Tesla Mecânica dos fluidos, Máquinas de fluxo

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Mecânica dos
Fluidos
Tesla Concursos Públicos para Engenharia
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Jardim Afife � Barão Geraldo
Campinas � SP
Telefone: (19) 4141 2199
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Carta da edição
Prezados candidatos,
O material do Tesla Concursos Púbicos para Engenharia é preparado tendo
em vista os editais dos concursos recentes e, além de exercícios resolvidos e questões propostas
com gabaritos, o material possui um resumo de todos os tópicos da teoria necessários.
Nesta revisão do material levou-se em conta o último concurso realizado para
as vagas de nível superior da Petrobras e inclui algumas questões resolvidas desta prova, bem
como a teoria atualizada para contemplá-las.
Desejamos que o material seja o mais proveitoso possível para aumentar suas chances
de sucessos nos concursos de engenharia. Havendo dúvidas ou críticas, sinta-se à vontade para
se dirigir à nossa equipe didática através de email contato@teslaconcursos.com.br.
Boa sorte e bons estudos,
Tesla Concursos Públicos para Engenharia
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Sobre o autor:
Bruno Fagundes Flora
Engenheiro de Controle e Automação for-
mado pela Unicamp (2008), com experiência
na Indústria, e Mestre em Engenharia Mecâ-
nica pela Unicamp (2011) no Departamento
de Energia. Membro da SPE (Society of Pe-
troleum Engineers).
Edição:
Filipo Pires Figueira
Graduando em Letras Licenciatura pela Uni-
versidade Estadual de Campinas (Unicamp).
Coordenação:
Alysson Fernandes Mazoni
Graduado em Engenharia de Controle e Au-
tomação pela Unicamp, mestrado em con-
trole de vibrações em estruturas flexíveis e
doutorando na mesma área. Trabalha com
teoria e prática de sistemas dinâmicos. Mi-
nistras as disciplinas em nível superior de
Controle, Processamento de Sinais, Vibra-
ções, Máquinas Elétricas e Projeto em Com-
putador.
Sumário
1 Fundamentos de Mecânica dos Fluidos 4
1.1 Fundamentos de mecânica dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Classificação dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Métodos de Descrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Definição de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Fluidos compressíveis e incompressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Campo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Linhas de corrente e campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Classificação de escoamento: laminar e turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Fluidos newtonianos e não-newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Lei de Newton da viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Viscosidade dinâmica e cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Aplicações do conceito de pressão 17
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Pressão absoluta, manométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Manômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Manômetro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Pressão estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
2.5.1 O Elemento de Fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2 A Força de Campo (Peso): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.3 A Força de Superfície (Pressão): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Pressão de estagnação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Empuxo e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Regime de Escoamento 31
3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Direção da trajetória das partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Variação no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Variação na trajetória das partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.4 Movimentos de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Equação da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Perda de carga em dutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Fator de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Perda de carga localizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Bombeamento 43
4.1 Sistemas de bombeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Cavitação em dutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Carga positiva de sucção � NPSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Rendimento hidráulico e rendimento mecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Curvas de bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Curvas de sistemas de bombeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Ponto de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2
4.8 Associação de bombas em série e paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Máquinas de fluxo 58
5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Turbinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Semelhança aplicada a máquinas de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Tópicos Especiais 65
6.1 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Análise de semelhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Grupos adimensionais: Reynolds, Euler, de cavitação, Froude, Weber e Mach . . 67
6.3.1 Número de Reynolds: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.2 Número de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.3 Número de Cavitação: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.4 Número de Froude: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3.5 Número de Weber: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Sistema Internacional de Unidades (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5 Sistema MLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.6 Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.7 Sistema Inglês de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Banco de Exemplos 77
8 Banco de Questões Petrobrás 89
9 Banco de Questões Cesgranrio 111
3
1 Fundamentos de Mecânica dos Fluidos
Tópicos
1.1 Fundamentos de mecâ-
nica dos fluidos . . . . . 4
1.2 Definição de fluido . . . . 6
1.3 Fluidos compressíveis e
incompressíveis . . . . . . 7
1.4 Campo de velocidades . . 8
1.5 Linhas de corrente e campo 8
1.6 Classificação de escoa-
mento: laminar e turbu-
lento . . . . . . . . . . . 8
1.7 Fluidos newtonianos e
não-newtonianos . . . . . 9
1.8 Lei de Newton da visco-
sidade . . . . . . . . . . 9
1.9 Viscosidade dinâmica e
cinemática . . . . . . .. 10
Teoria
1.1 Fundamentos de me-
cânica dos fluidos
A mecânica dos fluidos é a parte da física que
estuda o efeito de forças em fluidos. Os flui-
dos em equilíbrio estático são estudados pela
hidrostática e os fluidos sujeitos à forças ex-
ternas diferentes de zero são estudados pela
hidrodinâmica.
Os fluidos respeitam a conservação de massa,
quantidade de movimento ou momentum li-
near e momentum angular, de energia, e de
entropia. A conservação de quantidade de
movimento é expressa pelas equações de Na-
vier Stokes. Estas equações são deduzidas
a partir do balanço de forças/quantidade de
movimento aplicado a um volume infinitesi-
mal de fluido, também denominado de ele-
mento representativo de volume.
1.1.1 Classificação dos fluidos
No escoamento de fluidos não viscosos, a vis-
cosidade µ é supostamente nula. Este fluido
é idealizado e, portanto não existe. No en-
tanto a hipótese µ = 0, pode ser adotada
em alguns casos, o que simplifica a análise e
4
conduz a resultados satisfatórios.
A densidade (também massa específica ou
massa volumétrica) de um corpo é definida
como o quociente entre a massa e o volume
desse corpo. Desta forma pode-se dizer que
a densidade mede o grau de concentração de
massa em determinado volume. O símbolo
para a densidade é ρ (a letra grega rho) e a
unidade SI para a densidade é quilogramas
por metro cúbico (kg/m
3
).
A mecânica dos fluidos é baseada no conceito
de um contínuo, que admite que cada propri-
edade do fluido seja considerada como tendo
um valor definido em cada ponto do espaço.
O conceito de propriedade de um ponto é
apresentado na figura ao lado, onde se pode
notar que pela definição de densidade, que
no volume ∀ a densidade média é dada por
ρ = m/∀. Enquanto que para determinar
a densidade em C, um volume infinitesimal
σ∀ é adotado e a densidade é calculada como
ρ = σm/σ∀, que em geral irá resultar em um
valor diferente do calculado para ∀.
A variação da densidade conforme o tamanho
de σ∀ vária é apresentado no gráfico abaixo.
1.1.2 Métodos de Descrição
Temos então a relação entre o referencial la-
grangeano e o referencial euleriano: No refe-
rencial euleriano o observador (estático) é o
referencial, mas no referencial lagrangeano, o
observador é móvel, e fica acompanhando o
objeto em movimento.
No referencial Euleriano temos:
t = to,
5
r(to) = a~i+ b~j + c~k
x = x(a,b,c,t)
y = y(a,b,c,t)
z = z(a,b,c,t)
E as seguintes velocidades:
u =
dx
dt
, v =
dy
dt
, w =
dz
dt
1.2 Definição de fluido
Um fluido é uma substância que se deforma
continuamente quando submetida a uma ten-
são de cisalhamento, não importando o quão
pequena possa ser essa tensão. Eles repre-
sentam um subconjunto das fases da matéria,
tais como os líquidos, os gases, os plasmas e,
de certa maneira, os sólidos plásticos.
Os fluidos compartilham a propriedade de
não resistir à deformação e apresentam a ca-
pacidade de fluir (também descrita como a
habilidade de tomar a forma de seus recipi-
entes). Estas propriedades são tipicamente
em decorrência da sua incapacidade de su-
portar uma tensão de cisalhamento em equi-
líbrio estático, isto é, se manter em repouso.
Enquanto em um sólido, a resistência é fun-
ção da deformação, em um fluido a resistên-
cia é uma função da razão de deformação.
Uma consequência deste comportamento é o
Princípio de Pascal, que caracteriza o impor-
tante papel da pressão na caracterização do
estado fluido.
Fluidos podem ser classificados como flui-
6
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
dos newtonianos ou fluidos não-newtonianos,
uma classificação associada à caracterização
da tensão, como linear ou não-linear no que
diz respeito à dependência desta tensão com
relação à taxa de deformação, que é dada
pela sua derivada em relação ao espaço.
Da figura acima, pode-se constatar as seguin-
tes propriedades:
• a) O fluido se deforma continuamente.
• b) O sólido se deforma, mas não conti-
nuamente.
• c) O fluido existe nos estados termodi-
nâmicos: líquido, vapor ou gás.
1.3 Fluidos compressíveis
e incompressíveis
Os fluidos podem ser classificados, no que diz
respeito à compressibilidade, em duas gran-
des classes: líquidos e gases. Um líquido é
praticamente incompressível com um volume
definido, tomando a forma do recipiente em
que está contido, o mesmo apresenta uma su-
7
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
perfície livre. Os gases na maioria dos casos é
compressível e expande-se indefinidamente se
não existirem esforços externos; o equilíbrio
é possível apenas quando ele está completa-
mente envolvido num recipiente. A classifi-
cação �compressíveis� ou �incompressível� é
usada para caracterizar o escoamento, e não
o fluido. Uma vez, que tal classificação de-
pende de parâmetro de escoamento.
Uma das características mais impor-tante do
escoamento incompressível é que nestes ca-
sos, pode-se considerar que a densidade do
fluido é constante, portanto não altera com o
tempo e espaço. Tal simplificação não pode
ser adotada para o caso de escoamento com-
pressível.
1.4 Campo de velocidades
Temos pelo referencial Euleriano:
~V = ~V (x,y,z,t)
Ou em termos das suas componentes:
~V = uiˆ+ vjˆ + wkˆ
onde (u, v, w), também dependem de x, y, z
e t.
1.5 Linhas de corrente e
campo
São tangentes à direção do escoamento em
cada ponto do campo. Isto é, num dado
ponto, a tangente a linha de corrente é pa-
ralela ao vetor velocidade naquele ponto. As
linhas ou funções de corrente são geralmente
representadas por ψ (a letra grega Psi).
Desta forma, pela definição de campo, abor-
dada anteriormente, temos que:
u =
σψ
σy
e v =
σψ
σx
1.6 Classificação de esco-
amento: laminar e
turbulento
Escoamento laminar: a estrutura do escoa-
mento é caracterizada pelo movimento suave
8
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
em lâminas ou camadas.
Escoamento turbulento: a estrutura do esco-
amento é caracterizada por movimentos tri-
dimensionais aleatórios de partículas fluidas,
em adição ao escoamento médio.
1.7 Fluidos newtonianos e
não-newtonianos
Um fluido newtoniano é um fluido em que
cada componente da tensão cisalhante é pro-
porcional ao gradiente de velocidade na dire-
ção normal a essa componente. A constante
de proporcionalidade é a viscosidade dinâ-
mica. Nos fluidos newtonianos a tensão é
diretamente proporcional à taxa de deforma-
ção. Como exemplo, pode-se citar a água, o
ar, óleos e outros flui-dos com comportamen-
tos "normais", newtonianos.
Comparação entre fluidos Newtonianos, não-
Newtonianos e Viscoelásticos
Viscoelástico
Material de Kelvin Combinação linear en-
tre efeitos viscosos e
efeitos elásticos
Anelástico Material possui um
ponto de descanso
bem definido
Viscosidade dependendo
do tempo
Reotético A viscosidade apa-
rente aumenta com a
dura-ção da tensão
Tixotrópico A viscosidade apa-
rente diminui com a
dura-ção da tensão
Viscosidade independente
do tempo
Dilatante A viscosidade apa-
rente aumenta com o
au-mento da tensão
Pseudoplástico A viscosidade apa-
rente diminui com o
aumento da tensão
Plástico de Bingham Uma mínima tensão é
necessária para o des-
lizamento
Fluidos Newtonianos generalizado
Viscosidade é cons-
tante
O estresse de deforma-
ção depende das taxas
de deformação normal
e cisalhamento e dapressão aplicada
1.8 Lei de Newton da vis-
cosidade
�A tensão de cisalhamento é diretamente pro-
porcional à variação da velocidade ao longo
da direção normal às placas�
τ = µ
du
dy
Onde a constante µ é o coeficiente de visco-
sidade, viscosidade absoluta ou viscosidade
dinâmica.
9
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
1.9 Viscosidade dinâmica
e cinemática
Essa relação é denominada lei da viscosidade
de Newton (por isso, um fluido que obedece
a essa lei é deno-minado fluido newtoniano).
O fator de proporcionalidade µ é a visco-
sidade absoluta ou viscosidade dinâmica do
fluido.
A viscosidade cinemática v é a relação entre
a viscosidade dinâmica e a massa específica
Unidade SI
Viscosidade
dinâmica
Ns
m2
ou Pa × s. Equiva-
lente a 10 poise)
Viscosidade
cinemática
m2
s
Fluido ComportamentoFenômeno
Líquidos A viscosidade
diminui com a
temperatura
Observa-se um
pequeno espa-
çamento entre
moléculas e
ocorre a redu-
ção da atração
molecular com
o aumento da
temperatura.
Gases A viscosidade
aumenta com a
temperatura
Observa-se
um grande
espaçamento
entre molé-
culas e ocorre
o aumento do
choque entre
moléculas com
o aumento da
temperatura.
10
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Exemplo
Exemplo
Um líquido possui viscosidade dinâmica (µ)
igual a 0,65cP e densidade relativa igual a
0,90. A viscosidade cinemática (v) é:
a) 7,2.10−4m2/s
b) 7,2.10−5m2/s
c) 7,2.10−6m2/s
d) 7,2.10−7m2/s
e) 7,2.10−8m2/s
Solução:
Um poise (1P) é igual a 1g/(cm.s) = 0,1
kg/(m.s) em unidades do SI. A densidade do
fluido é 0,9 da densidade da água (10
3
kg/m
3
)
A viscosidade cinemática é
v =
µ
ρ
=
0,65cP
0,9.103
=
0,65.10−2.10−1
0,9.103
=
7,2.10−4m2/s
Resposta: A
Exemplo
Exemplo
Um fluido em repouso é um meio conside-
rado isótropo, relativamente à distribuição
das pressões a que está sujeito. Havendo
movimento, surgem forças tangenciais devido
à viscosidade do fluido em questão. Sobre
o tema, o gráfico a seguir mostra um dia-
grama cartesiano com várias situações, tendo
na ordenada às tensões de cisalhamento (σ =
F/S) e na abscissa os gradientes de veloci-
dade ∆V/∆n, onde F é força, S é área de
elementos planos no sentido do fluxo, V é a
velocidade e n, a distância entre dois elemen-
tos planos.
11
Associando-se o enunciado com o gráfico
acima, pode-se afirmar que a linha
a) C representa um fluido Newtoniano e o
eixo y, um sólido elástico.
b) B representa um sólido elástico e A, um
plástico.
c) A representa um plástico e B, um fluido
Newtoniano.
d) A representa um fluido Não-Newtoniano
e o eixo x, um fluido ideal.
e) A representa um fluido Newtoniano e C,
um fluido ideal.
Solução:
Os fluidos newtonianos são aqueles que res-
peitam uma relação proporcional entre o gra-
diente de velocidade e a tensão de cisalha-
mento entre as camadas de fluido. A cons-
tante de proporcionalidade é a viscosidade
dinâmica. Os fluidos não newtonianos não
respeito a essa relação e não possuem geral-
mente bem definidos para a viscosidade, o
gráfico mostra comparativamente os fluidos
quanto à viscosidade.
Em que se nota que o fluido A é um fluido
não newtoniano plástico de Bingham, B é um
fluido pseudoplástico e C é um fluido newto-
niano.
O fluido ideal, por definição é aquele que
não possui viscosidade, e portanto não pos-
sui também tensão de cisalha-mento, e desse
modo seu gráfico é o próprio eixo x, neste
caso. Assim a alternativa correta é a alter-
nativa d).
Resposta: D
Exemplo
Exemplo
Acerca dos fluidos reais e dos fluidos perfei-
tos, julgue os seguintes itens.
• I. Ambos devem obedecer à lei de New-
ton da viscosidade.
12
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
• II. Ambos são regulados pela segunda lei
de Newton.
• III. Ambos obedecem à lei de conserva-
ção de massa.
• IV. Em ambos os fluidos, o campo de
tensões é dado pela viscosidade molecu-
lar e pelos gradientes de velocidade.
• V. Ambos os fluidos devem atender à
condição de não deslizamento.
• VI. Tais fluidos são capazes de penetrar
superfícies sólidas.
Estão certos apenas os itens
a) I, IV, e V.
b) I, IV, e VI.
c) II, III e V.
d) II, III e VI.
e) III, V e VI.
Solução:
• I � errado. A lei de Newton da viscosi-
dade só se aplica a fluidos newtonianos
(é a relação linear entre gradiente de ve-
locidade e tensão).
• II � certo. Qualquer fluido é composto
de partículas com massa e responde à
lei de proporcionalidade entre força re-
sultante e aceleração: F = m.a.
• III � certo. A lei de conservação da
massa é universal para fluidos, a massa
não é criada nem destruída.
• IV � errado. O fluido perfeito tem
campo de tensões nulo, pois não pos-
sui viscosidade. O fluido real possui um
campo de tensões que pode inclusive de-
pender do tempo e não se trata de ten-
sões moleculares.
• V � errado. O fluido ideal não atende a
condição de não deslizamento, uma vez
que a viscosidade dele é nula.
• VI � certo. Qualquer fluido pode pene-
trar superfícies sólidas dependendo dos
orifícios do sólido e da viscosidade do
fluido.
Resposta: D
Exemplo
Exemplo
Ao estudar fluidos em movimentos, é interes-
sante conhecer a descrição de um campo de
velocidade. Em se tratando de escoamentos
é correto afirmar que:
• I � Embora a velocidade seja uma quan-
tidade vetorial, exigindo uma magnitude
e uma direção para uma completa des-
crição, o campo de velocidades é um
campo escalar.
13
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
• II � Se as propriedades em cada ponto
de um campo de escoamento não mu-
dam com o tempo, o escoamento é de-
nominado permanente.
• III � Linhas de corrente são aquelas de-
senhadas no campo de escoamento de
forma que, num dado instante, são per-
pendiculares à direção do escoamento
em cada ponto do campo.
Estão corretas as alternativas:
a) II e III apenas.
b) I e II apenas.
c) III apenas.
d) I e III apenas.
e) II apenas.
Solução:
• I � errado. Uma vez que a velocidade
é uma quantidade vetorial, que para a
sua completa descrição exige uma mag-
nitude e direção, o campo de velocidades
é um campo vetorial.
• II � correto. Se as propriedades em cada
ponto de um campo de escoa-mento não
mudam com o tempo, o escoamento é
denominado permanente.
• III � errado. Num dado instante, as li-
nhas de corrente são tangentes à direção
do escoamento em cada ponto do campo.
Resposta: E
Exemplo
Exemplo
Considere que o gráfico abaixo mostre o re-
sultado de um experimento realizado com os
fluidos A, B, C e D, para os quais foi medida,
nas mesmas condições, a variação da velo-
cidade do escoamento com a temperatura.
Nessa situação, qual dos fluidos irá apresen-
tar a menor viscosidade, para temperaturas
acima de 15
◦
C
a) A
b) B
c) C
d) D
e) Todos apresentam a mesma viscosidade
Solução:
Em um escoamento, a viscosidade está re-
14
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
lacionada com a dissipação do fluido, desta
forma quanto menor a viscosidade, maior
será a velocidade do escoamento, umavez
que as perdas por fricção serão menores. Por-
tanto, alternativa a).
Resposta: A
Caiu no concurso!
Petrobras � 2011 � Engenharia Mecâ-
nica - 28
Em relação a algumas característi-cas dos
fluidos analise as afirmativas a seguir.
• I. Os fluidos newtonianos são aqueles em
que a tensão de cisalhamento é direta-
mente proporcional à taxa de deforma-
ção.
• II. A lei de Newton da viscosidade para
um escoamento unidimensional dada
por τyx = µ
du
dy
, onde τ é a tensão de
cisalhamento, u é a velocidade e µ é a
viscosidade cinemática.
• III. Nos líquidos, a viscosidade aumenta
com o aumento da temperatura, en-
quanto, nos gases, a viscosidade diminui
com o aumento da temperatura.
• IV. Um fluido que se comporta como um
sólido até que uma tensão limítrofe seja
excedida, e em seguida, exibe uma rela-
ção linear entre a tensão de cisalhamento
e a taxa de deformação, é denominado
plástico de Bingham ou plástico ideal.
Estão corretas APENAS as afirmativas
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) I, II e III.
e) II, III e IV.
Resposta: B
Caiu no concurso!
PETROBRAS � Engenharia de Pro-
cessamento � 2010 - 26
Um fluido newtoniano de viscosidade abso-
luta/dinâmica µ escoa entre duas placas ple-
nas paralelas que estão separadas por um dis-
tância 2 h, com o seguinte perfil de velocida-
des: v = vmax[1 − (y/h)2], em que v é velo-
cidade, vmax é velocidade máxima e y é dis-
tância medida perpendicularmente às placas.
O módulo da tensão cisalhante no fluido, a
15
marce
Realce
marce
Realce
marce
Nota
Mi é a viscosidade dinâmica.nullv é a viscosidade cinemática.
marce
Nota
Ao contrário.
uma distância h/10 das placas, é
a) 0,1µvmax/h
b) 0,2µvmax/h
c) 1,8µvmax/h
d) 2,0µvmax/h
e) 2,2µvmax/h
Resposta: C
16
2 Aplicações do conceito de pressão
Tópicos
2.1 Introdução . . . . . . . . 17
2.2 Pressão absoluta, mano-
métrica . . . . . . . . . . 18
2.3 Manômetro . . . . . . . 19
2.4 Manômetro diferencial . . 19
2.5 Pressão estática . . . . . 20
2.6 Pressão de estagnação . . 21
2.7 Empuxo e estabilidade . . 22
Teoria
2.1 Introdução
Em um fluido parado, a pressão exercida au-
menta de acordo com o tamanho da coluna
de líquido. Vemos isto no dia-a-dia quando
no fundo de uma piscina sentimos no ouvido
a pressão mais alta ou na decolagem de um
avião sentimos a pressão mais baixa. O prin-
cípio que rege esta observação quotidiana é o
Princípio de Pascal:
∆p = ρg(∆h)
Se o fluido é incompressível (como a maioria
dos líquidos são), a massa específica não se
altera. A variação da pressão (∆p) depende
de duas constantes (massa específica (ρ) e
gravidade (g)) e de uma variável (diferença
de altura (∆h)). Logo quanto mais profundo
for um ponto no fluido, maior será a pressão
exercida neste ponto. Como mostrado na fi-
gura abaixo, Pb > Pa.
Esta equação será suficiente para a resolu-
ção de todos os problemas que envolvam
manômetros ou assuntos associados ao uso
da equação F = P × A, aplicada na reso-
lução de problemas de forças hidrostáticas e
empuxo.
No caso dos fluidos em repouso, as tensões de
cisalhamento são zero, de forma de à única
17
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
força de superfície é a de pressão. Conside-
rando que a única força de campo é decor-
rente da gravidade. Aplicando a 2
a
Lei de
Newton, temos que o gradiente de pressão é
dado pela equação a seguir, também conhe-
cida como princípio de Pascal:
∇p = ρ~g
A variação de pressão apresentada no for-
mato vetorial traz uma informação impor-
tante, que deve ser mais bem elucidada. Uma
vez sabido que o campo gravitacional atua
apenas na vertical e, portanto é diferente de
zero apenas nessa direção, pode-se conside-
rar que o gradiente de pressão será zero nas
direções horizontais.
Logo, a variação de pressão gerada pela gra-
vidade é no sentido e direção da gravidade
e todo o ponto de um mesmo fluido, com
mesma altura, tem pressões iguais. Assim,
podemos memorizar que:
�Em um fluido estático, a pressão é menor
na superfície (pressão atmosférica) e maior
no fundo do recipiente que contém o fluido.
Todas as alturas intermediárias têm pressões
também intermediárias e pontos com mesma
altura tem uma mesma pressão.�
2.2 Pressão absoluta, ma-
nométrica
Como sabemos que e pressão varia de acordo
com a altura da coluna do fluido, podemos
definir pressão absoluta e manométrica. Ima-
gine um aparelho que meça a pressão de uma
tubulação de ar. Este aparelho chama-se
manômetro. Ele pode ser construído de di-
versas formas. Uma das formas é o manôme-
tro ser construído com uma membrana que
compara a pressão a ser medida com a pres-
são atmosférica. Quanto mais a membrana se
flexionar para um lado ou outro, maior será a
diferença de pressão. Logo, a medida é rela-
tiva, pois compara a pressão de trabalho com
a pressão atmosférica. A este tipo de me-
dida dá-se o nome de pressão manométrica.
A pressão absoluta por sua vez é dada pela
soma da pressão atmosférica com a pressão
manométrica, pois esta tinha sido utilizada
como medida de referência no manômetro:
pmanome´trica = pabsoluta − patmosfe´rica
18
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
2.3 Manômetro
Os manômetros são equipamentos usados na
medição de pressão de fluidos. Um dos tipos
mais simples é o de tubos em �U�. Em geral,
são utilizados 2 fluidos diferentes de forma a
aumentar a sensibilidade do equipamento. O
funcionamento deste equi-pamento é baseado
no princípio de Pascal, uma vez que a pressão
é dada pela diferença de altura entre as duas
colunas.
Em geral, os manômetros em tubo em
U apresentam umas das suas extremidades
aberta, desta forma ele utilizará a pressão at-
mosférica como referência e medirá a pressão
manométrica.
Um dos casos particulares de manômetros em
U são os manômetros diferenciais, em que o
manômetro é conectado em 2 pontos próximo
de uma tubulação e o fluido manométrico in-
dicará a diferença de pressão entre esses 2
pontos.
Para resolver problemas de manômetros
• 1) Indique cada ponto relevante com um
índice. Os pontos importantes são os
pontos a serem medidos, as interfaces
entre 2 fluidos ou pontos com a mesma
altura de outros pontos.
• 2) Indique a diferença de pressão entre
cada 2 pontos vizinhos utilizando o Prin-
cípio de Pascal.
• 3) Some todas as equações que foram
encontradas no passo 2.
• 4) O lado esquerdo indicará a diferença
de pressão entre os pontos a serem medi-
dos e o lado direito seu valor numérico.
2.4 Manômetro diferen-
cial
Os manômetros diferenciais são construídos
de aço inox, adequados para aplicações em
meios corrosivos, processos gasosos ou líqui-
dos. Indicados para medição de pressões di-
ferenciais entre duas pressões de forma direta
19
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
ou para medição indireta de nível ou de va-
zão.
2.5 Pressão estática
Enquanto que as tensões normais (pressão)
agem na superfície de um elemento existem
forças que agem em todo elemento ou volume
de fluido;
A gravidade é um exemplo; todo o volume
de fluido está submetido à mesma aceleração
da gravidade, i.e., à força peso;
A gravidade é uma força gerada pelo campo
gravitacional U = −gz, daí o nome de força
de campo = ∇U = −g.
Equilíbrio entre Forças de Superfície e Forças
de Campo:
Para o fluido estar sem movimento relativo
é necessário que a resultante das forças de
superfície, (
~FS) e de campo, (~FB), seja nula.
Forças de superfícieagem na superfície do
elemento. Um exemplo são as tensões. Em
particular a pressão é um agente de força de
superfície.
2.5.1 O Elemento de Fluido:
O balanço de forças para um elemento infini-
tesimal de fluido com dimensões dx, dy e dz,
de densidade ρ e massa dm:
2.5.2 A Força de Campo
(Peso):
A força de campo gravitacional:
20
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
d~FB = ~g.dm = ~gρd∇
onde:
~g é a aceleração da gravidade local;
ρ é a densidade do fluido;
d∇ é o volume elementar do fluido.
Sabendo ainda que o volume pode ser escrito
como:
d∇ = dxdydz
pode-se reescrever a equação da força de
campo gravitacional:
d~FB = ~g.ρ.dx.dy.dz
2.5.3 A Força de Superfície
(Pressão):
Como visto anteriormente, para um fluido
em repouso, as tensões de cisalhamento são
zero. Desta forma, as únicas forças superfi-
ciais existentes em um elemento infinitesimal
de fluido são as forças de pressão, dadas por:
d~FS = −∇p.dx.dy.dz
Fisicamente, o gradiente de pressão é o ne-
gativo da força de superfície por unidade de
volume devida à pressão.
Desta forma, tem-se que a força resultante
será a soma da força de campo devido d~FB e
a força de superfície d~FS.
Aplicando a segunda lei de Newton, temos
que a força resultante deve ser zero, uma vez
que o fluido está em repouso. Portanto, o
equilíbrio de forças, resulta em:
−∇p+ ~g.ρ = 0
sendo o primeiro termo referente a força de
pressão, e o segundo termo a força de campo.
Ambas as forças estão por unidade de volume
em um ponto.
2.6 Pressão de estagna-
ção
Quando um fluido é levado completamente
à situação de velocidade zero em um ponto,
este é conhecido como ponto de estagnação,
e a pressão deste local é denominada pressão
total ou de estagnação. Assim se conside-
rarmos que o escoamento é levado completa-
mente à condição de estagnação no nariz do
tubo de Pitot, através da diferença entre as
pressões total e estática em um manômetro,
e conhecendo-se a massa específica do fluido
no local, podemos determinar a sua veloci-
dade.
21
marce
Realce
marce
Realce
2.7 Empuxo e estabili-
dade
O princípio do empuxo é, ainda, baseado em
Pascal. Visualize um corpo regular imerso na
vertical em um fluido qualquer:
Observe que há pressão em toda a superfí-
cie, e como vimos através do gradiente da
pressão, estes vetores são perpendiculares a
superfície.
Como o corpo é regular, as pressões laterais
se cancelarão, porque tem o mesmo valor e
direção, porém sentidos opostos.
A pressão na superfície de cima e a pressão na
superfície de baixo não se cancelam porque a
pressão varia de acordo com a altura. Logo:
Pcima = ρghcima
Pbaixo = ρghbaixo
Como o hbaixo > hcima (tomando-se como re-
ferencial a superfície livre), a pressão exer-
cida pelo fluido na superfície de baixo é maior
que a pressão exercida na pressão de cima:
Pbaixo > Pcima
Utilizando a definição de pressão
P =
F
A
→ F = PA
Temos que,
Fbaixo = Pbaixo × A
Fcima = Pcima × A
Como há diferença de valor entre as pressões,
chegamos a
Fbaixo > Fcima
A diferença entre essas duas forças é cha-
mada de Empuxo.
22
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Podemos facilmente mostrar que para este
mesmo corpo regular, temos
FE = (pbaixo − pcima)× A
FE = ρg(hbaixo − hcima)× A
FE = ρg(∆h)× A
Como área vezes altura é igual ao volume do
corpo (V = (∆h)× A) temos que
FE = ρgV
sendo ρ a densidade do fluido e V o volume
do corpo que está imerso no fluido, como des-
crito abaixo pelo subscritos.
FE = ρfluidogVimerso
Esta é uma forma mais simples de se traba-
lhar com o Empuxo do que pela definição.
O procedimento para se encontrar o valor do
empuxo é:
• 1) Encontre o volume imerso do corpo.
Em casos em que o corpo está submerso,
o volume imerso é igual ao volume total
do corpo.
• 2) Encontre a massa específica do fluido.
Não confunda utilizando a massa espe-
cífica do corpo.
• 3) Aplique a equação
Se um corpo imerso na vertical permanecer
na vertical diz-se que ele está estável.
O empuxo em geral ajuda na estabilidade
destes corpos. Isto acontece porque o em-
puxo aplicado pelo fluido no corpo é sempre
aplicado no centro de massa do fluido deslo-
cado.
Quando o corpo está totalmente na vertical,
peso e empuxo terão o mesmo valor e atuarão
na mesma linha.
Para pequenos ângulos de rotação, o empuxo
realizará um momento contrário ao momento
causado pelo peso. Depois de um determi-
nado ângulo, o empuxo fará momento no
mesmo sentido do peso, e então o corpo não
estará mais estável e capotará. A equação
relacionada ao giro possível dentro da esta-
bilidade é:
MG =
Io
vsub
−GE
23
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
em que:
vsub � volume submerso do corpo
GE � distância entre o centro de gravidade e
o ponto de aplicação do empuxo
MG � altura metacêntrica
Io � Momento de inércia de área
Exemplo
Manômetros de Bourdon são colo-cados no
sistema dado a seguir.
Se as pressões manométricas forem respecti-
vamente 3,0 atm, 2,8 atm e 2,0 atm, sabendo-
se que a pressão atmosférica é 1atm qual a
pressão absoluta do recipiente A?
a) 2 atm
b) 5 atm
c) 6 atm
d) 6,8 atm
e) 8,8 atm
Solução:
O manômetro PC mede a pressão de 2 atm
acima da atmosférica (1 atm), o manômetro
PB mede a pressão 2,8 atm acima da pressão
PC e o manômetro PA mede 3 atm acima do
anterior. Logo a pressão absoluta
P = 1 + 2 + 2,8 + 3
P = 8,8atm
Resposta: D
Exemplo
24
marce
Nota
E
A figura acima representa um tanque fechado
e pressurizado, exposto ao ar atmosférico,
contendo ar e óleo. (Peso específico igual
a 8 kN/m
3
). O tanque possui uma janela
de inspeção quadrada com 0,5m de lado cuja
borda superior está localizada 2m abaixo da
superfície do óleo. Um manômetro instalado
no topo do tanque indica uma pressão de 64
kPa. Nessa situação, afirma-se que o módulo
da força resultante (kN) que atua na janela
é de:
(A) 19,5
(B) 20
(C) 20,5
(D) 45,5
(E) 82
Solução:
Uma vez que a janela se encontra em uma
região, onde existe apenas óleo, a força re-
sultante atuando sobre a janela pode ser cal-
culada como a pressão atuando no meio da
janela vezes a sua área. F = P.A.
A pressão no meio da janela é a pressão me-
dida pelo manômetro (que está sujeito à pres-
são atmosférica assim como a janela e, por-
tanto essa influência se anula na força sobre
a janela) somada com a coluna de óleo acima
dela (ρgh).
P = 64KPa+ ρgh = 64.103 + 8.103.2,25
P = 82KPa
A força resultante
F = P.A = 82.103.0,25 = 20,5KN
Resposta: C
Exemplo
25
Qual a condição que deve existir para que
a pressão manométrica em A seja igual a
ρBgl2?
a) pa >>> pB
b) pB >>> pA
c) pA = pB
d) l1 = l2
e) l1 >>> l2
Solução:
A pressão manométrica em B é
pB = ρBgl2
Por comparação, para obter o valore desejado
para a pressão em A, é preciso que ela seja
igual à pressão em B.
Resposta: C
Exemplo
Uma corrente de solução salina (µ =
1100kg/m3) tem sua vazão medida por um
medidor de orifício dotado de manômetro in-
vertido, como se verifica no esquema acima.
Qual a queda de pressão corresponde à lei-
tura manométrica indicada em Pa, sabendo-
se que o fluido manométrico é um óleo com
massa específica igual a 900kg/m
3
e que g=
10 m/s
2
?
a) 180
b) 200
c) 400
d) 1800
e) 2200
Solução:
Seguindo o procedimento apresentado ante-
riormente:
• 1) Indique cada ponto relevante com um
índice. Os pontos importantes são os
pontos a serem medidos, as interfaces26
marce
Realce
entre 2 fluidos ou pontos com a mesma
altura de outros pontos.
Os pontos 1 e 2 se referem aos pontos
a serem medidos. Os pontos A e B re-
presentam a interface entre a solução sa-
lina e o óleo, e o ponto A' representa o
ponto de mesma altura de A e, portanto
de mesma pressão.
• 2) Indique a diferença de pressão entre
cada 2 pontos vizinhos utilizando o Prin-
cípio de Pascal
PA − P1 = ρsalinagh
PB − PA = ρoleog0,2
P2 − PB = ρsalinag(h− 0,2)
• 3) Some todas as equações que foram
encontradas no passo 2.
PA−P1+PB−PA+P2−PB = ρsalinagh+
ρoleog0,2 + ρsalinagh− ρsalineg0,2
• 4) O lado esquerdo indicará a diferença
de pressão entre os pontos a serem medi-
dos e o lado direito seu valor numérico.
P2 − P1 = g0,2(ρoleo − ρsalina) =
= 10.0,2(900− 1100) = −400Pa
Resposta: C
Exemplo
O esquema acima descreve um Tubo de Pitot
localizado no centro de um duto de 200mm
de diâmetro, empre-gado para transferência
de gasolina. Considerando o coeficiente do
medidor como unitário e a razão entre as ve-
locidades média e máxima como 0,8 para o
27
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
intervalo de interesse, a vazão de gasolina,
em m
3
/s, é:
(Dados g=10m/s
2
)
a) 0,025
b) 0,035
c) 0,042
d) 0,050
e) 0,065
Solução:
Pela figura pode-se observar que o tubo de pi-
tot não apresenta nenhum orifício ou tomada
que meça a pressão estática, desta forma o
equipamento mede apenas a pressão total ou
de es-tagnação, que será dada pelo manô-
metro acoplado ao tubo de pitot.
Pestag = ρH2Oghmanom
A pressão estática é dada pela altura da to-
mada do tubo de pitot até a parede do ci-
lindro pela qual passa o instrumento. Neste
caso, como o tubo de pitot está medindo no
centro do tubo, a altura que deve ser utili-
zada para o cálculo da pressão estática é
D
2
.
Assim, a pressão estática é dada por:
Pestat = ρgasolinag
D
2
= 667.10.0,1 = 667Pa
Sabendo que:
Pestag = Pestat + Pdinam
e que,
Pdinam =
1
2
ρgasolinaV
2
temos que:
V =
√
2× (Pestag − Pestat)
ρgasolina
V =
√
2× (1000− 667)
667
= 1m/s
A partir da informação de que a razão entre
a velocidade média e a velocidade máxima é
0,8, temos que:
Vmedio
Vmax
= 0,8⇒ Vmedio = 0,8× 1 = 0,8m/s
Uma vez que o tubo de pitot mede ao centro
do tubo, pode-se considerar que a velocidade
medida será a máxima.
Por fim, a vazão média de gasolina será:
Qgasolina = VmediaA⇒ 0,8×pi0,2
2
4
= 0,025m3/s
Resposta: A
28
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Caiu no concurso!
Petrobras � 2010 � Engenheiro de Pe-
tróleo - 56
Uma pedra de massa 0,2 kg está em equilí-
brio, totalmente submersa na água e parcial-
mente sustentada por um dinamômetro, que
marca 1,5 N. Sabendo-se que a densidade da
água é 1000 kg/m
3
e considerando-se que a
gravidade local igual a 10 m/s
2
, o volume da
pedra, em cm
3
, vale
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Resposta: E
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 � Engenheiro de Pro-
cessamento � 13
A figura acima representa quatro recipien-
tes diferentes preenchidos com um mesmo
líquido, a mesma temperatura. Sabendo-se
que os quatro recipientes estão abertos para
a atmosfera, conclui-se que a(s) pressão(ões)
no fundo do(s) recipiente(s)
a) X é maior que no fundo dos de-mais
recipientes.
b) Y é maior que no fundo dos de-mais
recipientes.
c) Z é maior que no fundo dos de-mais
recipientes.
d) Q é maior que no fundo dos de-mais
recipientes.
e) X,Y,Z e W são iguais.
Resposta: E
29
Caiu no concurso!
Petrobras� 2010/2 � Engenheiro de
Equipamentos Mecânico - 30
A figura acima ilustra um manômetro com
tubo em U, muito utilizado para medir di-
ferenças de pressão. Considerando que os
pesos específicos dos três fluidos envolvidos
estão indicados na figura por , a diferença de
pressão corresponde a
a) γ1h1 + γ2h2 + γ2h3
b) γ1h1 − γ2h2 + γ3h3
c) γ2h2 + γ3h3 + γ1h1
d) γ2h2 − γ3h3 − γ1h1
e) (γ1h1 + γ2h2 + γ3h3)/3
Resposta: C
30
3 Regime de Escoamento
Tópicos
3.1 Definição . . . . . . . . . 31
3.2 Equação da Continuidade 34
3.3 Equação de Bernoulli . . 34
3.4 Perda de carga em dutos 35
3.5 Fator de atrito . . . . . . 35
3.6 Perda de carga localizada 36
Teoria
3.1 Definição
Regime de escoamento diz respeito, em me-
cânica dos fluidos, a como os fluidos se com-
portam em relação a diversas variáveis.
3.1.1 Direção da trajetória das
partículas
Um fluxo de fluido pode se comportar quanto
à direção da trajetória das partículas que o
compõe, em relação a dependência do estado
de organização do escoamento em:
• a) Escoamento laminar (regime laminar,
também chamado de lamelar ou trân-
quilo) - no qual as partículas do fluido
tendem a percorrer trajetórias paralelas.
• b) Escoamento turbulento (regime tur-
bulento, no qual as trajetórias das par-
tículas são curvilíneas, não paralelas,
alteram-se em sentido, sendo irregula-
res. Apresentam entrecruzamento, for-
mando uma série de minúsculos rede-
moinhos ou vórtices. O escoamento tur-
bulento é também conhecido como "tur-
bilhonário"ou "hidráulico". Na prática,
o escoamento dos fluidos quase sem ex-
ceção é turbulento. É o regime típico
das obras de engenharia, tais como adu-
toras, tubulações industriais, vertedores
de barragens, fontes ornamentais, etc.
Se as velocidades dos pontos de uma seção
do escoamento em um ponto são desenhadas
como vetores têm-se o que se chama perfil
de velocidades. Para um escoamento ideal,
sem atrito com as paredes do tubo, tem-se
um perfil de velocidades constante. No caso
31
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
do escoamento em regime laminar, o perfil de
escoamento tem formato parabólico.
Para regime turbulento, o formato do per-
fil de velocidades é um pouco mais achatado
devido à distribuição de quantidade de mo-
vimento que ocorre com os vórtices.
No escoamento ideal, a velocidade é apenas a
vazão volumétrica dividida pela área de seção
v =
Q
A
No caso do escoamento laminar, o perfil de
velocidades parabólico é dado por
v
vmax
= 1− ( r
R
)2
em que r é a distância do centro às paredes
do duto e R é o raio do duto. Sabe-se tam-
bém que a velocidade máxima é o dobro da
velocidade média.
vmax = 2
Q
A
O perfil de velocidades para o escoamento
turbulento é descrito por
v
vmax
= 1− ( r
R
)
1
n
onde o parâmetro n depende do número de
Reynolds.
3.1.2 Variação no tempo
Um fluxo de fluido pode se comportar quanto
à sua variação no tempo em:
• a) Escoamento permanente, ou estacio-
nário , no qual a velocidade e a pres-
são num determinado ponto, não variam
com o tempo. A velocidade e a pressão
podem variar de um ponto para outro
do fluxo, mas se mantêm constantes em
cada ponto imóvel do espaço, em qual-
quer momento do tempo, fazendo a pres-
são e a velocidade em um ponto serem
funções das coordenadas do ponto e não
dependentes do tempo. No escoamento
permanente a corrente fluida é dita "es-
tável".
• b) Escoamento não permanente, no qual
a velocidade e a pressão, em determi-
nado ponto, são variantes com o tempo,
variando também de um ponto a outro.
Este tipo de escoamento é também cha-
mado de "variável"ou "transitório", e a
corrente é dita "instável". A pressão e a
32
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realcemarce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
velocidade em um ponto são dependen-
tes tanto das coordenadas como também
do tempo. Um exemplo de um escoa-
mento não permanente é o esvaziamento
de um recipiente qualquer através de um
orifício, à medida que a superfície livre
vai baixando, pela redução do volume de
fluido, a pressão da coluna de fluido di-
minui, assim como a velocidade do fluido
passando pelo orifício.
3.1.3 Variação na trajetória das
partículas
Um fluxo de fluido pode se comportar quanto
à variação na trajetória das partículas como:
• a) Escoamento uniforme, no qual todos
os pontos da mesma trajetória que se-
guem as partículas apresentam a mesma
velocidade. Trata-se de um caso especí-
fico do escoamento permanente, Existe
a variação da velocidade entre as traje-
tórias, mas na mesma trajetória, todos
os pontos têm a mesma velocidade. Em
outras palavras, entre os pontos de uma
mesma trajetória, não há variação da ve-
locidade (seu módulo, direção e sentido
permanecem constantes). Neste escoa-
mento, a seção transversal da corrente
de fluido é invariável. Um exemplo deste
tipo de escoamento é percebido em tubu-
lações longas com diâmetro constante.
• b) Escoamento variado, no qual os di-
versos pontos de uma mesma trajetó-
ria não apresentam constância da ve-
locidade num intervalo de tempo con-
siderado. Este escoamento ocorre, por
exemplo, nas correntes convergentes,
originárias de orifícios (um exemplo se-
riam esguichos de chuveiro, paralelos e
laminares, mas em aceleração em dire-
ção ao solo) e nas correntes de seção
(as seções mais externas de um fluxo
numa tubulação, à medida que o fluxo
total avança, a velocidade diminui com
o tempo).
3.1.4 Movimentos de rotação
Um fluxo de fluido pode também se compor-
tar quanto aos seus movimentos de rotação
como:
• a) Escoamento rotacional, no qual a
partícula está sujeita a uma velocidade
angular, em relação ao seu centro de
massa. Um exemplo deste escoamento
é característico no fenômeno do equilí-
brio relativo em um recipiente cilíndrico
aberto, que contenha um líquido e que
gira em torno de seu eixo vertical. Em
virtude da viscosidade, o escoamento de
fluidos reais sempre se comporta como
um escoamento rotacional.
• b) Escoamento irrotacional, que na prá-
tica é uma aproximação, em que se des-
considera o comportamento rotacional
33
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
dos escoamentos, considerando-se o es-
coamento em tratamento como irrotaci-
onal, através dos princípios clássicos da
fluidodinâmica. Num escoamento teori-
camente irrotacional, as partículas são
consideradas indeformáveis, despreza-se
a influência da viscosidade e faz-se uma
concepção matemática do escoamento.
3.2 Equação da Continui-
dade
A equação da continuidade em sua forma
completa para um escoamento unidimensio-
nal é descrita como abaixo:
σρ
σt
+
σρv
σx
= 0
Considerando um escoamento em regime per-
manente entrando com densidade ρ1 numa
seção de área A1, e saindo com densidade ρ2
e área A2. Se integrarmos ao longo desse vo-
lume de controle, temos que:
ρ1v1A1 = ρ2v2A2
Para o mesmo escoamento em regime perma-
nente, se considerarmos que o escoamento é
incompressível, temos que:
v1A1 = v2A2
ou
Q1 = Q2
3.3 Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma forma adap-
tada à hidráulica de conservação de energia.
Ela relaciona a energia associada ao trabalho
realizado pela pressão do fluido com sua al-
tura (energia potencial gravitacional) e ener-
gia cinética.
A equação de conservação de energia escrita
por unidade de volume por se aplicar a um
fluido deve ser (entre dois pontos, 1 e 2, de
escoamento do fluido):
p1 +
ρv21
2
+ ρgz1 = p2 +
ρv22
2
+ ρgz2
A hidráulica costuma expressar a energia em
termos de altura equivalente de coluna de
fluido. Assim, escreve-se a equação de con-
servação dividida pelo termo ρg. Isso produz
a equação de Bernoulli.
p1
ρg
+
v21
2g
+ z1 =
p2
ρg
+
v22
2g
+ z2
34
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
3.4 Perda de carga em du-
tos
Para contemplar a perda de energia devida
ao atrito e irregularidades de escoamento,
acrescenta-se um termo na equação de Ber-
noulli. Esse termo pode ser escrito em termos
de coluna de água equivalente.
Costuma-se dividir a perda de energia (cha-
mada correntemente de perda de carga) em
um termo devido ao atrito do fluido com
a rugosidade das paredes dos dutos e um
termo devido às variações e descontinuidade
no campo de velocidades do fluido.
O termo de perda devido ao atrito é mode-
lado como proporcional ao quadrado da ve-
locidade (associado à energia cinética, que é
o mesmo que ser proporcional ao quadrado
da vazão), também proporcional ao compri-
mento do escoamento e inversamente propor-
cional ao diâmetro da seção do duto, pois
há um comprimento menor de contato entre
fluido e duto para dutos mais largos. Assim,
a perda de carga em termos de altura devido
ao atrito escreve-se
hL = f
L
D
v2
2g
em que f é o fator de atrito obtido por re-
lações empíricas, que dependem do escoa-
mento. O tipo de escoamento será determi-
nado através do número de Reynolds, visto
adiante, que em conjunto com a rugosidade
do duto define se o escoamento é laminar
ou turbulento. Essa relação é a equação de
Darcy-Weisbach e define o fator de atrito.
A perda de carga devido a variações de esco-
amento, chamada também de perda de carga
localizada é modelada também proporcional
ao quadrado da velocidade e a constante de
proporcionalidade é ajustada experimental-
mente para cada tipo de perda ou elemento
de restrição do escoamento.
hL = K
v2
2g
3.5 Fator de atrito
O fator de atrito de Darcy da relação para
a perda de carga é usualmente obtido pelo
diagrama de Moody: um gráfico logarítmico
relacionando o fator de atrito e o número de
Reynolds do escoamento para diferentes ru-
gosidades.
O número de Reynolds é calculado como
Re =
ρvD
µ
com ρ a densidade do fluido, v a velocidade
de escoamento, D é o diâmetro equivalente
do duto.
O número de Reynolds permite definir o tipo
de escoamento. Para escoamento laminar
tem-se:
35
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Re < 2300
para regime turbulento:
Re > 4000
e há uma região de transição para os valores
de Re entre 2300 e 4000.
Observa-se no gráfico em escala logarítmica
que o fator de atrito para pequenos número
de Reynolds é inversamente proporcional ao
número de Reynolds (reta em escala logarít-
mica). A relação para esse trecho é
f =
64
Re
que corresponde ao regime de escoamento la-
minar.
Após esse trecho há uma região de transição
em que o fator de atrito é pouco definido e se
segue uma região de regime turbulento de es-
coamento. Nessa região há várias curvas em
vez de uma, pois o fator de atrito depende
da rugosidade das paredes internas do duto.
Há uma curva para cada valor de rugosidade
relativa (razão entre o pico da rugosidade e
o diâmetro do duto). Algumas curvas são
apresentadas em um gráfico de Moody, de-
pendendo da riqueza de detalhesfornecida.
Nota-se também no gráfico que o fator de
atrito para valores de rugosidade muito ele-
vados torna-se constante e independe do tipo
de escoamento ou da sua velocidade (inde-
pende do número de Reynolds).
Existem diversas expressões analíticas ajus-
tadas experimentalmente para trechos e in-
clusive para todo o gráfico.
3.6 Perda de carga locali-
zada
As perdas de carga localizadas ou acidentais
são expressas como uma fração ou um múl-
tiplo da chamada "altura de velocidade"da
forma:
hv = K(
V 2
2g
)
Onde:
hv = perda de carga localizada;
V = velocidade média do fluido, antes ou
depois do ponto singular, conforme o caso;
K = Coeficiente determinado de forma
empírica para cada tipo de ponto singular
Tipo de singularidade K
Válvula de comporta totalmente aberta 0,2
Válvula de comporta metade aberta 5,6
Curva de 90
◦
1,0
Curva de 45
◦
0,4
Válvula de pé 2,5
Emboque (entrada em um tubo) 0,5
Saída de um tubo 1,0
36
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Figura 3.1: Gráfico em escala logarítimica.
Exemplo
Exemplo
Qual dos intervalos indicados abrange a tí-
pica transição entre escoamentos laminar e
turbulento?
a) 500<Re<1000
b) 2500<Re<5000
c) 10000<Re<20000
d) 50000<Re<100000
e) 100000<Re<150000
Solução:
A transição entre os regimes laminar e tur-
bulento acontece entre os valores de número
de Reynolds de 2500 a 4000. Isso pode ser
observado inclusive no ábaco de Moody apre-
sentado. Isso está incluído em 2500 a 5000.
Resposta: B
Exemplo
Camada limite é a região
a) Adjacente a uma superfície sólida na qual
as forças de inércia são importantes.
b) Adjacente a uma superfície sólida na
qual as forças de inércia sãos superiores às
37
viscosas.
c) Adjacente a uma superfície sólida na qual
as forças viscosas são importantes.
d) Adjacente a uma superfície sólida na qual
as forças de viscosa são superiores às de
inércia e gravitacional.
e) Limítrofe entre o escoamento laminar e
turbulento.
Solução:
A camada limite é a região do fluido que so-
fre influência das forças viscosas devido ao
contato com uma superfície sólida rugosa.
Resposta: C
Exemplo
A equação constitutiva que relaciona a queda
de pressão de um fluido incompressível entre
a entrada e a saída de um bocal em um es-
coamento permanente pode ser obtida pela
equação de Bernoulli,
P1
p
+
V 21
2
+ gz1 =
P2
p
+
V 22
2
+ gz2 , e é representada por ∆p = KQ
2
,
onde Q é a vazão do fluido através do bo-
cal. Considerando as áreas de entrada (A1)
e saída (A2), a constante K é expressa por:
a)
p
A21
(
A21
A22
+ 1)
b)
p
2A21
(
A21
A22
− 1)
c)
p
2A21
(A1
A2
− 1)
d)
p
A21
(A1
A2
+ 1)
e)
p
2A21
(A1−A2
A22
)
Solução:
Queda de pressão: ∆p = p1 − p2
∆p = pg(z2 − z1) + p
2
(V 22 − V 21 )
Ao usar a equação da continuidade:
Q = V1A1 = V2A2
∆p = pg(z2 − z1) + p
2
(
1
A22
− 1
A21
)Q2
Usando apenas a relação entre a vazão e a
queda de pressão (o caso que seria para altu-
ras de entrada e saída iguais).
∆p =
p
2
(
1
A22
− 1
A21
)Q2
∆p =
p
2A21
(
A21
A22
− 1)Q2
K =
∆p
Q2
=
p
2A21
(
A21
A22
− 1)
Resposta: B
Exemplo
38
marce
Realce
Um bocal horizontal é alimentado com ar a
uma determinada velocidade . O escoamento
ocorre em regime permanente, e o ar é des-
carregado para a atmosfera a uma velocidade
= 60 m/s. Na entrada do vocal, a área é 0,2
m
2
e na saída, 0,04 m
2
. A massa específica
do ar corresponde a 1,20 kg/m
3
, conforme
esquematizado na figura abaixo.
A pressão manométrica necessária na en-
trada do bocal, em kPa, vale, aproximada-
mente,
a) 0,8
b) 2,1
c) 10,6
d) 54,0
e) 82,2
Solução:
Sabendo que a velocidade do som no ar é
da ordem de 340m/s, o valor do número de
Mach é da ordem de Ma=60/340 = 0,176,
que é menor que 0,3. Dessa forma, podemos
considerar que o escoamento é incompressí-
vel.
Sendo assim, pela equação da continuidade,
temos que:
Q = V1A1 = V2A2
V1.0,2 = 60.0,04
V1 =
60.0,04
0,2
= 12m/s
Agora, utilizamos a equação de Bernoulli
para encontrar a pressão manométrica no
ponto 1,
P1
p
+
V 21
2
+ gz1 =
P2
p
+
V 22
2
+ gz2
Pela figura podemos observar que os pontos
1 e 2 estão na mesma altura, dessa forma
podemos considerar que z1 = z2.
Substituindo os valores Eq. De Bernoulli,
(p1 − pmin) = ρ(V
2
2 − V 21 )
2
(p1 − pmin) = 1,2(60
2 − 122)
2
(p1 − pmin) = 2073Pa ≈ 2,1 kPa
Uma vez que queremos encontrar a pressão
manométrica no ponto 1, basta subtrairmos
a pressão atmosférica do resultado obtido
acima, o que resultará em 2,1 kPa.
Resposta: B
39
Exemplo
A figura a seguir ilustra o escoamento de um
gás em regime permanente através de um tre-
cho de uma tubulação.
Considerando os dados apresentados referen-
tes à seção 1 e a à seção 2, têm-se para a
velocidade , em m/s,
a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
Solução:
Pelos dados fornecidos no enunciado pode-
mos notar que se trata de um escoamento
compressível, uma vez que a densidade na
entrada é diferente da densidade na saída,
m1 = m2
ρ1V1A1 = ρ2V2A2
V2 =
ρ1V1A1
ρ2A2
V2 =
5.30.10−4.40
16.15.10−4
V2 = 25m/s
Resposta: B
Exemplo
A respeito de perda de carga em escoamen-
tos, é INCORRETO afirmar que:
a) No escoamento laminar, o fator de atrito é
uma função de Número de Reynolds apenas.
b) Para escoamento laminar, o fator de
atrito é igual a 46/Re.
c) No escoamento turbulento, o fator de
atrito é dependente do Número de Reynolds
e da rugosidade relativa.
d) Válvulas e acessórios são exemplos de
perdas de carga localizadas.
e) Para escoamento turbulento em tubos
não circulares, são utilizadas as mesmas
correlações adotadas para os circulares,
introduzindo-se o conceito de diâmetro
40
hidráulico.
Solução:
b) errado. No regime laminar o fator de
atrito é calculado como f = 64/Re.
No regime turbulento, por sua vez, há diver-
sas curvas para o fator de atrito, uma para
cada rugosidade e o fator de atrito passa a
ser constante para valores elevados de rugo-
sidade.
O ábaco de Moody é traçado em função do
número de Reynolds , que depende do diâme-
tro do duto. Para dutos de formas diferentes,
usa-se um comprimento padronizado equiva-
lente chamado diâmetro hidráulico.
Resposta: B
Caiu no concurso!
Petrobras � 2010 � Engenheiro de Pro-
cessamento - 14
Um oleoduto com 6 km de comprimento e di-
âmetro uniforme opera com um gradiente de
pressão de 40 Pa/m transportando um de-
rivado de petróleo de massa específica 800
kg/m
3
. Se a cota da seção de saída do oleo-
duto situa-se 14 m acima da cota de entrada,
e considerando que a aceleração local é de
10 m/s
2
a perda de carga total associada ao
escoamento, em m, é
a) -44
b) -16
c) 16
d) 28
e) 44
Resposta: C
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 � Engenheiro de Pro-
cessamento - 15
Um fluido newtoniano incompressível escoa
numa certa temperatura em uma tubulação
vertical, de baixo para cima, com dada va-
zão. Nesse caso, a queda de pressão (maior
pressão � menor pressão) e a perda de carga
associadas são, respectivamente, x e y. Se o
mesmo fluido escoar com as mesmas vazão e
temperatura, na mesma tubulação, de cima
para baixo, a queda de pressão e a perda de
carga associadas são, respectivamente, z e w,
donde se conclui que
a) x < z
b) x = z
41
marce
Realce
marce
Realce
marceRealce
marce
Realce
c) x > z
d) y > w
e) y <w
Resposta: C
42
4 Bombeamento
Tópicos
4.1 Sistemas de bombeamento 43
4.2 Cavitação em dutos . . . 44
4.3 Carga positiva de sucção
� NPSH . . . . . . . . . 45
4.4 Rendimento hidráulico e
rendimento mecânico . . 46
4.5 Curvas de bomba . . . . 47
4.6 Curvas de sistemas de
bombeamento . . . . . . 47
4.7 Ponto de operação . . . . 49
4.8 Associação de bombas
em série e paralelo . . . . 50
Teoria
4.1 Sistemas de bombea-
mento
Um sistema de bombeamento é uma associ-
ação de dutos, bombas, válvulas e restrições
que conduzem fluidos de um ponto a outro,
usualmente entre tanques de armazenamento
ou entre pontos de utilização do fluido em
processos.
Um sistema de bombeamento é dimensio-
nado ou analisado usando a conservação de
energia na forma da equação de Bernoulli:
p1
ρg
+
v21
2g
+ z1 =
p2
ρg
+
v22
2g
+ z2 + hL
A equação descreve a conservação de energia
entre dois pontos de uma tubulação (chama-
dos 1 e 2). A energia associada à pressão
somada à energia cinética do escoamento e
à energia potencial deve se conservar entre
quaisquer dois pontos de um escoamento a
menos de perdas (hL). Dividida pelo produto
densidade vezes aceleração da gravidade, a
equação passa de energia para ser escrita em
termos de altura.
A equação é usada em condição de regime
permanente, em que a quantidade de fluido
entrando em um sistema de tubulação por
unidade de tempo se iguala à saída. Isso
permite escrever a equação de continuidade
(vazão de entrada igual à vazão de saída).
Neste caso, considerou-se que o escoamento
43
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
é incompressível.
Q1 = A1v1 = A2v2 = Q2
em que se define a vazão como o número de
litros por segundo (sistema internacional).
Dessa forma, se a tubulação do sistema tem
área de seção constante, a velocidade em
todo o escoamento é também constante e a
equação simplifica para
p1
ρg
+ z1 =
p2
ρg
+ z2 + hL
ou
p2 − p1 = ρg(∆z + hL)
em que se escreve a diferença de alturas ou
pressão.
Um exemplo simples de instalação de bom-
beamento é mostrado na figura a seguir:
Na figura h é a altura total do sistema de
bombeamento, hs é a altura de sucção e hr é
a altura de recalque.
A bomba é usada como referência para defi-
nição das alturas, já que h = hs + hr.
As alturas para o equacionamento de siste-
mas de bombeamento são sempre medidas
entre as alturas livres (para a pressão am-
biente) do fluido. Caso as altura fossem con-
tabilizadas a partir das entradas e saídas dos
dutos, seria necessário levar em conta a co-
luna d'água até esses pontos e o resultado
seria o mesmo. Ou seja, as alturas na figura
para o sistema de bombeamento todo são en-
tre os pontos 1 e 4. O ponto 3 é a saída da
bomba, onde se terá o ponto de maior pressão
no sistema e o ponto 2 é o ponto de menor
pressão do sistema, a entrada de sucção da
bomba. Nesse ponto deve-se dimensionar o
sistema para evitar a cavitação, como se ex-
plica a seguir.
4.2 Cavitação em dutos
A cavitação é o fenômeno da vaporização do
fluido dentro de um duto devido à queda de
pressão no interior do duto. A queda de pres-
são baixa a temperatura de vapor e os fluidos
vaporizam. Isso pode acontecer na entrada
de bombas em que há uma variação grande
de pressão da entrada para a saída do equi-
pamento.
A cavitação é prejudicial porque a formação
de bolhas de vapor no inte-rior do duto faz o
fluido fechar as bolhas sob pressão e provocar
ondas de choque por pressão que danificam o
sistema de bombeamento, provoca vibração
e erosão das paredes do fluido.
O cuidado com a cavitação resume-se a ga-
rantir que a pressão do fluido da entrada de
bombas esteja acima da pressão de vapor do
fluido. Isso requer avaliar a pressão nesses
pontos usando uma forma da equação de Ber-
noulli.
44
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Figura 4.1: .
4.3 Carga positiva de suc-
ção � NPSH
A sigla em inglês para carga positiva de
sucção NPSH significa Net Positive Suction
Head. Ela mede a energia disponível no sis-
tema de bombeamento em termos de altura,
ou seja, a folga energética entre a energia en-
tregue pelas bombas e a energia consumida
pelo bombeamento acima da condição de va-
por que produziria a cavitação.
Assim,
NPSH =
p0 − pv
ρg
+ ∆z − hL
p0 � é a pressão atmosférica local.
pv � é a pressão de vapor do fluido em
escoamento na condição de trabalho.
∆v � altura de sucção, é a altura de que o
fluido deve ser bombeado, é uma caracterís-
tica da instalação hidráulica.
hL � perdas de cargas da instalação. É
a energia perdida devido ao atrito e des-
continuidades de escoamento ao longo da
tubulação medida em metros de coluna
d'água.
O NPSH é avaliado tanto para a instala-
ção de bombeamento quanto para a bomba
(ou bombas) usadas no sistema de bombea-
mento.
O NPSH avaliado para a instalação é a ener-
45
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Nota
delta z
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Nota
NPSHd
gia disponível pela instalação no ponto de
entrada de sucção da bomba. É chamado
NPSHd, NPSH disponível.
O NPSH avaliado para a bomba é um pa-
râmetro de fábrica obtido através de ensaios
com a bomba e deve ser fornecido através
de curvas características de NPSH para cada
modelo. Esse valor é o NPSHr, NPSH reque-
rido. s O objetivo de evitar cavitação leva a
concluir que o NPSH disponível pela instala-
ção deve superar aquele que a bomba requer
para funcionar sem cavitação, portanto
NPSHd > NPSHr
Alguns fabricantes podem adotar número po-
sitivo na inequação para garantir uma mar-
gem de segurança de cavitação.
4.4 Rendimento hidráu-
lico e rendimento
mecânico
Define-se como altura útil da bomba a ener-
gia fornecida por ela para o sistema de bom-
beamento em termos de altura. Pode ser cal-
culada usando a equação de Bernoulli entre
a entrada e saída da bomba (hu):
p2
ρg
+
v22
2g
+ z2 + hu =
p3
ρg
+
v23
2g
+ z3
usando os pontos 2 e 3 da figura do sistema
de bombeamento acima.
Define-se também a altura hidráulica como
a soma da altura útil com as perdas internas
da bomba.
hh = hu + hpb
E ainda, a altura motriz, é a soma da altura
hidráulica com outras perdas devido ao esco-
amento ao longo do sistema.
hm = hh + hpm
Com essas definições pode-se escrever o ren-
dimento hidráulico de um sistema de bombe-
amento.
Rendimento hidráulico:
ηh =
hu
hh
Rendimento mecânico:
ηm =
hh
hm
em que o rendimento total do sistema é
η = ηhηm
46
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Nota
A altura de sucção deve ser grande o suficiente para que supere as perdas de carga e a diferença entre a pressão atmosférica e a pressão de vapor do fluido.
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
4.5 Curvas de bomba
A operação de uma bomba configura uma
relação entre energia que consegue entregar
ao fluido bombeado e a vazão (ou a veloci-
dade de escoamento). Em termos de altura, a
energia entregue pela bomba é teoricamente
linear com a vazão, pois para uma poten-
cia constante, escoar a uma velocidade maior
corresponde a transportar o fluido a umaal-
tura menor. Ainda, para vazões maiores, a
perda de carga tende a aumentar e a bomba
entrega uma energia total menor para o sis-
tema.
As perdas são geralmente divididas entre per-
das devidas ao atrito e recirculação no inte-
rior da bomba e as perdas devido a choques
e turbulência, conforme mostrado na figura
a seguir.
Teoricamente, a altura entregue pela bomba
é uma função da sua velocidade de rotação e
da vazão como
H = Aω2 −BωQ
sendo ω a rotação, Q a vazão e A e B são
constantes características da bomba.
Na prática, devido às perdas, a curva de
uma bomba centrífuga parece-se com uma
parábola como uma altura inicial (para va-
zão nula) chamada shutoff. E sua operação
é melhor descrita por uma equação do tipo
H = H0 −KQ2
com H0 a altura inicial, Q a vazão e K uma
constante característica.
4.6 Curvas de sistemas de
bombeamento
As perdas de emergia devido aos atritos e
restrições do escoamento são usualmente mo-
deladas como funções da energia cinética do
fluido. As perdas devido ao atrito na tubu-
lação são calculadas como
f
L
D
v2
2g
com L como o comprimento da tubulação,
D é o diâmetro e f é o fator de atrito, que
depende da rugosidade e do número de Rey-
nolds e é obtido do gráfico de Moody.
No caso de restrições de escoamento como
válvulas, expansões, afunilamentos e cotove-
los, a perda é avaliada como
47
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Figura 4.2: .
K
v2
2g
em que a constante K depende do tipo de
restrição e é um valor avaliado experimental-
mente e tabelado para cada tipo.
A perda total o sistema é uma soma das per-
das devido a todas as restrições e ao atrito
em todos os dutos.
Ao escrever a equação de Bernoulli, incluindo
as perdas de carga tem-se uma relação entre
as alturas e a velocidade de escoamento do
fluido no sistema de bombeamento. Essa re-
lação é a curva característica do sistema de
bombeamento.
A curva tem um formato característico de
uma parábola pois as perda de carga varia
com o quadrado da velocidade e tem a ori-
gem na diferença de alturas entre o ponto
final e inicial. Representa a energia neces-
sária para bombear o fluido naquela altura
(em termos de altura) em função da veloci-
dade do escoamento. Uma vez que a área
de seção dos dutos é usualmente constante,
pode-se escrever a curva em função da vazão.
Na figura acima, pode-se notar o efeito da
variação da perda de carga localizada que se
deveria à variação na abertura de uma vál-
vula ou troca de um elemento de restrição.
48
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Figura 4.3: .
4.7 Ponto de operação
A colocação de uma bomba e um sis-tema de
bombeamento significa que essa bomba deve
atender à energia necessária para bombear o
fluido nas condições de altura e perdas do sis-
tema de dutos. Em vista das curvas caracte-
rísticas vista, isso corresponde a um ponto de
vazão e altura que satisfaça tanto à curva da
bomba quando à curva do sistema, uma vez
que em regime permanente, a bomba tam-
bém não deve entregar mais energia do que
o necessário, pois isso aceleraria o fluido.
Portando, o cruzamento das curvas da
bomba e do sistema corresponde ao ponto de
operação do sistema de bombeamento. En-
contrar esse ponto permite dimensionar bom-
bas para um sistema e também ajustar sua
rotação para uma vazão desejada.
49
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
É comum desenhar nesse gráfico a eficiência
do sistema em função da vazão, como mos-
trado a seguir.
4.8 Associação de bom-
bas em série e paralelo
É possível que uma única bomba seja insufi-
ciente para atender a um sistema de bombe-
amento. Nesse caso, associam-se várias bom-
bas. As ideias e método de dimensionamento
para associar várias bombas são as mesmas
da associação de duas.
Pode-se associar duas bombas em série ou em
paralelo.
A associação em série, ou seja, colocação de
duas bombas em sequência no duto de modo
que o mesmo escoamento passa pelas duas,
somas as energias das duas bombas para o
escoamento. Assim, na curva característica
para o sistema, as duas alturas entregues pe-
las duas bombas se somam. Desse modo, o
ponto de operação do sistema para um valor
mais elevado de vazão e também de altura.
Ou seja,
Q = Q1 = Q2
H = H1 +H2
para relacionar as vazões e as alturas.
A associação em paralelo faz que o escoa-
mento seja dividido em dois ramos que pas-
sam por duas bombas separadas. Para que
isso funcione e não haja fluxo de um ramo
do escoamento paralelo para o outro, as altu-
ras entregues pelas bombas devem ser iguais.
Isso pode ser resolvido usando o mesmo tipo
de bomba nos dois ramos. A curva caracte-
rística resultante vem da soma das duas cur-
vas no eixo da vazão, ou seja, as vazões se
somam para a mesma altura. Como resul-
tado, o ponto de operação também aumenta
em altura e vazão.
Ao relacionar as alturas e as vazões para a
associação em paralelo:
Q = Q1 +Q2
H = H1 = H2
Exemplo
Petrobras � 2008 � Engenheiro Mecâ-
nico - 43
50
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
Figura 4.4: .
A figura acima representa um sistema de
bombeamento que transfere um líquido do re-
servatório A para o reservatório B. A perda
de carga na linha e acessórios de descarga,
incluindo a perda na saída do líquido da tu-
bulação, é 3 metros. Por outro lado, a perda
de carga na linha e acessórios de sucção, in-
cluindo a perda na entrada da tubulação, é
1 metro. Sabendo-se que a linha de recalque
encontra-se cheia de líquido e a bomba está
escorvada, então a altura manométrica total
do sistema, em metros, é:
51
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
marce
Realce
a) 2
b) 6
c) 10
d) 13
e) 14
Solução:
Primeiramente, vamos definir o processo de
escorvar a bomba, que consiste, na elimina-
ção do ar existente no interior da bomba e da
tubulação de sucção. Isto é obtido através do
preenchimento com o fluido a ser bombeado
todo o interior da bomba e da tubulação de
sucção, antes do acionamento da mesma.
A altura manométrica é a energia total en-
tregue pela bomba em termos de altura. Isso
é a altura total de sucção a recalque mais as
alturas da perda de carga. Isso corresponde:
6 + 4 + 1 + 3 = 14m
Observe que uma vez que a linha de recal-
que está completamente cheia de líquido, não
é necessário considerar no dimensionamento
da bomba os 3 metros acima do reservatório.
Resposta: E
Exemplo
Petrobras Biocombustível � 2010 � En-
genheiro de Processamento Júnior - 32
Em determinada indústria, a bomba centrí-
fuga X será substituída pela Y que, sabe-se
de antemão, vai operar com uma vazão 30%
maior que a de X. Designando a carga posi-
tiva de sucção disponível de X e Y por, res-
pectivamente, CPSX e CPSY, considerando
que o regime de escoamento com a bomba X
era plenamente turbulento e mantidas inalte-
radas as demais variáveis envolvidas, a razão
CPSY/CPSX é
Dado: a carga positiva de sucção (CPS) cor-
responde ao termo da língua inglesa Net Po-
sitive Suction head (NPSH).
a) (1,3)
1
2
b) 1,3
c) (1,3)2
d) (1,3)3
e) < 1
Solução:
Sabemos de antemão que o NPSH é dado por:
NPSH =
p0 − pv
ρg
+ ∆z − hL
Agrupando os termos do cálculo do NPSH
em:
A =
p0 − pv
ρg
+ ∆z