Momento em relação a um PONTO

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Mecânica  –  Un.2  
Momento  em  
relação  a  um  Ponto	
Créditos: Professor Leandro 
Equilíbrio	
Equilíbrio	
•  Para que uma partícula esteja em equilíbrio, basta 
que a o resultante das forças aplicadas seja igual a 
zero. 
•  No entanto, para um corpo extenso estar em 
equilíbrio é necessário que: 
o  Somatório das forças seja igual a zero; 
o  Somatório dos momentos seja igual a zero; 
•  Portanto é necessário entendermos o 
conceito de momento em 2D e em 3D. 
Exemplo  de  Momentos	
Formulação  Escalar  para  Momento	
• Momento  é  uma  grandeza  vetorial,  possui  intensidade  direção  e  sentido.	
	
	
	
	
Convenção  de  sinais:	
Segue  a  regra  da  mão  direita	
Rotação  no  sentido  horário  –  Momento  negativo	
Rotação  no  sentido  anti-­‐‑horário  –  Momento  positivo	
Momento  Resultante  de  um  Sistema  
de  Forças  Coplanares	
M = F . d . sen θ	
F = Força; 
d = distância do ponto a força; 
θ = ângulo entre o vetor força e o vetor distância. 
Exercícios  Resolvidos	
1)    Determine  o  momento  da  força  em  relação  ao  ponto  O  em  cada  uma  das  
barras.  	
	
Caso  (a)	
Mo  =  F  .  d  sen  θ	
Mo  =  100N  .  2m  .  sen  90°  =  200N.m	
Analisando  o  sentido  da  tendência  
de  rotação	
Mo  =  -­‐‑200N.m	
Caso  (b)	
Transmitindo  a  força  de  50N  ao  
longo  de  sua  linha  de  ação	
Mo  =  F  .  d  .  sen  θ	
Mo  =  50N  .  0,75m  .  sen90°  =  
37,5N.m	
Mo  =  -­‐‑37,5N.m	
Exercícios  Resolvidos	
2)  Determine  os  momentos  da  força  de  800N  em  relação  aos  pontos  A,  B,  C  
e  D.  	
	
MA = 800N.2, 5m.sen90° = 2000N.m
M A = −2000N.m
MB = 800N.1, 5m.sen90° =1200N.m
MB = −1200N.m
MC = 800N.1, 25m.sen0° = 0
MD = 800N.0, 5m.sen90° = 400N.m
Exercícios  Resolvidos	
3)    Determine  o  momento  das  forças  que  atuam  na  estrutura  mostrada  em  
relação  ao  ponto  O  	
	
Exercícios  Resolvidos	
3)    Determine  o  momento  das  forças  que  atuam  na  estrutura  mostrada  em  
relação  ao  ponto  O  	
	
Momento  da  força  de  50  N	
M50o = 50N.2m.sen90° =100N.m
M50o = −100N.m
Exercícios  Resolvidos	
3)    Determine  o  momento  das  forças  que  atuam  na  estrutura  mostrada  em  
relação  ao  ponto  O  	
	
Momento  da  força  de  60  N	
M60o = 60N.4m.sen0° = 0
Exercícios  Resolvidos	
3)    Determine  o  momento  das  forças  que  atuam  na  estrutura  mostrada  em  
relação  ao  ponto  O  	
	
Momento  da  força  de  20  N	
M20o = 20N.3m.sen30° = 30N.m
90°	
Transmissibilidade	
Exercícios  Resolvidos	
3)    Determine  o  momento  das  forças  que  atuam  na  estrutura  mostrada  em  
relação  ao  ponto  O  	
	
Momento  da  força  de  40  N	
( )
mNM
mNmNM
o
o
.264
.26430cos34.40
40
40
−=
=°+=
Transmissibilidade	
Universidade  Salgado  de  Oliveira  -­‐‑    Prof.:  Leandro  	
 14 
Aula	
  8	
  –	
  Momento	
  de	
  Uma	
  Força	
  
Exercícios  Propostos  	
1)    Determine  o  momento  das  força  de  200N  em  relação  ao  ponto  A.	
	
Exercícios  Propostos	
1)    Determine  o  momento  das  força  de  200N  em  relação  ao  ponto  A.	
	
Exercícios  Propostos	
2)    Determine  o  momento  das  força  de  400N  em  relação  ao  ponto  O.	
	
Exercícios  Propostos	
3)    A  chave  de  boca  é  utilizada  para  soltar  o  parafuso.  Determine  o  
momento  de  cada  força  em  relação  ao  eixo  que  passa  através  do  ponto  O.	
	
Exercícios  Propostos	
3)    Determine  o  momento  de  cada  uma  das  forças  em  relação  ao  ponto  A.	
	
Momento  de  Uma  Força  em  relação  a  
um  Ponto  –  Vetores  (3D)	
O  momento  de  uma   força   em   relação   a  um  ponto  pode   ser  determinado  
através  da  aplicação  das  regras  de  produto  vetorial.	
A   regra   do   produto   vetorial   para   o   cálculo   de  momentos     geralmente   é  
aplicada  para  sistemas  em  três  dimensões.	
	
  
Regras  do  Produto  Vetorial	
• O   produto   vetorial   de   dois   vetores   A   e   B   produz   o   vetor   C   e  
matematicamente  a  operação  é  escrita  do  seguinte  modo:	
	
  
Regras  do  Produto  Vetorial	
Teorema  de  Varignon    
(  Princípio  dos  Momentos  )	
• O  teorema  estabelece  que  o  momento  de  uma  força  em  relação  a  um  ponto  
é   igual  a  soma  dos  momentos  dos  componentes  das   forças  em  relação  ao  
mesmo  ponto.	
	
  
Teorema  de  Varignon    
(  Princípio  dos  Momentos  )	
• O  teorema  estabelece  que  o  momento  de  uma  força  em  relação  a  um  ponto  
é   igual  a  soma  dos  momentos  dos  componentes  das   forças  em  relação  ao  
mesmo  ponto.	
	
  
83 3.7 VARIGNON’S THEOREM 
The distributive property of vector products can be used to deter-
mine the moment of the resultant of several concurrent forces . If 
several forces F 1 , F 2 , . . . are applied at the same point A ( Fig. 3.14 ), 
and if we denote by r the position vector of A , it follows immediately 
from Eq. (3.5) of Sec. 3.4 that
 r 3 (F1 1 F2 1 . . .) 5 r 3 F1 1 r 3 F2 1 . . . (3.14)
 In words, the moment about a given point O of the resultant of several 
concurrent forces is equal to the sum of the moments of the various 
forces about the same point O . This property, which was originally 
established by the French mathematician Varignon (1654–1722) long 
before the introduction of vector algebra, is known as Varignon’s 
theorem. 
 The relation (3.14) makes it possible to replace the direct deter-
mination of the moment of a force F by the determination of the 
moments of two or more component forces. As you will see in the 
next section, F will generally be resolved into components parallel 
to the coordinate axes. However, it may be more expeditious in some 
instances to resolve F into components which are not parallel to the 
coordinate axes (see Sample Prob. 3.3). 
 3.8 RECTANGULAR COMPONENTS OF THE MOMENT 
OF A FORCE 
 In general, the determination of the moment of a force in space will 
be considerably simplified if the force and the position vector of its 
point of application are resolved into rectangular x , y , and z compo-
nents. Consider, for example, the moment M O about O of a force F 
whose components are F x , F y , and F z and which is applied at a point 
 A of coordinates x , y , and z ( Fig. 3.15 ). Observing that the compo-
nents of the position vector r are respectively equal to the coordi-
nates x , y , and z of the point A , we write
 r 5 xi 1 yj 1 zk (3.15) 
 F 5 Fxi 1 Fyj 1 Fzk (3.16)
 Substituting for r and F from (3.15) and (3.16) into
 MO 5 r 3 F (3.11) 
 and recalling the results obtained in Sec. 3.5, we write the moment 
 M O of F about O in the form
 MO 5 Mxi 1 My j 1 Mzk (3.17) 
 where the components M x , M y , and M z are defined by the relations
 
Mx 5 yFz 2 zFy
My 5 zFx 2 xFz
Mz 5 xFy 2 yFx 
(3.18)
 Fig. 3.14 
y
x
z
O
A
r
F1
F2
F3
F4
Fz k
x
y
z
O
zk
y j
x i
r
A (x, y, z)
Fy j
Fx i
 Fig. 3.15 
3.8 Rectangular Components of the 
Moment of a Force
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83 3.7 VARIGNON’S THEOREM 
The distributive property of vector products can be used to deter-
mine the moment of the resultant of several concurrent forces . If 
several forces F 1 , F 2 , . . . are applied at the same point A ( Fig. 3.14 ), 
and if we denote by r the position vector of A , it follows immediately 
from Eq. (3.5) of Sec. 3.4 that
 r 3 (F11 F2 1 . . .) 5 r 3 F1 1 r 3 F2 1 . . . (3.14)
 In words, the moment about a given point O of the resultant of several 
concurrent forces is equal to the sum of the moments of the various 
forces about the same point O . This property, which was originally 
established by the French mathematician Varignon (1654–1722) long 
before the introduction of vector algebra, is known as Varignon’s 
theorem. 
 The relation (3.14) makes it possible to replace the direct deter-
mination of the moment of a force F by the determination of the 
moments of two or more component forces. As you will see in the 
next section, F will generally be resolved into components parallel 
to the coordinate axes. However, it may be more expeditious in some 
instances to resolve F into components which are not parallel to the 
coordinate axes (see Sample Prob. 3.3). 
 3.8 RECTANGULAR COMPONENTS OF THE MOMENT 
OF A FORCE 
 In general, the determination of the moment of a force in space will 
be considerably simplified if the force and the position vector of its 
point of application are resolved into rectangular x , y , and z compo-
nents. Consider, for example, the moment M O about O of a force F 
whose components are F x , F y , and F z and which is applied at a point 
 A of coordinates x , y , and z ( Fig. 3.15 ). Observing that the compo-
nents of the position vector r are respectively equal to the coordi-
nates x , y , and z of the point A , we write
 r 5 xi 1 yj 1 zk (3.15) 
 F 5 Fxi 1 Fyj 1 Fzk (3.16)
 Substituting for r and F from (3.15) and (3.16) into
 MO 5 r 3 F (3.11) 
 and recalling the results obtained in Sec. 3.5, we write the moment 
 M O of F about O in the form
 MO 5 Mxi 1 My j 1 Mzk (3.17) 
 where the components M x , M y , and M z are defined by the relations
 
Mx 5 yFz 2 zFy
My 5 zFx 2 xFz
Mz 5 xFy 2 yFx 
(3.18)
 Fig. 3.14 
y
x
z
O
A
r
F1
F2
F3
F4
Fz k
x
y
z
O
zk
y j
x i
r
A (x, y, z)
Fy j
Fx i
 Fig. 3.15 
3.8 Rectangular Components of the 
Moment of a Force
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83 3.7 VARIGNON’S THEOREM 
The distributive property of vector products can be used to deter-
mine the moment of the resultant of several concurrent forces . If 
several forces F 1 , F 2 , . . . are applied at the same point A ( Fig. 3.14 ), 
and if we denote by r the position vector of A , it follows immediately 
from Eq. (3.5) of Sec. 3.4 that
 r 3 (F1 1 F2 1 . . .) 5 r 3 F1 1 r 3 F2 1 . . . (3.14)
 In words, the moment about a given point O of the resultant of several 
concurrent forces is equal to the sum of the moments of the various 
forces about the same point O . This property, which was originally 
established by the French mathematician Varignon (1654–1722) long 
before the introduction of vector algebra, is known as Varignon’s 
theorem. 
 The relation (3.14) makes it possible to replace the direct deter-
mination of the moment of a force F by the determination of the 
moments of two or more component forces. As you will see in the 
next section, F will generally be resolved into components parallel 
to the coordinate axes. However, it may be more expeditious in some 
instances to resolve F into components which are not parallel to the 
coordinate axes (see Sample Prob. 3.3). 
 3.8 RECTANGULAR COMPONENTS OF THE MOMENT 
OF A FORCE 
 In general, the determination of the moment of a force in space will 
be considerably simplified if the force and the position vector of its 
point of application are resolved into rectangular x , y , and z compo-
nents. Consider, for example, the moment M O about O of a force F 
whose components are F x , F y , and F z and which is applied at a point 
 A of coordinates x , y , and z ( Fig. 3.15 ). Observing that the compo-
nents of the position vector r are respectively equal to the coordi-
nates x , y , and z of the point A , we write
 r 5 xi 1 yj 1 zk (3.15) 
 F 5 Fxi 1 Fyj 1 Fzk (3.16)
 Substituting for r and F from (3.15) and (3.16) into
 MO 5 r 3 F (3.11) 
 and recalling the results obtained in Sec. 3.5, we write the moment 
 M O of F about O in the form
 MO 5 Mxi 1 My j 1 Mzk (3.17) 
 where the components M x , M y , and M z are defined by the relations
 
Mx 5 yFz 2 zFy
My 5 zFx 2 xFz
Mz 5 xFy 2 yFx 
(3.18)
 Fig. 3.14 
y
x
z
O
A
r
F1
F2
F3
F4
Fz k
x
y
z
O
zk
y j
x i
r
A (x, y, z)
Fy j
Fx i
 Fig. 3.15 
3.8 Rectangular Components of the 
Moment of a Force
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Exercício  Resolvido	
1)	
  Determine	
  o	
  momento	
  da	
  força	
  F	
  em	
  relação	
  ao	
  ponto	
  O.	
  Expresse	
  o	
  resultado	
  
como	
  um	
  vetor	
  cartesiano.	
  
Exercício  Resolvido	
1)	
  Determine	
  o	
  momento	
  da	
  força	
  F	
  em	
  relação	
  ao	
  ponto	
  O.	
  Expresse	
  o	
  resultado	
  
como	
  um	
  vetor	
  cartesiano.	
  
Solução:  	
1º	
  Passo:	
  Escrever	
  o	
  vetor	
  braço	
  de	
  alavanca	
  (vetor	
  posição)	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
2°	
  Passo:	
  Realizar	
  o	
  produto	
  vetorial	
  	
  
X  =  -­‐‑3m	
y  =  -­‐‑7m	
Z  =  4m	
Exercício  Proposto	
1º)	
  	
  O	
  poste	
  mostrado	
  está	
  sujeito	
  a	
  uma	
  força	
  de	
  60N	
  na	
  direção	
  C	
  para	
  B.	
  
Determine	
  a	
  intensidade	
  do	
  momento	
  criado	
  por	
  essa	
  força	
  em	
  relação	
  ao	
  
suporte	
  no	
  ponto	
  A.	
  
Exercício  Proposto	
2º)	
  	
  Determine	
  o	
  momento	
  da	
  força	
  F	
  em	
  relação	
  ao	
  ponto	
  O.	
  Expresse	
  o	
  
resultado	
  como	
  um	
  vetor	
  cartesiano.	
  
Exercício  Proposto	
3º)	
   	
   O	
   bastão	
   curvado	
   se	
   estende	
   no	
   plano	
   xy	
   e	
   tem	
   uma	
   curvatura	
   de	
   3m.	
  
Sabendo	
   que	
   a	
   força	
   F	
   é	
   igual	
   a	
   80N,	
   determine	
   o	
   momento	
   desta	
   força	
   em	
  
relação	
  ao	
  ponto	
  O.	
  
Exercício  Proposto	
4º)	
  A	
  força	
  F	
  =	
  600i	
  +	
  300j	
  –	
  600k	
  [N]	
  atua	
  na	
  extremidade	
  da	
  viga.	
  Determine	
  o	
  
momento	
  desta	
  força	
  em	
  relação	
  ao	
  ponto	
  A.