Relações das Funções

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RELAÇÕES
Com frequencia observamos pares ordenados; como nos exemplos:
	Bimestre
	1°bimestre
	2° bimestre
	3° bimestre
	4° bimestre
	Notas de Matemática
	6,0
	5,5
	7,0
	6,0
Na tabela acima, existe uma relação entre bimestre e a nota, determinada pelos pares do conjunto:
{ (1° bi; 6,0), (2° bi; 5,5), (3° bi; 7,0), (4° bi; 6,0)} 
	mês
	janeiro
	fevereiro
	março
	Carros vendidos
	6,0
	5,0
	7,0
Na tabela acima, existe uma relação entre mês e o n° de carros vendidos
Então sempre que observamos um conjunto de pares ordenados sabemos que existe uma relação entre os elementos desses pares
Dados A = {0, 1, 2 } e B = { 1, 3, 5 }, formar o conjunto dos pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
{ (0,1), (0,3), (0,5), (1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5) }
O conjunto dos pares ordenados assim formado chama-se produto cartesiano de A por B e indica-se por A X B (lê-se A cartesiano B}
Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B
A X B = { (x, y) x  A e y  B }
Definição de Relação
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, o produto cartesiano de A por B será: 
A X B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (2,2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 2), 
		(3, 4), (3, 6), (3, 8) , (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8)} 
Vamos agora considerar:
1° exemplo:
 O conjunto dos pares (x, y) de A X B tais que y é o dobro de x. 
Vamos obter o seguinte conjunto: 
R1 = {(x, y)  A x B y = 2x } = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}
O conjunto R1 assim formado nos mostra uma relação entre os elementos de A e de B e é chamado relação de A em B
2° exemplo:
 O conjunto dos pares (x, y) de A x B tais que y é igual a x. 
Vamos obter o seguinte conjunto: 
R2 = {(x, y)  A x B y = x } = {(2, 2), (4, 4)}
O conjunto R2 assim formado nos mostra uma relação entre os elementos de A e de B e é chamado relação de A em B
Pelos exemplos dados podemos dizer que:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A X B, isto é, se R é uma relação de A em B então 
R  A X B. 
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO 
Sejam A = {0, 1, 2, 3} E B = {0, 2, 3, 4, 5}
Vamos considerar a relação de A em B, que incidamos por y = 2x 
R = { (x, y)  A X B y = 2x} = { ( 0, 0), (1, 2), (2, 4) }
Chama-se domínio de R, que indicamos por D(R) o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par ordenado que pertencem à relação.
	
D(R) = { 0, 1, 2 }
Chama-se Imagem de R, que indicamos por Im(R) o conjunto formado pelos segundos elementos de cada par ordenado que pertencem à relação.
Im(R) = { 0, 2, 4 }
Pelo Diagrama de Venn (círculos) temos:
				 D(R)			 Im(R)
		 0.				.0			 
			1.				.2
 2.		 4. 2.				 4.
								3.
			3.				5. 
				A				 B
OBS: O D(R)  A e a Im(R)  B
FUNÇÕES
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
	
Dados dois conjuntos não vazios A e B e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função ou aplicação de A em B, se e somente se, a todo elemento x de A está associado um único elemento y de B.
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4} ; vamos considerar as seguintes relações de A em B
R1={(x, y)  A x B y = x + 1}
	 0.						 .0 Obs: A todo elemento x	 
 1.						 .1		de A	se associa um e 
	 2.						 .2	 um só elemento y de B
							 .3							 A			 .4 B
R2 ={(x, y)  A x B y = 2x}
	 0.						 .0 Obs: A todo elemento x	 
 1.						 .1		de A	se associa um e 
	 2.						 .2	 um só elemento y de B
							 .3							 A			 .4
		 					 B
R3 ={(x, y)  A x B y = x - 1}
	 0.						 .0 Obs: Ao elemento 0	 
 1.						 .1		de A	não se associa 
	 2.						 .2	 elemento de B
							 .3							 A			 .4
		 					 B
R4 ={ (x, y)  A x B y  x }
															 0.						 .0
	 	
	 1.						 .1																				 	 2.						 .2
							 .3													 .4
 A						 B
Obs:
 
Ao elemento 0 de A se associam quatro elementos 
 {1, 2, 3, 4} de B
Ao elemento 1 de A se associam tres elementos 
 {2, 3, 4} de B
Ao elemento 2 de A se associam dois elementos 
 {3, 4} de B
Observa-se assim que:
As relações R1 e R2 apresentam a particularidade de; a todo elemento x de A se associa um e um só elemento de B 
A relação R3 apresenta o fato de: a um elemento x de A não se associar elemento de B
A relação R4 apresenta o fato de: ao mesmo elemento de A não se associar mais de um elemento de B
 As relações R1 e R2 são chamadas funções ou aplicações 
 de A em B
Notação:	f: A B		(Lê-se: função f de A em B)
Para que uma função fique bem definida é necessário conhecermos os conjuntos A e B e uma lei de associação, que associe a todo elemento x de A um único elemento y de B
Domínio; Imagem; Contradomínio
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4,5} ; vamos considerar a função f: A B definida por y = x + 1
							 .0				
 		 0.				 .1				
		 1.					 .2
		 2. 				.3				 
			A				 .4 
							 .5
B
Observando o diagrama da função vamos definir:
O conjunto A (ou conjunto de partida das flechas) é chamado domínio da função, que indicamos D(f) = A que no exemplo acima é D(f) = {0, 1, 2} = A
O conjunto {0, 1, 2} (ou conjunto formado pelos elementos onde chegam as flechas), que é um subconjunto de B, é chamado conjunto-imagem da função que indicamos por: Im(f) = {1, 2, 3}, 
O conjunto B tal que Im(f)  B, é chamado contradomínio da função, que indicamos: CD(f) = B
Exercícios pg 66 e 67