3) e A2(3,−3) e do foco F (0,−3), determinar as equac¸o˜es da
elipse e de suas diretrizes.
8. Dados os ve´rtices B1(2, 3) e B2(2,−5) e os focos F1(−1,−1) e F2(5,−1) de uma elipse, calcular a sua
excentricidade e o comprimento da corda principal.
9. Determinar: os ve´rtices, os focos, a excentricidade, a corda focal mı´nima as equac¸o˜es das ass´ıntotas de
cada uma das hipe´rboles. Fac¸a alguns esboc¸os a ma˜o livre.
(a) 4x2 − 45y2 = 180. (b) 4y2 − 16x2 = 784. (c) x2 − y2 = 25.
10. Escrever as equac¸o˜es das hipe´rboles, em relac¸a˜o a`s quais se da˜o as seguintes condic¸o˜es:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos F1(−5, 0) e F2(5, 0).
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos F1(0,−13) e F20, 13).
(c) Centro C(0, 0) um foco em F (8, 0) e um ve´rtice em V (6, 0).
11. Escrever a equac¸a˜o da hipe´rbole de centro na origem, eixo transverso no eixo dos y, comprimento da corda
focal mı´nima igual a 36 e distaˆncia entre os focos 24.
12. Dados o ve´rtice B(−3,−2), o centro C(1,−2) e o comprimento da corda principal l = 32
3
de uma hipe´rbole,
deduzir as equac¸o˜es de suas ass´ıntotas.
13. Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos ve´rtices e obter as equac¸o˜es das ass´ıntotas da hipe´rbole
9x2 − 16y2 − 36x− 32y = 124.
14. Achar a equac¸a˜o de uma hipe´rbole, sabendo que o centro e´ C(0, 0) um dos ve´rtices e´ V (3, 0) e a equac¸a˜o
de uma das ass´ıntotas e´ r : 2x− 3y = 0.
15. Classificar as coˆnicas de equac¸o˜es seguintes, calculando as coordenados do centro (ou ve´rtice) e indicando
suas posic¸o˜es em relac¸a˜o aos eixos coordenados:
(a) x2 + 4y2 − 2x+ 8y + 1 = 0.
(b) 2 + 4y2 − 2x+ 8y + 5 = 0.
(c) x2 + 4y2 − 2x+ 8y + 9 = 0.
(d) 4x2 − y2 − 8x− 6y − 1 = 0.
(e) x2 − y2 − 2x− 4y − 3 = 0.
(f) y2 − 4y + 8x− 4 = 0.
(g) x2 − 8x+ 12y = 0.
5