Lista de Séries e Sequências Calculo III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Lista de Sequências e Séries Complexas
1. Verifique se as sequências abaixo são limitadas e/ou convergentes e determine, se possível,
seus limites. Justifique suas afirmações.
(a) zn = e
−npii/4
(b) zn =
(−1)n
n+ i
(c) zn = (1 + i)
n
(d) zn = (
1 + 3i√
10
)n
2. Decida se as séries abaixo convergem ou divergem e justifique.
(a)
+∞∑
n=0
in
n2 − 2i (b)
+∞∑
n=1
1√
n
(c)
+∞∑
n=1
in
n
(d)
+∞∑
n=1
n− i
3n+ 2i
(e)
+∞∑
n=1
(n!)3
(3n)!
(1+i)n
3. Determine o centro e o raio de convergência das seguintes séries de potências e justifique.
(a)
+∞∑
n=1
(z + i)n
n2
(b)
+∞∑
n=0
nn
n!
(z + 2i)n (c)
+∞∑
n=0
2100n
n!
zn (d)
+∞∑
n=0
(−1)n
22n(n!)2
z2n
(e)
+∞∑
n=0
(n− i)nzn (f)
+∞∑
n=0
(2z)2n
(2n)!
(g)
+∞∑
n=2
n(n− 1)(z − 3 + 2i)n (h)
+∞∑
n=0
2nz4n
(i)
+∞∑
n=0
(
2 + 3i
5− i
)n
(z − pi)n (j)
+∞∑
n=0
(4n)!
2n(n!)4
(z + pii)n
4. Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo, usando derivação ou
integração de séries.
(a)
+∞∑
n=1
n
2n
(z + 2i)n (b)
+∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
(
z
pi
)2n+1
(c)
+∞∑
n=k
(
n
k
)(
z
4
)n
(d)
+∞∑
n=1
(−7)n
n(n+ 1)(n+ 2)
z2n (e)
+∞∑
n=0
(
n+m
m
)
zn
5. Determine a série de Taylor ou de MacLaurin da função f dada, no centro z0 dado, e
determine o raio de convergência da mesma.
(a) f(z) = e−2z, z0 = 0 (b) f(z) =
1
1− z3 , z0 = 0 (c) f(z) =sen z, z0 = pi/2
(d) f(z) =
1
z
, z0 = 1 (e) f(z) =
1
1− z , z0 = i (f) f(z) =Ln (1− z), z0 = i
(g) f(z) = z6 − z4 + z2 − 1, z0 = 1 (h) f(z) = e−z2/2, z0 = 0